直接证明与间接证明练习题

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数学选修2-2苏教版2.2直接证明与间接证明(19张)

3．某个命题与正整数 n 有关，若 n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可推得 n＝k＋1 时该命题也成立，现在已知当 n＝5 时该命题不成立，那么可推得( C )
A．当 n＝6 时该命题不成立 B．当 n＝6 时该命题成立 C．当 n＝4 时该命题不成立 D．当 n＝4 时该命题成立
4．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)存在有理数根，那么 a，b，c 中至少有一个是偶数．下列
假设中正确的是__②___. ①假设 a，b，c 都是偶数；②假设 a，b，c 都不是偶数； ③假设 a，b，c 至多有一个偶数；④假设 a，b，c 至多有两
个偶数．
5．若 a＞b＞0，则 a＋1b＞__b＋1a(用“＞”、“＜”、“＝”填空)．
考点1 综合法
例1：已知 a，b，c 为正实数，a＋b＋c＝1. 求证：(1)a2＋b2＋c2≥13； (2) 3a＋2＋ 3b＋2＋ 3c＋2≤6.
解析：(1)证法一：a2＋b2＋c2－13＝13(3a2＋3b2＋3c2－1) ＝13[3a2＋3b2＋3c2－(a＋b＋c)2] ＝13(3a2＋3b2＋3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc) ＝13[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0. ∴a2＋b2＋c2≥13. 证法二：∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
图 10－2－1
综合法的思维过程是由因导果的顺序，是从A推演到B的途径，但由A推演出的中间结论未必唯一，如B，B1，B2等，可由B，B1， B2能推演出的进一步的中间结论更多，如C1，C2，C3，C4等等，最终能有一个(或多个)可推演出结论B即可．
2．分析法是一种执果索因的证明方法，又叫逆推法或执果索因法．它常见的书面表达形式是：“要证…，只需证…”或“… ⇐…”．利用分析法证明“若 A 则 B”命题的分析法思考过程可用如图 10－2－2 的框图表示为：

2014届高三数学一轮复习直接证明与间接证明提分训练题

直接证明与间接证明一、选择题1.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理( )A 小前提错B 结论错C 正确D 大前提错解析大前提，小前提都正确，推理正确，故选C.答案 C2．在用反证法证明命题“已知a 、b 、c ∈(0,2)，求证a (2－b )、b (2－c )、c (2－a )不可能都大于1”时，反证时假设正确的是( )A ．假设a (2－b )、b (2－c )、c (2－a )都小于1B ．假设a (2－b )、b (2－c )、c (2－a )都大于1C ．假设a (2－b )、b (2－c )、c (2－a )都不大于1D ．以上都不对解析 “不可能都大于1”的否定是“都大于1”，故选B.答案 B3．下列命题中的假命题是( )．A ．三角形中至少有一个内角不小于60°B ．四面体的三组对棱都是异面直线C ．闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多有一个零点D ．设a ，b ∈Z ，若a ＋b 是奇数，则a ，b 中至少有一个为奇数解析 a ＋b 为奇数⇔a ，b 中有一个为奇数，另一个为偶数，故D 错误．答案 D4．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )．A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．能断定解析 ∵S n ＝2n 2－3n ，∴S n －1＝2(n －1)2－3(n －1)(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝4n －5(n ＝1时，a 1＝S 1＝－1符合上式)．又∵a n ＋1－a n ＝4(n ≥1)，∴{a n }是等差数列．答案 B5．设a 、b 、c 均为正实数，则三个数a ＋1b 、b ＋1c 、c ＋1a( )． A ．都大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2解析 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2. 答案 D6．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x(x ＜0)，则a 与b 大小关系为( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a ≤b 解析 ∵a ＝lg 2＋lg 5＝l g 10＝1，而b ＝e x ＜e 0＝1，故a ＞b .答案 A7．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：(n ＋1)*1＝n *1＋1，则n *1＝( )．A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．n 2解析由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1) *1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝n.答案 A二、填空题8.用反证法证明命题“若a ，b∈N，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为 .解析由反证法的定义可知，否定结论，即“a ，b 中至少有一个能被3整除”的否定是“a ，b 都不能被3整除”.答案 a 、b 都不能被3整除9．要证明“3＋7＜25”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号)． ①反证法，②分析法，③综合法．答案 ②10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件： ①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)解析若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.答案 ③11．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________．解析首先a ≥0，b ≥0且a 与b 不同为0.要使a a ＋b b ＞a b ＋b a ，只需(a a ＋b b )2＞(a b ＋b a )2，即a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2，只需(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )，只需a 2－ab ＋b 2＞ab ，即(a －b )2＞0，只需a ≠b .故a ，b 应满足a ≥0，b ≥0且a ≠b .答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b12．若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的是_______．解析 ①②正确；③中a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可能同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3.选C.答案 ①② 三、解答题13．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，试问A ，B ，C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．解析 A 、B 、C 成等差数列．证明如下：∵1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ， ∴a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3. ∴ca ＋b ＋a b ＋c ＝1，∴c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，∴b 2＝a 2＋c 2－ac .在△ABC 中，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12， ∵0°<B <180°，∴B ＝60°.∴A ＋C ＝2B ＝120°.∴A 、B 、C 成等差数列．14．已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2. 证明 a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2. 只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2，只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．15．若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c . 证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c 2≥ab ＞0. 又上述三个不等式中等号不能同时成立．∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞abc 成立．上式两边同时取常用对数，得lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(abc )， ∴lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .16．(12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0＜x ＜c 时，f (x )＞0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a 与c 的大小；(3)证明：－2＜b ＜－1.解析 (1)证明 ∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，∴1a 是f (x )＝0的一个根．(2)假设1a ＜c ，又1a ＞0，由0＜x ＜c 时，f (x )＞0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a ＞c .(3)证明由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0，∴b ＝－1－ac .又a ＞0，c ＞0，∴b ＜－1.二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b2a ＝x 1＋x 22＜x 2＋x 22＝x 2＝1a ，即－b2a ＜1a .又a ＞0，∴b ＞－2，∴－2＜b ＜－1.。

第二章2.1直接证明与间接证明习题课

习题课课时目标 1.进一步理解两种推理的含义和作用.2.利用合情推理和演绎推理解决一些简单的实际问题．1．合情推理包括____________和______________；合情推理得到的结论__________正确，但可以为我们的证明提供思路和方向．2．在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的．一、选择题1．若f (n )＝n 2＋n ＋41，n ∈N ＋，下列说法正确的是( )A ．f (n )可以为偶数B ．f (n )一定为奇数C ．f (n )一定为质数D ．f (n )必为合数2．不等式a >b 与1a >1b同时成立的充要条件为( ) A ．a >b >0 B ．a >0>bC ．1b <1a <0D ．1a >1b>0 3．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( )A ．3B ．－3C ．6D ．－64．已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，f 4(x )＝f ′3(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，则f 2 007(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x5．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那这个数列的通项公式是( ) A ．a n ＝2(n 2＋n ＋1) B ．a n ＝3·2nC ．a n ＝3n ＋1D ．a n ＝2·3n二、填空题6．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)．计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有__________________．7．已知两个圆：x 2＋y 2＝1， ①与x 2＋(y －3)2＝1. ②则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________.8．下列图形中的线段有规则地排列，猜出第6个图形中线段的条数为________．三、解答题9．11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)，写出n ＝1,2,3,4的值，归纳并猜想出结果，你能证明你的结论吗？10．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.能力提升11．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，12．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系．1．归纳推理和类比推理都具有猜测的性质，要注意观察所给资料的规律性或两类事物具有的属性，得到可靠的结论．2．三段论是演绎推理的常用形式，在实际应用时往往省略大前提．答案知识梳理1．归纳推理类比推理不一定作业设计1．B [因为n ∈N ＋，所以f (n )＝n (n ＋1)＋41，一定为奇数．]2．B [⎩⎪⎨⎪⎧ a >b ，1a >1b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >b ，a －b ab <0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，ab <0， ⇔a >0>b .]3．A [a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，a 8＝6，…，故{a n }是以6个项为周期循环出现的数列，a 33＝a 3＝3.]4．D [由已知，有f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…可以归纳出：f 4n (x )＝sin x ，f 4n ＋1(x )＝cos x ，f 4n ＋2(x )＝－sin x ，f 4n ＋3(x )＝－cos x (n ∈N ＋)，∴f 2 007(x )＝f 3(x )＝－cos x ．]5．D [当n ＝1时，a 1＝32a 1－3，∴a 1＝6，由S n ＝32a n －3，当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－3， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32a n －32a n －1， ∴a n ＝3a n －1.∴a 1＝6，a 2＝3×6，a 3＝32×6.猜想：a n ＝6·3n －1＝2·3n .]6．f (2n )>n ＋227．设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 ③(x －c )2＋(y －d )2＝r 2 ④其中a ≠c 或b ≠d ，则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程．8．125解析第一个图只一条线段，第二个图比第一个图增加4条线段，即线段的端点上各增加2条，第三个图比第二个图增加4×2＝23条线段．第4个图比第三个图增加23×2＝24条线段，因此猜测第6个图的线段的条数为1＋22＋23＋24＋25＋26＝1＋22(25－1)2－1＝27－3＝125.9．解 n ＝1时，11×2＝12； n ＝2时，11×2＋12×3＝12＋16＝23； n ＝3时，11×2＋12×3＋13×4＝23＋112＝34； n ＝4时，11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝34＋120＝45. 观察所得结果：均为分数，且分子恰好等于和式的项数，分母都比分子大1.所以猜想11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝n n ＋1. 证明如下：由11×2＝1－12，12×3＝12－13，…，1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ∴原式＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 10．证明 (1)由E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点知EF ∥BC .因为EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC .所以EF ∥平面ABC .(2)由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1.又A 1D ⊂A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D .又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ，故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ⊂平面A 1FD ，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .11．n 2＋n解析由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n .12．解猜想正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB ＝S 2△BCD ”．事实上，本题还需要严格意义上的证明：如图所示，作AO ⊥平面BCD 于点O ，由三个侧面两两互相垂直可知三条侧棱AB 、AC 、AD 两两互相垂直，故O 为△BCD 的垂心，在Rt △DAE 中，AO ⊥DE ，有AE 2＝EO ·ED ，S 2△ABC ＝14BC 2·AE 2 ＝⎝⎛⎭⎫12BC ·EO ⎝⎛⎭⎫12BC ·ED ＝S △OBC ·S △BCD ，同理S 2△ACD ＝S △BCD ·S △OCD ，S 2△ABD ＝S △BCD ·S △OBD ，故S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB ＝S 2△BCD .。

一轮复习课时训练§9.2：直接证明与间接证明

第九章§2：直接证明与间接证明(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝33π，则cos(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为A ．－1B ．32C ．1D ．－322．若c>1，a ＝c －c －1，b ＝c ＋1－ c.则下列结论中正确的是A ．a>bB ．a ＝bC ．a<bD ．a ≤b3. 如图，O ，A ，B 是平面上的三点，若OA →＝a ，OB →＝b ，设P 为AB 的垂直平分线CP 上的任意一点，向量OP →＝p ，若|a|＝4，|b|＝2，则p·(a －b)等于A ．6B ．5C ．3D ．14．若函数f(x)＝e x sinx ，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为A ．π2B ．0C ．钝角D ．锐角 5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线方程为x ＋y －5＝0，则顶点C 的坐标是A ．(－2,0)B ．(2,0)C ．(－4,0)D ．(4,0)二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．如果a a ＋b b>a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是______________．7．为迎接2010年广州亚运会，大赛组委会规定：在大赛期间每天主办方要安排专用大巴接送运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴可乘坐20人，已知第t 日参加比赛的运动员人数M 与t 的关系是M(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧30t ＋60，1≤t ≤6－3t 2＋61t ＋88，7≤t ≤12，为了保证赛会期间运动员都能按时参赛，主办方应至少准备大巴的数量为________．8．已知三棱锥S —ABC 的三视图如图所示，在原三棱锥中给出下列命题：①BC ⊥平面SAC ；②平面SBC ⊥平面SAB ；③SB ⊥AC.其中所有正确命题的代号是__________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分）已知：a>0，求证：a 2＋1a 2 －2≥a ＋1a－2.10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）设函数f(x)＝x ＋sinx x，g(x)＝xcosx －sinx. (1)求证：当x ∈(0，π)时g(x)<0；(2)若存在x ∈(0，π)，使得f(x)<a 成立，求a 的取值范围．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：cos(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝cos[log 3(a 1a 2·…·a 7)]＝cos(log 337π)＝－1. 答案：A2．解析：假设a>b ，则c －c －1>c ＋1－c ⇒2c>c ＋1＋c －1⇒4c>2c ＋2c 2－1⇒c>c 2－1⇒c 2>c 2－1.此式显然成立，故假设成立．答案：A3. 解析：p ＝OC →＋CP →＝a ＋b 2＋CP →， ∴p·(a －b)＝(a ＋b 2＋CP →)·(a －b) ＝12(a ＋b)(a －b)＝12(42－22)＝6. 答案：A4．解析：f ′(x)＝(e x sinx)′＝e x sinx ＋e x cosx ＝e x (sinx ＋cosx)，f ′(4)＝e 4(sin4＋cos4)，因为sin4<0，cos4<0，所以f ′(x)<0，所以切线斜率为负值，则切线的倾斜角为钝角．答案：C5．解析：AB 中点为(1,2)，直线AB 的垂直平分线方程为y －2＝12(x －1)，将其与欧拉线方程联立，解得外心(－1,1)，设C(a ，b)，则重心G(2＋a 3，4＋b 3)，有4＋b 3＝2＋a 3＋2与 (a ＋1)2＋(b －1)2＝10，联立得a ＝－4，b ＝0.答案：C二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：∵a a ＋b b>a b ＋b a ⇔(a －b)2·(a ＋b)>0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b. 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b7．解析：本题只需求出分段函数的最大值即可，当1≤t ≤6时，M 的最大值为240；当7≤t ≤12时，M 的最大值为398，故至少应准备大巴20辆．答案：208．解析：由三视图知，在三棱锥S —ABC 中，底面ABC 为Rt △且∠ACB ＝90°.又∵SA ⊥底面ABC ，∴BC ⊥AC ，且BC ⊥SA ，并且SA ∩AC ＝A.∴BC ⊥平面SAC.命题①正确．由已知推证不出②③命题正确．答案：①三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分）证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只要证：a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2， ∵a>0，故只要证：(a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a ＋2)2，即：a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋1a 2＋2＋22(a ＋1a )＋2，只要证：2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)，只要证：4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋1a 2＋2)，即：a 2＋1a2≥2. 上述不等式显然成立，故原不等式成立．10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)g ′(x)＝cosx －xsinx －cosx ＝－xsinx ， ∵x ∈(0，π)，∴g ′(x)≤0，∴g(x)在(0，π)上单调递减，又g(0)＝0，∴当x ∈(0，π)时，g(x)<g(0)＝0.(2)∵f(x)＝x ＋sinx x ＝1＋sinx x， ∴f ′(x)＝xcosx －sinx x 2，由(1)知，当x ∈(0，π)时，f ′(x)<0，∴f(x)在(0，π)上单调递减，则当x ∈(0，π)时，当x →0时，sinx x→1，f(x)→2，由题意知，f(x)<a 在(0，π)上有解，∴a>f(x)max ，∵f(x)<2，从而a ≥2.。

【金版教程】2021届高考数学大一轮总温习 6-6（2）直接证明与间接证明限时标准训练理(1)

05限时标准特训A 级基础达标1．[2021·皖北联考]假设P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，那么P ，Q 的大小关系( ) A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 取值决定解析：假设P <Q ，∵要证P <Q ，只要证P 2<Q 2，只要证：2a ＋7＋2a a ＋7<2a ＋7＋2a ＋3a ＋4，只要证：a 2＋7a <a 2＋7a ＋12，只要证：0<12，∵0<12成立，∴P <Q 成立．答案：C2．[2021·三明模拟]设a ，b ∈R ，那么“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件解析：假设“a ＋b ＝1”，那么4ab ＝4a (1－a )＝－4(a －12)2＋1≤1；假设“4ab ≤1”，取a ＝－4，b ＝1，a ＋b ＝－3，即“a ＋b ＝1”不成立；那么“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的充分没必要要条件．答案：A3．[2021·张家口模拟]分析法又称执果索因法，假设用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证 b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0 解析：b 2－ac <3a⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.答案：C4．[2021·汕头模拟]设x ，y ，z >0，那么三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y( ) A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2解析：假设这三个数都小于2，那么三个数之和小于6，又y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y ＝(y x ＋x y )＋(y z ＋z y)＋(z x ＋x z )≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.另取x ＝y ＝z ＝1，可排除A 、B.答案：C5．[2021·四平质检]设a ，b 是两个实数，给出以下条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( )A ．②③B ．①②③C ．③D ．③④⑤解析：①中假设a ＝34，b ＝12，那么a ＋b >1，故①不能；②中假设a ＝b ＝1，那么a ＋b ＝2，故②不能；③能，④中假设a ＝b ＝－2，那么a 2＋b 2>2，故④不能；⑤中假设a ＝b ＝－2，那么ab >1，故⑤不能．∴只有③能，选C.答案：C6．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数解析：自然数a ，b ，c 中为偶数的情形为a ，b ，c 全为偶数；a ，b ，c 中有两个数为偶数；a ，b ，c 全为奇数；a ，b ，c 中恰有一个数为偶数，因此反设为a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数．答案：B7．不相等的三个正数a 、b 、c 成等差数列，而且x 是a 、b 的等比中项，y 是b 、c 的等比中项，那么x 2、b 2、y 2三数( )A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列解析：由已知条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ， ②y 2＝bc ， ③由②③得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝x 2b ，c ＝y 2b ，代入①，得x 2b ＋y 2b＝2b ，即x 2＋y 2＝2b 2.故x 2、b 2、y 2成等差数列，应选B.答案：B8．假设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出以下判定：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判定正确的选项是________．解析：①②正确；③中a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可能同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3.答案：①②9．请阅读以下材料：假设两个正实数a 1，a 2知足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2. 证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，因此Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，因此a 1＋a 2≤ 2.依照上述证明方式，假设n 个正实数知足a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1时，你能取得的结论为________．解析：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，因此Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0，因此a 1＋a 2＋…＋a n ≤n . 答案：a 1＋a 2＋…＋a n ≤n 10. 已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1. 解：假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，那么有a ＋b ＋c <3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋12＋3＝2(x －12)2＋3≥3，二者矛盾；故a ，b ，c 至少有一个不小于1.11．[2021·南京联考]已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，由于a >1，ax 1<ax 2，∴ax 2－ax 1>0.又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝x 2－2x 1＋1－x 1－2x 2＋1x 1＋1x 2＋1＝3x 2－x 1x 1＋1x 2＋1>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，即f (x 2)>f (x 1)，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)证法一：假设存在x 0<0(x 0≠－1)知足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，∴0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0相矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．证法二：假设存在 x 0<0(x 0≠－1)知足f (x 0)＝0，①假设－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2,0<ax 0<1，∴f (x 0)<－1，与f (x 0)＝0矛盾．②若x 0<－1，那么x 0－2x 0＋1>0,1>ax 0>0，∴f (x 0)>0，与f (x 0)＝0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．12．已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2.证明：a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2. 只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2，只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．B 级知能提升1．假设a ，b ∈R ，那么下面四个式子中恒成立的是( )A ．lg(1＋a 2)>0B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)C ．a 2＋3ab >2b 2 D.a b <a ＋1b ＋1解析：在B 中，∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．答案：B 2．凸函数的性质定理为：若是函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么关于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f x 1＋f x 2＋…＋f x nn ≤f (x 1＋x 2＋…＋x nn )，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．解析：∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π)，∴f A ＋f B ＋f C3≤f (A ＋B ＋C3)＝f (π3)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，因此sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332. 答案：3323．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个不同的交点，假设f (c )＝0且0<x <c 时，f (x )>0，(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a与c 的大小； (3)证明：－2<b <－1.解：(1)证明：∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a， ∴x 2＝1a (1a≠c )， ∴1a是f (x )＝0的一个根． (2)假设1a <c ，又1a>0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0与f (1a )＝0矛盾，∴1a≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a>c . (3)证明：由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0，∴b ＝－1－ac .又a >0，c >0，∴b <－1.二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a，即－b 2a <1a. 又a >0，∴b >－2，∴－2<b <－1.。

直接证明与间接证明练习题(基础、经典、好用)

直接证明与间接证明一、选择题1．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数2．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥03．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定4．(2013·东莞调研)对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是( )A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αB ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC ．若m ⊂α，n ∥α，则m ∥nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n5．已知函数f (x )＝(12)x ，a ，b 是正实数，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2ab a ＋b)，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A二、填空题6．下列条件：①ab ＞0，②ab ＜0，③a ＞0，b ＞0，④a ＜0，b ＜0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件的个数是________．7．(2013·阳江月考)下面有3个命题：①当x ＞0时，2x ＋12x 的最小值为2；②若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，且其一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为2.③在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝a ，BC ＝b ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22.类比到空间，若三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则三棱锥S —ABC 的外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22. 其中错误．．命题的序号为________． 8．凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x n n)，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．三、解答题9．(1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3；(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点；(2)试用反证法证明1a＞c . 11．(2013·珠海模拟)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，试问A 、B 、C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．解析及答案一、选择题1．【解析】 “自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定为“a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数”．【答案】 B2．【解析】 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.【答案】 D3．【解析】 ∵P 2＝2a ＋7＋2a a ＋7＝2a ＋7＋2a 2＋7a ，Q 2＝2a ＋7＋2a ＋3a ＋4＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12，∴P 2＜Q 2，∴P ＜Q .【答案】 C4．【解析】对于平面α和共面直线m 、n .设m ，n 确定的平面为β，对于C ，若m ⊂α，则m ＝α∩β，从而n ∥α可得m ∥n ，因此C 正确．【答案】 C5．【解析】 ∵a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝(12)x 在R 上是减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2ab a ＋b)，即A ≤B ≤C . 【答案】 A二、填空题6．【解析】要使b a ＋a b ≥2，只要b a ＞0且a b ＞0，所以a ，b 不为0且同号即可，故有3个．【答案】 37．【解析】对于①，2x ＋12x 取得最小值为2的条件是x ＝0，这与x ＞0相矛盾；易证②成立；对于③，可将该三棱锥补成长方体，其外接球的直径恰好是长方体的体对角线．【答案】 ①8．【解析】 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π)，∴f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f (A ＋B ＋C 3)＝f (π3)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.【答案】 332 三、解答题9．【证明】 (1)x 是正实数，由基本不等式知 x ＋1≥2x ，1＋x 2≥2x ，x 3＋1≥2x 3，故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)．(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立．由(1)知，当x ＞0时，不等式成立．当x ≤0时，8x 3≤0，又(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)[(x －12)2＋34]≥0，此时不等式仍然成立．10．【证明】 (1)∵f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a ≠c )，∴1a 是f (x )＝0的一个根．即1a 是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0与f (1a )＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a >c .11．【解】 A 、B 、C 成等差数列，下面用综合法给出证明：∵1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，∴a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，∴ca＋b＋ab＋c＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b22ac＝ac2ac＝12，∵0°＜B＜180°，∴B＝60°.∴A＋C＝120°＝2B，∴A、B、C成等差数列．。

2018年高考总复习知识导学案(文科)6.6直接证明与间接证明

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解析： a－ b< a－b⇔a－b＋3 ab －3 a2b<a－b， 3 2 3 2 3 3 ∴ ab < a b.∴当 ab>0，有 b< a，即 b<a；当 ab<0，有 3 3 b> a，即 b>a，故选 D. 答案：D
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3．(2014· 山东卷)用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A．方程 x3＋ax＋b＝0 没有实根 B．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有一个实根 C．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根 D．方程 x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根
解析：因为“方程 x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”等价于 “方程 x3＋ax＋b＝0 的实根的个数大于或等于 1”，因此，要做的假设是“方程 x3＋ax＋b＝0 没有实根”．答案：A
4．若 a>b>0，则下列不等式中总成立的是( ) 1 1 b b＋1 A．a＋ >b＋ B. > b a a a＋1 2a＋b a 1 1 C．a＋ >b＋ D. > a b a＋2b b 1 1 1 1 解析：∵a>b>0，∴ > .又∵a>b，∴a＋ >b＋ . b a b a 答案：A
考向三反证法[互动讲练型] [例 3] 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1＋ 2，S3＝9 ＋3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn； Sn (2)设 bn＝ (n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不 n 可能成为等比数列．

限时集训(三十九) 直接证明与间接证明

限时集训(三十九) 直接证明与间接证明(限时：45分钟满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝⎛⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A2．(2013·成都模拟)设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定4．(2013·银川模拟)设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b ，a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立，其中正确判断的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( )A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列6．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12.那么他的反设应该是________．8．设S n ＝12＋16＋112＋…＋1n (n ＋1)(n ∈N *)，且S n ＋1·S n ＋2＝34，则n 的值是________． 9．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b. 11．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 12．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在函数y ＝x 2＋1的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2<b 2n ＋1.限时集训(三十九) 直接证明与间接证明答案1．A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.D7．“∃x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|则|f (x 1)－f (x 2)|≥12” 8．5 9.⎝⎛⎭⎫－3，32 10．证明：∵1b －1a，a >0， ∴0<b <1，要证1＋a >11－b，只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1，只需证a －b －ab >0，即a －b ab >1，即1b －1a>1. 这是已知条件，所以原不等式成立．11．解：(1)由已知得⎩⎨⎧ a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2. 假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则 b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)．∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0. ∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r .与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．12．解：(1)由已知得a n ＋1＝a n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1，又a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列．故a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知，a n ＝n ，从而b n ＋1－b n ＝2n . b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n －1.因为b n ·b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝(22n ＋2－2n ＋2－2n ＋1)－(22n ＋2－2·2n ＋1＋1)＝－2n <0，所以b n ·b n ＋2<b 2n ＋1.。

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2、直接证明与间接证明三种证明方法的定义与步骤：1. 综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。

2. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。

3. 反证法假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤： (1) 假设命题的结论不成立； (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立题型一：用综合法证明数学命题例1 ：对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数．(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；(2)判断函数()21x g x =-（]1,0[∈x ）是否为理想函数，并予以证明；解析：（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤⇒+≥f f f f ．又由条件①0)0(≥f ，故0)0(=f ．（2）显然12)(-=x x g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ；也满足条件②1)1(=g ．若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则)]12()12[(12)]()([)(21212121-+---=+-++x x x x x g x g x x g0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ，即满足条件③，故)(x g 理想函数．注：紧扣定义，证明函数()21x g x =-（]1,0[∈x ）满足三个条件题型二：用分析法证明数学命题例2：已知：10<<a ，求证：9141≥-+a a . 证明：∵ 10<<a ∴ 要证 9141≥-+aa ，去分母后需要证：（1－a ）+4a ≥9a （1—a ），移项合并同类项，即需要证：92a —6a+1≥0，即要证；()2310a -≥ (1)而（1）式显然成立， ∴ 原不等式成立。

题型三：用反证法证明数学命题或判断命题的真假例3 ：已知)1(12)(>+-+=a x x a x f x ，证明方程0)(=x f 没有负数根解析：假设0x 是0)(=x f 的负数根，则00<x 且10-≠x 且12000+--=x x ax112010000<+--<⇒<<∴x x a x ，解得2210<<x ，这与00<x 矛盾，故方程0)(=x f 没有负数根注：（1）凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题从正面突破往往比较困难，适宜用反证法。

即 “正难则反”；（2）反证法步骤：假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立。

选择题1.用反证法证明命题：若整系数方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（）. A 、假设,,a b c 都是偶数B 、假设,,a b c 都不是偶数C 、假设,,a b c 中至多有一个偶数D 、假设,,a b c 中至多有两个偶数答案；B2．若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（）A.锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案： B3.已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是（ B ） A.（0，11a ） B （0，12a ） C.（0，31a ） D. （0，32a ）提示；2(1)1i a x -<⇒x ∈（0，2ia ），由1230a a a >>>⇒123222a a a <<得出结论。

填空题 4．若244)(+=xxx f ，则)10011000()10012()10011(f f f +++Λ=____________. 答案：5005. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方程为01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你完成直线OF 的方程： ( )011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x 。

答案：11c b-6．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15………………y按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为答案：222n n -+。

解答题7. 若0>>>>d c b a 且c b d a +=+，求证：c b a d +<+ [解析]要证c b a d +<+，只需证22)()(c b a d +<+ 即bc c b ad d a 22++<++，因c b d a +=+，只需证bc ad < 即bc ad <，设t c b d a =+=+，则0))(()()(<-+-=---=-t d c d c c c t d d t bc adbc ad <∴成立，从而c b a d +<+成立8.在锐角三角形ABC 中,求证:C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ [解析]ABC ∆Θ为锐角三角形，B A B A ->∴>+∴22ππ，x y sin =Θ在)2,0(π上是增函数，B B A cos )2sin(sin =->∴π同理可得C B cos sin >，A C cos sin >C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++∴9. 设b a ,为非零向量，且b a ,不平行，求证b a +，ba -不平行[解析]假设b a +)(b a -=λ，则0)1()1(=++-b a λλ，ba ,Θ不平行，⎩⎨⎧=+=-∴0101λλ，因方程组无解，故假设不成立，即原命题成立10. 已知a 、b 、c 成等差数列且公差0≠d ，求证：a 1、b 1、c1不可能成等差数列[解析]Θ a 、b 、c 成等差数列，c a b +=∴2假设a 1、b 1、c 1成等差数列，则0)(4)(11222=-⇒=+⇒+=c a ac c a ca b ，ca =∴从而0=d 与0≠d 矛盾，a1∴、b 1、c 1不可能成等差数列11. 已知xx f ln )(=证明： )1()1(->≤+x x x f[解析] 即证：0)1ln(≤-+x x设1111)(,)1ln()(+-=-+='-+=x x x x k x x x k 则. 当x ∈（-1，0）时，k ′(x )>0，∴k (x )为单调递增函数；当x ∈（0，∞）时，k ′(x )<0，∴k (x )为单调递减函数； ∴x =0为k(x )的极大值点， ∴k(x )≤k(0)=0.即0)1ln(≤-+x x )1()1(->≤+∴x x x f12. 已知函数||1y x =+，y =，11()2ty x x-=+(0)x > 的最小值恰好是方程320x ax bx c +++=的三个根，其中01t <<．求证：223a b =+；[解析] 三个函数的最小值依次为1，由(1)0f =，得1c a b =---∴ 3232()(1)f x x ax bx c x ax bx a b =+++=++-++2(1)[(1)(1)]x x a x a b =-+++++，故方程2(1)(1)0x a x a b +++++=(1)a =-+1a b =++． 22(1)a =+，即222(1)(1)a b a +++=+ ∴ 223a b =+．改变后直接证明与间接证明1.用反证法证明命题：若整系数方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（）. A 、假设,,a b c 都是偶数B 、假设,,a b c 都不是偶数C 、假设,,a b c 中至多有一个偶数D 、假设,,a b c 中至多有两个偶数2．若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（） A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定3．若244)(+=x x x f ，则)10011000()10012()10011(f f f +++Λ=____________.4 . 若0>>>>d c b a 且c b d a +=+，求证：c b a d +<+5.在锐角三角形ABC 中,求证:C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++6. 设b a ,为非零向量，且b a ,不平行，求证b a +，b a -不平行7. 已知a 、b 、c 成等差数列且公差0≠d ，求证：a 1、b 1、c1不可能成等差数列8.对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数．(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；(2)判断函数()21x g x =-（]1,0[∈x ）是否为理想函数，并予以证明；。