单调性PPT课件(1)
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函数的奇偶性和单调性1-课件
展示如何通过函数的单调性来确 定函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的极值点和最值，以帮助 解决实际问题。
利用单调性研究函数的增 减性
解释如何使用函数的单调性来研 究函数的增减性，以更好地理解 函数的变化趋势和特性。
练习与答案
示例题目及解答
给出一些示例题目，并提供详细的解答和分析，以帮助学生实践和巩固所学的奇偶性和单调 性知识。
讨论函数的极大值点 和极小值点的特性， 以便更好地理解函数 的单调性。
函数单调性的 判定方法
介绍判断函数单调性 的方法和技巧，来帮 助分析和确定函数的 单调性。
奇偶性和单调性的应用
利用奇偶性证明函数对称性
示范如何使用函数的奇偶性来证 明函数是否具有对称性，例如图 像关于y轴的对称性。
利用单调性求函数的极值 点和最值
函数的奇偶性和单调性1PPT课件
通过本课件，我们将深入讨论函数的奇偶性和单调性，并介绍其在数学中的 重要性和应用。准备好迎接数学的奇妙世界吧！
奇偶性
定义奇偶性
介绍什么是奇函数和偶函数，以及如何判断函数的奇偶性。
奇函数和偶函数的图像特征
讲解奇函数和偶函数在坐标平面上的图像特点，以帮助理解和直观理解奇偶性。
告导数和微分的内容，激
忆。
学生能够更好地应用和运
发学生的兴趣和好奇心。
用所学的知识。
练习题目及详细解答
提供一系列练习题目，并附有详细的解答，供学生自我练习并检验自己的掌握程度。
总结
1 本章内容回顾
复习本章所学的奇偶性和
2 解决问题的思路和方
法总结
3 下一章节预告：导数
和微分
单调性的核心概念和要点，
总结解决奇偶性和单调性
引入下一章节的主题，预
利用单调性研究函数的增 减性
解释如何使用函数的单调性来研 究函数的增减性，以更好地理解 函数的变化趋势和特性。
练习与答案
示例题目及解答
给出一些示例题目，并提供详细的解答和分析，以帮助学生实践和巩固所学的奇偶性和单调 性知识。
讨论函数的极大值点 和极小值点的特性， 以便更好地理解函数 的单调性。
函数单调性的 判定方法
介绍判断函数单调性 的方法和技巧，来帮 助分析和确定函数的 单调性。
奇偶性和单调性的应用
利用奇偶性证明函数对称性
示范如何使用函数的奇偶性来证 明函数是否具有对称性，例如图 像关于y轴的对称性。
利用单调性求函数的极值 点和最值
函数的奇偶性和单调性1PPT课件
通过本课件，我们将深入讨论函数的奇偶性和单调性，并介绍其在数学中的 重要性和应用。准备好迎接数学的奇妙世界吧！
奇偶性
定义奇偶性
介绍什么是奇函数和偶函数，以及如何判断函数的奇偶性。
奇函数和偶函数的图像特征
讲解奇函数和偶函数在坐标平面上的图像特点，以帮助理解和直观理解奇偶性。
告导数和微分的内容，激
忆。
学生能够更好地应用和运
发学生的兴趣和好奇心。
用所学的知识。
练习题目及详细解答
提供一系列练习题目，并附有详细的解答，供学生自我练习并检验自己的掌握程度。
总结
1 本章内容回顾
复习本章所学的奇偶性和
2 解决问题的思路和方
法总结
3 下一章节预告：导数
和微分
单调性的核心概念和要点，
总结解决奇偶性和单调性
引入下一章节的主题，预
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
反函数的单调性判断
如果原函数在其定义域内单调递增 （或递减），则其反函数在对应的定 义域内单调递减（或递增）。
反函数的应用举例
利用反函数求值
通过反函数，可以将一个变量的值转换为另一个变量的值。例如，利用反三角函数可以求出角度的值。
利用反函数解决实际问题
在很多实际问题中，可以通过建立反函数来求解问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要利 用反函数来解决实际问题。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
contents
目录
• 函数单调性的定义 • 单调函数的性质 • 单调函数的应用 • 反函数与单调性 • 复合函数的单调性
01 函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则对于该区间内的任意 两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) < f(x_2)$；如果函数在某个区间内单调递减，则对 于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$。
复合函数法
利用复合函数的单调性法则来判断 原Байду номын сангаас数的单调性。
单调函数的反例
反例1
函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是单 调减少的，但在区间(0,+∞)上是单 调增加的，因此f(x)=x^2在整个定 义域上不是单调函数。
反例2
函数f(x)={ x^2 x>0; -x^2 x<0; } 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调 减少的，但在整个定义域上不是单 调函数。
x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在该区间内单调递减。
如果原函数在其定义域内单调递增 （或递减），则其反函数在对应的定 义域内单调递减（或递增）。
反函数的应用举例
利用反函数求值
通过反函数，可以将一个变量的值转换为另一个变量的值。例如，利用反三角函数可以求出角度的值。
利用反函数解决实际问题
在很多实际问题中，可以通过建立反函数来求解问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要利 用反函数来解决实际问题。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
contents
目录
• 函数单调性的定义 • 单调函数的性质 • 单调函数的应用 • 反函数与单调性 • 复合函数的单调性
01 函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则对于该区间内的任意 两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) < f(x_2)$；如果函数在某个区间内单调递减，则对 于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$。
复合函数法
利用复合函数的单调性法则来判断 原Байду номын сангаас数的单调性。
单调函数的反例
反例1
函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是单 调减少的，但在区间(0,+∞)上是单 调增加的，因此f(x)=x^2在整个定 义域上不是单调函数。
反例2
函数f(x)={ x^2 x>0; -x^2 x<0; } 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调 减少的，但在整个定义域上不是单 调函数。
x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在该区间内单调递减。
1 第1课时 函数的单调性(共44张PPT)
提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体 概念.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.
(×)
(2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单调递减区间是
[1，3].
(×)
(3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3).
解：由题意，确定函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的单调递增区间，即寻找图象呈上 升趋势的一段图象. 由题图(1)可知，在[1，4)和[4，6)内，y＝f(x)是单调递增的. 由题图(2)可知，在(－4.5，0)和(4.5，7.5)内，y＝g(x)是单调递增的.
()
3.设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调递增区间，且 x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，
则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为
()
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)＝f(x2)
D.不能确定
解析：选 D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区 间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中 的 x1，x2 不在同一单调区间内，故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定.
4.若函数 f(x)在 R 上是单调递减的，且 f(x－2)<f(3)，则 x 的取值范围是 ______________. 解析：函数的定义域为 R.由条件可知，x－2>3，解得 x>5. 答案：(5，＋∞)
5.如图分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，试写出函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的 单调递增区间.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.
(×)
(2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单调递减区间是
[1，3].
(×)
(3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3).
解：由题意，确定函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的单调递增区间，即寻找图象呈上 升趋势的一段图象. 由题图(1)可知，在[1，4)和[4，6)内，y＝f(x)是单调递增的. 由题图(2)可知，在(－4.5，0)和(4.5，7.5)内，y＝g(x)是单调递增的.
()
3.设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调递增区间，且 x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，
则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为
()
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)＝f(x2)
D.不能确定
解析：选 D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区 间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中 的 x1，x2 不在同一单调区间内，故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定.
4.若函数 f(x)在 R 上是单调递减的，且 f(x－2)<f(3)，则 x 的取值范围是 ______________. 解析：函数的定义域为 R.由条件可知，x－2>3，解得 x>5. 答案：(5，＋∞)
5.如图分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，试写出函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的 单调递增区间.
导数与函数的单调性ppt课件演示文稿(1)
y
y f ( x)
1 2 x o
y
y f ( x)
y 1 2 x o
o
y f '( x )
2 x
(A)
y
(B)
y f ( x)
2
y
y f ( x)
x
o 1xΒιβλιοθήκη o 1 2(C)(D)
课堂练习
求下列函数的单调区间
(1)y 2x 5x 4
2
(2)y 3x x
3 x
(3)y (x 3)e
3 2 f ( x ) 2 x 3 x 12x 1 单调递增. 函数 （2 ）求导数f’(x)； 即 2 x 1时， 当 f '( x) 0，
高考 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数， y f '( x )的图象如 链接 右图所示,则 y f ( x ) 的图象最有可能的是( )
yx
y
yx
y
2
yx
3
y
1 y x y
o
x
o
x
o
x
o
x
函数在R上
（-∞，0） （0，+∞）
函数在R上
（-∞，0）
f '( x) 1 0 f '( x) 2 x 0 f '( x) 3x2 0 f '( x) x2 0
f '( x) 2 x 0
（0，+∞） f '( x) x2 0
再观察函数y=x2－4x＋3的图象 总结: 函数在区间 y
0
. . . . . ..
2
y f ( x)
1 2 x o
y
y f ( x)
y 1 2 x o
o
y f '( x )
2 x
(A)
y
(B)
y f ( x)
2
y
y f ( x)
x
o 1xΒιβλιοθήκη o 1 2(C)(D)
课堂练习
求下列函数的单调区间
(1)y 2x 5x 4
2
(2)y 3x x
3 x
(3)y (x 3)e
3 2 f ( x ) 2 x 3 x 12x 1 单调递增. 函数 （2 ）求导数f’(x)； 即 2 x 1时， 当 f '( x) 0，
高考 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数， y f '( x )的图象如 链接 右图所示,则 y f ( x ) 的图象最有可能的是( )
yx
y
yx
y
2
yx
3
y
1 y x y
o
x
o
x
o
x
o
x
函数在R上
（-∞，0） （0，+∞）
函数在R上
（-∞，0）
f '( x) 1 0 f '( x) 2 x 0 f '( x) 3x2 0 f '( x) x2 0
f '( x) 2 x 0
（0，+∞） f '( x) x2 0
再观察函数y=x2－4x＋3的图象 总结: 函数在区间 y
0
. . . . . ..
2
高一数学函数的单调性 PPT课件 图文
(2)单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (3)单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
例题讲解
注意： (1)可以根据函数的图象写出函数的单调
区间； (2)写单调区间时，注意区间的端点； (3)将y＝f(x)的图象上下平移时，单调区
间不发生改变； (4)单调区间不能随便求并集．
例题讲解
例2
求证：函数 f(x)＝－
1 x
－1在区间(－∞，0)
上是单调增函数．
证明：任取x1＜x2＜0，则
f(x2)－f(x1)＝＝(－1 －x12
－1)－(－ 1 ＝ x2－x1
1 －1)
x1
．
x1 x2
x1x2
因为x1＜x2＜0，所以x1x2＞0，x2－x1＞0，所
以
x2－x1 x1x2
＞0，即f(x2)－f(x1)＞0，
3.下列函数在区间(0,2)上是递增函数的是（ ）
1
A.y=
B.y=2x-1
x
C.y=1-2x
D.y=(2x-1)2
4.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[2,+∞)时是增函数， x∈(-∞，2]时是减函数，则f(1)的值（ ）
A.1
B.y=-1
C.y=3
D.-3
5.已知函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,1]上是减 函数,则a 的范围是（ ）
2.1.3 函数的简单性质
； https:/// 好系统重装助手 重装助手
ysh04zvb
在你们眼里就是这样的人？”韩哲轩满头黑线但还是坚持很勉强的笑，他把匕首从自己那边推到了桌子的另一边，“这是你 的。”“诶？”张祁潭警惕的看看韩哲轩，又看看桌子上的匕首，小心翼翼的将它拿了起来。“确实……是我的。当时找玉玺 时丢在了郭扬家……”“你想怎样！”韩哲轩归还了匕首，慕容凌娢感觉心里有底，气势就又回来了。“要不是我冒着生命危 险把匕首给找回来，以郭扬的能力，天亮之前就能找出这柄匕首的出处。”韩哲轩看向张祁潭，眼神中竟闪着凄冷的寒光， “你觉得他会饶过谁？”“哎~苍天饶过谁！”张祁潭颤抖着收起匕首，沉寂片刻，说道，“我签。”“这就签？”慕容凌娢 一脸懵逼，不过既然张祁潭要签，她也不好意思再说什么。“看在你后续工作干的不错的份上，我也签吧……”“非常感谢。” 韩哲轩心满意足的收起本子。“哦对了，你刚才说的福利……我还真是不太懂。”慕容凌娢笑容变猥琐了。“别想多。晴穿会 鱼龙混杂，干什么的都有。大多数成员在晴穿会帮助下达到自己目的后，会反馈一些东西给晴穿会以表自己的忠诚，而晴穿会 则把这些东西收集起来，作为奖励让业绩好的成员自己挑选……这样一说倒有点像绩效工资了。”韩哲轩吐槽。“你有什么想 要的东西？”慕容凌娢很奇怪，韩哲轩穿越后背景这么好，什么东西弄不到？居然要死皮赖脸靠业绩来换……“你 猜。”“嗯……”慕容凌娢装模作样的沉思片刻，“一定是很稀有的东西。祁潭，你怎么看？”“废话。拿近点看啊。”张祁 渊熟练的翻了一个白眼，只是不知道，这个白眼是送给慕容凌娢还是送给韩哲轩的。也许，是同时给她们两个的。“话说签简 体字还是繁体字？草书还是楷书？”（古风一言）柔情绕指尖，谁的琴弦，在谁的袅娜中化作悲言，指尖弦断。第116章 超自 然协会“你有想要的东西？”慕容凌娢很奇怪，韩哲轩穿越后背景这么好，什么东西弄不到？居然要死皮赖脸靠业绩来 换……“你猜。”“嗯……”慕容凌娢装模作样的沉思片刻，“一定是很稀有的东西。祁潭，你怎么看？”“废话。拿近点看 啊。”张祁渊熟练的翻了一个白眼，只是不知道，这个白眼是送给慕容凌娢还是送给韩哲轩的。也许，是同时给她们两个的。 “话说签简体字还是繁体字？草书还是楷书？”“繁体字吧。”韩哲轩把毛笔递了上去，“毕竟穿越过来之前所在时空不同， 还是统一用这个时代的繁体字比较整齐。”“呵，原来夏桦有这样的强迫症……”慕容凌娢也在本子上签下了龙飞凤舞一笔写 成的四个字。“多谢，我先走了。”韩哲轩跳到了窗台上，“明天这屋子就又归我了，你有什么东西赶快拿走。” “知道知 道，慢走不送。”慕容凌娢敷衍的挥挥手。“我也走了，拜
例题讲解
注意： (1)可以根据函数的图象写出函数的单调
区间； (2)写单调区间时，注意区间的端点； (3)将y＝f(x)的图象上下平移时，单调区
间不发生改变； (4)单调区间不能随便求并集．
例题讲解
例2
求证：函数 f(x)＝－
1 x
－1在区间(－∞，0)
上是单调增函数．
证明：任取x1＜x2＜0，则
f(x2)－f(x1)＝＝(－1 －x12
－1)－(－ 1 ＝ x2－x1
1 －1)
x1
．
x1 x2
x1x2
因为x1＜x2＜0，所以x1x2＞0，x2－x1＞0，所
以
x2－x1 x1x2
＞0，即f(x2)－f(x1)＞0，
3.下列函数在区间(0,2)上是递增函数的是（ ）
1
A.y=
B.y=2x-1
x
C.y=1-2x
D.y=(2x-1)2
4.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[2,+∞)时是增函数， x∈(-∞，2]时是减函数，则f(1)的值（ ）
A.1
B.y=-1
C.y=3
D.-3
5.已知函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,1]上是减 函数,则a 的范围是（ ）
2.1.3 函数的简单性质
； https:/// 好系统重装助手 重装助手
ysh04zvb
在你们眼里就是这样的人？”韩哲轩满头黑线但还是坚持很勉强的笑，他把匕首从自己那边推到了桌子的另一边，“这是你 的。”“诶？”张祁潭警惕的看看韩哲轩，又看看桌子上的匕首，小心翼翼的将它拿了起来。“确实……是我的。当时找玉玺 时丢在了郭扬家……”“你想怎样！”韩哲轩归还了匕首，慕容凌娢感觉心里有底，气势就又回来了。“要不是我冒着生命危 险把匕首给找回来，以郭扬的能力，天亮之前就能找出这柄匕首的出处。”韩哲轩看向张祁潭，眼神中竟闪着凄冷的寒光， “你觉得他会饶过谁？”“哎~苍天饶过谁！”张祁潭颤抖着收起匕首，沉寂片刻，说道，“我签。”“这就签？”慕容凌娢 一脸懵逼，不过既然张祁潭要签，她也不好意思再说什么。“看在你后续工作干的不错的份上，我也签吧……”“非常感谢。” 韩哲轩心满意足的收起本子。“哦对了，你刚才说的福利……我还真是不太懂。”慕容凌娢笑容变猥琐了。“别想多。晴穿会 鱼龙混杂，干什么的都有。大多数成员在晴穿会帮助下达到自己目的后，会反馈一些东西给晴穿会以表自己的忠诚，而晴穿会 则把这些东西收集起来，作为奖励让业绩好的成员自己挑选……这样一说倒有点像绩效工资了。”韩哲轩吐槽。“你有什么想 要的东西？”慕容凌娢很奇怪，韩哲轩穿越后背景这么好，什么东西弄不到？居然要死皮赖脸靠业绩来换……“你 猜。”“嗯……”慕容凌娢装模作样的沉思片刻，“一定是很稀有的东西。祁潭，你怎么看？”“废话。拿近点看啊。”张祁 渊熟练的翻了一个白眼，只是不知道，这个白眼是送给慕容凌娢还是送给韩哲轩的。也许，是同时给她们两个的。“话说签简 体字还是繁体字？草书还是楷书？”（古风一言）柔情绕指尖，谁的琴弦，在谁的袅娜中化作悲言，指尖弦断。第116章 超自 然协会“你有想要的东西？”慕容凌娢很奇怪，韩哲轩穿越后背景这么好，什么东西弄不到？居然要死皮赖脸靠业绩来 换……“你猜。”“嗯……”慕容凌娢装模作样的沉思片刻，“一定是很稀有的东西。祁潭，你怎么看？”“废话。拿近点看 啊。”张祁渊熟练的翻了一个白眼，只是不知道，这个白眼是送给慕容凌娢还是送给韩哲轩的。也许，是同时给她们两个的。 “话说签简体字还是繁体字？草书还是楷书？”“繁体字吧。”韩哲轩把毛笔递了上去，“毕竟穿越过来之前所在时空不同， 还是统一用这个时代的繁体字比较整齐。”“呵，原来夏桦有这样的强迫症……”慕容凌娢也在本子上签下了龙飞凤舞一笔写 成的四个字。“多谢，我先走了。”韩哲轩跳到了窗台上，“明天这屋子就又归我了，你有什么东西赶快拿走。” “知道知 道，慢走不送。”慕容凌娢敷衍的挥挥手。“我也走了，拜
函数的单调性ppt课件
应用实例
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
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03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数的单调性与最大(小)值PPT优秀课件1
＝xa2＋＋11－xa1＋＋11 ＝（ （ax＋1＋11））（（xx1－ 2＋x12） ）， 又函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，所以f(x1)－f(x2)>0.
由于x1<x2<－1， ∴x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0， ∴a＋1<0，即a<－1.
故a的取值范围是(－∞，－1)．
第17页
＝ x21＋1－ax1－ x22＋1＋ax2 ＝ x21＋1－ x22＋1－a(x1－x2)
又∵a≥1， ∴f(x1)－f(x2)＞0， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减 ．
第6页
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考点突【例 2－1】 已知函数 f(x)＝2x－ax的定义域为(0，1](a 为实数). (1)当 a＝1 时，求函数 y＝f(x)的值域；(2)求函数 y＝f(x)在区间 (0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数 f(x)取得最值时 x 的值.
A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞c＞b D.b＞a＞c
解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 且在(1，＋∞)上是减函数，
所以 a＝f －12＝f 52，
故b＞a＞c. 答案 D
第14页
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考点突破 考点二 函数单调性的应用 [微题型3] 比较函数值的大小
第10页
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考点突破 考点二 函数单调性的应用
[微题型2] 利用单调性求参数范围
【例 2－2】(1)若函数 f(x)＝－x2＋2ax 与 g(x)＝x＋a 1在区间[1，2]上 都是减函数，则 a 的取值范围是( ) A．(－1，0)∪(0，1) B．(－1，0)∪(0，1) C．(0，1) D．(0，1] (2)见下一页
由于x1<x2<－1， ∴x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0， ∴a＋1<0，即a<－1.
故a的取值范围是(－∞，－1)．
第17页
＝ x21＋1－ax1－ x22＋1＋ax2 ＝ x21＋1－ x22＋1－a(x1－x2)
又∵a≥1， ∴f(x1)－f(x2)＞0， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减 ．
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考点突【例 2－1】 已知函数 f(x)＝2x－ax的定义域为(0，1](a 为实数). (1)当 a＝1 时，求函数 y＝f(x)的值域；(2)求函数 y＝f(x)在区间 (0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数 f(x)取得最值时 x 的值.
A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞c＞b D.b＞a＞c
解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 且在(1，＋∞)上是减函数，
所以 a＝f －12＝f 52，
故b＞a＞c. 答案 D
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考点突破 考点二 函数单调性的应用 [微题型3] 比较函数值的大小
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考点突破 考点二 函数单调性的应用
[微题型2] 利用单调性求参数范围
【例 2－2】(1)若函数 f(x)＝－x2＋2ax 与 g(x)＝x＋a 1在区间[1，2]上 都是减函数，则 a 的取值范围是( ) A．(－1，0)∪(0，1) B．(－1，0)∪(0，1) C．(0，1) D．(0，1] (2)见下一页
5.3.1函数的单调性(第一课时)课件(人教版)
利用导数判断含参函数的单调性
例
2：函数
f
(
x
)
1 ＝ ax
2－(
a＋1)
x
＋lnx
，a>0，试讨论函数
f(
x
)
的单调性．
2
解：函数的定义域为(0，＋∞),
1 ax2－(a＋1)x＋1 (ax－1)(x－1)
f′(x)＝ax－(a＋1)＋ ＝
＝
，
x
x
x
1
1
1
1，
①当 0<a<1 时， >1，∴x∈(0,1)和( ，＋∞)时，f′(x)>0；x∈ a 时，f′(x)<0，
a
a
1
1
0，
，1
∴函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减，
利用导数判断含参函数的单调性
综上所述，
1
1
，＋∞
1，
当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0,1)和 a
上单调递增，在 a 上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
1
1
0，
，1
当 a>1 时，函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减．
RART 02
函数的单调性与导数
函数的单调性
思考：视察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
y y＝x
O
x
(1)
y
y＝x2
O
x
(2)
y
y＝x3
O
x
y y＝x-1
O
x
(3)
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枚 中国在近七届奥运
50 会上获得的金牌数
51
情 景
45
引
40
入
35
32
30
28
25
20 15
15
16 16
10
5
5 23 24 25 26 27 28 29 届
德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据
时间间隔 刚刚记忆完毕
20分钟之后 1小时之后 8-9小时之后
1天后 2天后 6天后 一个月后
…
记忆保持量 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% …
则f(x1)= x12 , f(x2)= x22
x
0 x1 x2
任意x1 x2,都有 x12 x22
任意x1 x2,都有 f (x1) f (x2)
∴函数 f(x)=x2 在(0,+∞)上是增函数.
定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为I:
y
y=f(x)
f(x1) o x1 y
f(x2) x2 x
因为 x1、x2 不具有任意性.
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为I:
y=f(x)
f(x1)
o x1 y
f(x2) x2 x
如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数.
如果对于定义域I内某个区间D上的
如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数.
如果对于定义域I内某个区间D上的
y=f(x) f(x1) f(x2)
任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是减函数.
例1. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)
的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一 单调区间上, 函数是增函数还是减函数？
y
3 y f (x)
2
-3 -2 -1 1
-5 -4
-1 O 1 2 3 4 5 x
-2
解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1) ，[1，3), [3，5]. 其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数； 在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.
4
o
x
1
x
-2 -1 O 1 2
(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小
当x增大时f(x)随着增大 (0,+∞)上当x增大时f(x)随着增大
函数在R上是增函数 函数在(-∞,0]上是减函数
函数在(0,+∞)上是增函数
y
函数 f(x)=x2 :
f (x2)
在(0,+∞)上任取 x1、x2 ,
f (x1)
在(-∞,0)上是__减__函数
在(0,+∞)上是_减___函数
y
f (x1)
f
(x)
1 x
f (x2)
O x1 x2 x
在 (0,+∞) 上任取 x1、 x2
当x1< x2时，都有f(x1) > f(x2)
取自变量－1< 1，
而 f(－1) < f(1)
y
-1 1
f
(x)
1 x
O1
x
-1
∴不能说 y 1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数
x2 x
如果对于定义域I内某个区间D上的
任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数.
y
如果对于定义域I内某个区间D上的
y=f(x) f(x1) f(x2)
任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是减函数.
o x1
x2
x
x1、x2的三大特征：①属于同一区间
②任意性 ③有大小: 通常规定 x1＜x2
反比例函数 y 1 ： x
在(-∞,0)上是__减__函数
在(0,+∞)上是_减___函数
y
1 -2 -1
f
( x)
1 x
O 1 2x
-1
问:能否说 y 1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数?
函数 y 1 ： x
说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可.
例2.利用定义：
证明函数 f (x) 2x 3 在R上是减函数.
证明：设 x1 , x2 是R上任意两个值，且 x1 ，x2
则 f (x1) f (x2)(2x13)(2x2 3) 设值
2(x1 x2 )
作差变形
∵ x1 x2 , ∴ x1 x2 0,
结
课堂练习
证明函数
f
(x)
k x
(k为负的常数)
在区间（0,+∞）上是增函数.
结
证明函数 y k (k 0)在区间(0,+∞)上是增函数 x
证:设 x1, x2是(0,+∞)上任意两个值且x1 x2 ,
f
(x1)
f
(x2)
kk x1 x2
k
x2 x1 x1x2
设值
∵ 0 x1 x2 , 且 k 0
判断差符号
2(x1x2)0 , ∴ f (x1) f (x2)0 ,
即 f (x1) f (x2 ).
∴函数 f (x) 2x3在R上是减函数． 下结论
骤
证明函数单调性的步骤：
1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2 2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形； 3.判断差符号:确定f(x1)-f(x2)的正负； 4.下结论:由定义得出函数的单调性.
作差变形
∴ x2 x1 0 , x1x2 0
∴ f (x1) f (x2)0 ,
判断差符号
即 f (x1) f (x2).
下结论
∴
f
(
x)
k x
在区间(0,+∞)上是增函数．
课堂小结 1.增函数、减函数的定义:
定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为I:
y
y=f(x)
f(x2) f(x1)
o x1
艾宾浩斯记忆遗忘曲线
记忆保持量 （百分数）
100
80
60
40
20
天数
O
2 34 5 6
学习新课
观察下列函数的图象，回答当自变量 x
的值增大时,函数值 f (x)是如何变化的？
(1) f (x) x1
y
(2) f (x) x2
y4
o 1x
1
-2 -1 0 1 2 x
(1) f (x) x1
y
(2) f (x) x2 y
y=f(x)
任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当
f(x1) f(x2)
x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是减函数.
o x1 x2 x
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，
那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)
单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间.
50 会上获得的金牌数
51
情 景
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40
入
35
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20 15
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16 16
10
5
5 23 24 25 26 27 28 29 届
德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据
时间间隔 刚刚记忆完毕
20分钟之后 1小时之后 8-9小时之后
1天后 2天后 6天后 一个月后
…
记忆保持量 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% …
则f(x1)= x12 , f(x2)= x22
x
0 x1 x2
任意x1 x2,都有 x12 x22
任意x1 x2,都有 f (x1) f (x2)
∴函数 f(x)=x2 在(0,+∞)上是增函数.
定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为I:
y
y=f(x)
f(x1) o x1 y
f(x2) x2 x
因为 x1、x2 不具有任意性.
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为I:
y=f(x)
f(x1)
o x1 y
f(x2) x2 x
如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数.
如果对于定义域I内某个区间D上的
如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数.
如果对于定义域I内某个区间D上的
y=f(x) f(x1) f(x2)
任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是减函数.
例1. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)
的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一 单调区间上, 函数是增函数还是减函数？
y
3 y f (x)
2
-3 -2 -1 1
-5 -4
-1 O 1 2 3 4 5 x
-2
解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1) ，[1，3), [3，5]. 其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数； 在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.
4
o
x
1
x
-2 -1 O 1 2
(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小
当x增大时f(x)随着增大 (0,+∞)上当x增大时f(x)随着增大
函数在R上是增函数 函数在(-∞,0]上是减函数
函数在(0,+∞)上是增函数
y
函数 f(x)=x2 :
f (x2)
在(0,+∞)上任取 x1、x2 ,
f (x1)
在(-∞,0)上是__减__函数
在(0,+∞)上是_减___函数
y
f (x1)
f
(x)
1 x
f (x2)
O x1 x2 x
在 (0,+∞) 上任取 x1、 x2
当x1< x2时，都有f(x1) > f(x2)
取自变量－1< 1，
而 f(－1) < f(1)
y
-1 1
f
(x)
1 x
O1
x
-1
∴不能说 y 1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数
x2 x
如果对于定义域I内某个区间D上的
任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数.
y
如果对于定义域I内某个区间D上的
y=f(x) f(x1) f(x2)
任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是减函数.
o x1
x2
x
x1、x2的三大特征：①属于同一区间
②任意性 ③有大小: 通常规定 x1＜x2
反比例函数 y 1 ： x
在(-∞,0)上是__减__函数
在(0,+∞)上是_减___函数
y
1 -2 -1
f
( x)
1 x
O 1 2x
-1
问:能否说 y 1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数?
函数 y 1 ： x
说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可.
例2.利用定义：
证明函数 f (x) 2x 3 在R上是减函数.
证明：设 x1 , x2 是R上任意两个值，且 x1 ，x2
则 f (x1) f (x2)(2x13)(2x2 3) 设值
2(x1 x2 )
作差变形
∵ x1 x2 , ∴ x1 x2 0,
结
课堂练习
证明函数
f
(x)
k x
(k为负的常数)
在区间（0,+∞）上是增函数.
结
证明函数 y k (k 0)在区间(0,+∞)上是增函数 x
证:设 x1, x2是(0,+∞)上任意两个值且x1 x2 ,
f
(x1)
f
(x2)
kk x1 x2
k
x2 x1 x1x2
设值
∵ 0 x1 x2 , 且 k 0
判断差符号
2(x1x2)0 , ∴ f (x1) f (x2)0 ,
即 f (x1) f (x2 ).
∴函数 f (x) 2x3在R上是减函数． 下结论
骤
证明函数单调性的步骤：
1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2 2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形； 3.判断差符号:确定f(x1)-f(x2)的正负； 4.下结论:由定义得出函数的单调性.
作差变形
∴ x2 x1 0 , x1x2 0
∴ f (x1) f (x2)0 ,
判断差符号
即 f (x1) f (x2).
下结论
∴
f
(
x)
k x
在区间(0,+∞)上是增函数．
课堂小结 1.增函数、减函数的定义:
定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为I:
y
y=f(x)
f(x2) f(x1)
o x1
艾宾浩斯记忆遗忘曲线
记忆保持量 （百分数）
100
80
60
40
20
天数
O
2 34 5 6
学习新课
观察下列函数的图象，回答当自变量 x
的值增大时,函数值 f (x)是如何变化的？
(1) f (x) x1
y
(2) f (x) x2
y4
o 1x
1
-2 -1 0 1 2 x
(1) f (x) x1
y
(2) f (x) x2 y
y=f(x)
任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当
f(x1) f(x2)
x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是减函数.
o x1 x2 x
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，
那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)
单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间.