定积分的基本性质
定积分的性质
x, x Δ i
x , x Δ i
g i
Mif Mig .
于是
i T
fg
x i M i x i M x i
f
M i f xi M ig xi
最小值 m. 由于 m f ( x ) M , x [a , b], 因此
m(b a ) mdx f ( x )dx
a a
b
b
Mdx M (b a ),
a
b
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即
1 b m a f ( x )dx M . ba
由连续函数的介值性定理， [a , b], 使 1 b f ( ) a f ( x )dx. ba
T g i
T
2M
.
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令T T T ( T 表示把 T 与 T 的所有分割点合
并而成的新分割 ), 则
ifg sup f ( x) g( x) f ( x) g( x)
sup g( x) f ( x) f ( x)
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分割 , 且
f ( )Δx f ( )Δx f ( )Δx .
i i T T i i T i i
令 T 0, 则 T 0, T 0, 即得
b a
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx .
可积, 且
b
a
( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx .
定积分的性质
定积分可以表示为黎曼和的形式，即将区间[a,b]分成若干小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，并取小区间 的左端点$x_{i-1}$和右端点$x_i$作为积分的下限和上限，然后对每个小区间上的函数值$f(x_i)$进行求和，最后 将所有小区间的和再乘以$\Delta x$得到定积分的值。
对于任意实数$k_1, k_2$，有$\int (k_1f(x) + k_2g(x)) dx = k_1 \int f(x) dx + k_2 \int g(x) dx$
常数倍
对于任意实数$k$，有$\int kf(x) dx = k \int f(x) dx$
区间可加性
区间可加
对于任意分割$a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$，有$\int_{a}^{b}f(x) dx = \sum_{i=0}^{n-1} \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x) dx$
利用定积分的性质
如果$f(x) \geq g(x)$，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx \geq
\int_{a}^{b}g(x)dx$。
利用定积分的性质
如果$f(x) = g(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}g(x)dx$。
04
定积分的极限性质
定积分的性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于常数$c$和$d$，有$\int_{a}^{b} (c\varphi_1(x) + d\varphi_2(x)) dx = c\int_{a}^{b} \varphi_1(x) dx + d\int_{a}^{b} \varphi_2(x) dx$。
6.2定积分的性质
a c b 时,
因
在
上可积 ,
于是
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,
[a , b]
f ( i )x i f ( i )x i f ( i )x i [ a , c] [c , b] y
令 0
c b b
y f ( x)
a
f ( x ) dx f ( x ) dx c f ( x ) dx
a
O
A
a
B
性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这
个性质可以用于求分段函数的定积分.
数学教研室
c
b
x
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx
当c在区间[a,b] 之外时，上面表达式也成立. 当 c a b时 证: 当 a b c 时 y f ( x) y f ( x)
b 1dx a
b dx a
ba
数学教研室
性质5 如果在区间[a, b]上 f(x)0, 则
f ( x ) dx 0 ( a b)
b a
y f ( x)
y
A
a 推论1 如果在区间[a, b]上 f(x)g(x), 则
O
b
y g ( x)
x
f ( x ) dx
f()
b a
数学教研室
说明:
• 积分中值定理对
• 可把
a
b
f ( x ) dx ba
f ( )
因
y
y f ( x)
O a
b x
1 n lim f ( i ) n n i 1
定积分的基本性质
������
������(������)在闭区间[������, ������]上的平均值为
������ ������ ������
������
������ ������ ������
������ ������
������
−
������
න
������
������(������)������������
微积分II
Calculus II
第七章 定积分
§7.1 定积分的概念 §7.2 定积分的基本性质 §7.3 定积分计算基本公式 §7.4 定积分基本积分方法 §7.5 反常积分 §7.6 定积分的应用
7.2 定积分的基本性质
一 知识讲解
性质1：定积分的值与积分变量用什么符号表示无关
b
b
b
a f ( x)dx = a f (t)dt = a f (u)du
t sin
3
f
(t)dt .
x→+ x
t
解 由积分中值定理知 [ x, x + 2]
使
x+2 t sin 3
x
t
f (t)dt
b
b
a 1dx = a dx = b − a
������ ������
性质7：如果在区间 [a, b]上, f ( x) g( x) ，则
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx
������ ������
二 例题演练
例一
比较大小:
(1). 2 x2dx, 1 2
(2).1 ln xdx,
s1
������ ������
定积分性质
第二节定积分的性质一、基本内容二、小结证*[()()]d baf xg x x ±∫i i i ni x g f ∆±=∑=→)]()([lim 10ξξλi i ni x f ∆=∑=→)(lim 10ξλii ni x g ∆±∑=→)(lim 10ξλ()d b af x x =∫()d .bag x x ±∫[()()]d ba f x g x x ±∫()d b af x x =∫()d bag x x ±∫.（此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况））性质性质11一、基本内容()d ()d b baakf x x k f x x =∫∫ ( k 为常数).证*()d b akf x x ∫ii ni x kf ∆=∑=→)(lim 10ξλi i ni x f k ∆=∑=→)(lim 1ξλii ni x f k ∆=∑=→)(lim 10ξλ()d .bak f x x =∫性质性质22()d baf x x ∫()d ()d cbacf x x f x x =+∫∫.补充：不论的相对位置如何, 上式总成立.c b a ,,例若,c b a <<()d caf x x ∫()d ()d b cabf x x f x x=+∫∫()d baf x x ∫()d ()d c cabf x x f x x=−∫∫()d ()d .c bacf x x f x x =+∫∫（定积分对于积分区间具有可加性定积分对于积分区间具有可加性））则假设bc a <<性质性质331d b ax ⋅∫d bax =∫a b −=.则()d 0baf x x ≥∫. )(b a <证*,0)(≥x f ∵,0)(≥ξ∴i f ),,2,1(n i ⋯=,0≥∆i x ∵,0)(1≥∆ξ∴∑=i i ni x f },,,max{21n x x x ∆∆∆=⋯λi i ni x f ∆∴∑=→)(lim 10ξλ()d 0.baf x x =≥∫性质性质44性质性质55如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，例1 比较积分值2d xe x −∫和2d x x −∫的大小.解令,)(x e x f x−=]0,2[−∈x ,0)(>x f ∵02()d 0,xe x x −∴−>∫2d xe x −∴∫02d ,x x −>∫于是20d xe x −∫20d .x x −<∫性质性质55的推论的推论：：证),()(x g x f ≤∵,0)()(≥−∴x f x g [()()]d 0,ba g x f x x ∴−≥∫()d ()d 0,bbaag x x f x x −≥∫∫于是()d baf x x ∫()d bag x x ≤∫.则()d baf x x ∫()d bag x x ≤∫. ()a b <如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤，（1）()d baf x x ∫()d baf x x ≤∫.)(b a <证,)()()(x f x f x f ≤≤−∵()d ()d ()d ,b b baaaf x x f x x f x x ∴−≤≤∫∫∫即()d baf x x ∫()d baf x x≤∫说明说明：：可积性是显然的.|)(x f |在区间],[b a 上的性质性质55的推论的推论：：（2）设M 及m 分别是函数证,)(M x f m ≤≤∵d ()d d ,bb baaam x f x x M x ∴≤≤∫∫∫()()d ().b am b a f x x M b a −≤≤−∫（此性质可用于估计积分值的大致范围此性质可用于估计积分值的大致范围））则 ()()d ()bam b a f x x M b a −≤≤−∫.)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值上的最大值及最小值，，性质性质66例2 估计积分301d 3sin x xπ+∫的值. 解,sin 31)(3xx f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x 3000111d d d ,433sin x x x xπππ≤≤+∫∫∫31d .433sin x xπππ≤∴≤+∫例 3 估计积分∫ππ24sin x dx 的值. xπ π x ∈[ , ] 4 2sin x 解 f ( x) = , xx cos x − sin x cos x ( x − tan x ) f ′( x ) = = < 0, 2 2 x xπ π f ( x ) 在 [ , ] 上单调下降, 4 2π π 故 x = 为最大点， 大点， x = 为最小点, 4 2π 2 2 M = f( )= , 4 ππ 2 m= f( )= , 2 ππ π π ∵ b−a = − = , 2 4 42 π sin x 2 2 π 2 dx ≤ ⋅ , ∴ ⋅ ≤ ∫π x π 4 π 4 4π 1 sin x 2 2 dx ≤ . ∴ ≤ ∫π 2 x 2 4 π性质7 性质7（定积分中值定理） 定积分中值定理）如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b]上连续， 上连续，则在积分区间 [ a , b ]上至少存在一个 点 ξ ，使 ∫ f ( x )dx = f (ξ )(b − a ) .ab(a ≤ ξ ≤ b)积分中值公式证∵ m (b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a )abb 1 f ( x )dx ≤ M ∴ m≤ ∫ b−a a由闭区间上连续函数的介值定理知在区间 [a , b] 上至少存在一个点 ξ ，使 即b 1 f (ξ ) = f ( x )dx , ∫ b−a a∫b af ( x )d x = f (ξ )( b − a ) . ( a ≤ ξ ≤ b )积分中值公式的几何解释： 积分中值公式的几何解释：yf (ξ )在区间[a , b]上至少存在一 使得以区间[a , b]为 个点ξ ， 底边， 底边， 以曲线 y = f ( x ) 为曲边的曲边梯形的面积oa ξ等于同一底边而高为 f (ξ ) b x 的一个矩形的面积。
数学分析9.4定积分的性质
第九章 定积分 4 定积分的性质一、定积分的基本性质性质1：若f 在[a,b]上可积，k 为常数，则kf 在[a,b]上也可积，且⎰bakf(x )dx=k ⎰baf(x )dx.证：当k=0时结论成立. 当k ≠0时，∵f 在[a,b]上可积，记J=⎰ba f(x )dx ， ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k |ε； 又|i n 1i i x △)ξ(kf ∑=-kJ|=|k|·|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k|·|k |ε=ε，∴kf 在[a,b]上可积， 且⎰b a kf(x )dx=k ⎰ba f(x )dx.性质2：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±bag(x )][f(x )dx=⎰b af(x )dx ±⎰bag(x )dx.证：∵f,g 都在[a,b]上可积，记J 1=⎰ba f(x )dx ，J 2=⎰ba g(x )dx. ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，有|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|<2ε，|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2|<2ε.又|i n1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=+-(J 1+J 2) |=|(i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+(i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|≤|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε；|i n 1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=--(J 1-J 2) |=|(i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+( J 2-i n1i i x △)ξ(g ∑=)|≤|i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε.∴f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±b a g(x )][f(x )dx=⎰b a f(x )dx ±⎰ba g(x )dx.注：综合性质1与性质2得：⎰±ba βg(x )]αf(x ) [dx=α⎰b a f(x )dx ±β⎰ba g(x )dx.性质3：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ·g 在[a,b]上也可积.证：由f,g 都在[a,b]上可积，从而都有界，设A=]b ,a [x sup ∈|f(x)|，B=]b ,a [x sup ∈|g(x)|，当AB=0时，结论成立；当A>0,B>0时，任给ε>0，则存在分割T ’,T ”， 使得∑'T i i f x △ω<B 2ε，∑''T i i g x △ω<A 2ε. 令T=T ’+T ”，则对[a,b]上T 所属的每一个△i ，有 ωi f ·g =]b ,a [x ,x sup ∈'''|f(x ’)g(x ’)-f(x ”)g(x ”)|≤]b ,a [x ,x sup ∈'''[|g(x ’)|·|f(x ’)-f(x ”)|+|f(x ”)|·|g(x ’)-g(x ”)|]≤B ωi f +A ωi g .又∑⋅Ti g f i x △ω≤B ∑Ti f i x △ω+A ∑Ti g i x △ω≤B ∑'T i f i x △ω+A ∑''T i g i x △ω<B ·B 2ε+A ·A2ε=ε. ∴f ·g 在[a,b]上可积.注：一般情形下，⎰ba f(x )g(x )dx ≠⎰b af(x )dx ·⎰bag(x )dx.性质4：f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给c ∈(a,b)，f 在[a,c]与[c,b]上都可积. 此时又有等式：⎰ba f(x )dx=⎰c a f(x )dx+⎰bc f(x )dx. 证：[充分性]∵f 在[a,c]与[c,b]上都可积.∴任给ε>0，分别存在对[a,c]与[c,b]的分割T ’,T ”，使得∑'''T i i x △ω<2ε，∑''''''T i i x △ω<2ε. 令[a,b]上的分割T=T ’+T ”，则有∑Tiix△ω=∑'''Tiix△ω+∑''''''Tiix△ω<2ε+2ε=ε，∴f在[a,b]上可积.[必要性]∵f在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在[a,b]上的某分割T，使∑Tiix△ω<ε. 在T上增加分点c，得分割T⁰，有∑︒︒︒Tiix△ω≤∑Tiix△ω<ε.分割T⁰在[a,c]和[c,b]上的部分，分别构成它们的分割T’和T”，则有∑'' 'Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∑''''''Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∴f在[a,c]与[c,b]上都可积.又有∑︒︒︒Tiix)△f(ξ=∑'''Tiix)△ξf(+∑''''''Tiix)△ξf(，当║T⁰║→0时，同时有║T’║→0，║T”║→0，对上式取极限，得⎰b a f(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx. (关于积分区间的可加性)规定1：当a=b时，⎰baf(x)dx=0；规定2：当a>b时，⎰baf(x)dx=-⎰a b f(x)dx；以上规定，使公式⎰baf(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx对于a,b,c的任何大小顺都能成立.性质5：设f在[a,b]上可积. 若f(x)≥0, x∈[a,b]，则⎰baf(x)dx≥0. 证：∵在[a,b]上f(x)≥0，∴f的任一积分和都为非负.又f在[a,b]上可积，∴⎰ba f(x)dx=in1iiTx△)f(ξlim∑=→≥0.推论：(积分不等式性)若f,g在[a,b]上都可积，且f(x)≤g(x), x∈[a,b]，则有⎰baf(x)dx≤⎰b a g(x)dx.证：记F(x)=g(x)-f(x)≥0, x ∈[a,b]，∵f,g 在[a,b]上都可积，∴F 在[a,b]上也可积.∴⎰b a F(x )dx=⎰b a g(x )dx-⎰b a f(x )dx ≥0，即⎰b a f(x )dx ≤⎰ba g(x )dx.性质5：若f 在[a,b]上可积，则|f|在[a,b]上也可积，且 |⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在分割T ，使∑Ti i f x △ω<ε，由不等式||f(x 1)|-|f(x 2)||≤|f(x 1)-f(x 2)|可得i ||f ω≤i f ω， ∴∑Ti i ||f x △ω≤∑Ti i f x △ω<ε，∴|f|在[a,b]上可积.又-|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|，∴|⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.例1：求⎰11-f(x )dx ，其中f(x)= ⎩⎨⎧<≤<≤.1x 0 ，e ，0x 1-1-2x x-， 解：⎰11-f(x )dx=⎰01-f(x )dx+⎰10f(x )dx=(x 2-x)01-+(-e -x )10=-2-e -1+1=-e -1-1.例2：证明：若f 在[a,b]上连续，且f(x)≥0，⎰ba f(x )dx =0，则 f(x)≡0, x ∈[a,b].证：若有x 0∈[a,b], 使f(x 0)>0，则由连续函数的局部保号性， 存在的x 0某邻域U(x 0,δ)（当x 0=a 或x 0=b 时，则为右邻域或左邻域）， 使f(x)≥21f(x 0)>0，从而有⎰baf(x )dx =⎰δ-x a0f(x )dx+⎰+δx δ-x 00f(x)dx+⎰+bδx 0f(x)dx ≥0+⎰+δx δ-x 0002)f(x dx+0=δf(x 0)>0， 与⎰ba f(x )dx =0矛盾，∴f(x)≡0, x ∈[a,b].二、积分中值定理定理：(积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点 ξ∈[a,b]，使得⎰ba f(x )dx =f(ξ)(b-a).证：∵f 在[a,b]上连续，∴存在最大值M 和最小值m ，由 m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]，得m(b-a)≤⎰ba f(x )dx ≤M(b-a)，即m ≤⎰baf(x)a -b 1dx ≤M. 又由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=⎰baf(x)a -b 1dx ，即⎰b a f(x )dx =f(ξ)(b-a).积分第一中值定理的几何意义：(如图)若f 在[a,b]上非负连续，则y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积等于以f(ξ)为高，[a,b]为底的矩形面积.⎰ba f(x)a-b 1dx 可理解为f(x)在[a,b]上所有函数值的平均值.例3：试求f(x)=sinx 在[0,π]上的平均值. 解：所求平均值f(ξ)=⎰π0f(x)π1dx=π1(-cosx)π0|=π2.定理：(推广的积分第一中值定理)若f 与g 在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =f(ξ)⎰bag(x )dx.证：不妨设g(x)≥0, x ∈[a,b]，M,m 分别为f 在[a,b]上的最大,最小值. 则有mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x), x ∈[a,b]，由定积分的不等式性质，有 m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰b a g(x )dx. 若⎰ba g(x )dx=0，结论成立.若⎰bag(x )dx>0，则有m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰，即g(x )f(x )b a ⎰dx =f(ξ)⎰ba g(x )dx.习题1、证明：若f 与g 在[a,b]上可积，则i n1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f ， 其中ξi , ηi 是△i 内的任意两点. T={△i }, i=1,2,…,n.证：f 与g 在[a,b]上都可积，从而都有界，且fg 在[a,b]上可积. 设|f(x)|<M, x ∈[a,b]，则对[a,b]上任意分割T ，有in 1i iix △))g(ηf(ξ∑==in1i iiiix△)]g(ξ-)g(η))[g(ξf(ξ∑=+=i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+i g in1i i x △ω)f(ξ∑=≤i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i x △))g(ηf(ξ∑=-i n 1i i i x △))g(ξf(ξ∑=|≤M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→-i n 1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→|≤0T lim →M i n1i g i x △ω∑==0 ∴i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=i n1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f .2、不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小.(1)⎰10x dx 与⎰102x dx ；(2)⎰2π0x dx 与⎰2π0sinx dx.解：(1)∵x>x 2, x ∈(0,1)，∴⎰10x dx>⎰102x dx.(2)∵x>sinx, x ∈(0,2π]，∴⎰2π0x dx>⎰2π0sinx dx.3、证明下列不等式：(1)2π<⎰2π02x sin 21-1dx <2π；(2)1<⎰10x 2e dx<e ；(3)1<⎰2π0x sinx dx<2π；(4)3e <⎰4e e xlnx dx<6. 证：(1)∵1<x sin 21-112<21-11=2, x ∈(0,2π)；∴⎰2π0dx <⎰2π02x sin 21-1dx <⎰2π02dx ，又⎰2π0dx =2π；⎰2π02dx=2π； ∴2π<⎰2π2x sin 21-1dx<2π.(2)∵1<2x e <e, x ∈(0,1)；∴1=⎰10dx <⎰10x 2e dx<⎰10edx =e.(3)∵π2<x sinx <1，x ∈(0,2π)；∴1=⎰2π0dx π2<⎰10x2e dx<⎰2π0dx =2π.(4)令'⎪⎭⎫ ⎝⎛x lnx =x 2lnx -2=0，得x lnx 在[e,4e]上的驻点x=e 2,又e x x lnx ==e 1，e 4x x lnx ==e 2ln4e ，∴在[e,4e]上e 1<x lnx <22elne =e 2；∴3e =⎰4eee1dx <⎰4eexlnx dx<⎰4eee2dx =6.4、设f 在[a,b]上连续，且f(x)不恒等于0. 证明：⎰ba 2[f(x )]dx>0. 证：∵f(x)不恒等于0；∴必有x 0∈[a,b]，使f(x 0)≠0. 又由f 在[a,b]上连续，必有x ∈(x 0-δ, x 0+δ)，使f(x)≠0，则⎰+δx δ-x 200f >0，∴⎰ba 2[f(x )]dx=⎰δ-x a20f +⎰+δx δ-x 200f +⎰+b δx 20f =⎰+δx δ-x 200f +0>0.注：当x 0为a 或b 时，取单侧邻域.5、若f 与g 都在[a,b]上可积，证明：M(x)=b][a,x max ∈{f(x),g(x)}，m(x)=b][a,x min ∈{f(x),g(x)}在[a,b]上也都可积.证：M(x)=21(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)；m(x)=21(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|). ∵f 与g 在[a,b]上都可积，根据可积函数的和、差仍可积，得证.6、试求心形线r=a(1+cos θ), 0≤θ≤2π上各点极径的平均值.解：所求平均值为：f(ξ)=⎰2π0a 2π1(1+cos θ)d θ=2πa(θ+sin θ)2π=a.7、设f 在[a,b]上可积，且在[a,b]上满足|f(x)|≥m>0. 证明：f1在[a,b]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，有∑Ti i x △ω<m 2ε.任取x ’,x ”∈△i ，则)x f(1''-)x f(1'=)x )f(x f()x f(-)x f(''''''≤2i mω.设f1在△i 上的振幅为ωi -，则ωi -≤2imω. ∴∑Ti -i x △ω≤∑Ti i 2x △ωm 1<2m1·m 2ε=ε，∴f 1在[a,b]上也可积.8、证明积分第一中值定理(包括定理和中的中值点ξ∈(a,b). 证：设f 在[a,b]的最大值f(x M )=M, 最小值为f(x m )=m ， (1)对定理：当m=M 时，有f(x)≡m, x ∈[a,b]，则ξ∈[a,b]. 当m<M 时，若m(b-a)=⎰b a f(x )dx ，则⎰ba m]-[f(x )dx=0，即f(x)=m ， 而f(x)≥m ，∴必有f(x)≡m ，矛盾. ∴⎰ba f(x )dx >m(b-a). 同理可证：⎰ba f(x )dx <M(b-a).(2)对定理：不失一般性，设g(x)≥0, x ∈[a,b]. 当m=M 或g(x)≡0, x ∈[a,b]时，则ξ∈[a,b].当m<M 且g(x)>0, x ∈[a,b]时，若M ⎰ba g dx-⎰ba fg dx=⎰ba f)g -(M dx=0， 由(M-f)g ≥0，得(M-f)g=0. 又g(x)>0，∴f(x)≡M ，矛盾. ∴⎰ba fg dx <M ⎰ba g dx. 同理可证：⎰ba fg dx>m ⎰ba g dx. ∴不论对定理还是定理，都有ξ≠x M 且ξ≠x m .由连续函数介值定理，知ξ∈(x m ,x M )⊂(a,b)或ξ∈(x M ,x m )⊂(a,b)，得证.9、证明：若f 与g 都在[a,b]上可积，且g(x)在[a,b]上不变号，M,m 分别为f(x)在[a,b]上的上、下确界，则必存在某实数μ∈[m,M]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =μ⎰bag(x )dx.证：当g(x)≡0, x ∈[a,b]时，g(x )f(x )ba ⎰dx =μ⎰bag(x )dx=0.当g(x)≠0时，不妨设g(x)>0，∵m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]， ∴m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰bag(x )dx ，即m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.∴必存在μ∈[m,M]，使g(x )f(x )b a ⎰dx =μ⎰ba g(x )dx.10、证明：若f 在[a,b]上连续，且⎰b a f(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0，则在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0. 又若⎰ba 2f(x )x dx=0，则f 在(a,b)内是否至少有三个零点证：由⎰ba f =0知，f 在(a,b)内存在零点，设f 在(a,b)内只有一个零点f(x 1)， 则由⎰ba f =⎰1x a f +⎰b x 1f 可得：⎰1x a f =-⎰bx 1f ≠0. 又f 在[a,x 1]与[x 1,b]不变号，∴⎰ba x f =⎰1x a x f +⎰b x 1xf =ξ1⎰1x a f +ξ2⎰b x 1f =(ξ2-ξ1)⎰bx 1f ≠0, (a<ξ1<x 1<ξ2<b)，矛盾.∴f 在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0.记函数g=xf(x)，则g 在[a,b]上连续，且⎰b a g(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0， 又⎰ba x g(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，即有⎰b a g(x )dx=⎰ba x g(x )dx=0，∴g=xf(x)在(a,b)内至少存在两个零点，若f 在(a,b)内至少存在三个零点f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=0，则 g(x 1)=x 1f(x 1)=g(x 2)=x 2f(x 2)=g(x 3)=x 3f(x 3)=0，即g=xf(x)在(a,b)内至少存在三个零点g(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，矛盾， ∴f 在[a,b]上连续，且⎰ba f(x )dx=⎰b a x f(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，则 f 在(a,b)内至少存在两个零点.11、设f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0. 证明：(1)f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a ≤⎰-b a f(x)a b 1dx ； (2)又若f(x)≤0, x ∈[a,b]，则有f(x)≥⎰-baf(x)a b 2dx, x ∈[a,b].证：(1)令x=a+λ(b-a), λ∈(0,1)，则⎰-baf(x)a b 1dx=⎰+10a)]-λ(b f[a d λ， 同理，令x=b-λ(b-a)，也有⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰-10a)]-λ(b f[b d λ，则 ⎰-b a f(x)a b 1dx=⎰-++10a)]}-λ(b f[b a)]-λ(b {f[a 21d λ. 又f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0，∴f 在[a,b]上凹，从而有21{f[a+λ(b-a)]+f[b-λ(b-a)]}≥f{21[a+λ(b-a)]+21f[b-λ(b-a)]}=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a . ∴⎰-b a f(x)a b 1dx ≥⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+102b a f d λ=f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a . (2)令x=λb+(1-λ)a ，由f 的凹性得⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰+10λ)a]}-f[(1b) {f(λd λ≤⎰+10λ)f(a)]-(1f(b) [λd λ =f(b)1022λ+ f(a)1022λ)-(1-=2f(b)f(a)+. 不妨设f(a)≤f(b)，则f(a)≤f(x)≤0, x ∈[a,b]，又f(b)≤0， ∴⎰-ba f(x)ab 2dx ≤f(a) +f(b)≤f(x).12、证明：(1)ln(1+n)<1+21+…+n1<1+lnn ；(2)lnnn 1211limn +⋯++∞→=1. 证：(1)对函数f(x)=x1在[1,n+1]上取△i =1作分割，并取△i 的左端点为ξi ，则和数∑=n1i i 1是一个上和，∴⎰+1n 1x 1dx<∑=n 1i i1，即ln(n+1)< 1+21+…+n1；同理，取△i 的右端点为ξi ，则和数∑=+1-n 1i 1i 1是一个下和，∴∑=+1-n 1i 1i 1<⎰n 1x 1dx ， 即21+…+n 1<lnn ，∴1+21+…+n1<1+lnn. 得证.(2)由(1)知ln(1+n)<1+21+…+n 1<1+lnn ，∴lnn 1)ln(n +<lnnn 1211+⋯++<1+lnn 1; 又lnn 1)ln(n lim n +∞→=1n n lim n +∞→=1；∞→n lim (1+lnn 1)=1；∴lnnn 1211lim n +⋯++∞→=1.。
定积分的基本性质及应用
定积分的基本性质及应用定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和各个学科中都有广泛的应用。
本文将重点介绍定积分的基本性质和在实际问题中的应用，并且通过具体的例子来加深理解。
定义：定积分是对一个函数在闭区间上的加权平均值进行求和的过程。
在数学中，一个函数f(x)在[a, b]上的定积分表示为：∫(a to b) f(x) dx其中，∫代表求和的过程，a和b是积分的上下限，f(x)是被积函数。
基本性质：1. 线性性质：定积分具有线性性质，即对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及任意的实数k，有以下等式成立：∫(a to b) (f(x) + g(x)) dx = ∫(a to b) f(x) dx + ∫(a to b) g(x) dx∫(a to b) k*f(x) dx = k * ∫(a to b) f(x) dx2. 区间可加性：如果一个函数在闭区间[a, b]上有定义，且在其中一个点c上可导，则该函数在[a, b]上的定积分等于该函数在子区间[a, c]和[c, b]上的定积分之和：∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to c) f(x) dx + ∫(c to b) f(x) dx3. 积分中值定理：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且在该区间内不恒为0，那么至少存在一个点c，使得：∫(a to b) f(x) dx = f(c) * (b - a)4. 边界性质：对于定积分∫(a to b) f(x) dx，当a等于b时，定积分的值为0。
若a小于b，则定积分的值为正数或负数，具体取决于函数f(x)在[a, b]上的正负性。
5. 非负性质：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且非负，那么定积分的值也是非负的。
应用：定积分在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍两个具体的应用。
1. 几何应用：定积分可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积。
如果一个函数在闭区间[a, b]上非负，那么该函数与x轴围成的曲边梯形的面积可以通过定积分来计算：面积= ∫(a to b) f(x) dx同样的，若函数f(x)在闭区间[a, b]上非正，那么面积可以表示为定积分的绝对值。
定积分的基本性质
定积分的基本性质
定积分是微积分中的一个重要概念，它是将函数在给定区间内的面积或体积转化为一个数字。
在许多物理和工程问题中，定积分非常具有实际意义，因此定积分的性质也是非常重要的。
1. 定积分的可加性
若$f(x)$在区间$[a,c]$上可积，则
$$ \int_a^c f(x)\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\mathrm{d}x+\int_b^c
f(x)\mathrm{d}x $$
该性质表示：若$f(x)$在$[a,b]$和$[b,c]$上都可积，则在$[a,c]$上积分等于在$[a,b]$和$[b,c]$上积分之和。
这个性质有很多应用，比如可以把一个复杂的函数拆成多段，然后对每一段进行单独的积分。
该性质表示：积分具有线性性，即可以将多个函数的积分合并成一个积分，以及可以将积分中的常数提取出来。
这个性质对于计算积分和证明积分的性质都非常有用。
4. 定积分的估值定理
设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则存在$\xi\in[a,b]$，使得
估值定理是定积分的一个重要性质，它表明了函数在一段区间上的积分等于积分曲线下方的面积，可以用来确定定积分的值。
它在应用中非常有用，比如可以用来计算概率密度函数中的期望值和方差等。
平均值定理表明了函数在一段区间上的平均值等于函数在该区间上的定积分除以该区间的长度。
它在物理中的应用很广泛，比如可以用来计算物理量的平均值。
总之，定积分具有许多重要的性质，这些性质不仅对于定积分的计算有很大的帮助，而且在应用中也具有广泛的实用价值。
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例 2 计算定积分 ∫ (1 + x cos x) 1 − x 2 dx ．
−1
1
解因为 ∫ (1 + x cos x) 1 − x 2 dx =
−1
1
∫−1
1
1 − x 2 dx + ∫ x cos x 1 − x 2 dx ，且
−1
1
∫−1
所以
1
1 π 1 − x 2 dx = ， ∫ x cos x 1 − x 2 dx = 0， −1 2
a
−a
f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx ．
0
证明取区间 [−a, a] 关于原点对称的划分
−a =x− n < x− n +1 < < x0 =0 < x1 < < xn =a ，其中 x− k = − xk ．
并取 ξ k ∈ [ xk −1 , xk ] (k = 1, 2, , n) ， ξ − k = −ξ k ∈ [ x− k , x− k +1 ] ．
α f ( x) + β g ( x) 也在区间 [a, b] 上也可积，且
∫a [α f ( x) + β g ( x)]dx= α ∫a
证明对于 [ a, b] 的任意划分
b
b
f ( x)dx + β ∫ g ( x)dx ．
a
b
a = x0 < x1 < x 2 < < x n −1 < x n = b ，
T
f ( x)dx = 0，
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ．
0 1 −1
T
例 1 计算定积分 ∫ e| x|dx ． 解因为 ∫ e| x|dx = 2∫ e x dx ，且 ∫ e x dx= e − 1 ，所以 ∫ e| x|d = x 2(e − 1) ．
−1 0 0 −1 1 1 1 1
λ →0 λ →0 = k 1= k 1
b b
n
n
n
λ →0 = k 1
= α ∫ f ( x)dx + β ∫ g ( x)dx ．
a a
故函数 α f ( x) + β g ( x) 也在区间 [a, b] 上也可积，且
∫a [α f ( x) + β g ( x)]dx= α ∫a
b
b
f ( x)dx + β ∫ g ( x)dx ．
∫a
简证因为 ∫
a +T 0 a a
a +T
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ．
0 T a +T 0 T
T
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫
a +T a 0 0 a
f ( x)dx ，且
a +T
∫T
所以 ∫
a +T a
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ，即 ∫ f ( x)dx + ∫
−a
f ( x)dx = 0 ．
当 f ( x) 是偶函数时，因为 f (ξi ) + f (−ξi ) = 2 f (ξi ) ，所以
= f ( x)dx ∫ −a
a
2 lim ∑ = f (ξi )∆xi 2 ∫ f ( x)dx ．
λ →0
i =1 0
n
a
定理 8
若函数 f ( x) 可积且以 T > 0 为周期，则对任意的实数 a ，都有
a
b
Remark 两个可积函数经过加法运算和数乘运算后，得到的函数仍然可积． 事实上， 两个可积函数经过乘法运算后得到的函数也是可积的， 但两个可积函数经过除 法运算后得到的函数不见得可积．
三、定积分的区间可加性
定理 6 若函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上可积， a < c < b ，则 f ( x) 在区间 [a, c] 与 [c, b] 上均可 积，且
f ( x)dx ∫ f ( x)dx + ∫ ∫= a a c
b c b
f ( x)dx ．
若 a < c < b ，且函数 f ( x) 在区间 [a, c] 与 [c, b] 上均可积，则 f ( x) 在区间 [a, b] 上可积， 且
f ( x)dx ∫ f ( x)dx + ∫ ∫= a a c
∫−1 (1+x cos x)
1
π 1 − x 2 dx = ． 2
【本讲总结与下讲预告】
因为函数 f ( x) 在 [−a, a] 上可积，所以
f ( x)dx lim ∫=
−a
a
f (ξi )∆xi ∑= λ →0
n
λ →0 i= −n i= 1 i ≠0
a
lim ∑ [ f (ξi ) + f (−ξi )] ∆xi ．
n
当 f ( x) 是奇函数时，因为 f (ξi ) + f (−ξi ) = 0 ，所以 ∫
【导语】
【正文】
§5.3 定积分的基本性质（1）
一、定积分的方向性
∫a f ( x)dx = −∫b
Remark
b b b
b
a
f ( x)dx ．
f ( x)dx ∫= f (t )dt ∫ f (u )du ，即定积分的值与积分变量的记号无关． ∫a= a a
二、定积分的线性运算性质
定 理 5 若 函 数 f ( x ) ， g ( x ) 都 在 区 间 [ a, b] 上 可 积 ， 则 对 任 意 的 实 数 α , β ， 函 数
b c b
f ( x)dx ．
y
O
Remark
a
c
b
x
∫
b
a
f ( x ) dx ， ∫
b
a
f ( x)dx ．
四、特殊函数定积分的性质（奇偶性、周期性）
定理 7 设函数 f ( x) 在 [−a, a] 上可积．
a −a
若 f ( x) 是奇函数，则 ∫
f ( x)dx = 0 ；若 f ( x) 是偶函数，则 ∫
lim ∑ f (ξ k )∆xk = ∫ f ( x)dx ，
k =1 a n b
λ →0
λ →0
lim ∑ g (ξ k )∆xk = ∫ g ( x)dx ．
k =1 a
n
b
所以
lim ∑ [α f (ξ k ) + β = g (ξ k )] ∆xk α lim ∑ f (ξ k )∆xk + β lim ∑ g (ξ k )∆xk
及在每个小区间上任取的一点 ξ k ∈ [ xk −1 , xk ] ， 作和
)] ∆xk α ∑ f (ξ k )∆xk + β ∑ g (ξ k )∆xk ． ∑ [α f (ξk ) + β g (ξk=
= k 1= k 1 n n n
= k 1
因为 f ( x) ， g ( x) 都在区间 [a, b] 上可积，所以