现代测量学第五章

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大地测量学基础：第5章大地测量基本技术与方法(1)

第五章大地测量基本技术与方法
§5－1 建立国家平面大地控制网的基本原理 §5－2 建立国家高程控制网的基本原理 §5－3 建立工程测量控制网的基本原理 §5－4 大地测量仪器 §5－5 精密角度测量方法 §5－6 精密距离测量方法 §5－7 精密高差测量方法备讲1—精密水准仪与水准尺的检验备讲2—球气差系数和大气折光系数备讲3—三角高程测量的精度备讲4—垂线偏差对三角高程的影响
折角，折线上的转折点叫导线点（控制点）。 • 测定导线点平面坐标的工作叫导线测量。通过测量导线边长和转
折角，再根据起算点及附合点的已知数据，可求出所有导线点的平面坐标。
β
D
• 导线的形式：附合导线、闭合导线、支导线和导线网。
• 导线网是由若干条附合导线或闭合导线构成的网状图形。 • 导线网包括：一个节点的导线网、两个以上节点的导线网和两个
A
a
az B
• VLBI测量长度的相对精度可达10-6。
• 该技术在研究地球极移、地球自转速率的短周期变化、地球固体潮、大地板块运动的相对速率和方向中得到广泛的应用，在常规大地测量中很少用。
3*、惯性测量系统(INS)
• 惯性测量是利用惯性力学基本原理，在相距较远的两点之间，对装有惯性测量系统的运动载体(汽车或直升飞机)从一个已知点到另一个待定点的加速度，分别沿三个正交的坐标轴方向对加速度分量进行两次积分，从而求定其运动载体在三个坐标轴方向的坐标增量，进而求出待定点的位置。
• 因此，在普遍应用全站仪和GPS定位技术的现代，城市控制测量和工程控制测量基本上不采用三角网。
2. 导线测量法 • 导线：由设站点（控制点）连成的折线（若干条直线首尾相连）。 • 布设控制点时，使点与点之间单线相连形成链状折线，测量出边

测量学第五版课后习题答案(中国矿业大学出版社高井祥)

第一章绪论1测量学在各类工程中有哪些作用？答：测量学在诸多工程中有着重要的作用，比如在地质勘探工程中的地质普查阶段，要为地质人员提供地形图和有关测量资料作为填图的依据；在地质勘探阶段，要进行勘探线、网、钻孔的标定和地质剖面测量。

在采矿工程中，矿区开发的全过程都要进行测量，矿井建设阶段生产阶段，除进行井下控制测量和采区测量外，还要开展矿体几何和储量管理等。

在建筑工程中，规划和勘测设计的各个阶段都要求提供各种比例尺的地形图；施工阶段，将设计的建筑物构筑物的平面位置和高23可4为y轴，5的精度。

测量工作应遵循的另一个原则就是“步步有检核”。

这一原则的含义是，测量工作的每项成果必须要有检核，检查无误后方能进行下一步工作，中间环节只要有一步出错，以后的工作就会徒劳无益，这样可保证测量成果合乎技术规范的要求。

6测量工作的基本内容是什么?答高程测量、距离测量和水平角测量是测量的基本工作。

第二章距离测量和直线定向1何谓水平距离，已知倾斜距离如何求水平距离?答两点间的水平直线距离即为水平距离。

1>若已知倾斜角δ，则水平距离为cos=；l Lδ2>若倾斜角δ未知，测定两点间的高差h，则水平距离为l2用钢尺往、返丈量了一段距离，其平均值为176.82m，要求量距的相对误差为1/2000,那么往返距离之差不能超过多少?答不应超过0.0884m3为什么要进行直线定向?怎样确定直线方向?答确定地面两点在平面上的相对位置，除了需要确定两点之间的距离外，还要确定两点间的直采用490。

5何谓子午线收敛角和磁偏角？已知某地的磁偏角为-AB用γ6已知α答R第三章1三个条件。

保持前后视距离大致相等，可以消除因视准轴与水准管轴不平行而引起的误差。

当用眼睛在目镜后上下微微晃动，若发现十字丝与目标影像有相对运动，则说明物像平面与十字丝平面不重合，这种现象称为视差。

消除的方法是重新进行对光，直到眼睛上下移动，水准尺上读数不变为止。

现代普通测量学课后习题答案第二版(清华大学出版社)

现代普通测量学课后习题答案第二版（清华大学出版社）现代普通测量学课后习题答案第二版（清华大学出版社）第1章绪论教材第7页作业一、第3题现代测绘学的任务是什么？答：现代测绘学的任务是：研究人类对赖以生存的地球环境信息的采集、量测、描述和利用的科学。

其内容包括： 1、研究和测定整个地球的形状和大小以及外层空间宇宙星体的自然形态、人文设施以及与其属性有关的信息。

2、测绘各地区的地形图，建立地理信息系统；为国防建设和国民经济建设、规划和设计等，提供空间基础地理信息和电子地图。

3、将图纸上设计好的建筑物、构筑物等工程测设到实地上去，作为施工的依据。

作业二、第5题测量学在土木工程建设中有哪些作用？答：１、建筑测量将设计好的构建筑物的空间位置，测设于实地，包括建筑物轴线、场地平整、高程和垂直度的控制、设备安装测量。

2、桥梁工程包括桥梁控制网、桥墩、及其附属建筑物的测量工作。

3、地下工程施工测量地下隧道、地铁工程等测量工作 4、变形监测在施工的同时，要根据建构筑物的要求，进行变形观测，直至建构筑物停止变形为止，以监测构建筑物的变形情况，为施工和保护建筑物提供第一手资料。

第2章测量学的基础知识教材第24页作业三、第1题何谓大地水准面？它在测量工作中起何作用？答：用静止的海水面延伸并通过陆地而形成的一个闭合曲面，来代替地球的自然表面。

其中通过平均海水准面的哪一个，称为大地水准面。

在测量工作中的作用是：作为（水准）绝对高程系统的一个基准面。

作业四、第3题参考椭球和地球总椭球有何区别？答：区别为：参考椭球只用与个别国家或局部地区，具有局限性。

总地球椭球用与世界各国，是目前与大地体密合的最好的椭球体。

作业五、第4题测量中常用坐标系有几种？各有何特点？不同坐标系间如何转换坐标？答：（1）天文坐标系；（2）大地坐标系：以大地经度L，大地纬度B和大地高H表示地面点的空间位置，以法线为基准线，椭球体面为基准面，因此同一点的垂线和法线不一致，因而产生垂线偏差，目前我国常用的坐标系有：① 1954年北京坐标系；② 1980年国家大地坐标系；③ WGS~84坐标系。

《现代测量学》教学指南

教学大纲一、课程教学目的本课程是测绘导航本科各类专业的一门专业基础必修课。

通过学习，能够让学生建立测绘科学与技术的整体概念，了解测绘学科的总貌，掌握现代测量学的基本理论、技术与方法，并培养学生良好的测绘业务作风和团队精神，为进一步学习其他专业课打下坚实基础。

二、课程教学任务通过本课程的学习，要求学生理解现代测量学的基本概念，地形控制测量和测绘数字地形图的基本理论，地物地貌测绘的基本原理，数字地形图数据处理的基本理论；学会拟定数字地形测图任务的技术方案并撰写技术总结；正确使用测量仪器并掌握基本检校方法；灵活运用控制测量布设和观测方法、碎部点测量方法；掌握控制测量的计算方法、数字地形图的数据采集及编辑成图的基本技能。

学生应全程参加数字测图综合实习，感受野外测量作业的全过程；要重视将测量理论与实践相结合，遵守测量规范和技术规定，与作业小组的其他成员就所遇到的实际问题进行讨论和交流。

要在学习和实践中，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力；养成良好的业务作风，树立不怕吃苦、勇于克服困难的专业精神；注重培养学生科学探索精神、创新意识和团队精神。

三、教学内容及基本要求模块一现代测量学基础1.教学内容（1）现代测量学概述（2）地球形状、大小及其基准面（3）地理坐标和高程（4）高斯―克吕格投影（5）地形图和比例尺（6）方位角及其偏角（7）地形图的分幅与编号（8）地形图的图幅元素2.教学目标理解地球自然表面、大地水准面、参考椭球面的基本概念与性质，说明三者之间的联系与区别；理解椭球定位的概念；解释野外测量和计算的基准面和基准线，理解垂线偏差的概念。

阐述地理坐标的概念与定义；理解高程和高差的概念，并解释1956年黄海高程系和1985国家高程基准。

了解地图投影的概念、作用与分类，理解高斯―克吕格投影的概念、特性以及正反算的含义。

理解地形图和比例尺的概念与分类，说明我国地形图的基本比例尺系列；理解比例尺最大精度的概念，并学会使用根据比例尺的最大精度计算相应测图比例尺的方法。

现代普通测量学(第2版)考试重点

第一章绪论地面空间信息学定义：对地球整体及其表面和外层空间的各种自然和人造实体，利用接触式非接触式测量仪器、传感器及其组合系统，对其进行信息的采集、量测、存储、管理、更新、分析、显示、开发和利用的一门科学和技术。

现代测绘学的任务：对与地理空间分布有关的信息进行采集、量测、管理等，使之成为地形原图，或地理数据库以进行更新、分析、开发和利用。

第二章测量学的基础知识大地水准面定义：处在海洋面平衡、静止状态的水准面（封闭曲面）高差定义：一点到另一点高程的增量h PQ=H Q—H P测量基本工作：水平距离测量、水平角测量、高差测量测量工作组织程序和原则：从整体到局部、先控制后碎部、步步检核普通测量学内容：1、测定：地形图的测绘；2、测设：施工测量（施工放样）；3、监测测设定义：将图上设计的建（构）筑物的位置确定在地面上，作为施工的依据。

第三章水准测量水准点定义：用水准测量法测定高程的点水准仪轴线应满足的关系：1、竖轴平行于圆水准器轴；2、十字丝横丝应水平；3、视准轴平行于水准管轴第四章角度测量经纬仪的轴系关系：水准管轴竖轴横轴视准轴水准管轴⊥竖轴横轴⊥视准轴横轴⊥竖轴竖丝铅垂经纬仪的使用：对中：目的是使仪器的中心与测站点在同一铅垂线上整平：目的是使仪器的竖轴竖直，水平度盘水平水平角测量测回法：仪器安置于测站点O,盘左位置瞄准A点、度盘拨零(或略大于0°)、进行记录、顺时针旋转照准部瞄准B点、读数记录、计算上半测回角值β上；盘右瞄准B点、读数记录、逆时针旋转照准部瞄准A点, 读数记录、计算下半测回角值β下；检核合格(|β上-β下|≤40")后,取平均值β=(β上+β下)/2作为一测回最后结果。

经纬仪轴线应满足的关系：水准管轴⊥竖轴横轴⊥视准轴横轴⊥竖轴竖丝铅垂方向观测法水平角测量误差：仪器误差：视准轴误差可采用盘左、盘右观测结果取平均值的方法消除横轴误差可采用盘左、盘右观测结果取平均值的方法消除度盘偏心差可采用盘左、盘右观测结果取平均值的方法消除竖盘指标差可采用盘左、盘右观测结果取平均值的方法消除度盘刻划误差可采用测回间变换度盘位置的方法减小其影响观测误差：对中误差在角度接近180º，边长较短时影响大，应精密对中标杆倾斜误差照准标杆底部或用垂球线代替标杆照准误差仔细照准读数误差多次读数取平均减小影响外界条件影响：温度、大气折光等可撑伞并选择有利观测时段减小其影响第五章距离测量与直线定向水平距离定义：地面上两点沿铅垂方向投影在水平面上的长度直线定线定义：在直线上定截点的工作全站仪定义：是集电子经纬仪、光电测距仪和微处理器为一体第六章测量误差及数据处理的基本知识（测量误差）真误差 =L（某量的观测值）-X（该量的真值）偶然误差特性：1、偶然误差的大小不超过一定的界限（有界性）2、小误差出现的机会比大误差多（单峰性） 3、绝对值相等的正、负误差出现的个数大致相等（对称性）4、对一个量进行复测最或是值定义：以相同精度，对某量进行n次观测的算术平均值最或是误差：v1=l1（观测值）-x（最或是值）第七章大比例尺地形图及其测绘地形图定义：地形图是按一定的比例尺，用规定符号表示地物、地貌平面位置和高程的正射投影图。

现代普通测量学课后习题答案-第二版-(修订版)

现代普通测量学课后习题答案-第二版-(修订版)现代普通测量学课后习题答案第1章绪论教材第7页作业一、第3题现代测绘学的任务是什么？答：现代测绘学的任务是：研究人类对赖以生存的地球环境信息的采集、量测、描述和利用的科学。

其内容包括：1、研究和测定整个地球的形状和大小以及外层空间宇宙星体的自然形态、人文设施以及与其属性有关的信息。

2、测绘各地区的地形图，建立地理信息系统；为国防建设和国民经济建设、规划和设计等，提供空间基础地理信息和电子地图。

3、将图纸上设计好的建筑物、构筑物等工程测设到实地上去，作为施工的依据。

2、桥梁工程包括桥梁控制网、桥墩、及其附属建筑物的测量工作。

3、地下工程施工测量地下隧道、地铁工程等测量工作4、变形监测在施工的同时，要根据建构筑物的要求，进行变形观测，直至建构筑物停止变形为止，以监测构建筑物的变形情况，为施工和保护建筑物提供第一手资料。

其中通过平均海水准面的哪一个，称为大地水准面。

在测量工作中的作用是：作为（水准）绝对高程系统的一个基准面。

作业四、第3题参考椭球和地球总椭球有何区别？答：区别为：参考椭球只用与个别国家或局部地区，具有局限性。

总地球椭球用与世界各国，是目前与大地体密合的最好的椭球体。

作业五、第4题测量中常用坐标系有几种？各有何特点？不同坐标系间如何转换坐标？答：（1）天文坐标系；（2）大地坐标系：以大地经度L，大地纬度B和大地高H表示地面点的空间位置，以法线为基准线，椭球体面为基准面，因此同一点的垂线和法线不一致，因而产生垂线偏差，目前我国常用的坐标系有：①1954年北京坐标系；②1980年国家大地坐标系；③WGS~84坐标系。

测量学第五章

P=ab
设非线性函数的一般式为：
z f ( x1 , x2 , x3 , , xn )
式中： xi 为独立观测值；
m1, m2 , m3 , , mn 为独立观测值的中误差。
求函数的全微分，并用“Δ”替代“d”，得
f f f Z ( ) x1 ( ) x2 ( ) xn x1 x2 xn
二、观测值的函数（一）和差函数
（二）倍函数
（三）线性函数（四）一般函数
三.线性函数
设线性函数的一般式为：
z k1 x1 k2 x2 k3 x3 kn xn
式中：k i 为系数；
xi
为独立观测值。
z
当观测值的中误差分别为 m1, m2 , m3 , , mn 时，按误差传播定律，函数的中误差用下式计算：
推导过程
设未知量的真值为X，可写出观测值的真误差公式为
i li X
（i=1，2，…，n）
将上式相加得
1 2 n (l1 l2 ln ) nX
或
[] [l ] nX
故
X
l
n n
算术平均值真误差 x
M lim n
2 n
式中：M2称为中误差平方。实际工作中，由于n 值总是有限的，故使用时M的估值常由中误差m 表达，即 m n

式中： 2 22 23 ... 2n 1 分析中误差小，观测精度高。
k m D 1
D m
[例] 已知：D1=100m, m1=±0.01m
D2=200m, m2=±0.01m 求： K1, K2 解： K m1 0.01 1 1 D 100 10000

现代普通测量学第5章(2008)

图5-2 平坦地面的距离丈量
△
测钎
A
合肥工业大学
土建学院测量工程系

B

DAB=n+△ 为整尺段长 △为余长
2.倾斜地面丈量
地面坡度均匀，将量得的倾斜距离S归算成水平距离D。高差h用水准仪测定。
D S 2 h2 水平距离： D S D h 或 h2 Dh 2S
299792458m／s；上式为电磁波测距基本原理公式。测定t方法有①直接测时②间接测时。测定距离的精度，主要取决于测定时间的精度， 1 微分(1)式 : dD cdt (2) 2 换成中误差 : 1 mD cmt (3) 2
例如要求保证±lcm的测距精度，时间测定要求准确到 6．7×10-11s，这是难以做到的。因此，大多采用间接合肥工业大学测定法来测定。
1.视距公式：
D D ' cos kl' cos kl cos 2
2.高差公式：
A
高差主值
h ' D tan
合肥工业大学
土建学院测量工程系
AB高差
h h ' i s D tan i s
三.视距测量观测和计算
观测：在测站安臵经纬仪，对中、整平、量仪器高 i(至厘米)；在测点竖水准尺，瞄准(要求三丝都能读数)。读数：每个测点读四个读数上丝读数 m 下丝读数 n 中丝读数 s 竖盘读数 L
合肥工业大学
土建学院测量工程系
距离测量：测定地面点之间的水平距离
1.钢尺量距 2.电磁波测距 3.三角测量法 4.视距测量法主要指用钢卷尺量距
5.卫星测距
一般认为1、2为直接测距，3、4、5为间接测距。合肥工业大学土Fra bibliotek学院测量工程系

现代普通测量学(第2版)课后习题参考答案

《现代普通测量学》习题参考答案第1章绪论略第2章测量学的基础知识一、学习目的与要求1.掌握测量学的基础知识，清楚参照系的选择和地面点定位的概念。

2.了解水准面与水平面的关系。

3.明确测量工作的大体概念。

4.深刻理解测量工作的大体原则。

5.充分熟悉普通测量学的主要内容。

二、课程内容与知识点1.地球特征，大地水准面的形成，地球椭球选择与定位。

地球形状和大小。

水准面的特性。

参考椭球面。

2.肯定点位的概念。

点的平面位置和高程位置。

3.测量中常常利用的坐标系统，坐标系间的坐标转换。

天文坐标（λ，φ），大地坐标（L ，B ），空间直角坐标（X ，Y ，Z ），高斯平面直角坐标（x ，y ），独立平面直角坐标（x ，y ）。

高斯投影中计算带号的公式：()()取整数部分取整数部分=+︒-==+=13/'30116/P P n N λλ计算中央子午线的公式：n N 33636=︒-︒=︒︒λλ 4.地面点的高程。

1985年国家黄海高程基准。

高程与高差的关系：''A B A B AB H H H H h -=-=。

5.用水平面代替水准面的限度。

对距离的影响：223RD D D ≈∆ 对水平角的影响："6.0≤ε 对高差的影响：R D h 2/2=∆ 6.测量工作的大体概念。

测量工作的原则：从整体到局部、先控制后碎部；步步检核。

测量工作的内容：地形图测绘，施工测量。

三、习题与思考题1.何谓大地水准面？它在测量工作中起何作用？答：静止平衡状态下的平均海水面, 向大陆岛屿延伸而形成的闭合水准面。

特性: 唯一性、等位面、不规则曲面；作用：测量野外工作的基准面。

2. 测量中常常利用的坐标系有几种？各有何特点？不同坐标系间如何转换坐标？答：测量中常常利用的坐标系统有：天文坐标系、大地坐标系、高斯平面直角坐标系、独立平面直角坐标系。

3. 北京某点的大地经度为116º20′，试计算它所在的六度带和三度带带号，相应六度带和三度带的中央子午线的经度是多少？答：()().391]3/'301[;201191]6[=+︒-==+=+=P P n N λλ L 0=6 ºN -3 º=117 º ；L ’0 =3ºn=117 º。

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地理信息与旅游学院国土信息工程系
例如，对三角形的三个内角进行测量，由于观测值含有偶然误差，三角形各内角之和l不等于其真值 180˚。用X表示真值，则l与X的差值Δ称为真误差（即偶然误差），即
l- X
现在相同的观测条件下观测了217个三角形，计算出217个内角和观测值的真误差。再按绝对值大小，分区间统计相应的误差个数，列入表中。
5.3观测值算术平均值及其中误差
二、观测值的中误差
地理信息与旅游学院国土信息工程系
观测量的算术平均值与观测值之差，称为观测值改正数，用v表示。当观测次数为n时，有：
＝
测得值
－真值
真值（True Value）：观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。
5.1 测量误差的概念
地理信息与旅游学院国土信息工程系
正确认识误差的性质，分析误差产生的原因从根本上，消除或减小误差正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果通过计算得到更接近真值的数据
正确组织实验过程，合理设计、选用仪器或测量方法
从误差统计表和频率直方图中，可以得出结论：（1）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差个数多；（2）绝对值相等的正负误差的个数大致相等；（3）最大误差不超过27″。
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偶然误差的四个特性：
（1）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出该限值的误差出现的概率为零(有界性) ；（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大(趋向性 )；（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同(对称性) ；（4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数n的无限增大而趋于零(抵偿性) ，即
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（3）掌握衡量精度的标准，误差传播定律，算术平均值及其中误差的计算。测量误差的分类，偶然误差的特性，用改正数计算中误差，算术平均值中误差加权平均数及中误差误差传播定律，算术平均值及其中误差的计算
重点难点：
5.1 测量误差的概念
地理信息与旅游学院国土信息工程系
(b)
(c)
弹着点集中，但偏向一方，命中率不高。相当于系统误差大而偶然误差小，即精密度高，正确度低。
弹着点集中靶心。相当于系统误差与偶然误差均小，即精密度、正确度都高，从而准确度亦高。
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1、精度的意义
精度——误差分布的密集或离散的程度精度反映的是观测条件
5.2衡量精度的指标
一、中误差(标准差、均方差、方根差）
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设在相同的观测条件下，对某量进行n次重复观测，其观测值为l1，l2，…，ln，相应的真误差为Δ1，Δ2，…，Δn。真误差的平方和的平均值的平方根，作为评定精度的标准，这就叫中误差，以m表示：
中误差公式为：式中
2．人为因素
由于观测者感觉器官鉴别能力的局限性所引起的误差。
5.1 测量误差的概念
3．外界条件的影响
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主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、大气折光、风力等因素的不断变化，会导致观测结果中带有误差。
可见，观测条件不可能完全理想，测量误差的产生不可避免。但是，在测量工作实践中，可以采取一定的措施和方法来改善乃至控制观测条件，从而能够控制测量误差。综上所述，观测结果的质量与观测条件的优劣有着密切的关系。观测条件好，观测误差就可能会小一些，观测质量相应地会高一些；反之，观测结果的质量就会相应降低。当观测条件相同时，可以认为观测结果的质量是相同的。
系统误差具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。（检校仪器、求改正数、对称观测）
例如：钢尺尺长误差、钢尺温度误差、水准仪视准轴误差、经纬仪视准轴误差。
5.1 测量误差的概念
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3．偶然误差
在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果观测误差的符号和大小都不一致，表面上没有任何规律性，这种误差称为偶然误差。偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是随着对同一量观测次数的增加，大量的偶然误差就表现出一定的统计规律性，观测次数越多，这种规律性越明显。
现代测量学
滁州学院国土信息工程系
第五章：测量误差基本理论
5.1 测量误差的概念 5.2 衡量精度的指标
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5.3 观测值算术平均值及其中误差
5.4 误差传播定律 5.5 不同精度观测值的直接平差
教学目标
（1）了解测量误差产生的原因和测量误差的分类。（2）熟悉测量误差的分类，偶然误差的特性。
前面所学的水准测量、角度测量及距离量测，在实际测量过程中我们发现观测结果中不可避免地存在着测量误差。在测量工作中，观测者无论使用多么精良的仪器，操作如何认真，最后仍得不到绝对正确的测量成果,这说明在各观测值之间或在观测值与理论值之间不可避免地存在着差异，我们称这些差异为观测值的测量误差。误差
5.1 测量误差的概念
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人、仪器和外界条件，通常称为观测条件。
观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；
观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测。
5.1 测量误差的概念
地理信息与旅游学院国土信息工程系
二、测量误差的分类
表示形式
误差
性质特点
绝对误差
相对误差
系统误差
解
mK 1
m1 0.01 m 1 D1 100 m 10000
m 2 0.01 m 1 mK2 D2 30 m 3000
5.2衡量精度的指标
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三、极限误差在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，称为极限误差，也称限差或容许误差。
P 2m
将上式内各式两边相加，并除以n，得
l n n
X
L
l
n
L X

n
5.3观测值算术平均值及其中误差
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根据偶然误差的特性，当观测次数n无限增大时，则有
lim
n

n
0
→
lim L X
n
算术平均值较观测值更接近于真值。将最接近于真值的算术平均值称为最或然值或最可靠值。
L0
相对误差
特点：
1）相对误差有大小和符号。 2）一般用百分数来表示。
5.1 测量误差的概念
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1．粗差
在观测结果中，有时还会出现错误，称之为粗差
粗差在观测结果中是不允许出现的，为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取必要的检核措施。
5.1 测量误差的概念
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根据目标确定最佳系统
5.1 测量误差的概念
一、测量误差产生的原因
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测量工作是在一定的条件下进行的，一般来说，外界环境、测量仪器和观测者构成观测条件。而观测条件不理想或不断变化，是产生测量误差的根本原因。
1．测量仪器和工具
由于仪器和工具加工制造不完善或校正之后残余误差存在所引起的误差。
24″～27″
27″以上合计
1
0 107
0
0 110
1
0 217
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用频率直方图表示的偶然误差统计：
y
正态分布曲线
-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 -24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24
x=
误差分布频率直方图
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lim
n
1 2 n n
lim
n

n
0
1
式中 [Δ] ——偶然误差的代数和，

2 n
上述偶然误差的四个特性具有普遍性，对误差理论的研究和测量实践都有重要意义。
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处理偶然误差的方法（1）提高仪器等级；
或
P 3m
如果某个观测值的偶然误差超过了容许误差，就可以认为该观测值含有粗差，应舍去不用或返工重测。
5.3观测值算术平均值及其中误差
一、算术平均值
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设观测量的真值为X，观测值为li，则观测值的真误差为：
1 l1 - X 2 l2 - X n ln - X
（2）降低外界影响；
（3）进行多余观测。目的：误差检验；求平差数即算术平均值；精度评定。
5.2衡量精度的指标
两组距离观测的结果
3.867 3.860 3.866 3.862 3.868 3.870 3.865 3.877
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x 3 . 867
x 3 .867
真值－－误差
测得值
特点： 1) 与误差大小近似相等，但方向相反。
2) 改正值本身还有误差。
5.1 测量误差的概念
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相对误差（Relative Error）：绝对误差与被测量真值之比定义
r
L
L0
绝对误差被测量的真值，常近似用测量值 L 来代替
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真误差绝对值大小统计结果
误差区间 0″～3″ 3″～6″ 6″～9″ 9″～12″ 12″～15″ 15″～18″ 18″～21″ 21″～24″ 正误差个数 30 21 15 14 12 8 5 2 负误差个数 29 20 18 16 10 8 6 2 总计 59 41 33 30 22 16 11 4