正交多项式回归系数表
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正交多项式回归设计及参数设计
• 配一个4次多项式的回归方程
ˆ b0 b1x b2 x2 +b3 x3 +b4 x4 y
• 将x变为一组标准等距点x’（1，2，…，7） • 利用n=7做正交多项式，则回归方程变为
x 16 x 2
ˆ b0 b11 ( x) b22 ( x)+b33 ( x)+b44 ( x) y b0 b111 ( x) b22 2 ( x)+b333 ( x)+b44 4 ( x)
b0 y b11 ( x) b22 ( x) L bk k ( x)
• 为简化计算，同时令 （即正交性）
x 0, i 1, 2,L k x x 0, i j
t 1 i t j t t 1 n i t
n
• 求解偏回归系数和截距
y b0 b1x b2 x2 +L +bk xk
• 设ψ1（x）、 ψ2（x）、…、 ψk（x）分别为x的一、二、 及k次多项式，则可见
y b0 b11 ( x) b22 ( x)+L +bk k ( x)
Cont…
• k次线性回归方程的偏回归系数由正规方程组决定
lk1b1 lk 2b2 L lkk bk lky
• 每次多项式φi（x）的系数bi及相应的Bi只与yt及φi（x）有 关，而不随其他各次多项式的增减而变化；在整个回归中 多配一项φi（x）将使回归平方和增加一项biBi，故第i次多 项式φi（x）的效应为Pi=biBi=Bi² /si，而回归平方和则是各 次效应的和 • 方差分析表
Cont…
• 为考察甲醛浓度x与缩醛化度y之间的定量关系，对7种不 同甲醛浓度各进行了若干次试验，测出各种浓度的平均缩 醛化度
数值计算方法_正交多项式讲解
性质4 [a,b]上带权函数(x) 的正交多项式序列{gk (x)}k0 中任意相邻两个正交多项式gn(x)和gn+1(x)的根相 间.
若记 gn(x), gn+1(x)的根分别为
{x } , (n) n i i1
{x } (n1) n1
j
j1
则所谓 gn (x) 与 gn1(x) 的根相间,即是指这两个正
相邻三项的递推关系为
H0(x)=1, H1(x)=2x Hn1(x) 2xHn (x) 2nHn1(x) n=1,2,…
(4) Jacobi多项式
定义9 [-1,1]上权函数为 (x) (1 x) (1 x) 的正
交多项式,其中>-1, >-1
记为
J
( n
,
)
(
x)
为gn(x) 的首次系数; dn≠0时,称
gn* ( x)
gn (为x)首 dn
次系数为1的n次多项式.
二、正交多项式性质
性质1 若 {gk ( x)}nk0是区间[a,b]上带权(x)的正交多
项式序列,则它们线性无关.
证明 对任意的x[a,b]
n
若 ck gk (x) 0 k 0
注：对一般区间[a, b]，先将 x 换为 t ，考虑 f (t)在[1, 1]上 的逼近Pn(t)，再将 t 换回x，最后得到Pn(x)。
五、其它正交多项式
(1) 第二类Chebyshev 多项式Un(x)
定义6 (-1,+1)上权函数 ( x) 1 x2的正交多项式
序列
sin[(n 1)arccosx]
||
T* n
(
x)
||
数值分析-第8讲(正交多项式最新)
a
＝ b j ( x ) k ( x ) j ( x )dx＝0
b j 0 a
k 1
Heut-lcf@
要证明： j， k ) (
b
a
( x ) j ( x ) k ( x )dx {
0， Ak 0,
jk jk
若对任意的 , k ( k , Qk 1 ) ( x ) k Qk 1 dx 0
2 k ( x ) 0
a
b
所以
{ k ( x )}在[a , b上]正交
Heut-lcf@
证毕
三、正交多项式系的主要特征
(1) n ( x )次数为n, 最高次项系数为 1
( 2)
{ 0 , 1 ,... n }线性无关
( 3)对Pn ( x ) H n 均可表为 0 ,... n的线性组合
若Ak 1, 则称之为标准正交函数 . 系
Heut-lcf@
例 如, 三角函数族
就是在区间 , 上的正交函数族 .
回忆傅氏级数的结论 三角函数系：
1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,.......
{1, cos x, sin x, cos 2 x, sin2 x,cos nx , sinnx ,}
429351431051432311115正交多项式序列正交化构造出heutlcf163com勒让德多项式权函数正交化得到的多项式一般表达式五勒让德legendre正交多项式heutlcf163com的勒让德多项式为显然最高项系数为的系数于是得首项正交性性质勒让德多项式的重要性奇偶性性质为奇数时奇函数为偶数时偶函数递推关系性质个不同的实零点内有在区间性质303515706310531523勒让德多项式集的前请同学们写出35315693429正交化得到的正交多项由序列它可表示为多项式就是切比雪夫arccoscos六切比雪夫chebyshev正交多项式heutlcf163com切比雪夫多项式权函数正交化得到的多项式arccoscos一般表达式heutlcf163com性质切比雪夫多项式的重要奇偶性性质递推关系性质个实零点内有在区间性质201650400112012805121204325762563216025612856112641848321010heutlcf163com七拉盖尔laguerre正交多项式heutlcf163com函数的最佳平方逼近heutlcf163com的最佳平方逼近函数
＝ b j ( x ) k ( x ) j ( x )dx＝0
b j 0 a
k 1
Heut-lcf@
要证明： j， k ) (
b
a
( x ) j ( x ) k ( x )dx {
0， Ak 0,
jk jk
若对任意的 , k ( k , Qk 1 ) ( x ) k Qk 1 dx 0
2 k ( x ) 0
a
b
所以
{ k ( x )}在[a , b上]正交
Heut-lcf@
证毕
三、正交多项式系的主要特征
(1) n ( x )次数为n, 最高次项系数为 1
( 2)
{ 0 , 1 ,... n }线性无关
( 3)对Pn ( x ) H n 均可表为 0 ,... n的线性组合
若Ak 1, 则称之为标准正交函数 . 系
Heut-lcf@
例 如, 三角函数族
就是在区间 , 上的正交函数族 .
回忆傅氏级数的结论 三角函数系：
1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,.......
{1, cos x, sin x, cos 2 x, sin2 x,cos nx , sinnx ,}
429351431051432311115正交多项式序列正交化构造出heutlcf163com勒让德多项式权函数正交化得到的多项式一般表达式五勒让德legendre正交多项式heutlcf163com的勒让德多项式为显然最高项系数为的系数于是得首项正交性性质勒让德多项式的重要性奇偶性性质为奇数时奇函数为偶数时偶函数递推关系性质个不同的实零点内有在区间性质303515706310531523勒让德多项式集的前请同学们写出35315693429正交化得到的正交多项由序列它可表示为多项式就是切比雪夫arccoscos六切比雪夫chebyshev正交多项式heutlcf163com切比雪夫多项式权函数正交化得到的多项式arccoscos一般表达式heutlcf163com性质切比雪夫多项式的重要奇偶性性质递推关系性质个实零点内有在区间性质201650400112012805121204325762563216025612856112641848321010heutlcf163com七拉盖尔laguerre正交多项式heutlcf163com函数的最佳平方逼近heutlcf163com的最佳平方逼近函数
3.3正交多项式
正交多项式
本节内容
正交多项式
正交函数族、 正交函数族、正交多项式 Legendre 正交多项式 Chebyshev 正交多项式
正交函数族
设 f(x), g(x) ∈ C[a, b]， ρ (x) 是 [a, b] 上的 ， 权函数，若 b ( f , g ) = ∫ ρ ( x ) f ( x ) g ( x )dx = 0
Chebyshev多项式 多项式
T0 ( x ) = 1
T1 ( x ) = x
T2 ( x ) = 2 x 2 − 1
T3 ( x ) = 4 x 3 − 3 x
T4 ( x ) = 8 x 4 − 8 x 2 + 1
T5 ( x ) = 16 x 5 − 20 x 3 + 5 x
M
(2) 奇偶性： Pn ( − x ) = ( −1) n Pn ( x ) 奇偶性： (3) 递推公式：( n + 1)Pn+1 ( x ) = (2n + 1) x Pn ( x ) − nPn−1 ( x ) 递推公式：
其中 P0(x) = 1, P1(x) = x，n = 1, 2, … ，
j≠k 0, ρ ( x )ϕ j ( x )ϕ k ( x )dx = Ak ≠ 0, j = k
举例
例：三角函数系 1， cos x，sin x，sin 2x，cos 2x，… ， ， ， ， ， 在 [-π, π] 上是带权 ρ (x)=1 的正交函数族 π
π 证： (1, 1) = dx = 2π ∫
(2) 奇偶性： Tn ( − x ) = ( −1) n Tn ( x ) 奇偶性： (3) 递推公式： Tn+1 ( x ) = 2 xTn ( x ) − Tn−1 ( x ) 递推公式：
本节内容
正交多项式
正交函数族、 正交函数族、正交多项式 Legendre 正交多项式 Chebyshev 正交多项式
正交函数族
设 f(x), g(x) ∈ C[a, b]， ρ (x) 是 [a, b] 上的 ， 权函数，若 b ( f , g ) = ∫ ρ ( x ) f ( x ) g ( x )dx = 0
Chebyshev多项式 多项式
T0 ( x ) = 1
T1 ( x ) = x
T2 ( x ) = 2 x 2 − 1
T3 ( x ) = 4 x 3 − 3 x
T4 ( x ) = 8 x 4 − 8 x 2 + 1
T5 ( x ) = 16 x 5 − 20 x 3 + 5 x
M
(2) 奇偶性： Pn ( − x ) = ( −1) n Pn ( x ) 奇偶性： (3) 递推公式：( n + 1)Pn+1 ( x ) = (2n + 1) x Pn ( x ) − nPn−1 ( x ) 递推公式：
其中 P0(x) = 1, P1(x) = x，n = 1, 2, … ，
j≠k 0, ρ ( x )ϕ j ( x )ϕ k ( x )dx = Ak ≠ 0, j = k
举例
例：三角函数系 1， cos x，sin x，sin 2x，cos 2x，… ， ， ， ， ， 在 [-π, π] 上是带权 ρ (x)=1 的正交函数族 π
π 证： (1, 1) = dx = 2π ∫
(2) 奇偶性： Tn ( − x ) = ( −1) n Tn ( x ) 奇偶性： (3) 递推公式： Tn+1 ( x ) = 2 xTn ( x ) − Tn−1 ( x ) 递推公式：
数控铣削参数的回归分析及优化处理
要求 Ｙ 在一定范围 Ｙ≤ Ｙ≤ ｙ 内取值 ，应该把变量 。 ２
控制 在 什么范 围 内。
达到最小的值是最好的。 运 用数 学知 识 ， 不在 此 推导 ， 接应 用其 结果 直
事实上 ， 回归方程（ ） 用 １可知变量 取 ％时对应
Ｙ ＝口＋６ ０ ｏ
６等 ＝
口 Ｙ Ａ 一
加 工 过 程 进 行 控 制 和预 测 。用 一元 线 性 回归 处理 的
实验数据 ， 为生产提供参考经验公式 。
１ 用 一 元线 性 回归和 正 交 多项 式 分 析各 参
数 之 间的联 系
１１ 回归 方 程 的求解 ．
０２ ． ０ ４ ． ０６ ． ． ． ０ ３ ． ０ ５ ． ０ ７ ０ ８ Ｘ
度 高等特点 ， 对制 造业实现 自动化 、 集成化 、 智能化 即可 ， 没有什么具体参数供参考 ， 那么就研究跨度对 起着举足轻重的作用【 ｌ 】 。随着制造业与数控技术结合 加 工表 面 品质 的影 响 ，这 里 主要 分 析 表 面粗 糙 度 与
一
的 日益紧密 ， 机械制造设备 的数控化率 ， 已成为衡量 跨度之间的线性 回归关系。 个 国家制 造 技术 水平 的重要 标 志 。 测得 实 验数 据 如 表 １ 。 而在生产和科学研究 中， 常遇到不止一个变量 ， 而这些变量之间又存在复杂 的对应关系 、甚至是相
处理（ 为了方便表达 ， 麓代替 ’ 用 ） 。 据最小二乘法 ，求 回归系数归结为解线性方程
组
（ ｍｍ） ｄｉ
（
（／ ｉ ） （ ｍ （／ ｉ ） （ ｍ ｒ ｒ ｍａ ） ｒ ｒ ｍａ ）
ｌｌｌ １ｂ＋１ｂ＝ｚ ｆｂ＋１ ２ １ ３ ｌ ｌ ２ ３ ０
第四节 二次回归正交设计
第四节二次回归正交设计在应用一次回归正交设计时，如果经过假设检验，发现一次回归方程不合适，就需要用二次或更高次回归方程描述。
通常情况下，使用二次回归一般即可满足要求。
一、二次回归正交试验的组合设计方法二次回归设计就是采用二次多项式作为回归方程。
当变量数为P 时，二次回归模型的一般形式为(3-3-18) 在二次回归模型中，共有q个待估计参数因此，要建立有p个变量的二次回归方程，试验次数应大于q。
而且为了估计未知参数,每个变量所取得的水平不应小于3。
在三水平上做p个变量的全因素试验，试验次数为3p。
当p=4时，三水平的全因素试验次数数量是81次，比p=4时的二次回归系数要多4倍以上，以致剩余度过大。
为了有效地减少不必要的试验次数，提出一种组合设计法。
这种方法是在因素空间中选择几类具有不同特点的点，把它们适当组合成为一个试验计划，此计划应尽量减少试验次数，并且有正交性。
以p=2为例，在有两个变量x1,x2场合下，组合设计由以下9个试验点组成（见表3-3-13）：表3-3-13这9个试验点在平面图上的位置如图3-3-2所示。
图3-3-2当p=3，即有三个变量时，组合设计由15个试验点组成，见表2-14。
这15个试验点在空间的位置，如图3-3-3所示。
表3-3-14一般地，p个变量的组合设计由下列三类试验点组成：第一类点为二水平（-1和1）全因素试验的试验点，这类试验点共有2p个，如果采用1/2或1/4 实施法，则为2p-1或2p-2个试验点。
第二类点为分布在p个坐标轴上的星号点，这类试验点共有2p个，它们与中心点的距离为，称为星号臂。
是待定系数，可根据不同的要求确定值。
第三类试验点为中心点，即各变量都取零水平的试验点。
在中心点上的试验可以只做一次，也可以重复做若干次。
若以N0表示第一类试验点个数，以m0表示第三类试验点个数，则p个变量的组合设计试验点数N为：N=N0+2p+m0用组合设计安排的试验计划有一系列优点：首先，它的试验点比三水平的全因素试验少得多，但仍保持足够的剩余度。
数值分析5 5正交多项式
m, n 1,2,
cos
nx,
cos
mx
, m
0, m
n ,
n
m 0,1,2,
n 1,2,
➢ [a, b] 上带权 x的正交函数系必是线性无关的函数系,
而不论 x是什么函数.
因为, 若 c00x c11x cnnx 0, a x b, 则
0 (0, i) ( c00 c11 cnn, i ) ci(i , i ciai
事实上,可以证明k 次正交多项式有k 个单根. 证明见教材
➢ 性质4 设{kx} 是区间[a, b] 上带权 x的正交多项式
系, 则 k 1时, 有如下的递推关系式:
k 1 ( x)
ak 1 ak
(x
k
)k
(x)
ak 1ak 1 a2
k
k 1 k1(x)
其中, ak 是kx的最高次项系数, 且
(1) (x2 1)m (m1) (x2 1)n (n1) dx L L
1
1
(1)m (x2 1)m (mm) (x2 1)n (nm) dx
1
1
(1)m (2m)!
( x 2
1)n
(nm)
dx
mn
(1)m
(2m)! ( x 2
1)n
( n m 1)
1
1
1
知有表达式
1
1
Lm
( x) Ln
则称{nx}是[a, b] 上带权 x的正交函数系.
例 三角函数族 {1,cosx ,sinx,cosx2,sinx2,…} 是[ , ]上的正
交函数系.
证明：
1,1 2 sin nx,cos mx 0, m 0,1,2, n 1,2,
研究生数值分析(19)正交多项式
不为零的k次多项式，故 k (x) 0, (x [a,b])
因而有 (k ,k ) 0, k 0,1,
根据定义，{k (x)} 是[a，b]上带权ρ(x)的正交多项式系。
正交多项式的性质：
证毕。
性质1 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权的正交多项式系， 则 {ckk (x)} 也是[a ,b]上带权的正交多项式系，
{k (x), k 0,1,}
其中 k (x) 是最高次项系数为1的k次多项式。
正交化方法如下：
0 (x) 1
k1(x) xk1
k
akj j (x),
j0
k 0,1,
其中
akj
(xk1, j ) ( j , j )
,
j 0,1,, k
(x)i
(x)
j
(x)dx
0, ai
0,
i j i j
则称 {i (x)} 是[a，b]上带权ρ(x)的正交函数系。 特别地，若 k (x) , (k 0,1,) 是最高次项系数 不为零的k次多项式，则称 {k (x)} 是[a，b]上带 权ρ(x)的正交多项式系。
b
a (x)q(x)k (x)dx 0,
k 1,2,
所以，对于 j (x) , ( j 0,1,k 1)
b
a (x) j (x)k (x)dx 0,
k 1,2,
即 ( j ,k ) 0,
jk
又因 k (x) , (k 0,1,) 是最高次项系数
b
a (x)q(x)k (x)dx 0,
证明必要性
k 1,2,
任何次数不高于k-1的多项式 q (x) （k≥1）