小结定积分的性质
定积分的概念与性质(new)
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
21
性质6
设 M 及m分别是 f ( x)在[a, b]上的最大值及最小值，
则
m(b
a)
b
a
f
(
x)dx
M
(b
a).
证 m f (x) M,
b
b
b
a mdx a f ( x)dx a Mdx,
6
上述两个问题的共性: 1、解决问题的方法步骤相同 :
（1）分割（2）近似（3）求和（4）取极限
2、极限形式一样
曲边梯形面积：
n
A lim 0
i 1
f (i )xi
n
变速直线运动路程：
S
lim
0
i 1
v(i )ti
7
二、定积分的定义
定义 设 f (x)在[a,b]上有界. 在[a,b]内任意插入
i n
n
1
sin xdx.
0
i xi
16
四、定积分的性质
对定积分的补充规定:
（1）当a
b时， b a
f
(
x)dx
0；
（2）当a
b时， b a
f
( x)dx
a
b
f
( x)dx.
在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑 积分上下限的大小．
性质1
b
b
b
定积分小结课
定积分小结课定积分是求一定区间上函数曲线与坐标轴之间的面积的数学概念。
定积分的概念由牛顿与莱布尼茨在17世纪发明，被认为是微积分学的核心概念之一。
定积分的运算是由积分上下限确定的，表示在这个区间上函数取值的累积和。
定积分可以用来解决许多实际问题，如计算曲线下面积、求曲线的弧长、求物体的质量、求中心力场的功、求函数的平均值等。
在科学研究和工程应用中，定积分是一个非常重要的工具。
定积分的计算通常分为两步：先求出原函数，再计算积分值。
由于求原函数通常较为困难，因此定义了不定积分，不定积分的计算过程与定积分的计算过程相反，先求出积分号下的函数，再求出常数项。
利用不定积分，可以将定积分计算为原函数在区间上的差值，也可以通过定积分与不定积分的关系进行计算。
定积分的计算方法有一些基本的积分公式，如常数倍积分公式、基本初等函数积分公式、函数线性运算积分公式等。
通过这些公式，可以将复杂函数的定积分化简为简单函数的定积分。
同时，定积分还具有一系列的性质，如线性性、可加性、区间可加性、保号性等。
在计算定积分时，还经常会用到换元法和分部积分法。
换元法是通过引入一个新的变量替换原变量，从而将复杂函数转化成简单函数的积分。
分部积分法是将一个积分化为另一个积分的方法，通常用于求两个函数的乘积的积分。
定积分的意义不仅仅局限于求面积，它还有许多重要的性质和应用。
定积分可以表示函数的平均值，可以用来求连续函数的导数，可以用于求解微分方程等。
总之，定积分是微积分的重要概念之一，是解决许多实际问题的数学工具。
掌握定积分的基本概念、计算方法和应用是学好微积分的关键。
定积分对于数学、物理、工程等领域的研究与应用都具有重要意义。
通过不断学习和实践，我们可以更好地理解和应用定积分，进一步发展微积分学。
第一节 定积分的概念和性质_1
∫a g( x)dx − ∫a f ( x)dx ≥ 0,
是 于
∫a f ( x)dx ≤ ∫a g( x)dx.
b
b
性质5的推论： 性质5的推论： （2） ） 证
∫a f ( x)dx ≤ ∫a
b
b
b
f ( x)dx. (a < b)
Q − f ( x) ≤ f ( x) ≤ f ( x) ,
3 当 数 （ ） 函 f (x) 在 间 a, b]上 定 分 在 ， 区 [ 的 积 存 时
b
b
b
称 f (x)在 间 a, b]上 积 区 [ 可 .
存在定理
函 间 ， 定理1 定理1 当 数 f (x)在区 [a, b]上连续时
称 f (x)在区 [a, b]上可积 间 .
[ 数 ， 定理2 定理2 设函 f (x)在区间 a, b]上有界
y
y = f (x)
A=?
o
a b x
x = b所围 . 成
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
（四个小矩形） 四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形） 九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多， 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
o a
x1
x i −1 i x i ξ
xn−1 b
x
为底， f 以[ xi−1, xi ]为底， (ξi ) 为高的小矩形面积为
Ai = f (ξi )∆xi
定积分的概念和性质
部分功的值
某一小段的力
（3）求和
n
W F (i )xi
i 1
（4）取极限 m1iaxn {xi}
n
功的精确值
W
lim
0
i 1
F (i )xi
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有定义，在 (a, b) 中任意插入
n 1 个分点 a x x x x x b
lim
0
i
1
g(
i
)xi
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx.
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质2
b
b
a kf ( x)dx k a f ( x)dx
(k 为常数).
证
b
kf
a
( x)dx
lim
0
n i 1
kf
(i
)xi
n
n
lim k
0 i1
f (i )xi
k lim 0 i1
底边， 以曲线 y f ( x)
为曲边的曲边梯形的面积
等于同一底边而高为 f ( ) o a b x 的一个矩形的面积。
1
例4 试估计积分 exdx 的值。 0
解：在区间0,1 上，f (x) ex 的最大值、
最小值分别为e 和 1 ，由性质6 得：
1
1(1 0) fb上的定积分存在，就称函数 f ( x) 在
a, b上可积. 称为分割的模或细度.
利用“ ” 语言，定积分的定义可精确地 表述为：
设有常数 I ，如果对任意给定的 0 ，
总存在 0 ，使得对于区间 a,b 的任意
第一节 定积分的概念和性质
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示， 在区间 [a , b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b,
a b
（2）当a b 时， f ( x )dx f ( x )dx .
a b
b
a
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．
性质1 证
a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx .
b
b
b
b
a [ f ( x ) g( x )]dx n lim [ f ( i ) g( i )]xi 0
a f ( x )dx a g( x )dx .
b b
于是
性质5的推论： （ 2） 证
a f ( x )dx a
b
b
b
f ( x )dx . (a b)
f ( x) f ( x) f ( x) ,
a f ( x )dx a f ( x )dx a f ( x )dx ,
lim f ( i )xi lim g( i )xi
i 1 n n
a f ( x )dx a g( x )dx .
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
0 i 1 b
0 i 1
定积分定义
1 n n(1 e n
= e 1
)
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•利用几何意义求定积分 例2 2 用定积分的几何意义求 (1 x)dx . 例 0 解 函数 y=1x在区间[0, 1]上的定积分是以y=1x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积.
1
因为以y=1x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一个 直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
b
a f (x)dx a g(x)dx (a<b).
•推论2 | f (x)dx| | f (x) | dx (a<b). a a 这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以
a| f (x) | dx a f (x)dx a| f (x) | dx ,
这是因为g(x)f(x)0, 从而
b
b
a g(x)dx a f (x)dx = a[g(x) f (x)]dx 0 ,
所以
b
b
b
a f (x)dx a g(x)dx .
b
b
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•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
a f (x)dx 0 (a<b).
•推论2 | f (x)dx| | f (x) | dx (a<b). a a •性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值及最 小值, 则
m(b a) a f (x)dx M (b a) (a<b).
b
b b
b
b
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不定积分和定积分的概念和性质
（ C为任意常数）
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
（2）若 F ( x) 和G( x) 都是f ( x) 的原函数， 则 F ( x) G( x) C （C为任意常数）
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
例4 求积分 x2 xdx.
解
5
x2 xdx x 2dx
根据积分公式（2）
x dx
x1 C
1
51
x2 5
1
C
2
7
x2
C.
7
2
例5
求积分
3
( 1
x2
2 )dx.
1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx 1 x2
什么样的函数可以求定积分哪？
积分的概念与性质
一、定积分的概念和性质 二、定积分的概念和性质 三、牛顿-莱布尼兹公式
引言
数学发展的动力主要来源于 社会发展的环境力 量. 17世纪, 微积分的创立首先是为了解决当时数 学面临的四类核心问题中的第四类问题, 即求曲线 的长度、曲线围成的面积、 曲面围成的体积、
引言
物体的重心和引力等等. 此类问题的研究具有久远 的历史, 例如, 古希腊人曾用穷竭法求出了某些图 形的面积和体积, 我国南北朝时期的祖冲之、祖恒 也曾推导出某些图形的面积和体积, 而在欧洲, 对 此类问题的研究兴起于17世纪, 先是穷竭法被逐渐 修改, 后来由于微积分的创立 彻底改变了解决这一 大类问题的方法.
定积分曲线与面积计算
定积分曲线与面积计算在数学中，定积分是一种重要的数学概念，用于计算曲线与坐标轴之间的面积或曲线的长度。
定积分的应用广泛，尤其在微积分和物理学等领域中起着至关重要的作用。
本文将介绍定积分的定义和性质，并详细说明如何使用定积分来计算曲线与面积。
一、定积分的定义定积分是对一个区间上的函数进行积分运算的结果。
它可以看作是将一个曲线下方的面积划分为无穷多个无穷小的长方形，并将这些长方形的面积相加而得到的极限值。
数学上，定积分通过极限运算来定义。
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则对应的定积分可以表示为：∫[a, b] f(x) dx其中，∫表示积分符号，[a, b]表示积分区间，f(x)为被积函数，dx表示自变量的微小增量。
二、定积分的性质定积分具有以下几个重要的性质：1. 线性性质：对于任意的实数c，d和函数f(x)、g(x)，有：∫[a, b] (c * f(x) + d * g(x)) dx = c * ∫[a, b] f(x) dx + d * ∫[a, b] g(x) dx2. 区间可加性：对于区间[a, c]和区间[c, b]上的函数f(x)，有：∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx + ∫[c, b] f(x) dx3. 积分上下界交换性：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，则下面两个积分相等：∫[a, b] f(x) dx = ∫[b, a] f(x) dx三、使用定积分计算曲线与面积使用定积分可以计算曲线与坐标轴之间的面积。
具体步骤如下：1. 确定积分区间：首先需要确定曲线与坐标轴之间需要计算面积的区间。
2. 构建被积函数：根据具体情况，将曲线的方程表示为y = f(x)，并构建被积函数f(x)。
3. 计算定积分：将被积函数代入定积分的定义中，并按照定义计算出定积分的值。
举例说明，考虑计算曲线y = x^2和x轴所围成的面积。
首先确定积分区间为[-1, 1]，然后将曲线方程改写为x = y^(1/2)，构建被积函数f(y) = y^(1/2)。
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小结定积分的性质
定积分内容是研究曲边梯形、变速行程等问题的有力工具，在对定义加深理解的基础上，我们还应了解一些定积分的基本性质．（由于这些性质的证明联系到大学《数学分析》的一些内容，所以对证明过程不作要求．） 一、定积分基本性质
假设下面所涉及的定积分都是存在的，则有
性质1 函数代数和（差）的定积分等于它们的定积分的代数和（差）．即
[()()]()b
b
b
a
a
a
f
x g x d x
f x d x
g x d x
±=±⎰⎰⎰． 这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形． 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号前，即()()b
b
a
a
kf x dx k f x dx =⎰
⎰（k 为常
数）．
性质3 不论a b c ，，三点的相互位置如何，恒有()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+⎰
⎰⎰．
这性质表明定积分对于积分区间具有可加性． 性质4 若在区间[]a b ，上，()0f x ≥，则
()0b
a
f x dx ⎰
≥．
推论1 若在区间[]a b ，上，()()f x g x ≤，则()()b
b
a
a
f x dx
g x dx ⎰
⎰≤．
推论2
()()b
b
a
a
f x dx f x dx ⎰
⎰≤．
性质5 （估值定理）设函数()f x 在区间[]a b ，上的最小值与最大值分别为m 与M ，则
()b
b b
a
a
a
mdx f x dx Mdx ⎰
⎰⎰≤≤．
证明：因为()m f x M ≤≤，由推论1得()b
b b
a
a
a
mdx f x dx Mdx ⎰
⎰⎰≤≤．
即()b
b b
a
a
a
m
dx f x dx M dx ⎰
⎰⎰≤≤．
故()()()b
a
m b a f x dx M b a --⎰
≤
≤．
利用这个性质，由被积函数在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围．
二、定积分性质的应用 例1 比较定积分
2
e x dx -⎰
和2
xdx -⎰的大小．
解：令()e x
f x x =-，[20]x ∈-，
， 则()0f x >， 故
2
()0f x dx ->⎰
，即0
2
(e )0x x dx -->⎰．
2
2
e x
dx xdx -->⎰
⎰，
从而
2
2
e x
dx xdx --<⎰
⎰．
例2 估计定积分
π
30
2
12sin dx x
+⎰
的值．
解：∵当[0π]x ∈，时，0sin 1x ≤≤，
∴3
20sin 1x ≤≤，由此有32
22sin 3x +≤≤，32
1113
2
2sin x
+≤
≤， 于是由估值定理得
π302
π1π3
2
2sin dx x
+⎰≤≤
． 评注：例1是比较同一区间上两个定积分的大小，可以直接求值进行比较，但本例的构造函数，利用性质比较避免了大量计算，显得简捷、明了．例2中运用的估值定理为大学涉及内容，不作要求，可以了解．。