第3章正交多项式系
注：在[a , b]上关于 ( x ) 1的正交多项式 ba ba 令x t , x [a , b]时 2 2 t [1,1]
2 x (b a ) ~ Pn ( x ) Pn ( t ) Pn ( ) ba
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其它正交多项式系
• 拉盖尔(Laguerre)正交多项式系p77 • 埃尔米特(Hermite)正交多项式系p78
正交函数系
def .某函数系 { 0 , 1 , n }中每个函数 k ( x )都 在[a , b]上连续且不恒为零，权函数 ( x ) 0 i j 0 如果( i , j ) ( x ) i j dx a i j 0 则称此函数系 0 , n为[a , b]上关于权函数的
b a j 0
k 1
正交多项式的构造
给定区间 [a , b]及权函数 ( x )，由线性无关幂函数 {1, x , , x n ,}，逐个正交化得{ n ( x )} 0
n 1 j 0
0 ( x ) 1, n ( x ) x n
( n 1,2,)
( x n , j ( x )) ( j ( x ), j ( x ))
又 k为k次多项式
( x) 0, 且 ( x) 0, (k 0,1,)
2 k 2 k
2 ( k , k ) ( x ) k ( x )dx 0 a b
0 ,1 , n为正交多项式
()设 0 , 1 , n为[a, b]上的关于权 ( x ) 的正交多项式系
j ( x)
常用正交多项式系
1.切比雪夫多项式系 {Tk ( x )}, 令x cos Tn ( x ) cosn , 一般地
T1 ( x ) x T0 ( x ) 1 Tk 1 ( x ) 2 xTk ( x ) Tk 1 ( x ) k 1
它在[1， 1]上关于权函数 ( x )
1
1 1 x
2
正交
(Tn , Tm )
ห้องสมุดไป่ตู้1
nm 0 1 Tn ( x )Tm ( x )dx / 2 n m 0 2 1 x nm0
前四项为: T（ 0 x ) 1, T1 ( x ) x T2 ( x ) 2 x 1, T3 ( x ) 4 x 3 x
b
正交函数系
正交函数系的性质
Th3.3, [a, b]上关于权函数 ( x )的正交函数系
0 , 1 , n必线性无关
证: （反证法） 假设 0 , 1 , n线性相关，则存在不全为0 的c0 , c1 , cn 使得c0 0 cn n 0
不妨设ci 0,同乘 ( x)i ( x)后积分 c0 (0 , i ) ci ( i , i ) cn ( i , n ) 0
2 3
2.勒让德( Legende)多项式系 { Pk ( x)}
1 dn 2 n Pn ( x ) n ( x 1) n 2 n! dx
递推公式 P1 ( x ) x P0 ( x ) 1 2k 1 k Pk 1 ( x ) xPk ( x ) Pk 1 ( x ) k 1 k 1 k 1
ci ( i , i ) 0 ci 0矛盾
Th3.4设 k ( x )(k 0,1, n)是最高次项系数 不为0的k次多项式，则 0 , 1 , n 是[a , b] 上关于权函数 ( x )的正交多项式系的充要 条件是k 1次多项式Qk 1 ( x )，均有 ( k , Qk 1 ) ( x ) k ( x )Qk 1 ( x )dx 0
a b
证： ()k 1次多项式Qk 1有
b
a
( x )k ( x )Qk 1 ( x )dx 0
(k 1, 2,)
特别地，对 j ( x )( j 0,1, k 1)有
b
a
( x ) k ( x ) j ( x )dx 0
即k j, (k , j ) 0
由Th3.3得0 ,1 , k 1线性无关
对任意k 1次多项式Qk 1 ( x )有 Qk 1 ( x ) b j j ( x )
j 0 k 1
( x ) k ( x )Qk 1 ( x )dx
a
b
( x ) k ( x )[ b j j ( x )]dx 0
前四项为：P0 ( x ) 1, P1 ( x ) x P2 ( x ) ( 3 x 2 1) / 2 P3 ( x ) (5 x 3 3 x ) / 2
在[1,1]上关于权函数 ( x ) 1正交 nm 0 ( Pn , Pm ) Pn ( x ) Pm ( x )dx 2 n m 1 2n 1
正交多项式
k = 1, 2 , L , n 。
其中系数 ckj = −
( x ,ϕ j )
k
j =0
(ϕ j , ϕ j )
, ( j = 0,L , k − 1)，
正交性
证明： 递推构造法证明 证明：用递推构造法证明 (1) 令ϕ 0 ( x ) = 1; ( 2) 构造ϕ1 ( x ) = x + c10ϕ 0 ( x ), 且选取 c10使 ( x,ϕ 0 ) 0 = (ϕ 1 , ϕ 0 ) = ( x , ϕ 0 ) + c10 (ϕ 0 , ϕ 0 ), 即选取 c10 = − (ϕ 0 , ϕ 0 )
连续函数空间， §2 连续函数空间，正交多项式理论
2.2 正交多项式理论 介绍几种常用的正交多项式
一、生成（张成）的集合 生成（张成） n ϕ 定义6 中线性无关组， 定义6 设{ i ( x )} i = 0 为 C [a , b ] 中线性无关组，称集合
ϕ 生成（张成）的集合。 为由 { i }i = 0 生成（张成）的集合。 结论: 结论 1 （ ） Span { 0 , L , ϕ n } ⊂ C [ a， b ]； ϕ
b
= ( x k , ϕ i ) + c ki ϕ i , ϕ i ) （
的正交多项式组， 于是 {ϕ i ( x )} n= 0 为[ a ， b ]具有权函数 ω ( x ) 的正交多项式组， i
即
(ϕ i , ϕ j ) = ∫ ω ( x )ϕ i ( x )ϕ j ( x )dx = 0,当 i ≠ j。
a
#
性质： 性质：
(1)φ n ( x )是 具 有 最 高 次 项 系 数 为1的 n 次 多 项 式 。
正交函数族与正交多项式
正交多项式正交函数族与正交多项式1、什么是权函数？定义4：设[a,b]是有限或无限区间，在[a,b]上的非负函数ρ(x)满足条件：（1）∫x k ρ(x )dx ba 存在且为有限值（k=0,1，…）；（2）对[a,b]上的非负连续函数g(x)，如果∫g (x )ρ(x )dx =0ba ,则g(x)≡0. 则称ρ(x )为[a,b]上的一个权函数。
2、什么是内积？内积：(f (x ),g (x ))=∫f (x )g (x )dx baρ(x)是[a,b]上的权函数，内积：(f (x ),g (x ))=∫ρ(x)f (x )g (x )dx ba ，常用ρ(x)≡1。
3、正交及正交函数族概念定义5若f (x ),g (x )∈C [a,b ],ρ(x )为[a,b]上的权函数且满足(f (x ),g (x ))=∫ρ(x )f (x )g (x )dx =0ba , (2.1)则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权ρ(x )正交。
若函数族φ0(x ),φ1(x ),…,φn (x ),…满足关系(φj ,φk )=∫ρ(x )φj (x )φk (x )dx ={0 , j ≠k,A k >0,j =k.ba (2.2)则称{φk (x)}是[a,b]上带权ρ(x)的正交函数族；若Ak ≡1，则称为标准正交函数族。
例如，三角函数1,cos x ,sin x , cos 2x , sin 2x ,…解：在区间[−π，π]上的正交函数族，因为对k=1,2,…有（任意两个相同函数在区间[−π，π]上的内积k=j ）：(1,1)=∫1×1dx =π−ππ−(−π)=2π(sin kx,sin kx )=∫sin k 2x π−πdkx =π同理(cos kx,cos kx,)=π任意两个不同函数在区间[−π，π]上的内积（k ≠j ）：(cos kx,sin kx )=∫sin kx cos kx π−πdkx =0 (cos kx,cos jx )=∫cos jx cos kx π−πdx =0 同理(sin kx ,sin jx )=(cos kx,sin jx )=0因此三角函数族为在区间[−π，π]上带权的正交函数族。
数值计算方法_正交多项式讲解
性质4 [a,b]上带权函数(x) 的正交多项式序列{gk (x)}k0 中任意相邻两个正交多项式gn(x)和gn+1(x)的根相 间.
若记 gn(x), gn+1(x)的根分别为
{x } , (n) n i i1
{x } (n1) n1
j
j1
则所谓 gn (x) 与 gn1(x) 的根相间,即是指这两个正
相邻三项的递推关系为
H0(x)=1, H1(x)=2x Hn1(x) 2xHn (x) 2nHn1(x) n=1,2,…
(4) Jacobi多项式
定义9 [-1,1]上权函数为 (x) (1 x) (1 x) 的正
交多项式,其中>-1, >-1
记为
J
( n
,
)
(
x)
为gn(x) 的首次系数; dn≠0时,称
gn* ( x)
gn (为x)首 dn
次系数为1的n次多项式.
二、正交多项式性质
性质1 若 {gk ( x)}nk0是区间[a,b]上带权(x)的正交多
项式序列,则它们线性无关.
证明 对任意的x[a,b]
n
若 ck gk (x) 0 k 0
注：对一般区间[a, b]，先将 x 换为 t ，考虑 f (t)在[1, 1]上 的逼近Pn(t)，再将 t 换回x，最后得到Pn(x)。
五、其它正交多项式
(1) 第二类Chebyshev 多项式Un(x)
定义6 (-1,+1)上权函数 ( x) 1 x2的正交多项式
序列
sin[(n 1)arccosx]
||
T* n
(
x)
||
正交多项式
正交多项式在数学中，正交多项式是一类特殊的多项式，其在一定的权重函数或内积定义下具有正交性质。
正交多项式在数学分析、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及常见的几种正交多项式。
定义给定定义在区间[a, b]上的一个非负的实数函数w(x)（权重函数），称一个多项式序列{φn(x)}n=0∞ 为正交多项式序列，如果满足以下条件：1.正交性：对于不同的i和j，若i≠j，则两个多项式的内积为0，即∫abφi(x)φj(x)w(x)dx = 0；2.单位性：多项式的平方在区间上的加权累积为1，即∫abφn2(x)w(x)dx = 1。
性质正交多项式具有许多重要的性质，如：1.正交性：正交多项式之间的内积为0，这个性质在数值计算和函数逼近中非常有用；2.生成公式：许多正交多项式都可以通过递推关系生成。
例如，勒让德多项式可通过勒让德微分方程的解得到，切比雪夫多项式可通过递推公式生成；3.逼近性：正交多项式在一定条件下能够将任意函数逼近为一个多项式级数，这在函数逼近和插值中是非常重要的性质；4.最小二乘逼近：利用正交多项式进行最小二乘逼近，可以得到最优逼近解。
常见的正交多项式勒让德多项式 (Legendre Polynomials)勒让德多项式是最常见的正交多项式之一，通常用Pn(x)表示，定义在区间[-1, 1]上，权重函数为w(x) = 1。
勒让德多项式可以通过勒让德微分方程生成，其前几个多项式表达式如下：•P0(x) = 1•P1(x) = x•P2(x) = (3x^2 - 1)/2•P3(x) = (5x^3 - 3x)/2•…切比雪夫多项式 (Chebyshev Polynomials)切比雪夫多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用Tn(x)表示。
切比雪夫多项式的权重函数为w(x) = (1 - x2)(-1/2)。
前几个切比雪夫多项式表达式如下：•T0(x) = 1•T1(x) = x•T2(x) = 2x^2 - 1•T3(x) = 4x^3 - 3x•…雅各比多项式 (Jacobi Polynomials)雅各比多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用P(α,β)n(x)表示，其中α和β是正实数，称为雅各比指数。
3.3.3 常用的正交多项式
Tn在区间[-1, 1]上有
个不同os , 2n
k 1, 2,..., n
2、Legendre(勒让德)多项式 (1)定义
多项式
1 dn p n ( x) n n [( x 2 1) n ] 2 n! dx
称为n 次勒让德多项式。
3.3.3 常用的正交多项式
1、第一类切比雪夫多项式
(1)定义
Tn cos n arccos x , x 1
(2)性质
正交性：
切比雪夫多项式序列{ Tn (x)}是在区间[-1, 1]上带权
( x)
1 1 x
2
的正交多项式序列。
且
(Tm ( x), Tn ( x))
(n 1, 2, )
n
( x) e
x2
的正交多项式序列。
e
x2
mn 0, H m ( x) H n ( x)dx n 2 n! , m n
② 相邻的三项具有递推关系式：
H 0 ( x) 1, H 1 ( x) 2 x H n1 ( x) 2 xH n ( x) 2nH n1 ( x),
(n 1, 2,
)
(2) 拉盖尔(Laguerre)多项式
定义： 称多项式
n d Ln ( x) e x n ( x n e x ), (0 x ) dx (n 0, 1, 2, )
为拉盖尔多项式。
拉盖尔多项式的性质： ① 是在区间[0, +∞]上带权 Ln x 的正交多项式序列。 x e x
(n 0, 1, 2, )
(2)性质
正交性 勒让德多项式序列 的正交多项式序列。即
3.2 正交多项式
a1
(xP1, P1) (P1, P1)
0.5
,
b1
(P1, (P0 ,
P1 ) P0 )
0.125
,
P2 (x) (x a1)P1(x) b1P0 (x) (x 0.5)2 0.125
所以, 1, x - 0.5, (x 0.5)2 0.125 为所求在点集 {0, 0.25, 0.5, 0.75,1}上的正交多项式序列.
其中的 (x)0为给定的权函数。
（6）
按连续意义下的内积，若多项式组{k(x)}k=0,…n 满
足条件(7),则称它为在区间[a,b] 上的带权 (x)的正交
多项式序列。
第三章 函数逼近
例3.4 三角函数组 1,cos x,sin x,,cos nx,sinnx 在[ , ]
上是关于权函数1的正交组。
(2)
有了内积，就可以定义正交性。若函数 f (x) 和 g (x) 的内积 (f , g)=0，则称两者正交。
第三章 函数逼近
若多项式组{k(x)}k=0,…n 在离散意义下的内积满足
(i
,
j
)
0, ai
i j 0,i
j
(3)
则称多项式组{k(x)}k=0,…n为在离散点集 {xi}i=0,1,…,m 上的带权 { i}i=0,…m的正交多项式序列.
4
(xP0 , P0 ) i xi P02 (xi ) 2.5 i0
a0
(xP0 , P0 ) (P0 , P0 )
0.5
P1(x) x a0 x 0.5
第三章 函数逼近
【精品】正交多项式
正交多项式一、正交函数系的概念高等数学中介绍傅立叶(Fourier)级数时，证明过函数系；1， cos x ，sin x ，cos2x ，sin2x ，…，con nx ，sin nx ，… (3.1)中任何两个函数的乘积在区间[-π ,π ]上的积分都等于0。
我们称这个函数中任何两个函数在[-π ,π ]上是正交的，并且称这个函数为一个正交函数系。
若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：nx nx x x sin 1,cos 1,,,sin 1,cos 1,21πππππ（3.2)那么这个函数系在[-π ,π ]上不仅保持正交的性质，而且还地标准化的(规范的)，亦即每一个函数自乘之积，在[-π ,π ]上的积分是1。
为了使讨论更具有一般性，先要介绍一些基本概念。
1．权函数的概念 定义3.1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，如果具有下列性质： (1) ρ (x ) ≥0，对任意x ∈[a , b ]， (2) 积分dx x x nba)(ρ⎰存在，(n = 0, 1, 2, …)，(3) 对非负的连续函数g (x ) 若⎰=badx x x g 0)()(ρ。
则在(a , b )上g (x ) ≡ 0，我们就称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。
在正交多项式的讨论中，会遇到各种有意义的权函数，常用的权函数有： 1)(],1,1[],[=-=x b a ρ；211)(],1,1[],[xx b a -=-=ρx e x b a -=∞=)(],,0[],[ρ2)(],,[],[x e x b a -=∞+-∞=ρ等等。
正交性的概念 定义3.3 设f (x )，g (x ) ∈C [a , b ]若⎰==badx x g x f x g f 0)()()(),(ρ则称f (x )与g (x )在[a , b ]上带权ρ (x )正交。
定义3.4 设在[a , b ]上给定函数系{} ),(,),(),(10x x x n ϕϕϕ，若满足条件())(),1,0,(,0,0)(),((是常数k kk j A k j kj A kj x x ⎩⎨⎧==>≠= ϕϕ 则称函数系{ϕk (x )}是[a , b ]上带权ρ (x )的正交函数系，特别地，当A k ≡ 1时，则称该函数系为标准正交函数系。
第3章正交多项式系
正交函数系
正交函数系的性质
Th3.3, [a , b]上关于权函数 ( x )的正交函数系
0 , 1 , n必线性无关
证: （反证法） 假设 0 , 1 , n线性相关，则存在不全 为0 的c0 , c1 , cn 使得c0 0 cn n 0
不妨设ci 0,同乘 ( x ) i ( x )后积分 c0 ( 0 , i ) ci ( i , i ) cn ( i , n ) 0
j ( x)ຫໍສະໝຸດ 常用正交多项式系1.切比雪夫多项式系{Tk ( x )}, 令x cos Tn ( x ) cos n , 一般地
T1 ( x ) x T0 ( x ) 1 Tk 1 ( x ) 2 xTk ( x ) Tk 1 ( x ) k 1
它在[1，上关于权函数 ( x ) 1]
由Th3.3得 0 , 1 , k 1线性无关
对任意 k 1次多项式 Qk 1 ( x )有 Q k 1 ( x ) b j j ( x )
j0 k 1
( x ) k ( x )Qk 1 ( x )dx
a
b
( x ) k ( x )[ b j j ( x )]dx 0
1 1 x
2
正交
(Tn , Tm )
1
1
nm 0 1 Tn ( x )Tm ( x )dx / 2 n m 0 1 x2 nm0
前四项为 : T（x ) 1, T1 ( x ) x 0 T2 ( x ) 2 x 1, T3 ( x ) 4 x 3 x
前四项为：P0 ( x ) 1, P1 ( x ) x P2 ( x ) ( 3 x 1) / 2
正交多项式在数学中的应用
正交多项式在数学中的应用正交多项式是数学中一个重要的概念。
正交多项式可以用于许多领域，如物理学、统计学、工程学、经济学等，它们的应用非常广泛。
在本文中，我们将介绍正交多项式的定义、性质和应用。
一、正交多项式的定义正交多项式通常是指某一族多项式，它们彼此正交，并且在某一区间上具有完全正交性。
这里“正交”指的是在某一区间上两两相乘之后的积分为0。
具体的定义可以表示为：在某一区间[a,b]上，存在一族多项式φ0(x),φ1(x),φ2(x),…,满足下列条件：1.φn(x)是n次多项式；2.φn(x)的首项系数为1；3.对于任意不相等的n和m，有以下正交关系：∫a^b φn(x)φm(x)dx=0 （n≠m）4.对于任意n，有以下归一化公式：∫a^b φn(x)^2 dx=1这里的正交关系也可以表述为φn(x)在[a,b]上关于权函数w(x)正交。
另外，需要注意的是，具有正交性的多项式不只一个。
例如，在[a,b]上，有许多不同的正交多项式，如勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式、切比雪夫多项式等等。
每种不同的正交多项式，都有其独特的性质和应用。
二、正交多项式的性质正交多项式具有许多重要的性质，这里只讨论其中的一些。
1.正交多项式是线性无关的。
对于给定的正交多项式φ0(x),φ1(x),…,φn(x)，任意一个次数不超过n的多项式P(x)，都可以表示为P(x)=a0φ0(x)+a1φ1(x)+...+anφn(x)其中，a0,a1,…,an都是常数。
因此，正交多项式是线性无关的。
2.正交多项式是最佳近似多项式。
对于一个次数不超过n的多项式P(x)，其在正交多项式的张成下的最佳近似多项式是Pn(x)=∑i=0^n [P(x),φi(x)]φi(x)其中[P(x),φi(x)]表示在区间[a,b]上P(x)与φi(x)的乘积之后再进行积分。
3.正交多项式满足递推关系。
对于同一族正交多项式φ0(x),φ1(x),φ2(x),…，它们满足以下递推关系：φ0(x)=1φ1(x)=x-b0φn+1(x)=(x-bn+1)φn(x)-cnφn-1(x)其中，bn和cn是常数。
正交多项式
1
第三章 函数逼近与计算
3.4.1 正交化手续
定义1 设 gn ( x)是 [a, b]上首项系数 an 0 的 n次多项式，
( x)为 [a, b]上权函数，如果多项式序列 { gn ( x)}0 满足
b
0, j k.
(g j , gk )
a
(x)gj (x)gk
1
1 2n n!
1 Q( x) (n1) ( x)dx
1
(1)n 2n n!
1 Q(n) ( x) ( x)dx
1
（1） 若 Q(x) 是次数小于 n 的多项式，则 Q(n) (x) 0,
故得
1
)}00是成[a立, b关]上系带权
(
x )的首项系数为1的
gn1( x) ( x n )gn( x) n gn1( x) (n 0,1,).
其中 g0 ( x) 1, g1( x) 0,
n
( xgn ( x), gn ( x)) ( gn ( x), gn ( x))
最高项系数为1的勒让德多项式为
P~n ( x)
n! (2n)!
dn dx n
[( x 2
1)n ].
§4 正交多项式 © 2009, Henan Polytechnic University
99
第三章 函数逼近与计算
勒让德多项式的性质
性质1 正交性
1 1
Pn (
x)Pm
(
x)dx
p1( x)
x
( x,1) (1,1)
1