6.2定积分性质
定积分的性质
x, x Δ i
x , x Δ i
g i
Mif Mig .
于是
i T
fg
x i M i x i M x i
f
M i f xi M ig xi
最小值 m. 由于 m f ( x ) M , x [a , b], 因此
m(b a ) mdx f ( x )dx
a a
b
b
Mdx M (b a ),
a
b
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即
1 b m a f ( x )dx M . ba
由连续函数的介值性定理， [a , b], 使 1 b f ( ) a f ( x )dx. ba
T g i
T
2M
.
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令T T T ( T 表示把 T 与 T 的所有分割点合
并而成的新分割 ), 则
ifg sup f ( x) g( x) f ( x) g( x)
sup g( x) f ( x) f ( x)
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分割 , 且
f ( )Δx f ( )Δx f ( )Δx .
i i T T i i T i i
令 T 0, 则 T 0, T 0, 即得
b a
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx .
可积, 且
b
a
( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx .
定积分的性质
定积分可以表示为黎曼和的形式，即将区间[a,b]分成若干小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，并取小区间 的左端点$x_{i-1}$和右端点$x_i$作为积分的下限和上限，然后对每个小区间上的函数值$f(x_i)$进行求和，最后 将所有小区间的和再乘以$\Delta x$得到定积分的值。
对于任意实数$k_1, k_2$，有$\int (k_1f(x) + k_2g(x)) dx = k_1 \int f(x) dx + k_2 \int g(x) dx$
常数倍
对于任意实数$k$，有$\int kf(x) dx = k \int f(x) dx$
区间可加性
区间可加
对于任意分割$a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$，有$\int_{a}^{b}f(x) dx = \sum_{i=0}^{n-1} \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x) dx$
利用定积分的性质
如果$f(x) \geq g(x)$，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx \geq
\int_{a}^{b}g(x)dx$。
利用定积分的性质
如果$f(x) = g(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}g(x)dx$。
04
定积分的极限性质
定积分的性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于常数$c$和$d$，有$\int_{a}^{b} (c\varphi_1(x) + d\varphi_2(x)) dx = c\int_{a}^{b} \varphi_1(x) dx + d\int_{a}^{b} \varphi_2(x) dx$。
6.2定积分的性质
a c b 时,
因
在
上可积 ,
于是
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,
[a , b]
f ( i )x i f ( i )x i f ( i )x i [ a , c] [c , b] y
令 0
c b b
y f ( x)
a
f ( x ) dx f ( x ) dx c f ( x ) dx
a
O
A
a
B
性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这
个性质可以用于求分段函数的定积分.
数学教研室
c
b
x
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx
当c在区间[a,b] 之外时，上面表达式也成立. 当 c a b时 证: 当 a b c 时 y f ( x) y f ( x)
b 1dx a
b dx a
ba
数学教研室
性质5 如果在区间[a, b]上 f(x)0, 则
f ( x ) dx 0 ( a b)
b a
y f ( x)
y
A
a 推论1 如果在区间[a, b]上 f(x)g(x), 则
O
b
y g ( x)
x
f ( x ) dx
f()
b a
数学教研室
说明:
• 积分中值定理对
• 可把
a
b
f ( x ) dx ba
f ( )
因
y
y f ( x)
O a
b x
1 n lim f ( i ) n n i 1
定积分的概念与性质
t = b所经过的路程 s.
15
定积分的概念与性质
四、关于函数的可积性
当函数
称()在区间 [, ]上
∈ [, ].
定理1
的定积分存在时
可积.或 ,黎曼可积,记为
()在区间 [, ]上
黎曼 德国数学家(1826–1866)
设()在[, ]上连续,
则()在[, ]上
න
න
25
定积分的概念与性质
性质5 如果在区间
则
性质5的推论1
如果在区间
则
证
[, ]上
[, ]上
න (); )
() ≤ (),
( < )
න () ≤ න ()
∵ () ≤ ()
∴ () − () ≥ 0
= − −1 , ( = 1,2, ⋯ , ),
在各小区间上任取
一点 ( ∈ ), 作乘积
(3)
并作和 = ( )
=1
(4)
= max 1 , 2 , ⋯ , ,
记
( ) ( = 1,2, ⋯ , )
在 x 轴上方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积
取负号.
()
+
+
−
14
定积分的概念与性质
例
解
y
求න
න
1 − 2
1 − 2 =
4
1
o
=
1
1 − 2
x
2. 物理意义
当() ≥ 0时,
= ()
定积分
න ()
表示以变速
作直线运动的物体从时刻 t = a 到时刻
掌握定积分概念及基本性质
供需关系研究
通过定积分，可以研究市 场供需关系的变化。
投资回报分析
在金融领域，定积分可以 用来分析投资回报率的变 化。
05
掌握定积分的重要性
在数学中的地位
连接微积分两大核心概念
定积分与微积分息息相关，是微积分理论体系的重要组成部分， 掌握了定积分，就等于掌握了微积分的一半。
深化对极限概念的理解
定积分与极限概念紧密相连，掌握定积分有助于更深入地理解极限 的内涵和应用。
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的核心公式，它表示为∫baf(t)dt=F(b)-F(a)，其中∫baf(t)dt表示函数f(t) 在区间[a, b]上的定积分，F(x)表示f(t)的原函数，即满足F'(x)=f(x)的函数。该公式通过选取合适的分割和 近似方式，将定积分转化为一系列小矩形面积之和，最后求和得到定积分的值。
为后续课程奠定基础
定积分是学习复变函数、实变函数等后续课程的基础，对于数学专 业的学生来说至关重要。
在其他学科中的应用价值
物理学中的应用
在物理学中，定积分常用于计算 面积分，例如在计算电磁场、引
力场等物理量的分布时。
工程学科中的应用
在工程学科中，定积分常用于解 决与几何形状、物理量分布等有 关的实际问题，如机械工程、土
定积分的几何意义
定积分的几何意义是函数图像与x轴所夹的面积。具体来说，将定积分表示的函 数图像与x轴围成的面积，即为定积分的值。
定积分的几何意义还可以理解为曲线与x轴所夹的“曲边梯形”的面积。这个曲 边梯形的高就是函数值，底就是x轴上的区间。
定积分的物理意义
定积分的物理意义是表示某个物理量在某个时间段或某个 区间内的累积效应。例如，物体的质量分布不均匀，其质 心位置可以通过对质量分布函数进行定积分来求解。
(整理版)揭示定积分的性质
揭示定积分的性质定积分内容是研究曲边梯形、变速行程等问题的有力工具，在对定义加深理解的根底上，我们还应了解一些定积分的根本性质.〔由于这些性质的证明联系到大学《数学分析》的一些内容，所以对证明过程不作要求.〕一、定积分根本性质假设下面所涉及的定积分都是存在的，那么有性质１ 函数代数和〔差〕的定积分等于它们的定积分的代数和〔差〕. 即[()()]()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰． 这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号前.即()()b ba a kf x dx k f x dx =⎰⎰〔k 为常数〕． 性质3 不管abc ，，三点的相互位置如何，恒有()()()b c ba a c f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰． 这性质说明定积分对于积分区间具有可能性．性质4 假设在区间[]a b ，上，()0f x ≥，那么()0ba f x dx ⎰≥． 推论1 假设在区间[]ab ，上，()()f x g x ≤，那么()()b ba a f x dx g x dx ⎰⎰≤． 推论2 ()()bba a f x dx f x dx ⎰⎰≤． 性质5 〔估值定理〕设函数()f x 在区间[]ab ，上的最小值与最大值分别为m 与M ，那么()()()ba mb a f x dx M b a --⎰≤≤． 证明：因为()m f x M ≤≤，由性质推论1得()b b ba a a mdx f x dx Mdx ⎰⎰⎰≤≤． 即()b b ba a a m dx f x dx M dx ⎰⎰⎰≤≤． 故()()()ba mb a f x dx M b a --⎰≤≤． 利用这个性质，由被积函数在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围.二、定积分性质的应用例1 比拟定积分20x e dx -⎰和20xdx -⎰的大小． 解：令()x f x e x =-，[20]x ∈-，，那么()0f x >， 故02()0f x dx ->⎰，即02()0x e x dx -->⎰．022x e dx xdx -->⎰⎰，从是2200x e dx xdx --<⎰⎰． 例2 估计定积分π30212sin dx x +⎰的值．解：∵当[0π]x ∈，时，0sin 1x ≤≤，320sin 1∴≤≤，由此有3222sin 3x +≤≤，32111322sin x +≤≤， 于是由估值定理有π302π1π322sin dx x +⎰≤≤． 评注：例１是比拟同区间上两个定积分的大小，可以直接求值进行比拟，但本例的构造函数，利用性质比拟防止了大量计算，显得简捷、明了.例２中运用的估值定理为大学涉及内容，不作要求，可以了解.。
定积分知识点总结[汇编]
![定积分知识点总结[汇编]](https://img.taocdn.com/s3/m/fb5a49d89f3143323968011ca300a6c30c22f108.png)
定积分知识点总结[汇编]一、定积分定义定积分是一种数学概念，它表示函数在一定区间内的面积或体积。
如果将定积分定义为数学公式，则其表示为：∫abf(x)dx其中，a和b是定积分的区间，f(x)是积分被积函数，dx表示积分的自变量。
二、定积分的性质定积分具有以下性质：1. 定积分与区间无关性如果一个函数在a和b两个点之间积分结果相同，则称该函数在这个区间上有定积分。
换句话说，定积分与积分的区间无关。
2. 可积性如果一个函数在一个区间上是有限的，则称该函数是“可积的”。
在这种情况下，函数的积分是一个有限的数。
如果一个函数可积，则它的积分在区间上是可加的。
4. 积分中值定理如果一个函数f在一个区间[a，b]上连续，则在这个区间上有一个c，使得积分的平均值等于函数在这个点的值。
即，其中，c位于[a，b]范围内的某个点。
三、定积分的求解方法1. 不定积分求解定积分对于给定的被积函数f(x)，可以通过求解它的不定积分F(x)来解决定积分的问题。
即，这种方法也被称为“牛顿-莱布尼茨公式”。
定积分可以通过几何方法求解。
即将定积分的积分区间分成若干小区间，计算每个小区间与x轴之间的面积，并将这些小区间的面积相加。
通过计算所有小区间的面积，可以得到整个函数曲线与x轴之间的面积。
如果无法使用解析方法求解定积分，则可以使用数值积分法来进行近似计算。
数值积分法基于面积法的原理，通过数值计算来估计定积分的值。
最常见的数值积分法包括梯形法、辛普森法和矩形法等。
定积分在数学和物理科学领域有广泛的应用。
例如：1. 确定函数之间的关系定积分可以用于确定函数之间的关系，例如求出两个函数之间的相关系数、协方差和提高回归模型。
2. 计算物体的体积通过找到物体的外形和切割平面之间的物体的截面积，可以使用定积分来计算物体的体积。
4. 计算电子包络通过使用定积分来计算电子包络的位置和波函数，可以推导出相关的量子力学方程。
6.2定积分的定义
6.2定积分的定义一个函数在两个给定的数值区间内的定积分，是该函数在这个区间内的积分值，计算出的结果被称为定积分。
更具体地说，一个函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分，可以表示为：∫baf(x)dx其中“∫”符号表示积分，a 和 b 分别代表积分区间的下限和上限，f(x) 则是积分函数。
该积分的意义是根据被积函数在给定区间内的变化情况，计算出该函数在这个区间内的总面积。
在数学中，定积分是微积分学的一个重要概念，与导数和微分形成了微积分学的两大支柱。
定积分能够被广泛地应用于工程、物理学和经济学等领域，它可以描述诸如速度、加速度、质量、距离等特定量的变化情况。
如何计算定积分？要计算定积分的值，一般需要找到原函数并进行求积。
原函数指的是函数的反导函数，也被称为不定积分。
通过原函数的求解，可以确定定积分的上下限区间并计算面积。
当然，如果涉及到一些复杂的函数，则需要使用数值积分的方法进行近似计算。
具体地，以下是一些常见的计算定积分的方法：1.换元积分法：将原来的变量代入一个新的变量中，将函数变为新变量的函数，从而化简被积函数。
2.分部积分法：将被积函数分解成两个函数的乘积形式，以便更好地求积。
3.二重积分法：将复杂函数分解成多个简单函数的乘积形式，然后将每个简单函数的积分结果加总起来。
4.数值积分法：将定积分转换为一个积分估计值，并通过数值计算或近似方法来获得这个估计值。
这些方法虽然不同，但它们都旨在帮助解决定积分问题，并且在不同的场合中均可应用。
定积分的应用定积分不仅仅是用于解决简单的数学问题，它还在很多实际应用中有着广泛的应用。
1.物理学：定积分可以计算物理量的变化情况。
例如，利用定积分可以计算关于时间的加速度、位移、速率等物理量。
2.经济学：在经济学领域中，定积分可以用来计算不同时期经济总量的增长情况。
例如，可以用定积分来计算某个国家的国内生产总值（GDP）。
3.工程学：工程师经常需要计算建筑物、结构、燃料效率等的总体效益。
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第六章 定积分及其应用
第2节定积分的性质
定积分性质
定积分性质
一、定积分性质1-5
证
[()()]d b a
f x
g x x
±⎰
i
i i n
i x g f ∆±=∑=→)]()([lim 1
0ξξλi i n
i x f ∆=∑=→)(lim 1
0ξλi
i n
i x g ∆±∑=→)(lim 1
0ξλ()d b a
f x x =
⎰
()d .
b
a
g x x ±⎰（此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况）
性质1
证
()d b a
kf x x ⎰
i
i n
i x kf ∆=∑=→)(lim 1
0ξλi i n
i x f k ∆=∑=→)(lim 1
ξλi
i n
i x f k ∆=∑=→)(lim 1
0ξλ()d .
b
a
k f x x =⎰性质2
补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.c b a ,,例 若,
c b a <<()
d c a
f x x ⎰
()d ()d b c
a
b
f x x f x x
=
+⎰
⎰()d b a
f x x ⎰
()d ()d c c
a b
f x x f x x
=
-⎰⎰()d ()d .
c
b
a
c
f x x f x x =
+⎰
⎰（定积分对于积分区间具有可加性）
则
假设b
c a <<性质3
证
,0)(≥x f ,0)(≥ξ∴i f ),,2,1(n i =,
0≥∆i x ,
0)(1
≥∆ξ∴
∑=i i n
i x f }
,,,max{21n x x x ∆∆∆= λi i n
i x f ∆∴∑=→)(lim 1
0ξλ()d 0.
b
a
f x x =≥⎰性质4
性质5如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，
解
令,
)(x e x f x
-=]
0,2[-∈x ,0)(>x f 02
()d 0,
x
e x x -∴
->⎰
02
d x
e x -∴
⎰
02
d ,
x x ->⎰于是
20
d x
e x -⎰
20
d .
x x -<
⎰
性质5的推论：
证
),()(x g x f ≤ ,
0)()(≥-∴x f x g [()()]d 0,b
a g x f x x ∴
-≥⎰()d ()d 0,
b
b
a
a g x x f x x -≥⎰
⎰如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤，
（1）
)
(b a <证,
)()
()(x f x f x f ≤≤- ()d ()d ()d ,
b b b
a
a
a
f x x f x x f x x ∴-≤≤⎰⎰⎰说明： 可积性是显然的.
|)(x f |在区间],[b a 上的性质5的推论：（2）
定积分性质
二、定积分性质6-7
设M 及m 分别是函数
证,
)(M x f m ≤≤ d ()d d ,b
b b a a a
m x f x x M x ∴≤≤⎰⎰⎰()()d ().
b
a m
b a f x x M b a -≤≤-⎰
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值，性质6
解,sin 31)(3x
x f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x 3000111d d ,4
33sin x x x x π
ππ≤≤+⎰⎰⎰301d .433sin x x
π
ππ∴≤≤+⎰
解,sin )(x x x f =2sin cos )(x x x x x f -='2)tan (cos x
x x x -=]2
,4[ππ∈x ,0<)(x f 在]2
,4[ππ上单调下降,故4π=x 为极大点，2
π=x 为极小点,
,22)4(π=π=f M ,2)2(π
=π=f m ,4
42π=π-π=-a b 242sin 22d ,4
4x x x ππππππ∴⋅≤≤⋅⎰241sin 2d .22
x x x ππ
∴≤≤⎰
如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，证
1()d b a
m f x x M b a ∴≤≤-⎰()()d ()
b
a m
b a f x x M b a -≤≤-⎰ 由闭区间上连续函数的介值定理知
则在积分区间],[b a 上至少存在一个点 ξ，
性质7（定积分中值定理）
积分中值公式
在区间],[b a 上至少存在一个点ξ，使1()()d ,b a
f f x x b a ξ=-⎰)
(b a ≤≤ξ在区间],[b a 上至少存在一个点ξ，
即
积分中值公式的几何解释：x y o a b ξ)(ξf 使得以区间],[b a 为以曲线)
(x f y =底边，为曲边的曲边梯形的面积
等于同一底边而高为)(ξf 的一个矩形的面积。
解由积分中值定理知有],
2,[+∈ξx x 使23sin ()d x x t f t t t +⎰),2)((3sin x x f -+ξξ
ξ=23lim sin ()d x x x t f t t t +→+∞⎰)(3sin lim 2ξξξξf +∞→=)(3lim 2ξξf +∞
→=.6=
定积分性质
三、小结与思考题
小结
１．定积分的性质
（注意估值性质、积分中值定理的应用）
２．典型问题
(1) 估计积分值；
(2) 不计算定积分比较积分大小．
思考题
思考题解答
⎩⎨⎧=为无理数，为有理数x x x f 0,1)(⎩⎨⎧=为无理数
，为有理数x x x g 1,0)
(例
THANK YOU。