例谈运用物理思维求解极值问题
例物理题解中的极值问题
例谈物理题解中的极值问题摘要：目的 培养学生用数学知识与物理思维解决极值问题的能力。
方法 对常见的运动学，动力学，静电学等极值问题利用数理结合的思想加以解决。
结果 提高了学生分析，解决极值问题的能力。
结论 在掌握解决极值问题的同时，有益于培养学生科学的思维方法，提高了学生的应变能力和分析解决问题的能力。
关键词：极值问题；数学知识；物理思维；结合物理题解中的极值问题是高考考察的重点知识之一，在平时训练时，我们认为不能让学生拘泥于某种特定的形式。
经教学实践证明，应从题目的具体情况出发，采用数学知识与物理思维相结合的方法，可以提高学生解决极值问题的能力。
本文将通过几个例子进行论证，如有不当之处，恳请指正。
一、不等式方法的应用例 如图1所示，A 、B 为两个带有同种电荷的小球，质量都是m ，用两根长为L 的细丝线将这两球吊于点O 。
当把球A固定在点O 的正下方时，球B 偏转的角度α=600，求A 、B 两球带总电量的最小值。
图1解析 设A 、B 两球所带电荷量分别为Q A ，Q B 。
由题意可知，球B 偏离竖 直方向600后处于平衡状态。
以B 为研究对象，球 B 受三个力：重力mg ，线 图2的拉力T ，A 对B 的库仑力F ，受力分析如图2所示：由物体的平衡条件有 F=mg （1） 由库仑定律有 F=2LQ KQ BA （2） 联立（1），（2）式得，Q A QB =Km gL2=常数由数学基本不等式ab b a 2≥+可以知道当且仅当Q A =Q B 时，Q A +Q B 有最小值，即(Q A +Q B )min =2KmgL2点评 基本不等式是求解极值问题中常用的数学知识之一。
本题通过对B 球的受力分析、结合不等式的思想，考察了学生运用数学知识解决物理极值问题的能力。
二、矢量图解法的应用 例 设湖岸MN 为一直线，有一小船自岸边的A 点沿与湖岸成角015=α匀速向湖中驶去。
有一人自A 点同时出发，他先沿岸走一段再入水中游泳去追船。
物理解题方法二极值法
四、用二次函数判别式求极值
若所求物理量的表达式为二次函数“Y=ax2+bx+c”的 形式，将该表达式整理得方程“ax2+bx+(c-y)=0”，要 使方程有解，该函数判别式△=b2-4a(c-y)≥0，由此可 解极值。
[例5]一点光源从离凸透镜无限远处沿主轴移到焦点， 移动过程中，点光源和所成的像间距离的变化情况是 ： （）
六、用假设推理法求极值
通过假设法使研究对象处于临界状态，然后再利 用物理规律求得极值。（“临界”法）
[例7]如图，能承受最大拉力为10N的细OA与竖直方向成450，能 承受最大拉力为5N的细线OB水平，细线OC能承受足够大的拉力， 为使OA和OB均不被拉断，OC下端所悬挂物体P最重不得超过多 少？
二、利用三角函数法求极值 如果所求物理量表达式中含有三角函数， 可利用三角函数求极值。 1．若所求物理量表达式可化为“y=A sinθ cosθ”形式（即y= sin2θ）,则在θ=45o时，y有极 值A/2。
[例2]如图，n个倾角不同的光滑斜面具有共同 的底边ＡＢ，当物体沿不同的倾角无初速从顶 端滑到底端，下列哪种说法正确（ ） （A）倾角为30o时,所需时间最短。 （B）倾角为45o时,所需时间最短。 （C）倾角为75o时,所需时间最短。 （D）所需时间均相等。
七、用图象法求极值
通过分析物理过程中遵循的物理规律，找到变量间 的函数关系，作出其图象，由图象可求得极值。
[例8]两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶， 速度均为V0，若前车突然以恒定加速度刹车，在它刚停止 时，后车以前车刹车时的加速度开时刹车，已知前车在刹 车过程中行驶距离为S。在上述过程中要使两车不相撞， 则两车在匀速运动时，报持的距离至少应为：（ ）
方法案例物理解题中求极值的常用方法
校干市掉吃阳光实验学校案例51 物理解题中求极值的常用方法二运用数学工具处理物理问题的能力是高考考查的五种能力之一，其中极值的计算在教频繁出现。
因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，该得到足够。
另外很多学生数、理结合能力差，这里正是数理结合的“切人点〞。
学生求极值，方法较少，教师该在高考专题复习中提供多种求极值的方法。
求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面对数学方法求解物理极值问题作些说明。
1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数y=ax 2+bx+c,假设a>0,那么当x=-a b2时,y有极小值，为y min =a b ac 442-； 假设a<0,那么当x=-ab2时,y有极大值，为y max =ab ac 442-；2、利用一元二次函数判别式求极值 对于二次函数y=ax 2+bx+c ，用判别式法 利用Δ＝b 2-4ac ≥0。
(式中含y) 假设y ≥A ，那么y min ＝A 。
假设y ≤A ，那么y max ＝A 。
3、利用配方法求极值对于二次函数y=ax 2+bx+c ，函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：〔1〕当x ＝A 时，常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = －( x －A )2+常数。
〔2〕当x ＝A 时，常数为极大值。
4、利用均值理法求极值 均值理可表述为≥+2ba ab ，式中a 、b 可以是单个变量，也可以是多项式。
当a ＝b 时， (a+b)min ＝2ab 。
当a ＝b时， (a+b) max ＝2)(2b a +。
5、利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。
假设所求物理量表达式可化为“y=Asin ααcos 〞的形式，那么y=21Asin2α，在α=45º时，y 有极值2A。
对于复杂的三角函数，例如y=asin θ+bcos θ，要求极值时先需要把不同名的三角函数sin θ和cos θ，变成同名的三角函数，比方sin(θ+ф) 。
物理解题方法 极值法0
三、 用不等式法求极值 如果所求物理量表达式可化为“Y=Kab”的形式，其中均为a、b变量，但a+b=恒量（a>0、b>0），则可根据不等式性质ab≤(a+b)2/2求极值。（“定和求积法”） [例4]一个下端封闭,上端开口的粗细均匀的玻璃管,竖直放置,管全长90厘米,管中有一段长20厘米的水银柱,在温度270C时,水银柱下面空气柱长为60厘米,若外界大气压P0=76cmHg,要使管中水银全部溢出,温度至少应升到多少?
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二、利用三角函数法求极值 如果所求物理量表达式中含有三角函数， 可利用三角函数求极值。 1．若所求物理量表达式可化为“y=A sinθ cosθ”形式（即y= sin2θ）,则在θ=45o时，y有极 值A/2。
[例2]如图，n个倾角不同的光滑斜面具有共同的底边ＡＢ，当物体沿不同的倾角无初速从顶端滑到底端，下列哪种说法正确（ ） （A）倾角为30o时,所需时间最短。 （B）倾角为45o时,所需时间最短。 （C）倾角为75o时,所需时间最短。 （D）所需时间均相等。
六、用假设推理法求极值 通过假设法使研究对象处于临界状态，然后再利用物理规律求得极值。（“临界”法）
[例7]如图，能承受最大拉力为10N的细OA与竖直方向成450，能承受最大拉力为5N的细线OB水平，细线OC能承受足够大的拉力，为使OA和OB均不被拉断，OC下端所悬y=asinθ +bcosθ ”,则将该式化为“y=a2+b2 sin(θ +Φ )”从而得出y的极值a2+b2 。（即“和差化积”法） [例3]质量为10千克的木箱置于水平地面上，它与地面间滑动摩擦因数µ= ，受到一个与水平方向成角θ斜 向上的拉力F，为使木箱作匀速直线运动，拉力F最小值为多大？
物理习题中极值问题的数学求解方法
物理习题中极值问题的数学求解方法江西宁都中学 卢加英江西省宁都县本文结合平常的习题教学，将高中物理习题中的极值问题解法归纳分类，以飨读者。
一、利用一元二次函数知识求极值 设有二次函数2224()22b ac b y ax bx c a x a a -=++=++ 若a ＜则y 有极大值，当2b x a=-时，2max 42ac b y a -= 若a ＞则y 有极小值，当2b x a=-时，2max 42ac b y a -= 例：一辆汽车以10m 的速度匀速直线行驶后，一辆摩托车从静止开始，在同一地点出发，以1m 的速度作匀加速直线运动追赶汽车，求二车何时相距最远？最远距离多大？ 解：设摩托车行驶秒后二车相距米，有()－12×× 即：－12 题中“何时相距最远”实际就是为何值时，有最大值依一元二次函数知识可知： 2b a-()时， ()例也可以借助如下方法进行求解 将－12变形为12－－＋ 要使方程有解，则△(－) －×12×(－＋)≥ 得≤200m ，即最大值200m二、利用一元二次方程根的判别式求极值应用该方法，宜选择适当的物理量作自变量，通过物理规律导出一个一元二次方程，利用△－ac ≥求解例：如图一，顶角为2θ的光滑圆锥置于磁感应强度为，方向竖直向下的匀强磁场中，现有一个质量为，带电量为的小球沿圆锥面在水平面内作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的最小半径。
解：以小球为研究对象，受重力，弹力及洛仑兹力的作用，如图建立坐标系设：轨道半径在x 方向：2N f F COS m R νθ-=①在y 方向：0N F Sin mg θ-= ②f BQ ν= ③整理得：2cot 0m QRB mgR ννθ-+=关于ν的一元二次方程中ν有实数解有△－4m 2θ≥≥ 2θ 即4m 2θ三、利用三角函数的有界属性求极值设有三角函数y Sinx =(或cos x )在定义域内一定有－≤≤即 －例：某人与一平直公路距离50m ，一客车以速度10m 沿此公路匀速驶来，当客车与人距离200m 时，人开始追赶，求人能追上客车的最小奔跑速度。
例析高中物理极值问题的求解方法
■ 周 宏 建
求极 值 问题 不止 在数 学 中出现 ， 在 物 ＋ ｑ的 小 球 ， 用 长
理 解 题 中 也 经 常 出 现 。 物 理 极 值 问 题 是 指
某 一 物 理 过 程 中 物 理 量 出 现 的 最 大 值 或 最 小值 。
一 ．
为 Ｌ 的 细 线 悬 挂
＼
球 使 细 线 水 平 并
矢 － 豳 法 伸 盲 。然 后 自 由 释 ，
高 中物理 中 ， 许 多物理 量 是矢 量 ， 求 矢 量
的最值 时 ， 矢 量 图 法 是 经 常 使 用 的 方 法 。 根 据平 行 四边 形 法 则 、 三 角 形 法 则 作 出 合 成 矢 量图， 结 合 题 目条 件 加 以 分 析 ， 解 决 极 值 问 题 就会 极为 简 洁方便 。 例 １ 一条 大河 宽 Ｌ一３ ０ ０ ｍ， 水 流 速 度 一３ ｍ／ ｓ ， 计 算 下
熟 练 掌 握 各 种 求 极 值 的 方 法 是 解 好 极 值
问题 的基 础 ， 选择合 适 的求 极值 方 法 ， 可 以 化 难 为易 ， 达 到 事 半 功 倍 的 效 果 。 并 且 将 数 学 思 想运 用 到物 理 中求 极 值 ， 不 但 有 助 于 学 生 提 高解 题能 力 ， 更 是扩 展 了学 生 的解 题 思维 ， 让 学 生能够 活学 活用 ， 融会 贯通 。 作者 单位 ： 江 苏 省 江 安 高 级 中 学
＝ ＝ ＝ １ ｍ／ ｓ ， 小 船 的速度
列情况 的渡河 时 间： （ １ ）以 最 短 时 间 渡 河 ；
（ ２ ） 以最 小 位 移 渡 河 ； （ ３ ）到 达 正 对 岸 上 游
高中物理八大解题方法之五：极值法
- 1 -高中物理解题方法之极值法江苏省特级教师 戴儒京高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。
本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。
一、 二次函数求极值二次函数aacb a b x ac bx ax y 44)2(222--+=++=，当a b x 2-=时，y 有极值ab ac y m 442-=，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。
例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。
设第一个物体的质量为1m ，速度为1V 。
第二个物体的质量为2m ，速度为2V 。
碰撞以后的速度分别为'1V 和'2V 。
假使这四个速度都在一条直线上。
根据动量守恒定律有：'+'=+22112211V m V m V m V m （1）如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为V m m V m V m '+=+)(212211，即212211m m V m V m V ++=' （2）现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。
碰撞中动能损失为ΔE k =()22()22222211222211'+'-+v m vm v m v m （3） 转变为数学问题：ΔE k 为v 的二次函数:由（1）得：v 2ˊ=2112211)(m v m v m v m '-+ （4）将（4）代入（3）得：k =++++-'12221112'1211)(2)(v m v m v m m v m m m m [2222112222112)(22m v m v m v m v m +-+] 二次函数求极值,- 2 - 当v 1ˊ=)()(212211m m v m v m ++ （5） 时∆E k 有极大值。
回到物理问题,将（5）代入（4）得v 2ˊ=)()(212211m m v m v m ++此两式表明,m 1和m 2碰后速度相等,即粘合在一起,此时动能损失(ΔE k )最大。
极值法在物理解题中的应用
极值法在物理解题中的应用极值法又称为极端假设法，在数学教学里面是很有效的解题方法，将数学解题思想运用到物理的解题过程中，可以使物理解题变得更加简单快捷，简化了解题过程，使解题思路变得更加清晰，为考试赢得了时间.例1如图1甲所示的电路，电源电压保持不变.闭合开关S，调节滑动变阻器，两电压表的示数随电路中电流变化的图线如图1乙所示.根据图线的信息可知：电源电压为，电阻R1的阻值为Ω.解析首先这是一条串联电路，串联电路中有一个重要的性质就是串联分压U1∶U2=R1∶R2，R2是一只滑动变阻器，运用极值法，当P在最左端的时候，R2接入电路的阻值为0，其两端的电压也就为0，此时电路中的电流最大，从而确定乙图中的乙为R2对应的图线，此时的最大电流为0.6 A，图线甲所对应则代表R1，其对应的电压为6 V，电阻则为10 Ω；同样我们再次运用极值法，当滑片P在最右端的时候，总电阻取得最大值，电路中的电流则取得最小值0.2 A，此时总电阻为30 Ω，R2最大阻值为20 Ω.将极值法与图象巧妙的结合，建立一一对应的关系，让学生很容易找到极值法所对应的极值点，帮助我们确定图象中各个数据点的意义与关系，从而找到我们所需要的信息，使得学生的思维更加清晰明朗，增强了学生解题的信心与勇气，激发了学生学习的热情和兴趣.例2如图2所示，电源电压保持6 V不变.电流表的量程为0～0.6 A.电压表量程0～3 V，定值电阻R1的规格为“10 Ω0.5 A”，滑动变阻器R2的规格为“20 Ω 1 A”.闭合开关，为了保证电路安全，求滑动变阻器接入电路的取值范围？解析首先我们要知道“保证电路安全”的含义，即用电器、仪表、电源等所有的一切都要在允许的范围内工作，不能超过量程或被烧坏.由题意可得，粗看本题中电流的极值是0.5 A，而不是电流表的最大量程0.6 A，很多学生知道取极值，也知道不能取0.6 A，就一下子取了0.5 A，但是在本题中，当电流取0.5 A 时，电压表的电压为5 V，显然超过了电压表的量程3 V，这是不符合保护电路安全的要求的，所以本题中应取电压表的极值3 V，带入计算，此时电流取得的最大值只能是0.3 A，从而求出电路中的最小电阻为20 Ω，得出滑动变阻器的阻值范围为10 Ω～20 Ω.用极值法求解时，会碰到极值的数目可能不止一个，甚至会出现隐含的极值，我们要对照题目要求找全部的极值并进行适当的取舍，最终达到为我所用的目的，顺利完成我们的解题任务.例3如图3甲所示电路中，R0为定值电阻，R1为滑动变阻器.图3乙是该滑动变阻器消耗的电功率与电流关系的图象.则该滑动变阻器的最大值是Ω，电源电压是V.解析对于图象题，首先要弄清图象的变化情况或趋势，找出图像中出现的起点、拐点、终点，这三点的出现，很可能就是题目中隐含的极值点所在，极大值或极小值.在图乙中A点的出现，显示了电路中电流出现了一个极小值点0.2 A，通过甲图可知，当滑片p 在a点的时候，此时电路中电阻最大，则电流最小，根据功率的公式p=I2R，就能求到滑动变阻器的阻值.找到了图象中的极值点，对于解题将会起到很大的帮助，可以拓展我们的思维，从而找到其他我们所需要的物理量，使解题思路更加清晰，起到事半功倍的效果.例4如图4所示，轻质杠杆OA的B点挂着重物G，A端用细绳挂在圆弧EF上，此时OA恰成水平，且A点与圆弧形架EF的圆心重合.当绳AM的M端从E点缓慢滑到F点的过程中，绳对A点拉力的大小将.解析这道题是极值法在杠杆中的典型应用，当M 点在圆弧EF上滑动时，与杠杆OA的角度关系在不断的发生变化，杠杆平衡时：G×OB=F×L ，力臂L 的大小会随着M点的移动而发生相应的变化，在M 点移动的过程中，会出现力臂的最大极值点即为MA 垂直于OA时的位置点，在极值点的左侧和右侧其力臂都会小于极值点时的力臂，所以从E点到F点的过程中，力臂应该先增大后减小，而F则为先减小后增大.在动态过程中找到极值点，对问题进行动态分析，对学生能力的要求要不断提高，可以拓展学生的思维空间，剖析学生的主观想象与臆测，形成正确的知识空间.右图是湖南长沙2014年一道中考试题，凭学生的主观想象，当蹦极运动员通过A时，运动员由于受到绳子拉力的作用，会立即减速，一直减速到最低点C速度为0，其实不然，通过分析，当刚刚通过A点时，此时弹力还比较小，重力比弹力要大，合力方向与运动方向相同都是向下，此时应该表现为继续加速，但随着绳子不断被拉长，其弹力也在不断的增加，当弹力大于重力的时候，合力方向与运动方向相反，合力方向向上，运动方向向下，此时表现为减速向下运行，而决定人加速还是减速的极值点则为弹力和重力相等的瞬间.极值点找到了，也就找到了题目的难点所在.跳出了陷阱，干扰因素、难点被排除，题目迎刃而解.。
例谈高中物理极值问题
例谈高中物理极值问题极值问题是中学物理应用数学工具的典型问题，它的特点是综合性强，对过程分析要求高，有时还比较隐蔽，使人感到难以入手。
笔者在本文中，将通过具体分析一些典型的例子，揭示极值问题的常用方法和注意事项。
【例1】如图所示的电路，AB接在一个稳压电源两端，为理想电流表，试分析，当滑动变阻器的滑片从a移向b的过程中的读数将如何变化？分析与解：当滑片移至a端时，R0被短路，的读数为U1R，而滑至b端时的读数显然也为U1R，所以在滑片从a移至b过程中肯定存在一个极值，我们不妨研究滑片移至中点时的读数，并不妨假定R=2R0，I中= U1R0+ 112R0× 112= U13R0= 2U13R< U1R，可见的读数先变小后变大。
点评：这种思维方法通常称“极端法”，通常用于处理以中间过程分析、运算比较复杂的问题，一般对于两个“极端”结果相同的问题，中间往往存在极值，至于极大还是极小可借助于对于中间某一特定位置的分析计算，必要时可利用数学上常用的“赋值法”加于判断。
当然，这种方法由于只研究了一些特殊位置，缺乏严密性，尤其对于中间过程比较复杂（如出现反复几次变大变小）的问题时要慎重。
【例2】在例1中，设R有Rx接入支路时的读数为Ix。
求Ix最小时Rx值。
分析与解：Ix= U1（R-Rx）+ R0Rx1R0+Rx× R01R0+Rx= UR01-（Rx- 112R）2+R0R+ 114R2显然当Rx= 112R时Ix最小。
点评：用配方法，求解极值是最常用的数学方法，其实是写出所需讨论的物理量的函数式（通常为二次函数），然后通过配方法求解。
【例3】如图所示，三个质量均为m的弹性小球用两根长约为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上。
现给中间的小球B一个水平初速度，方向与绳垂直。
小球相互碰撞时无机械能损失，轻绳不可伸长。
求：（1）当小球A、C第一次相碰时，小球B的速度。
（2）当三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度。
谈高中物理求极值的思路与技巧
过对物理过 程的分析 ， 找出问题关键变 化点 （ 即临界点 ）便可确定极 ， 值。 诸如追及 问题 ， 电路的分析变化 ， 电粒子在磁场 中的运动等。 动态 带 例 ５ 如图 ４ 笔直绝缘杆处于垂直 的匀强的磁场 Ｂ和匀 强电场 Ｅ ： ， 中， 有一带 电量 为 ｑ 质量 为 １ 的小球从静止 开始沿 杆下滑 ， 与杆的 ， １ １ 且
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高校 理科 研 究
谈 离 巾物理 求榴 值昀 思 路 与技 巧
商丘技 师 学院 于雪 芹
［ 摘 要］ 本文从矢量分析 、 三角函数、 物理基本原理等几个方面探讨 了高中物理 中求极值 的几种思路与技 巧。 ［ 关键词 】 物理极值 矢量分析 三 角函数 物理基本原理
高中物理习题 中的求极值问题 ， 是教学中的重点 ， 同时也 是考试 中 的焦点和热点 。它不仅考察学 生对物理知识的理解和掌握’ 也考察学生 对数学知识 的理解应用能力。笔者此前曾探讨 过用代 数方法解决物理 习题中的求极值 问题。在此就利用另外几种 方法解决此类 问题再做一 些探讨。 １ 数形结合求极值 、 对某些有关矢量 的问题 ， 列方程计算固然能够算 出， 算繁杂且 但计 不直观。我们可 以根据题中给定 的条件， 通过简单的计算或作图， 即可求 出极值。不仅简便而且直观易理解 。 例 ｌ 有三个共面 的共 点力， 小分别是 ２ ７ ８ ： 大 Ｎ、Ｎ、Ｎ求 其合力的最 大值 、 最小值 。 解： 三个共点力极值是两个共点力极值的拓展 。 三个力只要能构成 个三角形 （ 即任 意两边之和大于第三边 ， 意两边之差小于第三边 ） 任 即可。只要共面力能构成三角形 ， 其合力最小值一定为 ０ 。
Ｄ
例 ４ 木箱重 Ｇ， ： 与地 面问的动摩擦 因数 为 ， 用斜 向上 的力 Ｆ拉木 箱， 使之沿水平地面匀速前进 ， 如图 ３所示。 问角 ｎ多大时拉力最小？ 这 个最小值是多少？
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例谈运用物理思维求解极值问题在处理物理极值问题的时候，我们常采用数学的方法来求，这无可非议，也是高考大纲列出的着重考查的五种能力之一，即运用数学方法处理物理问题的能力。
但笔者以为，在平时训练求解有关物理极值问题的时候，如果用纯数学的方法，有两个缺点：一是运算量太大，也易出错；二是不利于物理思维的训练。
本文试通过以下几个例子，从数学方法与物理方法两个角度进行比较，希望能得到一些启发。
不当之处，恳请同行指正。
例1．设湖岸MN 为一直线，有一小船自岸边的A 点沿与湖岸成015=α角匀速向湖中驶去。
有一个自A 点同时出发，他先沿岸走一段再入水中游泳去追船。
已知人在岸上走的速度为v 1=4m/s ，在水中游泳的速度为v 2=2m/s 。
试求船速至多为多少，此人才能追上船？ 解法一：数学方法如图1，设人自岸上某处沿与岸成θ恰与船相遇于B 点，设B 点与岸相距为d ，BA 投影长为L ，则人由A 至B 所历的总时间为t=θθsin cot 21v d v d L +-=v v L sin 1(121θ-+上试说明t 与θ有关，且在d ，L ，21,v v 一定时由θ决定研究函数y=θθθsin cos sin 112v v -取)cos 1(cos cos 2sin cos cos 22222122221212222122221212θθθθθθ-+-=+-=v v v v v v v v v v v v y即0)1(cos 2cos )(222212122222212=-+-+v y v v v v v v y θθ 为关于cos θ的二次方程应满足)1()(442222122222122221v y v v v v y v v -+-=∆0)(421222212222212≥-+=v y v v v v v y即 222122212v v v v y -≥可见2y 的最小值为222122212min v v v v y -≥进一步可求得此时21cos 12==v v θ表示当060=θ时，y 有最小值，即t 有最小值，代入数据得)315(cot )3132(15cot 011210min+=-+=v d d v v v d t故对应的最大船速应该为s m t d t AB v /2215sin /minmin ===解法二：速度矢量法设人先在岸上走一段时间，再入水游泳追船，以船为参照物，由于人和船是同时由A 点出发，则人在岸上走时，船看到人正在由船位置逐渐“离去”，离去的相对速度u为1u= 1v v +-如图2所示，人在水中游时，船则 看到人正在逐渐“返回”，其返回的相对 速度2u 为22v v u+-=要人能追上船，即“返回”到船上，则1u 与2u必方向相反。
由速度合成的矢量三角形法则知2v 矢量的末端必终止在图2所示的1u的反向延长线上，又为使v 尽可能大，即要2v v尽可能大，故图2中2v 应尽可能短，对应2v与图中虚线垂直的情况。
由于212v v =，可见图中2u 与1v的夹角为060，则由22,,u v v-三矢量组成一等腰直角三角形。
此时有s m v v /2222==点评：解法一的思路非常简单，但数学运算能力要求很高。
解法二从矢量三角形入手，对矢量三角形必须有清晰的概念，对加深、提高矢量三角形的认识有很大的帮助且运算量很小。
例2．如图3，物体与斜面间的静摩擦因数为μ，斜面的倾角为)tan (,θμθ<。
设物体的质量为m ，问施加拉力F 与斜面成多大角度时，所需的力F 最小可使物体沿斜面匀速上滑？解法一：数学极值法设力F 与斜面夹角为α，则由平衡条件得0sin cos =--f mg F θα ① 0cos sin =-+θαmg N F ② N f μ= ③图3由①②③ )sin(1)cos (sin sin cos )cos (sin 2βαμθμθαμαθμθ+++=++=mg mg F 其中 221c o s ,11s i n μμβμβ+=+=由数学知识得：当1)sin(=+βα 即 2πβα=+，21cos sin μμβα+==，μα=tan 时 ， m i n F =21)cos (sin μθμθ++mg解法二：力矢量法将摩擦力f 和弹力N 合成一个力F '，F '与垂直斜面方向夹角满足： μϕ==Nftan 为定值。
这样物体受到三个力：重力G 、F '和推力F ，如图4，其中G 的大小、方向都确定，F '的方向确定但大小不定，而F 的方向大小都不 一定，作出力的三角形，显然，当F 垂直于F '时，F 最小，即当F 与斜面成μϕarctan =时最小。
点评：力矢量法的关键是多力平衡问题转化为我们 熟悉的三力平衡问题。
例3．正点电荷Q 1和Q 2分别置与A ，B 两点，相距L ，现以L 为直径作半圆，如图5，试求在此半圆上电势最低点P 的位置。
解法一：如图，设P 点与A 点连线PA 与AB 夹θ角， 则点电荷21,Q Q 在P 点产生的电势分别表示为θϕcos 1111L Q Kr KQ ==θϕsin 2222L Q Kr Q K== P 点电势可表示为 )sin cos (sin cos 212121θθθθϕϕϕQ QL K L Q K L Q KP +=+=+=令y =θθsin cos 21QQ +，则θθθθcos sin 2sin cos 212222212Q Q Q Q y ++= 化简为)tan tan cot ()tan 1tan 1tan (2121222212122122212θθθθθθQ Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q y +++++++=图4F ’F FG∵θθθtan 1tan 1tan 2121221Q Q Q Q Q ++322413Q Q ≥ 且等号在 θθtan 1tan 21221Q Q Q =即 312arctanQ Q =θ时成立，此时θθθtan tan cot 2121222Q Q Q Q Q ++恰好也取得最小值 ∴当312arctanQ Q =θ时，2y 有最小值，即P ϕ有最小值 解法二：设想有一正检验电荷从A 处沿圆弧移到B 处，则其在圆弧上电势能最低点即为P 点，依电势能变化与电场力做功关系，将该电荷由其它点移到P 点的过程，均为电场力做功过程，由此推知，从P 点移到B 点过程均为克服电场力做功过程，即电荷q 在P 点所受库仑斥力A F 与B F 的合力F 的延长线必过O 点，如图6所示 设θ=∠PAB ，则ABF F =θtan 22)sin (θL q kQ F B =，21)cos (θL qkQ F A = ∴123tan Q Q =θ 即 312arctan Q Q =θ 点评：解法一须知点电荷产生电势的计算公式且数学运算十分繁琐，而解法二则物理思想明确又十分简捷，显然后者远优于前者。
例4．如图7所示，水平放置的两平行金属导轨相距 l = 0.25m ，电池的电动势E = 6v ，内阻不计，电阻R = 5Ω，匀强磁场竖直向下，开关S 闭合后横放在导轨上的金属棒在磁场力作用下由静止开始向右运动。
金属棒与导轨间的滑动摩擦力f=0.15N ，为了使金属棒的运动速度最大，磁感应强度B 应为多大？此最大速度为max v 多少？解法一：当金属棒做匀速运动时，RBlvE Blf -= 得 222222)21(411fR lE B l fR fR E B l fR B l E lB fR BLE v --=⋅-⋅=-=当 T lE fR B 12==时，金属棒的最终速度有极大值s m fRE v /1242max == 解法二：从能的转化和守恒观点，金属棒的最终速度是匀速运动，电源输出功率的部分使电阻发热，，一部分克服阻力做功。
将R 看作电源内阻，那么电源的输出功率全部用来克服阻力做功。
因为f 一定，当电源输出功率P 最大时有max v ，即 max max v f P ⋅=∵电源的最大输出功率RE P 42max =∴s m RfE f P v /1242max max===电源输出功率最大时，路端电压等于电源电动势一半，即2Eu =，即为金属棒的感应电动势2max E Blv E =='，得T lv E B m12== 从以上各例可以看出，其实数学方法和物理方法各有千秋。
数学方法思维简单，但运算一般较繁琐；物理方法避开了复杂的数学运算，但思维要求很高。
笔者以为在平时的训练中应更重视物理思维的训练，提高分析解决问题的能力。
但解决问题的过程中，如能把两者有机结合起来，也许效果更佳。