九年级人教版一元二次方程根与系数的关系课件

{
△= 4m 2 4m(m 1) 0
m 1 x1 x 2 0 m
即
{
m>0 m-1<0
∴0<m<1
一正根，一负根
两个正根
两个负根
{
△＞0 X1X2＜0
{
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＞0
{
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＜0
2
1 2
B. －1
C.
5 D.
5 5
二
已知两根求作新的方程
以 x1 , x2 为两根的一元二次方程
(二次项系数为1)为:
x ( x1 x2 ) x x1 x2 0
2
题4. 点p(m,n)既在反比例函数
图象上, 又在一次函数
2 n m
2 y ( x 0) 的 x
y x 2 的图象上,
x1 x2 0
4.x1 x2 0
1 x1 x 2 3
在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式；
b ⑵在使用X1+X2=－ a
时，
注意“－ ”不要漏写。
练习1 已知关于x的方程 x (m 1) x 2m 1 0 当m= －1 时,此方程的两根互为相反数.
2
另外几种常见的求值
x1 x2 1 1 1. x1 x 2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
3.(x1 1)(x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1
三
已知两个数的和与积，求两数
题6 已知两个数的和是1，积是-2，则两 2和-1 。 个数是 解法(一):设两数分别为x,y则: 解得: { x=2 或 y=－1 ｘ＝－1 { y=2
{
x y 1
x y 2
解法(二):设两数分别为一个一元二次方程 2 的两根则: a a 2 0 求得 a1 2, a2 1 ∴两数为2,－１
分析:设原方程两根为
新方程的两根之和为 ( x1 ) ( x2 ) 3 新方程的两根之积为( x1 ) ( x2 )
x1 , x 2 则: x1 x2 3, x1 x2 5
5
求作新的一元二次方程时: 1.先求原方程的两根和与两根积. 2.利用新方程的两根与原方程的两根之 间的关系,求新方程的两根和与两根积. (或由已知求新方程的两根和与两根积) 3.利用新方程的两根和与两根积, 求作新的一元二次方程.
2
当m= 分析:1. 2.
1
时,此方程的两根互为倒数.
x1 x2 2m 1 1
x1 x2 m 1 0
应用：一求值
题３ 则：
x1 x2
2 1 2 2
2
4
x1 x2
2
1
x x ( x1 x2 ) 2 x1 x 2 ＝ 14
( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 4 x1 x 2 ＝ 12
即
2
则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1):
解:由已知得,
{n m 2
{
m· n=－2 m+n=－2
∴所求一元二次方程为:
x 2x 2 0
题5 以方程X2+3X-5=0的两个根的相反数为根的方程
是（
2
） B
B、 y －3y-5=0 D、 y2－3y＋5=0
2
A、y ＋3y-5=0 C、y2＋3y＋5=0
又 X12+ X2 2 = 4
解得：k=4 或k=－2 ∵ △= K2-4k-8 当k=4时， △＜0
即(X1+
K 2-
X2)2 -2X1X2=4
2(k+2）=4
当k=-2时，△＞0
∴ k=-2
K2-2k-8=0

题9 方程
mx2 2mx m 1 0(m 0)
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。 解:由已知,
四
求方程中的待定系数
2
题7 如果－1是方程 2 x
xm0
-3 。 的一个根，则另一个根是___ｍ=____
（还有其他解法吗？)
题8 已知方程 x 2 kx k 2 0的两个实数根 2 2 x1, x 是 且 求 x1 x2 4k的值。 2 解：由根与系数的关系得
X1+X2=-k， X1×X2=k+2
4. x1 x2
( x1 x2 )
2
( x1 x 2 ) 4 x1 x 2
2
求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和,
两根之积的形式,再整体代入.
练习2 (1)设 为 A. 1
x x 1 0 的两个实数根 1 1 x1 , x 2 则: x x 的值为( A )
一元二次方程
根与系数的关系
基本知识
题1 口答
2 2
１．下列方程的两根和与两根积各是多少？
⑴.X －3X+1=0
⑶.2X2+3X=0
1.x1 x2 3 2 2.x1 x 2 3
⑵.3X －2X=2
⑷.3X2=1
x1 x2 1
3 3.x1 x 2 2
2 x1 x 2 3