北师大版八年级下册数学[《图形的平移与旋转》全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《图形的平移与旋转》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.了解平移、旋转、中心对称，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次图形变换后的图形；3.利用平移、旋转、中心对称、轴对称及其组合进行图案设计；4.认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【知识网络】【要点梳理】要点一、平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．要点诠释：（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的形状和大小．2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等．要点诠释：（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．3. 平移与坐标变换：(1)点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．要点诠释：上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换．(2)图形的平移平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．要点诠释：（1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．（2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的．要点二、旋转变换1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.要点诠释：（1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到.（2）旋转的角度一般小于360°.（3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向）２．旋转变换的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.３．旋转作图步骤：①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.②分析所作图形，找出构成图形的关键点.③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.④按原图形连结方式顺次连结各对应点.要点三、中心对称与图案设计1．中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的．要点诠释：中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分．2. 中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.要点诠释：中心对称作图步骤：①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.3.图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案.4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的．【典型例题】类型一、平移变换1.（2015春•曲阜市期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′（1）在图中画出△A′B′C′；（2）写出点A′、B′的坐标；（3）在y轴上是否存在一点P，使得△BCP与△ABC面积相等？若存在，求直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【思路点拨】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；（2）根据各点在坐标系中的位置写出点A′、B′的坐标；（3）设P（0，y），再根据三角形的面积公式求出y的值即可．【答案与解析】解：（1）如图所示：（2）由图可知，A'（0，4），B'（﹣1，1）；（3）存在．设P（0，y），要使得△BCP与△ABC面积相等，只需要点P到BC的距离为3即可，则y=1或y=﹣5，故点P的坐标是（0，1）或（0，﹣5）．【总结升华】本题考查的是平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．举一反三：【变式】如下图，等边△ABC经过平移后成为△BDE，则其平移的方向是；平移的距离是；△ABC经过旋转后成为△BDE，则其旋转中心是；旋转角度是度．【答案】水平向右，AB的长度（或BD的长度），B，120或240．2.三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A（2，-1）、B（1，-3）、C（4，-3.5）．（1）在直角坐标系中画出三角形ABC；（2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；（3）如果将△ABC看成是由△A1B1C1经过一次平移得到的，请指出这一平移方向和距离．【答案与解析】解：（1）如图1，（2）如图2，A 1（-2，2），B 1（-3，0），C 1（0，-0.5）；（3）如图3，连接AA 1，由图可知，22(2(2))(12)5AA '=--+--=.因此，如果将△ABC 看成是由△A 1B 1C 1经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由A 1到A 的方向，平移距离是5个单位长度.【总结升华】本题综合考查了平面直角坐标系，及平移变换．注意平移时，要找到三角形各顶点的对应点是关键及平移的相对性．举一反三：【变式】如果矩形ABCD 的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点A 和点C 的坐标分别为(-3，2)和(3，-2)，则矩形的面积为( )．A ．32B ．24C ．6D ．8F C D 【答案】 B.类型二、旋转变换3．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A ′OB ′，若∠AOB=15°，则∠AOB ′的度数是（ ）．A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°【思路点拨】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可.【答案与解析】解：∵将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A ′OB ′，∴∠A ′OA=45°，∠AOB=∠A ′OB ′=15°，∴∠AOB ′=∠A ′OA ﹣∠A ′OB =45°﹣15°=30°，故选：B ．【总结升华】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A ′OA=45°，∠AOB=∠A ′OB ′=15°是解题关键．举一反三：【变式】如图，△OAB 可以看成是由△OCD 绕点O 按顺时针方向旋转而来的，则旋转中心是 ，旋转角是 ，点C 的对应点是 ．O BCA D【答案】点O ，∠COA 或∠DOB ，点A ．4.如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是AB 边上的点，BE ＝1.将△BCE 绕点C 顺时针旋转90°得到△DCF.已知EF ＝25，求正方形ABCD 的边长.【答案与解析】 解：设正方形ABCD 的边长为x ，∵△BCE 绕点C 顺时针旋转90°得到△DCF ，且BE=1，∴DF=BE=1，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB=x ，∠A=90°，∴在Rt △AEF 中，AE 2+AF 2=EF 2，∵AE=AB-BE=x-1，AF=AD+DF=x+1，∴222(1)(1)(25)x x -++=， 解得：x ＝3，∴正方形ABCD 的边长为3．【总结升华】此题考查了正方形的性质、旋转的性质以及勾股定理．注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图，K 是正方形ABCD 内一点，以AK 为一边作正方形AKLM ，使L 、M•在AK 的同旁，连接BK 和DM ，试用旋转的思想说明线段BK 与DM 的数量关系．【答案】数量关系为BK=DM.∵ABCD 和AKLM 都是正方形，∴AB=AD，AK=AM.∵∠DAM+∠DAK=90°，∠BAK+∠DAK=90°.∴∠DAM=∠BAK △DAM 可以看作是△ABK 以A 为旋转中心，∠BAD 为旋转角(90°)逆时针旋转而成的，故BK=DM.类型三、中心对称与图形设计5．如图，方格纸中△ABC 的三个顶点均在格点上，将△ABC 向右平移5格得到△A 1B 1C 1，再将△A 1B 1C 1绕点A 1逆时针旋转180°，得到△A 1B 2C 2．（1）在方格纸中画出△A 1B 1C 1和△A 1B 2C 2；（2）设B 点坐标为（﹣3，﹣2），B 2点坐标为（4，2），△ABC 与△A 1B 2C 2是否成中心对称？若成中心对称，请画出对称中心，并写出对称中心的坐标；若不成中心对称，请说明理由．【思路点拨】根据平移和旋转的作图方法作图即可．根据中心对称的特点可知P点就是对称中心，从而求出A（﹣2，0），A1（3，0），P（，0）．【答案与解析】解：（1）如下图．（2）△ABC与△A1B2C2成中心对称，如下图所示，连接CC2（或BB2）交AA1于点P．则P点就是对称中心．∵B（﹣3，﹣2），B2（4，2），∴A（﹣2，0），A1（3，0），∴P（，0）．【总结升华】本题考查的是平移变换与旋转变换作图．6．如图，图案可以看做以一个怎样的图案为“基本图案”形成的?试用两种以上的方法分析它的形成过程．【答案与解析】解：解法一：图案可以看做是以其中的八分之一为“基本图案”，经过三次轴对称 (第1、2根对称轴彼此垂直，而且过整个图案的中心)所形成的．解法二：也可以看做是以图案的四分之一为“基本图案”(可以是小正方形状也可以是等腰直角三角形状)，绕整个图案的中心分别旋转90°、180°、270°所形成的．解法三：也可以以四分之一图形为基本图形，经过两次轴对称(对称轴互相垂直，而且过整个图案的中心)所形成．【总结升华】本题考查利用旋转设计图案的知识，基本图案的寻找较为灵活，对于不同的基本图形需要作的几何变换也不同．举一反三：【变式】（2016春•泸溪县期末）如图所示，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图2、图3、图4中分别画出满足以下要求的图形（用阴影表示）（1）使所得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；（2）使所得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形；（3）使所得图形既是轴对称图形也是中心对称图形．【答案】解：。