(通用版)2020版高考数学大二轮复习专题九选考内容9.2不等式选讲课件文选修4_5
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2020版高考数学大二轮复习第二部分专题7选修部分第2讲不等式选讲课件文
[题后悟通] 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|＞a(a＞0)⇔f(x)＞a 或 f(x)＜－a. (2)|f(x)|＜a(a＞0)⇔－a＜f(x)＜a. (3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何 意义求解．
与绝对值有关的参数范围问题
不等式的证明
考情调研
考向分析
主要考查含绝对值不等式的证明问题．一般利用几个常见的不等 1.综合法和分析法．
式进行逻辑推理，在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、2.基本不等式．
低档.
3.柯西不等式.
[题组练透] 1．(2019·蚌埠模拟)已知：a2＋b2＝1，其中 a，b∈R. (1)求证：|1|a－－abb||≤1； (2)若 ab>0，求(a＋b)(a3＋b3)的最小值．
2x＋4，x≤－1， 解析：(1)当 a＝1 时，f(x)＝2，－1＜x≤2，
－2x＋6，x＞2.
可得 f(x)≥0 的解集为{x|－2≤x≤3}． (2)f(x)≤1 等价于|x＋a|＋|x－2|≥4. 而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当 x＝2 时等号成立． 故 f(x)≤1 等价于|a＋2|≥4. 由|a＋2|≥4 可得 a≤－6 或 a≥2. 所以 a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
解析：(1)证明：所证不等式等价于|a－b|≤|1－ab|，即(a－b)2≤(1－ab)2， 也就是(a2－1)(1－b2)≤0， ∵a2＋b2＝1，∴a2≤1，b2≤1 ∴(a2－1)(1－b2)≤0，故原不等式成立． (2)(a＋b)(a3＋b3)＝a4＋ab3＋a3b＋b4≥a4＋2 ab3·a3b＋b4＝(a2＋b2)2＝1， 当且仅当 a＝b＝ 22或 a＝b＝－ 22时， (a＋b)(a3＋b3)取到最小值 1.
2020版高考数学大二轮文科通用版 教师课件：专题八 第2讲 不等式选讲
推论2:||a|-|b||≤|a-b|.
(2)三个正数的算术-几何平均不等式:如果
a,b,c∈R+,那么������
+������ 3
+������
≥
3 ������������������,当且仅当 a=b=c 时等号成立.
(3)基本不等式(基本不等式的推广):对于 n 个正数 a1,a2,…,an,它们
考点1 考点2 考点3
绝对值不等式的解法
例1设函数f(x)=|x-a|.
(1)当a=2时,解不等式f(x)≥7-|x-1|;
(2)若f(x)≤1的解集为[0,2],求a的值.
解:(1)当 a=2 时,不等式为|x-2|+|x-1|≥7,
所以
������ < 1, 2-������ + 1-������
在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
2.证明不等式的常用方法
(1)比较法;(2)综合法与分析法;(3)反证法和放缩法;(4)数学归纳
法.
3.放缩的常用方法
(1)放大或缩小分母:对于分子分母均取正值的分式,如需放大,则
只要把分子放大或分母缩小;如需缩小,则只要把分子缩小或分母
≥
7, 或
1≤ 2-������
������ +
≤ 2, ������-1 ≥
7,
或
������ > 2, ������-2 + ������-1 ≥ 7,
所以不等式的解集为(-∞,-2]∪[5,+∞).
(2)f(x)≤1 即|x-a|≤1,
解得 a-1≤x≤a+1,
而 f(x)≤1 的解集是[0,2],
2020年高考数学(文)二轮专项复习专题12 不等式选讲
专题12 不等式选讲不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法以及数学归纳法在不等式中的应用等，命题的热点是绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．本部分命题形式单一、稳定，是三道选考题目中最易得分的，所以可重点突破.【知识要点】1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|＞a (a ＞0)⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a ； (2)|f (x )|＜a (a ＞0)⇔－a ＜f (x )＜a ；(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 2．绝对值三角不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.此性质可用来解不等式或证明不等式． 3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑ni ＝1a 2i )(∑ni ＝1b 2i )≥(∑ni ＝1a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|a |·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立． 【复习要求】（1）理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：① ;b a b a +≤+② ;b c c a b a -+-≤-（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：c b ax ≤+ c b ax ≥+ a b x c x ≥-+-（3）会用不等式①和②证明一些简单问题。
高考数学新课标全国二轮复习课件9.选考部分2
2.直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0α ). 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点:θ=α;
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴: ρcos θ=a;
(3)直线过点 M ������,
3.圆的极坐标方程
7.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同表示形式. (2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.
考点1
考点2
考点3
考点 1 极坐标方程 在极坐标系中,直线 ρsin ������ + 4 =2 被圆 ρ=4 截得的弦长 是多少? 解:直线 ρsin ������ + 4 =2 的直角坐标方程为 2 x+ 2 y-2=0,圆 ρ=4 的直角坐标方程为 x2+y2=16.圆心的坐标是(0,0),半径是 4,圆心到直 线的距离是 d=
动轨道中的作用.
1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的 长度单位.设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则
2 2 2 ������ = ������ + ������ , ������ = ������cos������, ������ ������ = ������sin������, tan������ = (������ ≠ 0). ������
������, (t 为参数)与曲线 C 相交于 M,N 两点. ������
(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数 a 的值.
高考数学新课标全国二轮复习课件9.选考部分1
F为这个椭圆的焦点,直线m为椭圆的准线,常数e为离心率).
(8)了解定理(5)③中的证明,了解当β无限接近α时,平面π的极限结果.
1.相似三角形的判定 (1)定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形
对应边的比值叫做相似比(或相似系数).
(2)预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构 成的三角形与原三角形相似. (3)判定定理1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似. (4)判定定理2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形 的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形 相似. (5)判定定理3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的 两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例
①β>α,平面π与圆锥的交线为椭圆. ②β=α,平面π与圆锥的交线为抛物线. ③β<α,平面π与圆锥的交线为双曲线.
(6)会利用丹迪林(Dandelin)双球(如图所示,这两个球位于圆锥的内部,一个位于 平面π的上方,一个位于平面π的下方,并且与平面π及圆锥面均相切,其切点分别为 F,E)证明上述定理①的情形:当β>α时,平面π与圆锥的交线为椭圆.
考点1
考点2
考点1
考点2
变式训练1 在△ABC中,∠ACB=90°,AC长度为2,点D在BC边上,且CD长度为1.若∠CAD=∠B, 则BD的长度是多少?
解:依据题意作图如右图所示,可知tan∠CAD=tan∠B,
即2 = 1+������������ ,解得 BD=3.
(通用版)高考数学二轮复习 专题七 选考内容第二讲 不等式选讲课件 文 选修4-5.pptx
－4，x≥1，
[解] (1)当 m＝1 时，f(x)＝－2x－2，－3<x<1，
4，x≤－3.
由 f(x)≥1，得－ －23x<－x<21≥1， 或 x≤－3，
11
解得 x≤－32，
∴不等式
f(x)≥1
的解集为x
x≤－32.
(2)不等式 f(x)<|2＋t|＋|t－1|对任意的实数 x，t 恒成立，
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.
①
当 x＜－1 时，①式化为 x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1 时，①式化为 x2－x－2≤0，解得－1≤x≤1；
2
当 x＞1 时，①式化为 x2＋x－4≤0，
解得 1＜x≤－1＋2
17 .
所以 f(x)≥g(x)的解集为x－1≤x≤－1＋2
17 .
8
[方法技巧] 证明不等式的常用方法 不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证 法等． (1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分 析法． (2)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少” “至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法．
9
[演练冲关] 2．(2017·全国卷Ⅱ)已知 a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：
5
(2)由 f(x)≥x2－x＋m，得 m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x. 而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－|x|－322 ＋54≤54， 且当 x＝32时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝54. 故 m 的取值范围为－∞，54.
6
[典例 2]
考点二 不等式的证明
等价于对任意的实数 x，f(x)<(|2＋t|＋|t－1|)min 恒成立，即 [f(x)]max<(|2＋t|＋|t－1|)min，
(通用版)2020版高考数学大二轮复习专题一第3讲不等式课件文
1.(2019
全国Ⅲ,文
11)记不等式组
������ + ������ ≥ 6,表示的平面区域为 2������-������ ≥ 0
D.
命题 p:∃(x,y)∈D,2x+y≥9;命题 q:∀(x,y)∈D,2x+y≤12.下面给出了四
个命题
①p∨q ②������p∨q ③p∧������q ④������p∧������q
果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、
80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购
买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付
成功后,李明会得到支付款的80%.
(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付
元;
(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前
这四个命题中,所有真命题的编号是( )
A.①③
B.①②
C.②③ D.③④
解析:如图,不等式组表示的平面区域D为图中阴影部分. 作出直线2x+y=9与直线2x+y=12,可知两直线均通过平面区域D,所
以p真,q假,¬p假,¬q真,故①③真,②④假.故选A.
答案:A
������ + ������-2 ≤ 0,
<
������+������ ������+������
;
������ ������
>
������������--������������(b-m>0).
(2)假分数性质:������������
总价的七折,则x的最大值为
.
解析:(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付 (60+80)-10=130(元). (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元, y<120元时,李明得到的金额为y·80%,符合要求. y≥120元时,有(y-x)·80%≥y·70%成立,
2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版课件：9.2 不等式选讲(选修4—5)
(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:
①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想. ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思
想.
-8-
3.基本不等式 定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 定理 2:若 a,b 为正数,则������+2������ ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号成立. 定理 3:若 a,b,c 为正数,则������+3������+������ ≥ 3 ������������������,当且仅当 a=b=c 时,等号 成立. 定理 4:(一般形式的算术-几何平均不等式)若 a1,a2,…,an 为 n 个正 数,则������1+������2+������ …+������������ ≥ ������ ������1������2…������������ ,当且仅当 a1=a2=…=an 时,等号成 立.
解不等式及 不等式恒成 论思想,
转换思
1 求参数的范围
立求参数 想
全 2018 国
2
解绝对值不等式; 不等式恒成立时 求参数的范围
分段函数,绝对 值不等式,绝对 值三角不等式
解不等式及 分类讨 不等式恒成 论,转换 立求参数 思想
全 国 3
画函数的图象;求 函数不等式中参 数 a+b 的最小值
绝对值,分段函 画分段函数 分类讨
-7-
2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a(a>0)的解法:
①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想. ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思
想.
-8-
3.基本不等式 定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 定理 2:若 a,b 为正数,则������+2������ ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号成立. 定理 3:若 a,b,c 为正数,则������+3������+������ ≥ 3 ������������������,当且仅当 a=b=c 时,等号 成立. 定理 4:(一般形式的算术-几何平均不等式)若 a1,a2,…,an 为 n 个正 数,则������1+������2+������ …+������������ ≥ ������ ������1������2…������������ ,当且仅当 a1=a2=…=an 时,等号成 立.
解不等式及 不等式恒成 论思想,
转换思
1 求参数的范围
立求参数 想
全 2018 国
2
解绝对值不等式; 不等式恒成立时 求参数的范围
分段函数,绝对 值不等式,绝对 值三角不等式
解不等式及 分类讨 不等式恒成 论,转换 立求参数 思想
全 国 3
画函数的图象;求 函数不等式中参 数 a+b 的最小值
绝对值,分段函 画分段函数 分类讨
-7-
2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a(a>0)的解法:
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数,函数图象,一 次函数性质,最
的图象,数形 论,数形 结合求最值 结合
值
-5-
年份卷 设问特点 别
涉及知识 题目类型 点
解 题思想 方法
全 已知等式证明不等 国1 式
基本不等 基本不等式, 转化与
不等式的证 化归思
式
明
想
全
解绝对值不等式,通
绝对值不 绝对值不等
分类讨
2019国 2
过不等式求参数的 范围
等式的解 式
法
论思想
全
求代数式的最小值,
基本不等 基本不等式, 转化与 不等式的证 化归思
国 3 证明不等关系
式
明
想
-6-
1.绝对值三角不等式 (1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成 立;
(2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;
(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(bc)≥0时,等号成立.
-
4.不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、 放缩法等. (1)比较法:求差比较法,求商比较法.
①求差比较法:由于a>b⇔a-b>0,a<b⇔a-b<0,因此要证明a>b,只
要证明a-b>0即可.
②求商比较法:由 a>b>0⇔������������>1 且 a>0,b>0,因此当 a>0,b>0 时要
-10-
考向一 考向二 考向三
解不等式,求参数范围 例1(2019全国卷2,文23)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集; (2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.
解 (1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1). 当x<1时,f(x)=-2(x-1)2<0; 当x≥1时,f(x)≥0. 所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1). (2)因为f(a)=0,所以a≥1. 当a≥1,x∈(-∞,1)时, f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0. 所以,a的取值范围是[1,+∞).
证明不等式
综合法,放缩 法
基本不等式
全 求不等式解 绝对值,分段函 解不等式及 分类讨论思 国 集;求参数的 数,二次函数, 不等式恒成 想,分离参数
3 取值范围 最值
立求参数 法,放缩法
-4-
卷 年份 设问特点
别
涉及知识点
题目类型
解题 思想方法
分类讨
全 国
解绝对值不等式; 不等式恒成立时
分段函数,绝对 值不等式
9.2 不等式选讲(选修4—5)
年份卷 设问特点 别
涉及知识点
题目类型
求不等式的解
全 国1
集;求参数的取 值范围
2015
全 证明不等式,证
国 2 明充要条件
解不等式 绝对值,分段函数, 及恒成立 三角形面积
求参数
完全平方公式,不 等式性质,综合法,
证明不等 式
分析法
解 题思想 方法
分类讨 论思想
综合 法,分 析法
-7-
2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a(a>0)的解法:
①|x|<a⇔-a<x<a; ②|x|>a⇔x>a或x<-a.
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:
①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:
①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想. ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思
想.
-8-
3.基本不等式 定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 定理 2:若 a,b 为正数,则������+2������ ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号成立. 定理 3:若 a,b,c 为正数,则������+3������+������ ≥ 3 ������������������,当且仅当 a=b=c 时,等号 成立. 定理 4:(一般形式的算术-几何平均不等式)若 a1,a2,…,an 为 n 个正 数,则������1+������2+������ …+������������ ≥ ������ ������1������2…������������ ,当且仅当 a1=a2=…=an 时,等号成 立.
-11-
考向一 考向二 考向三
关键点拨(1)当a=1时,分x≥1和x<1两种情况去绝对值号,再解不 等式,求并集.(2)由于f(a)=0且x∈(-∞,1)时,f(x)<0,故a∉(-∞,1),即a≥1, 可结合a≥1,x∈(-∞,1)将f(x)去掉绝对值号,解不等式得a-x>0,即 a>x,x∈(-∞,1)时恒成立,则a≥1.
-2-
卷 年份 别 设问特点
画函数的图
全
国1
象;求不等式 的解集
求不等式解
全 2016国 2
集;证明不等 式
求不等式解
全 国3
集;求参数的 取值范围
涉及知识点
解题思 题目类型 想方法
绝对值,分段函
分类讨论思
数,函数图象, 解不等式 想,数形结
解不等式
合思想
绝对值,分段函
解不等式, 证明不等
分类讨论思
证明 a>b,只要证明������������>1 即可. (2)分析法:从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直
到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等). (3)综合法:从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过
推理论证,推导出所要证明的不等式成立,即“由因寻果”的方法,这 种证明不等式的方法称为综合法.
解不等式及 不等式恒成 论思想,
转换思
1 求参数的范围
立求参数 想
全 2018 国
2
全 国 3
解绝对值不等式; 不等式恒成立时 求参数的范围
画函数的图象;求 函数不等式中参 数 a+b 的最小值
分段函数,绝对 值不等式,绝对 值三角不等式
解不等式及 不等式恒成 立求参数
分类讨 论,转换 思想
绝对值,分段函 画分段函数 分类讨
数
式
想,求差法
函数,绝对值, 解不等式
解不等式 及恒成立 求参数
分类讨论思 想
-3-
卷 年份 设问特点
别
解题思 涉及知识点 题目类型
想方法
全 国 1
求不等式解
解不等式及
集;求参数的 取值范围
二次函数,二次 恒成立求参 分类讨论思
不等式,绝对值 数
想,转换思想
全 2017 国
2
证明不等式
完全平方公式, 完全立方公式,