2015高考数学(人教版)一轮复习专项强化训练6(含答案解析)
2015届高考数学第一轮复习 第六章 数列章末检测(新人教A版)
第六章 章末检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2013·茂名月考)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是 ( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．642．各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0 (n ∈N *，n ≥2)，则S 2 010等( ) A ．0 B ．2 C ．2 009 D ．4 0203．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于 ( ) A ．66 B ．65 C ．61 D ．56 4．(2013·南阳模拟)等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则 ( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1 D ．a 5＝15．(2013·东北师大附中高三月考)由a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1给出的数列{a n }的第34项( )A.34103 B ．100 C.1100 D.1104 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于 ( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．67．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n－12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于 ( )A ．13B ．10C ．9D ．6 8．(2013·福建)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于 ( )A ．6B ．7C ．8D ．99．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．410．(2013·衡水月考)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年 11．在△ABC 中，tan A ，tan B ，tan C 依次成等差数列，则B 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3B.⎝⎛⎦⎤0，π6∪⎝⎛⎦⎤π2，5π6C.⎣⎡⎭⎫π6，π2D.⎣⎡⎭⎫π3，π2 12．(2013·安徽)设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是 ( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )213．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若{a n }的前n 项和为24，则n ＝________.14．(2013·海口调研)在等差数列{a n }中，已知log 2(a 5＋a 9)＝3，则等差数列{a n }的前13项的和S 13＝________.15．将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是________．16．(2013·哈师大附中高三月考)已知S n 是等差数列{a n } (n ∈N *)的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11.其中正确的命题是________．(将所有正确的命题序号填在横线上) 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)(2013·德州模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，S 10＝190. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)设p ，q ∈N *，试判断a p ·a q 是否仍为数列{a n }中的项并说明理由．18．(12分)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 8＋a 13＝12，a 3a 8a 13＝28，求数列{a n }的通项公式．19．(12分)(2013·武汉月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且向量a ＝(n ，S n )，b ＝(4，n ＋3)共线．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1na n 的前n 项和T n .20．(12分)(2013·唐山月考)已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n ) (n ∈N *)是首项为4，公差为2的等差数列．(1)设a 为常数，求证：{a n }成等比数列；(2)若b n ＝a n f (a n )，{b n }的前n 项和是S n ，当a ＝2时，求S n .21．(12分)(2013·周口月考)已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)？请说明理由．22．(12分)为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2013年底，将当地沙漠绿化了40%，从2013年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 2＝0.3，最后结果精确到整数)答案 1．A [由{a n }是等差数列知a 7＋a 9＝2a 8＝16，∴a 8＝8.又a 4＝1，∴a 12＝2a 8－a 4＝15.]2．D [a 2n ＝a n －1＋a n ＋1＝2a n ，a n ≠0，∴a n ＝2. ∴S n ＝2n ，S 2 010＝2×2 010＝4 020.] 3．A [当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n －5， ∴a 2＝－1，a 3＝1，a 4＝3，…，a 10＝15， ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋8(1＋15)2＝2＋64＝66.]4．B [因为{a n }是等比数列，所以a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，代入已知式T 5＝1，得a 53＝1，所以a 3＝1.]5．C [由a n ＋1＝a n 3a n ＋1知，1a n ＋1＝1a n＋3，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，公差为3的等差数列． ∴1a n＝1＋(n －1)×3＝3n －2. ∴a n ＝13n －2，a 34＝13×34－2＝1100.]6．B [∵S n ＝n 2－9n ，∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10， a 1＝S 1＝－8适合上式， ∴a n ＝2n －10 (n ∈N *)，∴5<2k －10<8，得7.5<k <9.∴k ＝8.]7．D [∵a n ＝1－12n ，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－18＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12n ＝n －⎝⎛⎭⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝n －12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n －1＋12n .∵S n ＝32164，∴n －1＋12n ＝32164＝5＋164.∴n ＝6.]8．A [设该数列的公差为d ， 则由a 4＋a 6＝－6得2a 5＝－6， ∴a 5＝－3.又∵a 1＝－11， ∴－3＝－11＋4d ，∴d ＝2，∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，故当n ＝6时S n 取最小值．]9．B [由表格知，第三列为首项为4，第二项为2的等比数列，∴x ＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字分别为5，52，故该数列所成等比数列的公比为12，∴y ＝5×⎝⎛⎭⎫123＝58，同理z ＝6×⎝⎛⎭⎫124＝38.故x ＋y ＋z ＝2.] 10．C [由题意知第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量分别为a n ＝f (n )－f (n－1)＝12n (n ＋1)·(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2 (n ∈N *)，令3n 2≤150，∴1≤n ≤52，∴1≤n ≤7.故生产期限最大为7年．]11．D [由已知得2tan B ＝tan A ＋tan C >0(显然tan B ≠0，若tan B <0，因为tan A >0且tan C >0，tan A ＋tan C >0，这与tan B <0矛盾)，又tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C＝－2tan B1－tan A tan C≠0，所以tan A tan C ＝3.又∵tan A ＋tan C ≥2tan A tan C ＝23， ∴tan B ≥3，∵B ∈(0，π)∴B 的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2.]12．D [由题意知S n ＝X ，S 2n ＝Y ，S 3n ＝Z . 又∵{a n }是等比数列，∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 为等比数列， 即X ，Y －X ，Z －Y 为等比数列， ∴(Y －X )2＝X ·(Z －Y )，即Y 2－2XY ＋X 2＝ZX －XY ， ∴Y 2－XY ＝ZX －X 2， 即Y (Y －X )＝X (Z －X )．] 13．624解析 a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .∴(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝24， ∴n ＋1＝25，∴n ＝624. 14．52解析 ∵log 2(a 5＋a 9)＝3，∴a 5＋a 9＝23＝8.∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×(a 5＋a 9)2＝13×82＝52.15．34 950解析 由“第n 组有n 个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，1为公差的等差数列，前99组数的个数共有(1＋99)×992＝4 950个，故第100组中的第1个数是34 950.16．①②解析 由S 6>S 7得a 7<0， 由S 6>S 5得a 6>0， 由S 7>S 5得a 6＋a 7>0.因为d ＝a 7－a 6，∴d <0；S 11＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝(a 1＋a 11)＋(a 2＋a 10)＋…＋a 6＝11a 6>0，S 12＝a 1＋a 2＋…＋a 12＝(a 1＋a 12)＋(a 2＋a 11)＋…＋(a 6＋a 7)＝6(a 6＋a 7)>0；∵a 6>0，a 7<0，∴{S n }中S 6最大． 故正确的命题为①②.17．解 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧2d ＝810a 1＋10×92d ＝190，………………………………………………………………(4分) 解得a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3.………………………………………………………(6分) (2)a p a q ＝(4p －3)(4q －3)＝16pq －12(p ＋q )＋9 ＝4[4pq －3(p ＋q )＋3]－3，∵4pq －3(p ＋q )＋3∈N *，………………………………………………………………(8分) ∴a p ·a q 为数列{a n }中的项．……………………………………………………………(10分) 18．解 ∵a 3＋a 13＝2a 8，a 3＋a 8＋a 13＝12， ∴a 8＝4，…………………………………………………………………………………(2分)则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 13＝8，a 3a 13＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝1，a 13＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝7，a 13＝1.…………………………………………………………(7分)由a 3＝1，a 13＝7，可知d ＝a 13－a 313－3＝7－110＝35.故a n ＝a 3＋(n －3)·35＝35n －45；……………………………………………………………(9分)由a 3＝7，a 13＝1，可知d ＝a 13－a 313－3＝1－710＝－35.故a n ＝a 3＋(n －3)·⎝⎛⎭⎫－35 ＝－35n ＋445.……………………………………………………………………………(11分)综上可得，a n ＝35n －45，或a n ＝－35n ＋445.……………………………………………(12分)19．(1)证明 ∵a ＝(n ，S n )，b ＝(4，n ＋3)共线，∴n (n ＋3)－4S n ＝0，∴S n ＝n (n ＋3)4.……………………………………………………(3分)∴a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋12，……………………………………………………(5分)又a 1＝1满足此式，∴a n ＝n ＋12.………………………………………………………(6分)∴a n ＋1－a n ＝12为常数，∴数列{a n }为首项为1，公差为12的等差数列．………………………………………(7分)(2)解 ∵1na n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，…………………………………………………(9分) ∴T n ＝1a 1＋12a 2＋…＋1na n.＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋2⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝2n n ＋1.……………………………………(12分)20．(1)证明 f (a n )＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，…………………………………………(2分)即log a a n ＝2n ＋2，可得a n ＝a 2n ＋2.∴a na n －1＝a 2n ＋2a 2(n －1)＋2＝a 2n ＋2a 2n ＝a 2 (n ≥2)为定值．………………………………………………………………………(4分)∴{a n }为以a 2为公比的等比数列．……………………………………………………(5分)(2)解 b n ＝a n f (a n )＝a 2n ＋2log a a 2n ＋2＝(2n ＋2)a 2n ＋2.…………………………………………………………………………(7分)当a ＝2时，b n ＝(2n ＋2)(2)2n ＋2＝(n ＋1)2n ＋2.S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n ＋1)·2n ＋2，①2S n ＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n ·2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3，② ①－②，得－S n ＝2·23＋24＋25＋…＋2n ＋2－(n ＋1)·2n ＋3 …………………………………………(9分)＝16＋24(1－2n －1)1－2－(n ＋1)·2n ＋3＝16＋2n ＋3－24－n ·2n ＋3－2n ＋3＝－n ·2n ＋3.∴S n ＝n ·2n ＋3.……………………………………………………………………………(12分)21．解 (1)已知得a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *)，①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)．②由①－②，得2n －1a n ＝8.∴a n ＝24－n .……………………………………………………(3分)在①中，令n ＝1，得a 1＝8＝24－1，∴a n ＝24－n (n ∈N *)．由题意知b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2， ∴b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2，∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2.∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6.…………………………………………………(5分) ∴b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *)．…………………………………………………………………(7分)(2)∵b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，设f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ，当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k ，单调递增，且f (4)＝1.∴k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋4－24－k ≥1.…………………………………………………(10分) 又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0，…………………………………………………………………(11分)∴不存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)．………………………………………………(12分)22．解 设该地区总面积为1,2013年底绿化面积为a 1＝25，经过n 年后绿洲面积为a n ＋1，设2013年底沙漠面积为b 1，经过n 年后沙漠面积为b n ＋1，则a 1＋b 1＝1，a n ＋b n ＝1.…(3分)依题意a n ＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲a n 减去被侵蚀的部分8%·a n 的剩余面积92%·a n ，另一部分是新绿化的12%·b n ，∴a n ＋1＝92%·a n ＋12%(1－a n ) ＝45a n ＋325，………………………………………………………………………………(6分) 即a n ＋1－35＝45(a n －35)．∴{a n －35}是以－15为首项，45为公比的等比数列，则a n ＋1＝35－15·(45)n.………………………………………………………………………(9分)∵a n ＋1>50%，∴35－15·(45)n >12.∴(45)n <12，n >451log 2＝lg 21－3lg 2≈3.……………………………………………………(11分) 则当n ≥4时，不等式(45)n <12恒成立．∴至少需要4年才能使绿化面积超过50%.…………………………………………(12分)。
2015届高考数学一轮总复习6-1数列的概念课后强化作业(新人教A版)
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-1数列的概念课后强化作业 新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．给定数列1,2＋3＋4,5＋6＋7＋8＋9,10＋11＋12＋13＋14＋15＋16，…，则这个数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝2n 2＋3n －1B ．a n ＝n 2＋5n －5C ．a n ＝2n 3－3n 2＋3n －1D ．a n ＝2n 3－n 2＋n －2 [答案] C[解析] 当n ＝1时，a 1＝1，否定A 、D.当n ＝3时，a 3＝35，否定B ，故选C. 2．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1，则{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4 n ＝1，2n －1 n ≥2.D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4 n ＝1，2n ＋1 n ≥2.[答案] D[解析] a 1＝S 1＝4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4 n ＝1，2n ＋1 n ≥2.3．(文)(2013·北京海淀区期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 [答案] B[解析] ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)<0，∴193≤k <223，∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7.(理)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{na n }中数值最小的项是( ) A ．第2项 B ．第3项 C ．第4项 D ．第5项[答案] B[解析] n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－10n )－[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11， 令b n ＝na n ，则b n ＝n (2n －11)＝2(n －114)2－1218，∵n ∈N *，∴n ＝3时，b n 取最小值．4．(文)(2012·西安模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N ＋)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38[答案] C[解析] ∵a n a n －1＝a n －1＋(－1)n ， ∴a 2a 1＝a 1＋1， a 3a 2＝a 2－1， a 4a 3＝a 3＋1， a 5a 4＝a 4－1，∵a 1＝1，∴a 2＝2，a 3＝12，a 4＝3，a 5＝23，∴a 3a 5＝34. (理)(2013·德州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝45，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12<a n≤1，则a 2012等于( )A.45B.35C.25D.15 [答案] C[解析] ∵a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12<a n≤1，又a 1＝45，∴a 2＝2×45－1＝35，a 3＝2×35－1＝15，a 4＝2×15＝25，a 5＝2×25＝45，∴数列{a n }以4为周期，∵20124＝503，∴a 2012＝a 4＝25. 5．(文)(2012·佛山质检)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92 D.132[答案] B[解析] ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×(－32)＋10×2＝72.(理)(2013·池州一模)数列{a n }的通项公式a n ＝2n ·sin(n π2－π3)＋3n cos n π2，前n 项和为S n ，则S 2013＝( )A ．1007B ．－1007C ．2013D ．－2013 [答案] B[解析] a n ＝2n sin(n π2－π3)＋3n cos n π2＝n sin n π2.由函数y ＝sin π2x 的周期是4，且a 1＝1，a 2＝2×0＝0，a 3＝3×(－1)＝－3，a 4＝4×0＝0，归纳可知数列{a n }从第一项开始依次每相邻四项之和是一个常数－2，即a i ＋a i ＋1＋a i ＋2＋a i ＋3＝－2(i ＝4k ＋1，k ∈N )，所以S 2013＝2013－14×(－2)＋2013＝－1007，故选A.6．(文)已知x 与函数f (x )的对应关系如下表所示，数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝f (a n )，则a 2014＝( )A.3 B ．2 [答案] A[解析] ∵a 1＝3，∴a 2＝f (a 1)＝f (3)＝1，∴a 3＝f (a 2)＝f (1)＝2，a 4＝f (a 3)＝f (2)＝3，∴数列{a n }为周期数列，周期T ＝3，∴a 2014＝a 1＝3，故选A.(理)若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 2014等于( )A ．3B ．2 C.12 D.23[答案] C[解析] a 1＝2，a 2＝3，a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12，依次可得a 5＝13，a 6＝23，a 7＝2，a 8＝3，a 9＝32…，可见{a n }是周期为6的周期数列．∴a 2014＝a 4＝12，故选C.[点评] 数列是函数，故可用研究函数的方法加以讨论，由a n ＝a n －1a n －2(n ≥3，n ∈N *)知，a n＋1＝a n a n －1＝a n －1a n －2a n －1＝1a n －2，∴a n ＋3＝1a n (n ∈N *)，∴a n ＋6＝a n ，故{a n }周期为6. 二、填空题7．(文)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sin n π2，则S 2014＝________.[答案] 1[解析] 依题意得，数列{a n }是以4为周期的周期数列，且a 1＝1，a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，注意到2014＝4×503＋2，因此S 2014＝0×503＋a 1＋a 2＝1.(理)(2012·湖北文，17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：b 2012是数列{a n }中的第________项．[答案] 5030[解析] 由前四组可以推知a n ＝n (n ＋1)2，b 1＝a 4＝10，b 2＝a 5＝15，b 3＝a 9＝45，b 4＝a 10＝55，依次可知，当n ＝4,5,9,10,14,15,19,20,24,25，…时，a n 能被5整除，由此可得，b 2k ＝a 5k (k ∈N *)，∴b 2012＝a 5×1006＝a 5030.8．(文)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ≥2)，则a 2014＝________.[答案] 12[解析] 由题可知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，∴此数列是以3为周期的周期数列，∴a 2014＝a 1＝12.(理)在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________. [答案] 2n ＋1－3[解析] 依题意得，a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，a 1＋3＝4，因此数列{a n ＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，于是有a n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1，则a n ＝2n ＋1－3.9．已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S 2014等于________．[答案] 2010[解析] 由题意a n ＋1＋a n －1＝a n (n ≥2)，a n ＋a n ＋2＝a n ＋1，两式相加得a n ＋2＝－a n －1， ∴a n ＋3＝－a n ，∴a n ＋6＝a n ， 即{a n }是以6为周期的数列．∵2014＝335×6＋4，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a 2014＝335×0＋a 2011＋a 2012＋a 2013＋a 2014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2010. 三、解答题10．(文)(2013·江西)正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1(n ＋1)a n，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n .(2)a n ＝2n ，b n ＝1(n ＋1)a n ，则b n ＝12n (n ＋1)＝12(1n －1n ＋1)．T n ＝12(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1)＝12(1－1n ＋1)＝n2(n ＋1).(理)(2013·广州调研)各项都为正数的数列{a n }，满足a 1＝1，a 2n ＋1－a 2n ＝2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a 2n2n }的前n 项和S n .[解析] (1)因为a 2n ＋1－a 2n ＝2，a 21＝1，所以数列{a 2n }是首项为1，公差为2的等差数列． 所以a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 因为a n >0，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知，a n ＝2n －1，所以a 2n 2n ＝2n －12n ，于是S n ＝12＋322＋523＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，①12S n ＝122＋323＋524＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1，② ①－②得，12S n ＝12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －12n ＋1＝12＋2(122＋123＋124＋…＋12n )－2n －12n ＋1 ＝12＋2×14×(1－12n －1)1－12－2n －12n ＋1 ＝32－2n ＋32n ＋1， 所以S n ＝3－2n ＋32n .能力拓展提升一、选择题11．下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖的块数为(用含n 的代数式表示)()A ．4nB ．4n ＋1C ．4n －3D ．4n ＋8[答案] D[解析] 第(1)，(2)，(3)个图案黑色瓷砖数依次为3×5－3＝12；4×6－2×4＝16；5×7－3×5＝20，代入选项验证可得答案为D.12．(文)(2012·东城模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 3nn ＋1(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－4成立的最小自然数n 等于( )A ．83B ．82C ．81D ．80[答案] C [解析] ∵a n ＝log 3nn ＋1＝log 3n －log 3(n ＋1)， ∵S n ＝log 31－log 32＋log 32－log 33＋…＋log 3n －log 3(n ＋1)＝－log 3(n ＋1)<－4，解得n >34－1＝80.(理)设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，且对任意的n ∈N *，点列{P n (n ，a n )}恒满足P n P n ＋1＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A ．n (n －43)B ．n (n －34)C ．n (n －23)D ．n (n －12)[答案] A[解析] 设P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)，则P n P n ＋1＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)，即a n ＋1－a n ＝2，所以数列{a n }是以2为公差的等差数列．又a 1＋2a 2＝3，所以a 1＝－13，所以S n ＝n (n －43)，选A.13．(文)由1开始的奇数列，按下列方法分组：(1)，(3,5)，(7,9,11)，…，第n 组有n 个数，则第n 组的首项为( )A ．n 2－nB ．n 2－n ＋1C ．n 2＋nD ．n 2＋n ＋1 [答案] B[解析] 前n －1组共有1＋2＋…＋(n －1)＝(n －1)(n －1＋1)2＝n (n －1)2个奇数，故第n 组的首项为2×n (n －1)2＋1＝n 2－n ＋1.[点评] 可直接验证，第2组的首项为3，将n ＝2代入可知A 、C 、D 都不对，故选B. (理)已知整数对按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……则第2014个数对是( )A ．(3,61)B ．(3,60)C ．(61,3)D ．(61,2) [答案] C[解析] 根据题中规律知，(1,1)为第1项，(1,2)为第2项，(1,3)为第4项，…，整数对和为n ＋1的有n 项，由n (n ＋1)2≤2014得n ≤62，且n ＝63时，n (n ＋1)2＝2016，故第2014个数对是和为64的倒数第3项，即(61,3)．二、填空题14．(文)(2013·北京东城区综合练习)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．已知数列{1x n }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.[答案] 20[解析] 由题意，若{a n }为调和数列，则{1a n }为等差数列，∵{1x n}为调和数列，∴数列{x n }为等差数列，由等差数列的性质可知，x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝x 2＋x 19＝…＝x 10＋x 11＝20010＝20.(理)(2013·大连测试)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.[答案] 3n[解析] a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n －1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n ＋3，两式相减得a n ＝3n .15．(2013·江苏调研)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.[答案] 2n ＋1－2[解析] 由已知a n ＋1－a n ＝2n ，a 1＝2得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…，a n －a n －1＝2n －1，由累加法得a n ＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2n，从而S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.三、解答题16．(文)(2013·河北质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在数列{b n }中，b 1＝5，b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝32a 1－1，所以a 1＝2.∵S n ＝32a n －1，①∴当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－1，②①－②，得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，所以a n ＝3a n －1，又a 1≠0，故a n －1≠0， 所以a na n －1＝3，故数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， 所以a n ＝2·3n －1.(2)由(1)知b n ＋1＝b n ＋2·3n －1.当n ≥2时，b n ＝b n －1＋2·3n －2，…b 3＝b 2＋2·31， b 2＝b 1＋2·30，将以上n －1个式子相加并整理，得b n ＝b 1＋2×(3n －2＋…＋31＋30)＝5＋2×1－3n －11－3＝3n －1＋4.当n ＝1时，31－1＋4＝5＝b 1，所以b n ＝3n －1＋4(n ∈N *)．(理)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数)． (1)求出数列{a n }的通项公式；(2)若对任意正整数n ，k ≤S n 恒成立，求实数k 的最大值． [解析] (1)∵3a n ＋1＋2S n ＝3，① ∴当n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3，② 由①－②得，3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0. ∴a n ＋1a n ＝13(n ≥2)． 又∵a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，解得a 2＝13.∴数列{a n }是首项为1，公比q ＝13的等比数列．∴a n ＝a 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫13n －1(n 为正整数)． (2)由(1)知，∴S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ， 由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有 k ≤32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ， ∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝⎛⎭⎫13n 单调递增，当n ＝1时，数列取最小项为23，∴必有k ≤1，即实数k 的最大值为1.考纲要求了解数列的概念，了解数列是自变量为正整数的一类函数． 了解数列的几种简单表示方法(列表、图象、通项公式)． 补充说明1．求数列的通项公式常见的有以下三种类型 (1)已知数列的前几项，写出一个通项公式．依据数列前几项的特点归纳出通项公式：方法是依据数列的排列规律，求出项与项数的关系．一般步骤是：①定符号，②定分子、分母，③观察前后项的数值特征找规律，④综合写出项与项数的关系．要特别注意以下数列特点： ①自然数列，自然数的平方列． ②奇数列，偶数列．③a n ＝(－1)n ，a n ＝12[1＋(－1)n ]．④a n ＝sin n π2，a n ＝cos n π2.⑤a n ＝k9(10n －1)(k ＝1,2，…，9)．要注意理顺其大小规律如：2，－83，4，－325，…先变化为：42，－83，164，－325，….(2)已知数列的递推关系求其通项公式：一般是采用“归纳—猜想—证明”，有时也通过变形转化为等差、等比数列进行处理．(3)已知数列的前n 项和求通项公式，用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求解． 2．注意数列的两个性质(1)单调性——若a n ＋1>a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1<a n ，则{a n }为递减数列． (2)周期性——若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零常数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期．3．数列求和方法 (1)公式法①直接用等差、等比数列的求和公式求． ②了解一些常见的数列的前n 项和． 1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)；1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2；12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．(2)倒序相加法如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的．(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和可用“乘公比，错位相减”法进行，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的，其一般步骤是：第一步，将数列{c n }写成c n ＝a n ·b n ，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q . 第二步，写出S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .第三步，乘公比q 得，qS n ＝a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b n ＋1.第四步，错位相减，用等比数列求和公式求和得(q －1)S n .第五步，等式两边同除以q －1得S n .第六步，检查解题过程，看求和公式是否用错，符号是否正确，化简有无错误．(4)裂项相消法如果数列的通项可以表达成两项之差，各项随n 的变化而变化，前后项相加可以相互抵消就用裂项相加相消法．(5)分组求和法当一个数列的通项由几个项构成，各个项构成等差或等比数列时，可分为几个数列分别求和再相加．4．函数思想在数列中的应用(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此可用函数的知识，函数的思想方法来解决．(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法．备选习题1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 3＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1[答案] A[解析] 由S 1＝2(a 1－1)得a 1＝2；由S 2＝2(a 2－1)得a 2＝4.由S 3＝2(a 3－1)得，a 3＝8.2．如果f (a ＋b )＝f (a )·f (b )(a ，b ∈R )且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2014)f (2013)等于( ) A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014 [答案] D[解析] 令a ＝n ，b ＝1，f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，∴f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝2， ∴f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2014)f (2013)＝2×1007＝2014.。
2015届高考数学(理)一轮复习真题汇编模拟训练6-7《数学归纳法》
1. [2014·深圳段考]用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )A. 2B. 3C. 5D. 6答案：C2. [2014·深圳检测]对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k<k＋1，则当n＝k＋1时，k＋2＋k＋＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋＋k＋＝k ＋2＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立．则上述证法( )A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案：D3．[2014·石家庄质检]用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是( )A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(其中k∈N*)B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(其中k∈N*)C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(其中k∈N*)D．假设n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2是正确(其中k∈N*)答案：B4．[2014·三明质检]利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n－1<f(n)(n≥2，n∈N*)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了( ) A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项解析：∵f(k＋1)－f(k)＝12k ＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k－1.∴增加了2k项．答案：D5. [2014·南京模拟]设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有：(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝________.解析：由(S 1－1)2＝S 21得：S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2得：S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3得：S 3＝34.猜想：S n ＝nn ＋1.答案：nn ＋1。
【全程复习方略】2015届高考数学第一轮总复习 专项强化训练(六)新人教A版
专项强化训练(六)(45分钟100分)一、选择题(每小题6分,共30分)1.在100个产品中,一等品20个,二等品30个,三等品50个,用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本,则二等品中A被抽取到的概率为( )A. B. C. D.不确定2.从一堆苹果中任取了20个,并得到它们的质量(单位:克)数据分布如表:分组[90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150] 频数 1 2 3 10 3 1则这堆苹果中,质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的( )A.50%B.30%C.70%D.40%3.总体已经分成A,B,C三层,A,B,C三层个体数之比为2∶3∶5,现从总体中抽取容量为20的一个样本,已知A层中用简单随机抽样抽取样本时,甲被抽到的概率为,则总体的个体个数为( )A.4B.80C.120D.1604.有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:[11.5,15.5)2,[15.5,19.5)4,[19.5,23.5)9,[23.5,27.5)18,[27.5,31.5)11,[31.5,35.5)12,[35.5,39.5)7,[39.5,43.5]3.根据样本的频率分布估计,数据在[31.5,43.5]内的概率约是( )A. B.C. D.5.(2014·郑州模拟)为了研究某高校大学5000名新生的视力情况,随机抽查了该校100名进校新生的视力情况,得到其频率分布直方图如图,若规定视力低于5.0的学生属于近视学生,则估计该校新生中不是近视的人数约为( )A.300B.400C.600D.1 000二、填空题(每小题6分,共18分)6.(2014·日照模拟)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一个成员,他属于至少2个小组的概率是.他属于不超过2个小组的概率是.7.(2014·银川模拟)甲、乙两人比赛射击,两人所得的平均环数相同,其中甲所得环数的方差为5,乙所得环数如下:5,6,9,10,5,那么这两人中成绩较稳定的是.8.(2014·石家庄模拟)将容量为n的样本中的数据分成6组,绘制频率分布直方图.若第一至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数据的频数之和等于27,则n等于.三、解答题(每小题13分,共52分)9.(2014·兰州模拟)如图所示是某班学生一次数学考试成绩的频数分布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点),其中纵轴表示学生数,观察图形,回答下列问题:(1)全班有多少学生?(2)此次考试平均成绩大概是多少?(3)不及格的人数有多少?占全班多大比例?(4)如果80分及以上的成绩为优良,那么这个班的优良率为多少?10.(2014·枣庄模拟)有编号为A1,A2,A3,…,A6的6位同学,进行100米赛跑,得到下面的成绩:编号A1A2A3A4A5A6成绩(秒) 12.2 12.4 11.8 12.6 11.8 13.3其中成绩在13秒内的同学记为优秀.(1)从上述6名同学中,随机抽取1名,求这名同学成绩优秀的概率.(2)从成绩优秀的同学中,随机抽取2名,用同学的编号列出所有可能的抽取结果,并求这2名同学的成绩都在12.3秒内的概率.11.(2014·天津模拟)某公司由筛选出的男员工14名,女员工6名共20名员工组建甲、乙两个部门,现对这20名员工进行一次综合测试,成绩的茎叶图如图所示(单位:分).现规定180分以上者到“甲部门”工作,180分以下者到“乙部门”工作.(1)求女员工成绩的平均值.(2)现采用分层抽样的方式分别从“甲部门”和“乙部门”中共选出5人参加一项活动.①甲、乙部门分别选出多少人?②若从这5人中随机选出2人,那么至少1人选自“甲部门”的概率是多少?12.(2014·珠海模拟)我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出.某市政府为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,为此市政府首先采用抽样调查的方法获得了n位居民某年的月均用水量(单位:吨).根据所得的n个数据按照区间[0,0.5),[0.5,1),[1,1.5),[1.5,2),[2,2.5), [2.5,3),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]进行分组,得到频率分布直方图如图.(1)若已知n位居民中月均用水量小于1吨的人数是12,求n位居民中月均用水量分别在区间[2,2.5)和[2.5,3)内的人数.(2)在该市居民中随意抽取10位,求至少有2位居民月均用水量在区间[2,2.5)或[2.5,3)内的概率.(精确到0.01,参考数据:0.619≈0.012,0.6110≈0.0071)答案解析1.【解析】选A.每个个体被抽到的概率等于=,故二等品中产品A被抽到的概率为.2.【解析】选C.由表中数据可知,质量不小于120克的苹果有14个,一共有苹果20个,所以质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的70%.3.【解析】选B.因为从总体中抽取容量为20的一个样本,甲被抽到的概率为,所以在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率是,所以总体的个体个数为=80.4.【解析】选 B.根据所给的数据的分组及各组的频数得到数据在[31.5,43.5]范围的有[31.5,35.5)12;[35.5,39.5)7;[39.5,43.5]3,所以满足题意的数据有12+7+3=22(个),总的数据有66个,根据等可能数据的概率得到P==,故选B.5.【解析】选C.由频率分布直方图可知,视力在[5.0,5.1],[5.1,5.2]的频率分别为0.7×0.1=0.07,0.5×0.1=0.05.所以在样本中,有100×(0.07+0.05)=12人不是近视,可见不近视率约为0.12,因为共有5000人,故估计该校新生中不是近视的人数约为5000×0.12=600,故选C.【加固训练】(2014·深圳模拟)某容量为180的样本的频率分布直方图共有n(n>1)个小矩形,若第一个小矩形的面积等于其余(n-1)个小矩形的面积之和的,则第一个小矩形对应的频数为( )A.20B.25C.30D.35【思路点拨】由第一个小矩形的面积和其余(n-1)个小矩形的面积之和的关系,求出第一个小矩形的面积占所有矩形面积的比例,从而得到第一个小矩形的频率,然后乘以样本容量即可得到第一个小矩形对应的频数. 【解析】选C.设第一个小矩形的面积为S,则其余(n-1)个小矩形的面积之和为5S,则n个小矩形面积的总和为6S,那么第一个小矩形的面积等于所有n个小矩形的面积之和的.因为样本的频率分布直方图中,矩形的面积就是对应的频率,所以第一个小矩形对应的频率为.则第一个小矩形对应的频数是180×=30.故选C.6.【解析】“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况,故他属于至少2个小组的概率为P==.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”,其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是P=1-=.答案:7.【解析】==7,=[(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(5-7)2]=×(4+1+4+9+4)=4.4.因为>,所以乙稳定.答案:乙8.【解析】设第一至第六组数据的频数分别为2x,3x,4x,6x,4x,x,则2x+3x+4x=27,解得x=3,故n=20x=60. 答案:609.【解析】(1)由频数分布直方图可知,成绩在[30,40)的有1人,[40,50)的有2人,[50,60)的有3人,[60,70)的有8人,[70,80)的有10人,[80,90)的有14人,[90,100)的有6人,所以总人数为1+2+3+8+10+14+6=44.(2)≈75.45.(3)不及格的人数有1+2+3=6(人),因为全班共有44人,所以占全班比例是×100%≈13.64%.(4)由图知,成绩为优良的有14+6=20(人),因为全班共有44人,所以优良率是×100%≈45.45%.10.【解析】(1)由所给成绩可知,成绩优秀的同学共有5名,设“从6名同学中,随机抽取1名成绩为优秀”为事件A,则P(A)=.(2)成绩优秀的同学编号为A1,A2,A3,A4,A5.从这5名同学中随机抽取2名,所有可能的结果为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A3,A4),(A3,A5),(A4,A5)共有10种,设“这2名同学的成绩都在12.3秒内”为事件B,则B中所有可能的结果为(A1,A3),(A1,A5),(A3,A5)共3种.所以P(B)=.11.【解析】(1)女员工成绩的平均值为:(160×1+170×2+180×2+190×1+8+7+8+6+5+2)=181.(2)①“甲部门”共有8人,“乙部门”共有12人,按分层抽样从“甲部门”选出2人,“乙部门”共选出3人.②设“甲部门”选出的2人记为a,b,“乙部门”选出的3人记为1,2,3,则所有的选取方式有(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(1,2)(1,3),(2,3)共10种情形,其中满足至少有1人选自“甲部门”的有(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),共7种情形,故所求的概率为.12.【解析】(1)根据频率分布直方图可得n位居民中月均用水量小于1吨的频率为(0.08+0.16)×0.5=0.12,所以n==100(人),所以根据频率分布直方图可得n位居民中月均用水量在区间[2,2.5)内的人数是0.5×0.5×100=25(人), 在[2.5,3)内的人数是0.28×0.5×100=14(人).(2)设A,B分别表示随机事件“居民月均用水量在区间[2,2.5)内”和“居民月均用水量在区间[2.5,3)内”,则事件A,B互斥,所以居民月均用水量在区间[2,2.5)或[2.5,3)内的概率是P=P(A∪B)=P(A)+P(B)=+==0.39,设X表示10位居民中月均用水量在区间[2,2.5)或[2.5,3)内的人数,则X～B(10,0.39),所以所求概率是P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-×0.390×0.6110-×0.391×0.619≈1-0.0071-10×0.39×0.012≈0.95.。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-2等差数列课后强化作业 新人教B版
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-2等差数列课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·某某一中期末)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53 C ．－2 D ．3[答案]C[解析]由条件知⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＝6，a 1＝4，∴d ＝－2.(理)(2013·某某二模)已知等差数列1，a ，b ，且3，a ＋2，b ＋5成等比数列，则该等差数列的公差为( )A ．3或－3B ．3或－1C ．3D ．－3 [答案]C[解析]2a ＝1＋b ，(a ＋2)2＝3(b ＋5)，a ＝4或a ＝－2. ∵等比数列中的项不能为0， ∴a ＝4，b ＝7，∴等差数列的公差为3.2．(2013·某某新华中学月考)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90 [答案]C[解析]因为a 4是a 3与a 7的等比中项，所以a 3a 7＝a 24，又S 8＝8(a 1＋a 8)2＝32，所以a 1＋a 8＝8，解得a 1＝－3，d ＝2，所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝－3×10＋90＝60，选C.3．(文)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．9 [答案]C[解析]设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 3＋a 7＝2a 5＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13.令a n >0得n >6.5，即在数列{a n }中，前6项均为负数，自第7项起以后各项均为正数，因此当n ＝6时，S n 取最小值，选C.(理)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案]B[解析]⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 7＝4a 6＋a 8＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋10d ＝42a 1＋12d ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝17d ＝－3，∴a n ＝－3n ＋20.法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.解得173≤n ≤203，又n ∈N *，∴n ＝6.故选B.法二：S n ＝17n ＋n (n －1)2×(－3)＝－32(n －376)2＋37224，∵n ∈N *，∴当n ＝6时，S n 取得最大值．故选B.4．(2013·某某一中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64a n的最小值为( )A ．7B ．8 C.152 D.172[答案]D[解析]由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，10a 1＋45d ＝110.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.∴S n ＝n 2＋n ，a n ＝2n . ∴S n ＋64a n ＝n 2＋n ＋642n ＝n 2＋12＋32n ≥12＋2n 2·32n ＝172.等号成立时，n 2＝32n，∴n ＝8，故选D.5．(文)设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5S 10＝13，那么S 10S 20等于( )A.19B.310C.18D.13 [答案]B[解析]设其公差为d ，∵S 5S 10＝5a 1＋12×5×4d 10a 1＋12×10×9d＝a 1＋2d 2a 1＋9d ＝13， ∴a 1＝3d .∴S 10S 20＝10a 1＋12×10×9d20a 1＋12×20×19d＝310. (理)(2013·某某省名校联考)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 81＝( )A ．641B ．640C ．639D ．638 [答案]B [解析]由已知S nS n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，所以{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，所以a 81＝S 81－S 80＝1612－1592＝640，故选B.6．(文)在函数y ＝f (x )的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝4x 2C ．f (x )＝log 3xD ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x [答案]D[解析]对于函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x上的点列(x n ，y n )，有y n ＝⎝⎛⎭⎫34x n ，由于{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n＝⎝⎛⎭⎫34x n ＋1⎝⎛⎭⎫34x n ＝⎝⎛⎭⎫34x n ＋1－x n ＝⎝⎛⎭⎫34d ，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列．故选D.[点评] 根据指数与对数运算的性质知真数成等比(各项为正)，其对数成等差，指数成等差时，幂成等比．(理)已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 2014＝( )A.20134029B.20144029 C.40174029D.40184029 [答案]B[解析]依题意，将(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0化为(x ＋y －4)＋m (3x －y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝03x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3， ∴直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0过定点(1,3)， ∴a 1＝1，a 2＝3，公差d ＝2，a n ＝2n －1， ∴b n ＝1a n ·a n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T 2014＝12×[(11－13)＋(13－15)＋…＋(14027－14029)]＝12×(1－14029)＝20144029.故选B.二、填空题7．已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则a 2＋c 2b2的值为________．[答案]20[解析]依题意得①⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，b 2＝ac .或②⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a 2＝bc .或③⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，c 2＝ab .由①得a ＝b ＝c ，这与“a ，b ，c 是递减的等差数列”矛盾；由②消去c 整理得(a －b )(a ＋2b )＝0，又a >b ，因此a ＝－2b ，c ＝4b ，a 2＋c 2b 2＝20；由③消去a 整理得(c －b )(c ＋2b )＝0，又b >c ，因此有c＝－2b ，a ＝4b ，a 2＋c 2b2＝20.8．(文)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．[答案]110[解析]由题意，设公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝20，d ＝－2.∴S 10＝10a 1＋10(10－1)2d ＝110.(理)设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝105，则a 11＋a 12＋a 13＝________.[答案]75[解析]∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝105，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝5，a 1a 3＝21，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1(a 1＋2d )＝21， ∵d >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝3，∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 1＋33d ＝75.9．(文)(2013·冀州中学检测)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，向量a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ，则S 5S 3＝________.[答案]317[解析]∵a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ， ∴a ·b ＝0，∴4a n －4－2S n ＝0，即S n ＝2a n －2， ∴S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)． 两式相减得a n ＝2a n －1，∴a n a n －1＝2.由S n ＝2a n －2(n ∈N *)，得a 1＝2.∴{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n .∴S 5S 3＝2(1－25)1－22(1－23)1－2＝317. (理)(2013·某某某某中学模拟)设m >3，对于项数为m 的有穷数列{a n }，令b k 为a 1，a 2，…，a k (k ≤m )中最大值，称数列{b n }为{a n }的“创新数列”．例如数列3,5,4,7的创新数列为3,5,5,7.考查自然数1,2，…，m (m >3)的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}．若m ＝4，则创新数列为3,4,4,4的所有数列{a n }为________．[答案]3,4,2,1或3,4,1,2[解析]由数列{a n }的创新数列定义知，a 1＝3，a 2＝4，由于c 3＝4，∴a 3≤4，又{a n }是1,2,3,4的一个排列，∴a 3≠3,4，∴a 3＝1或2，由于c 4＝4， ∴当a 3＝1时，a 4＝2；当a 3＝2时，a 4＝1， ∴数列{a n }为3,4,1,2或3,4,2,1. 三、解答题10．(文)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析](1)由已知点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上，可得S n ＝3n 2－2n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －3(n －1)2＋2(n －1)＝6n －5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也适合上式，∴a n ＝6n －5. (2)b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)(6n ＋1)＝12(16n －5－16n ＋1)， ∴T n ＝12(11－17＋17－113＋…＋16n －5－16n ＋1)＝12(1－16n ＋1)＝12－112n ＋2. (理)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．[解析](1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8，解得d ＝1，q ＝2， 所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)． 故所求的概率P ＝29.[点评] 在等差数列和等比数列中，已知具体项或某几项的和等条件时，常选用“基本量法”来求解，即把已知条件均用数列的首项、公差或首项、公比来表示；概率中的古典概型关键是能正确列举出所有的基本事件和满足条件的基本事件.能力拓展提升一、选择题11．(文)已知在等差数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n >a n ＋1，且a 2，a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的两根，且前15项的和S 15＝m ，则数列{a n }的公差是( )A ．－2或－3B ．2或3C ．－2D ．3 [答案]A[解析]由2a 5＝a 2＋a 8＝12，得a 5＝6， 由S 15＝m 得a 8＝m15.又因为a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的根， 解之得m ＝0，或m ＝－45， 则a 8＝0，或a 8＝－3.由3d ＝a 8－a 5得d ＝－2，或d ＝－3.(理)(2013·某某六中月考)已知a >0，b >0，若2是4a 与2b 的等比中项，则2a ＋1b的最小值为( )A ．2 2B ．8C ．9D ．10 [答案]C[解析]由条件知：4a ·2b ＝(2)2， ∴22a ＋b ＝21，∴2a ＋b ＝1， ∴2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋22b a ·2ab＝9， 等号在⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时成立．12．(2013·某某市调研)已知等比数列{a n }公比为q ，其前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，则q 3等于( )A ．－12B ．1C ．－12或1D ．－1或12[答案]A[解析]由条件知2S 9＝S 3＋S 6，∴2a 1(1－q 9)1－q ＝a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ，∴2q 6＝1＋q 3，∴q 3＝1或－12，∵q ≠1，∴q 3＝－12.13．(文)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3L ，下面3节的容积共4L ，则第5节的容积为( )A ．1L B.6766L C.4744L D.3733L[答案]B[解析]设该数列为{a n }公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解之得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，所以第5节的容积为a 5＝a 1＋4d ＝1322＋766×4＝6766.(理)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 29＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，点Q (2015，a 2015)，则OP →·OQ →等于( )A ．2015B ．－2015C ．0D ．1 [答案]A[解析]S 29＝S 4000⇒a 30＋a 31＋…＋a 4000＝0⇒a 2015＝0，又P (1，a n )，Q (2015，a 2015)，则OP →＝(1，a n )，OQ →＝(2015，a 2015)， ∴OP →·OQ →＝(1，a n )·(2015，a 2015)＝2015＋a n a 2015＝2015，故选A. 二、填空题14．数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝0，b 1＝－4，用S k 、S k ′分别表示等差数列{a n }和{b n }的前k 项和(k 是正整数)，若S k ＋S k ′＝0，则a k ＋b k ＝________.[答案]4[解析]由条件知，S k ＋S k ′＝k (k －1)2d ＋k (k －1)2d ′－4k ＝k (k －1)(d ＋d ′)2－4k ＝0，∵k 是正整数，∴(k －1)(d ＋d ′)＝8， ∴a k ＋b k ＝(k －1)d －4＋(k －1)d ′ ＝(k －1)(d ＋d ′)－4＝4. 三、解答题15．(文)已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2S n ＝a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和B n .[解析](1)由2S n ＝a n ＋1，n ＝1代入得a 1＝1， 两边平方得4S n ＝(a n ＋1)2①①式中n 用n －1代替得4S n －1＝(a n －1＋1)2 (n ≥2)②①－②，得4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2,0＝(a n －1)2－(a n －1＋1)2， [(a n －1)＋(a n －1＋1)]·[(a n －1)－(a n －1＋1)]＝0， ∵{a n }是正数数列，∴a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1.(2)b n ＝1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 裂项相消得B n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝n 2n ＋1.(理)(2013·某某质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在数列{b n }中，b 1＝5，b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析](1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝32a 1－1，所以a 1＝2.∵S n ＝32a n －1，①∴当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－1，②①－②，得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，所以a n ＝3a n －1，又a 1≠0，故a n －1≠0， 所以a na n －1＝3，故数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， 所以a n ＝2·3n －1.(2)由(1)知b n ＋1＝b n ＋2·3n －1. 当n ≥2时，b n ＝b n －1＋2·3n －2， …b 3＝b 2＋2·31， b 2＝b 1＋2·30，将以上n －1个式子相加并整理，得b n ＝b 1＋2×(3n －2＋…＋31＋30)＝5＋2×1－3n －11－3＝3n －1＋4.当n ＝1时，31－1＋4＝5＝b 1，所以b n ＝3n －1＋4(n ∈N *)．16．(文)(2013·某某适应性测试)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝a n 4a n ＋1(n ∈N *)． (1)设b n ＝1a n，求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设＝b n ·2n ，求数列{}的前n 项和S n .[解析](1)b 1＝1a 1＝1，a n ＋1＝a n 4a n ＋1，1a n ＋1＝4＋1a n ，1a n ＋1－1a n ＝4， ∴b n ＋1－b n ＝4.数列{b n }是以1为首项，4为公差的等差数列．1a n＝b n ＝1＋4(n －1)＝4n －3， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝14n －3(n ∈N *)． (2)S n ＝21＋5×22＋9×23＋…＋(4n －3)·2n ，①2S n ＝22＋5×23＋9×24＋…＋(4n －3)·2n ＋1，②②－①并化简得S n ＝(4n －7)·2n ＋1＋14.(理)(2013·某某调研)各项都为正数的数列{a n }，满足a 1＝1，a 2n ＋1－a 2n＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a 2n 2n }的前n 项和S n . [解析](1)因为a 2n ＋1－a 2n ＝2，a 21＝1，所以数列{a 2n }是首项为1，公差为2的等差数列．所以a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，因为a n >0，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知，a n ＝2n －1，所以a 2n 2n ＝2n －12n ， 于是S n ＝12＋322＋523＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，① 12S n ＝122＋323＋524＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1，②①－②得，12S n ＝12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －12n ＋1 ＝12＋2(122＋123＋124＋…＋12n )－2n －12n ＋1 ＝12＋2×14×(1－12n －1)1－12－2n －12n ＋1 ＝32－2n ＋32n ＋1， 所以S n ＝3－2n ＋32n .考纲要求1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系．补充材料1．函数思想等差数列的通项是n 的一次函数，前n 项和是n 的二次函数，故有关等差数列的前n 项和的最值问题，数列的递增递减问题等都可以利用函数的研究方法来解决．2．等差数列的设项技巧与方程思想(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x －d ，x ，x ＋d ，…，此时公差为d ；(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，此时公差为2d .3．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则(1)若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q 2时，S n 最大； (2)若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大． 备选习题1．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 5>S 6B ．S 5<S 6C ．S 6＝0D ．S 5＝S 6[答案]D[解析]∵d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0，且a 3＋a 9＝0，∴a 6＝a 3＋a 92＝0，∴S 5＝S 6. 2．(2013·某某模拟)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11[答案]B[解析]因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12，故公差d ＝12－(－2)10－3＝2.于是b 1＝－6， 且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.[解法探究] 求得b n ＝2n －8后可用逐差相加法求a 8.3．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是( )A ．i <4?B ．i <5?C ．i ≥5?D ．i <6?[答案]D[解析]由题意知S ＝11×2＋12×3＋…＋1i (i ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i －1i ＋1＝i i ＋1，故要输出S ＝56，i ＝5时再循环一次，故条件为i ≤5或i <6，故选D. 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝1，b 3＋b 7＝18，且b n －1＋b n ＋1＝2b n (n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若＝b n a n，求数列{}的前n 项和T n . [解析](1)由题意S n ＝2－a n ，①当n ≥2时，S n －1＝2－a n －1，②①－②得a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ，即a n ＝12a n －1，又a 1＝S 1＝2－a 1， ∴a 1＝1，故数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，所以a n ＝12n －1； 由b n －1＋b n ＋1＝2b n (n ≥2)知，数列{b n }是等差数列，设其公差为d ，则b 5＝12(b 3＋b 7)＝9， 所以d ＝b 5－b 14＝2，b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n －1. 综上，数列{a n }和{b n }的通项公式为a n ＝12n －1，b n ＝2n －1. (2)＝b n a n＝(2n －1)·2n －1， T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，③2T n ＝1×21＋3×22＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，④ ③－④得：－T n ＝1＋2(21＋22＋23＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n＝1＋2×2－2n1－2－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)·2n －3.∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3.5．已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S n n ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．[分析] 第(1)问是求等差数列的通项公式，需要知道首项a 1和公差d 的值，由条件a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18建立方程组不难求得；第(2)问是构造一个等差数列{b n }，可考虑利用等差数列的定义，研究使b n ＋1－b n (n ∈N *)为一个常数时需要满足的条件．[解析](1)由题设知{a n }是等差数列，且公差d >0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋d )(a 1＋2d )＝45，a 1＋(a 1＋4d )＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4. 所以a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S n n ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n (n －12)n ＋c， 因为c ≠0，所以可令c ＝－12，得到b n ＝2n . 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)，所以数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．。
【2015步步高】2015届高考一轮复习(题组扣点+课堂探究+学科素养培养+)：第六章 动量守恒定律 专题六
vE＝tavnDyθ＝
2gRcos θ tan θ
由 A 到 E 根据机械能守恒定律：mgh＝12mv2E 解得 h＝2vg2E＝csoins23θθR
(2)由 A 到 C 根据机械能守恒定律：mg(h＋R)＝12mv2C 根据牛顿第二定律：FN－mg＝mvR2C
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(1)释放点 A 距 B 点的高 h；
(2)物块在圆弧轨道最低点 C 受到的支持
力 FN 的大小；
图1
(3)物块与水平面间的动摩擦因数 μ.
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专题六 力学三大观点的应用
解析 (1)物块在 D 竖直方向上的分速度 vDy 满足
v2Dy＝2gRcos θ
在 E 点的速度等于在 D 点的水平方向上的分速度
第六章 动量守恒定律
专题六 力学三大观点的应用
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专题六 力学三大观点的应用
考点一 应用动量观点和能量观点处理多过程问题
综合应用动量和能量观点处理直线运动、曲线运动(或平抛运 动)和圆周运动相结合的多过程问题是我省高考的重点和热点 之一． 1．弄清有几个物体参与运动，并划分清楚物体的运动过程． 2．进行正确的受力分析，明确各过程的运动特点． 3．光滑的平面或曲面，还有不计阻力的抛体运动，机械能一定 守恒；碰撞过程、子弹打击木块、不受其他外力作用的二物 体相互作用问题，一般考虑用动量守恒定律分析． 4．如含摩擦生热问题，则考虑用能量守恒定律分析．
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专题六 力学三大观点的应用
【例 2】 如图 3 所示为过山车简易模型，它由光滑水平轨道和竖直面内的光滑圆
走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学6-2
基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·北京东城区统一检测)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d 等于( )A ．1 B.53 C ．2 D ．3 [答案] C[解析] 根据已知，a 1＋2d ＝6,3a 1＋3d ＝12，解得d ＝2. (理)已知{a n }是等差数列，a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，则该数列前10项和S 10等于( )A ．64B ．100C ．110D ．120 [答案] B[解析] 设数列{a n }的公差为d ，由题意得，2a 1＋d ＝4,2a 1＋13d ＝28，所以a 1＝1，d ＝2.于是S 10＝10×1＋10×92×2＝100.[点评] 可设b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则{b n }为等差数列，其公差D ＝b 4－b 13＝8，∴S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 5＝5b 1＋5×42D ＝100.2．(文)(2012·辽宁文，4)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝( )A ．12B ．16C ．20D ．24 [答案] B[解析] 由等差数列的性质得，a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝16，B 正确． [点评] 解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的性质． (理)(2013·昆明重点高中检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则S 7的值为( )A ．28B ．42C ．56D ．14 [答案] A[解析] ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12， ∴a 4＝4，∴S 7＝7a 4＝28，故选A.3．(2013·玉溪模拟)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11 [答案] B[解析] 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12， 故公差d ＝12－(－2)10－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.[解法探究] 求得b n ＝2n －8后可用逐差相加法求a 8.4．(文)在等差数列{a n }中，a 9＋a 11＝10，则数列{a n }的前19项之和为( )A ．98B ．95C ．93D ．90 [分析] 由求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2，及等差数列的性质a 1＋a 19＝a 9＋a 11可求解结果．[解析] S 19＝19×(a 1＋a 19)2＝19×(a 9＋a 11)2 ＝19×102＝95，故选B.(理)(2013·天津新华中学月考)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90 [答案] C[解析] 因为a 4是a 3与a 7的等比中项，所以a 3a 7＝a 24，又S 8＝8(a 1＋a 8)2＝32，所以a 1＋a 8＝8，解得a 1＝－3，d ＝2，所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝－3×10＋90＝60，选C.5．(文)已知数列{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率是( )A ．4 B.14 C ．－4 D ．－143 [答案] A[解析] ∵{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55， ∴a 1＋a 5＝22，∴2a 3＝22，∴a 3＝11. ∴k PQ ＝a 4－a 34－3＝4，故选A.(理)(2012·衡阳六校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且ON →＝a 15OM →＋a 6OP →(直线MP 不过点O )，则S 20等于( )A ．10B ．15C ．20D ．40[解析] 依题意，得a 15＋a 6＝1.由等差数列性质知a 15＋a 6＝a 1＋a 20，所以S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 15＋a 6)＝10，选A. 6．(文)设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5S 10＝13，那么S 10S20等于( )A.19B.310C.18D.13 [答案] B[解析] 设其公差为d ，∵S 5S 10＝5a 1＋12×5×4d10a 1＋12×10×9d ＝a 1＋2d 2a 1＋9d ＝13， ∴a 1＝3d .∴S 10S 20＝10a 1＋12×10×9d20a 1＋12×20×19d＝310. (理)设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，若对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，则k 的值为( )A ．22B ．21C ．20D ．19 [答案] C[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则有3d ＝93－99＝－6，∴d ＝－2；∴a 1＋(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝3a 1＋9d ＝3a 1－18＝99，∴a 1＝39，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝39－2(n －1)＝41－2n .令a n ＝41－2n >0得n <20.5，即在数列{a n }中，前20项均为正，自第21项起以后各项均为负，因此在其前n 项和中，S 20最大．依题意得知，满足题意的k 值是20，选C.二、填空题7．(文)(2013·陕西检测)在等差数列{a n }中，若a 13＝20，a 20＝13，则a 2013＝________.[答案] －1980[解析] 由题意知，等差数列{a n }的公差d ＝13－2020－13＝－1，∴a 2013＝a 20＋(2013－20)d ＝13－1993＝－1980.(理)两个等差数列的前n 项和之比为5n ＋102n －1，则它们的第7项之比为________．[答案][解析] 设两个数列{a n }、{b n }的前n 项和为S n 、T n ，则S nT n＝5n ＋102n －1，而a 7b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝S 13T 13＝5×13＋102×13－1＝3. 8．已知函数f (x )＝sin x ＋tan x .项数为27的等差数列{a n }满足a n∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，则当k ＝________时，f (a k )＝0.[答案] 14[解析] ∵f (x )＝sin x ＋tan x 为奇函数，且在x ＝0处有定义，∴f (0)＝0.∵{a n }为等差数列且d ≠0，∴a n (1≤n ≤27，n ∈N *)对称分布在原点及原点两侧， ∵f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，∴f (a 14)＝0.∴k ＝14.9．(文)将正偶数按下表排成5列：[答案] 252 2[解析] 通项a n ＝2n ，故2014为第1007项，∵1007＝4×251＋3，又251为奇数，因此2014应排在第252行，且第252行从右向左排第3个数，即252行第2列．(理)已知a n ＝n 的各项排列成如图的三角形状：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 … … … … … … … … … …记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (31,12)＝________. [答案] 912[解析] 由题意知第1行有1个数，第2行有3个数，……第n 行有2n －1个数，故前n 行有S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2个数，因此前30行共有S 30＝900个数，故第31行的第一个数为901，第12个数为912，即A (31,12)＝912. 三、解答题10．(2013·福建)已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . (1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围．[解析] (1)因为数列{a n }的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列．所以a 21＝1×(a 1＋2)，即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1，或a 1＝2. (2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5>a 1a 9，所以5a 1＋10>a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10<0，解得－5<a 1<2.能力拓展提升一、选择题11．(文)设{a n }是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n 项和最大时，n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案] A[解析] ∵{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝15，∴a 2＝5， 又∵a 1·a 2·a 3＝105，∴a 1a 3＝21，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 3＝21，a 1＋a 3＝10.及{a n }递减可求得a 1＝7，d ＝－2，∴a n ＝9－2n ，由a n ≥0得n ≤4，∴选A.(理)(2012·大纲全国理，5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100 [答案] A[解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用．∵a 5＝5，S 5＝15， ∴5(a 1＋a 5)2＝15，即a 1＝1. ∴d ＝a 5－a 15－1＝1，∴a n ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. 则数列{1a n a n ＋1}的前100项的和为：T 100＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1100－1101)＝1－1101＝100101.故选A.[点评] 本题亦可利用等差数列的性质，由S 5＝15得5a 3＝15，即a 3＝3，再进一步求解．12．(2012·河南安阳三模)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，Q (2011，a 2011)，则OP →·OQ →等于( )A ．2011B ．－2011C ．0D ．1 [答案] A[解析] 解法一：由已知S 21＝S 4000，则a 22＋a 23＋…＋a 4000＝0，设{a n }的公差为d ，则3979(a 22＋a 4000)2＝0，又a 22＋a 4000＝2a 2011，所以a 2011＝0，所以OP →·OQ →＝2011＋a n ·a 2011＝2011.解法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 21＝S 4000，且等差数列前n项和公式可看成二次函数，所以由对称性可得S1＝S4020，则有a1＝4020a1＋4020×40192d，整理得a2011＝0，所以OP→·OQ→＝2011＋a n·a2011＝2011.13．(2013·浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{a n}中，首项a1＝1且前n项和S n满足S n S n－1－S n－1S n＝2S n S n－1(n∈N*且n≥2)，则a81＝()A．641 B．640 C．639 D．638[答案] B[解析]由已知S n S n－1－S n－1S n＝2S n S n－1可得，S n－S n－1＝2，所以{S n}是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n＝2n－1，S n＝(2n－1)2，所以a81＝S81－S80＝1612－1592＝640，故选B.二、填空题14．(2013·南京模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若(a2－1)3＋2012(a2－1)＝1，(a2011－1)3＋2012·(a2011－1)＝－1，则下列四个命题中真命题的序号为________．①S2011＝2011；②S2012＝2012；③a2011<a2；④S2011<S2.[答案]②③[解析]设f(x)＝x3＋2012x，则f(x)为奇函数，f′(x)＝3x2＋2012>0，∴f(x)单调递增．由f(1)＝2013>1知f(1)>f(a2－1)，∴1>a2－1，∴a2<2.又f(a2－1)＝－f(a2011－1)＝f(1－a2011)，∴a2－1＝1－a2011，∴a2＋a2011＝2，∴S2012＝a1＋a20122×2012＝2012，故②正确；又f(a2－1)>f(a2011－1)，∴a2－1>a2011－1，∴a2011<a2，∴③正确；S 2011＝S 2012－a 2012＝2012－(a 2011＋d )＝2012－(2－a 2＋d )＝2010＋a 1>a 1＋a 2＝S 2，∴④错误；假设S 2011＝2011，则2010＋a 1＝2011，∴a 1＝1，∵S 2011＝2011×(a 1＋a 2011)2＝2011×(1＋a 2011)2＝2011，∴a 2011＝1，这与{a n }是等差数列矛盾，∴①错．综上，正确的为②③.15．(2013·黄山期末)对于正项数列{a n }，定义H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n ＝2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．[答案] a n ＝2n ＋12n[解析] 由H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 可得，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n H n ＝n (n ＋2)2，①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －1)(n ＋1)2，② ①－②得na n ＝n (n ＋2)2－(n －1)(n ＋1)2＝2n ＋12，所以a n ＝2n ＋12n .三、解答题16．(文)(2013·河北唐山一模)设函数f (x )＝ax ＋b (其中a ≠0)，若f (3)＝5，且f (1)，f (2)，f (5)成等比数列．(1)求f (n )；(2)令b n ＝f (n )·2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)∵f (3)＝5，且f (1)，f (2)，f (5)成等比数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝5，(a ＋b )(5a ＋b )＝(2a ＋b )2，解得a ＝2，b ＝－1， ∴f (x )＝2x －1，即f (n )＝2n －1.(2)由题意得b n ＝(2n －1)·2n ，则T n ＝1·21＋3·22＋…＋(2n －1)·2n ，①2T n ＝1·22＋3·23＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1，②①－②得：－T n ＝2＋23＋24＋…＋2n ＋1－(2n －1)·2n ＋1＝2·2n ＋1－6－(2n －1)·2n ＋1＝－(2n －3)·2n ＋1－6，∴T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.(理)(2012·湖北文，20)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2、a 3、a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．[分析] (1)利用等差数列的通项公式，及相关关系求出首项和公差．(2)先确定数列的通项公式，由于首项a 1<0需判断从哪一项开始a n >0，将{|a n |}前n 项和写为分段函数的形式．[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3. 所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7， n ＝1，2.3n －7， n ≥3. 记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎨⎧ 4， n ＝1，32n 2－112n ＋10， n >1.[点评] {a n }是等差数列(a 1>0，d <0或a 1<0，d >0)，求数列{|a n |}的前n 项和T n 一般步骤：第一步，求{a n }的前n 项和S n . 第二步，求使⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1<0，成立的整数k . 第三步，求n ≤k 和n >k 时T n 的表达式．第四步，用分段函数形式下结论，并反思检查．考纲要求1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系．补充说明1．函数思想等差数列的通项是n 的一次函数，前n 项和是n 的二次函数，故有关等差数列的前n 项和的最值问题，数列的递增递减问题等都可以利用函数的研究方法来解决．2．等差数列的设项技巧与方程思想(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x －d ，x ，x ＋d ，…，此时公差为d ；(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，此时公差为2d .3．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则(1)若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q 2时，S n 最大；(2)若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．备选习题1．如表定义函数f (x )：n 1n n －1a 2014的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] A[解析] 本题可通过归纳推理的方法研究数列的规律．由特殊到一般易知a 1＝4，a 2＝f (a 1)＝f (4)＝1，a 3＝f (a 2)＝f (1)＝5，a 4＝f (a 3)＝f (5)＝2，a 5＝f (a 4)＝f (2)＝4，…，据此可归纳数列{a n }为以4为周期的数列，从而a 2014＝a 2＝1.2．(2013·河南适应性测试)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝a n 4a n ＋1(n ∈N *)． (1)设b n ＝1a n，求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝b n ·2n ，求数列{c n }的前n 项和S n .[解析] (1)b 1＝1a 1＝1，a n ＋1＝a n 4a n ＋1，1a n ＋1＝4＋1a n ，1a n ＋1－1a n＝4， ∴b n ＋1－b n ＝4.数列{b n }是以1为首项，4为公差的等差数列．1a n ＝b n ＝1＋4(n －1)＝4n －3，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝14n －3(n ∈N *)． (2)S n ＝21＋5×22＋9×23＋…＋(4n －3)·2n ，①2S n ＝22＋5×23＋9×24＋…＋(4n －3)·2n ＋1，②②－①并化简得S n ＝(4n －7)·2n ＋1＋14.3．(2013·湖南十二校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点A (n ，S n n )(n ∈N *)总在直线y ＝12x ＋32上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝n ＋1a n (n ∈N *)，试问数列{b n }中是否存在最大项，如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)因为点A (n ，S n n )(n ∈N )在直线y ＝12x ＋32上，故有S n n ＝12n ＋32，即S n ＝12n 2＋32n ，当n ≥2时，S n －1＝12(n －1)2＋32(n －1)，所以a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋32n －[12(n －1)2＋32(n －1)]＝n ＋1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝2满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1.(2)由a n ＝n ＋1，可知b n ＝n ＋1n ＋1， b 1＝2＝623<632＝33＝b 2，b 3＝44＝2＝b 1，b 3＝44＝2045>2054＝55＝b 4， 所以，b 2>b 1＝b 3>b 4，猜想{b n ＋1}递减，即猜想当n ≥2时，n ＋1n ＋1>n ＋2n ＋2，考察函数y ＝ln x x (x >e)，则y ′＝1－ln x x 2，显然当x >e 时，ln x >1，即y ′<0，故y ＝ln (n ＋2)n ＋2<ln (n ＋1)n ＋1，即n ＋2n ＋2<n ＋1n ＋1，猜想正确，因此，数列{b n }的最大项是b 2＝33.[点评] 由n ＋1n ＋1>n ＋2n ＋2两边取对数得，1n ＋1ln(n ＋1)>1n ＋2ln(n ＋2)．即ln (n ＋1)n ＋1>ln (n ＋2)n ＋2，于是构造函数f (x )＝ln x x (x >e)，通过研究函数f (x )的单调性来证明不等式．。
2015届高考数学一轮总复习11-4数学归纳法课后强化作业(新人教A版)
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 11-4数学归纳法课后强化作业 新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<3[答案] B[解析] ∵n ∈N *，n >1，∴n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.2．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )A ．n ＝6时该命题不成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题不成立D ．n ＝4时该命题成立 [答案] C[解析] ∵“若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则当n ＝k ＋1时，该命题也成立”，故若n ＝4时命题成立，则n ＝5时命题也应成立，现已知n ＝5时，命题不成立，故n ＝4时，命题也不成立．[点评] 可用逆否法判断．3．用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n 2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3，第二步证明由“k 到k＋1”时，左边应加( )A ．k 2B ．(k ＋1)2C ．k 2＋(k ＋1)2＋k 2D ．(k ＋1)2＋k 2 [答案] D[解析] 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋…＋22＋12，∴选D.4．(2013·安徽黄山联考)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n ＋1＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n )时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝( )时等式成立．( )A ．k ＋1B ．k ＋2C ．2k ＋2D ．2(k ＋2) [答案] B[解析] ∵n ＝k 为偶数，∴下一个偶数应为n ＝k ＋2，故选B.5．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2、a 3、a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －2B ．a n ＝n 2C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝4n －3[答案] B[解析] a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 二、填空题6．如果不等式2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立，则n 0的最小值为________． [答案] 5[解析] 当n ＝1时，2>2不成立， 当n ＝2时，4>5不成立． 当n ＝3时，8>10不成立 当n ＝4时，16>17不成立 当n ＝5时，32>26成立当n ＝6时，64>37成立，由此猜测n 0应取5.7．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n (3n ＋1)2(n ∈N *)的第二步中，当n＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时等式左边的差等于________．[答案] 3k ＋2[解析] [(k ＋1)＋1]＋[(k ＋1)＋2]＋…＋[(k ＋1)＋(k ＋1)]－[(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k )] ＝[(k ＋1)＋k ]＋[(k ＋1)＋(k ＋1)]－(k ＋1) ＝3k ＋2.8．(2012·温州一模)已知n ∈N *，设平面上的n 个椭圆最多能把平面分成a n 部分，则a 1＝2，a 2＝6，a 3＝14，a 4＝26，…，则a n ＝________.[答案] 2n 2－2n ＋2[解析] 观察规律可知a n －a n －1＝(n －1)×4，利用累加法可得a n ＝2n 2－2n ＋2.9．(2012·长春模拟)如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来的(n ＝1,2,3，…)，则第n －2(n ≥3，n ∈N *)个图形共有________个顶点．[答案] n (n ＋1)[解析] 当n ＝1时，顶点共有3×4＝12(个)，当n ＝2时，顶点共有4×5＝20(个)， 当n ＝3时，顶点共有5×6＝30(个)， 当n ＝4时，顶点共有6×7＝42(个)，故第n －2图形共有顶点(n －2＋2)(n －2＋3)＝n (n ＋1)个． 三、解答题10．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)．试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由． [解析] ∵f ′(x )＝x 2－1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.∵函数g (x )＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x 在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a 1≥1，及a 2≥(a 1＋1)2－1得，a 2≥22－1，进而得a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1，由此猜想：a n ≥2n －1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时结论成立，即a k ≥2k －1，则当n ＝k ＋1时，由g (x )＝(x ＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k －1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②知，对任意n ∈N *，都有a n ≥2n －1. 即1＋a n ≥2n .∴11＋a n ≤12n .∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a 3＋…＋11＋a n ≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－(12)n <1.能力拓展提升11.已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n (n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． [解析] (1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1. ∴b 2＝b 11－4a 21＝13，a 2＝a 1·b 2＝13. ∴点P 2的坐标为(13，13)．∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立，则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1 ＝b k 1－4a 2k ·(2a k ＋1)＝b k1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上． 12．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N *.(1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明． [解析] (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1， 所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)．(2)由(1)猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时不等式成立， 即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2，那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3<32－12k 2＋1(k ＋1)3， 因为12(k ＋1)2－[12k 2－1(k ＋1)3]＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2＝－3k －12(k ＋1)3k 2<0， 所以f (k ＋1)<32－12(k ＋1)2＝g (k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N *， 都有f (n )≤g (n )成立．13．(2013·南京一模)已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝1，当n ∈N *时，a n ＋2＝a n ＋1＋a n .求证：数列{a n }的第4m ＋1项(m ∈N *)能被3整除．[证明] (1)当m ＝1时，a 4m ＋1＝a 5＝a 4＋a 3＝(a 3＋a 2)＋(a 2＋a 1)＝(a 2＋a 1)＋2a 2＋a 1＝3a 2＋2a 1＝3＋0＝3.即当m ＝1时，第4m ＋1项能被3整除．故命题成立． (2)假设当m ＝k 时，a 4k ＋1能被3整除，则当m ＝k ＋1时，a 4(k ＋1)＋1＝a 4k ＋5＝a 4k ＋4＋a 4k ＋3＝2a 4k ＋3＋a 4k ＋2＝2(a 4k ＋2＋a 4k ＋1)＋a 4k ＋2 ＝3a 4k ＋2＋2a 4k ＋1.显然，3a 4k ＋2能被3整除， 又由假设知a 4k ＋1能被3整除． ∴3a 4k ＋2＋2a 4k ＋1能被3整除．即当m ＝k ＋1时，a 4(k ＋1)＋1也能被3整除．命题也成立．由(1)和(2)知，对于n ∈N *，数列{a n }中的第4m ＋1项能被3整除． 14．用数学归纳法证明下面的等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n－1n (n ＋1)2. [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0·1×(1＋1)2＝1，∴原等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k－1k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k ·(k ＋1)2＝(－1)k－1k (k ＋1)2＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k ·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)]＝(－1)k (k ＋1)(k ＋2)2，∴n ＝k ＋1时，等式也成立， 由(1)(2)得对任意n ∈N ＋有 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n (n ＋1)2.考纲要求1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 补充说明归纳法有不完全归纳法和完全归纳法，如果我们考察了某类对象中的一部分，由这一部分对象具有某种特征而得出该类对象中的全体都具有这种特征的结论，为不完全归纳．由不完全归纳法得出的结论不一定都是正确的，其正确性还需进一步证明；如果我们考察了某类对象中的每一个对象，而得出该类对象的某种特征的结论为完全归纳，由完全归纳法得出的结论一定是正确的，数学归纳法是一种完全归纳法．2．归纳、猜想与证明从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明(或否定)这种猜想，即“归纳—猜想—证明”．这是我们归纳探究一些有规律性问题的一般步骤．3．在用数学归纳法证明不等式时，常根据题目的需要进行恰当的放缩，要注意既不能放缩的不到位，也不能放缩过了头．备选习题1．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某人的证明过程如下：1°当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立.2°假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，即k2＋k<k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋k＋2＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立.上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案] D[解析]上述证明过程中，在由n＝k变化到n＝k＋1时，不等式的证明使用的是放缩法而没有使用归纳假设．故选D.2．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为()A．190 B．715C．725 D．385[解析] 由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n 项和，通项a n ＝4n －3.由此可归纳出第n 件首饰的珠宝数为n [1＋(4n －3)]2＝2n 2－n .则前n 件首饰所用的珠宝总数为2(12＋22＋…＋n 2)－(1＋2＋…＋n )＝4n 3＋3n 2－n6.当n ＝10时，总数为715.3．(2013·九江模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足2S n ＝a 2n ＋n ，a n >0(n ∈N *)．(1)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明．(2)设x >0，y >0，且x ＋y ＝1，证明：a n x ＋1＋a n y ＋1≤2(n ＋2). [解析] (1)分别令n ＝1,2,3， 得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝a 21＋1，2(a 1＋a 2)＝a 22＋2，2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 23＋3.∵a n >0，∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3. 猜想：a n ＝n . 由2S n ＝a 2n ＋n .①可知，当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋(n －1)．②①－②，得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1， 即a 2n ＝2a n ＋a 2n －1－1.(ⅰ)当n ＝2时，a 22＝2a 2＋12－1，∵a 2>0，∴a 2＝2.(ⅱ)假设当n ＝k (k ≥2)时，a k ＝k ，那么当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1＝2a k ＋1＋a 2k －1＝2a k ＋1＋k 2－1⇒[a k ＋1－(k ＋1)][a k ＋1＋(k －1)]＝0， ∵a k ＋1>0，k ≥2，∴a k ＋1＋(k －1)>0， ∴a k ＋1＝k ＋1.即当n ＝k ＋1时也成立． ∴a n ＝n (n ≥2)．显然n ＝1时，也成立，故对于一切n ∈N *，均有a n ＝n . (2)要证nx ＋1＋ny ＋1≤2(n ＋2)，只要证nx ＋1＋2(nx ＋1)(ny ＋1)＋ny ＋1≤2(n ＋2)． 即n (x ＋y )＋2＋2n 2xy ＋n (x ＋y )＋1≤2(n ＋2)，将x ＋y ＝1代入，得2n 2xy ＋n ＋1≤n ＋2， 即只要证4(n 2xy ＋n ＋1)≤(n ＋2)2， 即4xy ≤1.∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴xy ≤x ＋y 2＝12，即xy ≤14，故4xy ≤1成立，所以原不等式成立．[失误与防范] 证明不等式时，不能利用x ＋y ＝1作代换，找不到思路是解答本题中常出现的失误．证题时要注意把题设条件(特别是隐含条件)都找出来，当证题思路打不通时，看看有没有没用上的条件．4．(2013·北京房山摸底)已知曲线C ：y 2＝2x (y ≥0)，A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，…，A n (x n ，y n )，…是曲线C 上的点，且满足0<x 1<x 2<…<x n <…，一列点B i (a i,0)(i ＝1,2，…)在x 轴上，且△B i －1A i B i (B 0是坐标原点)是以A i 为直角顶点的等腰直角三角形．(1)求A 1，B 1的坐标； (2)求数列{y n }的通项公式；(3)令b i ＝1a i ，c i ＝(2)－y i 2，是否存在正整数N ，当n ≥N 时，都有∑i ＝1nb i <∑i ＋1n c i ，若存在，求出N 的最小值并证明；若不存在，说明理由．[解析] (1)∵△B 0A 1B 1是以A 1为直角顶点的等腰直角三角形， ∴直线B 0A 1的方程为y ＝x . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2x ，y >0，得x 1＝y 1＝2，即点A 1的坐标为(2,2)，进而得B 1(4,0)．(2)根据△B n －1A n B n 和△B n A n ＋1B n ＋1分别是以A n 和A n ＋1为直角顶点的等腰直角三角形可得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝x n ＋y n ，a n ＝x n ＋1－y n ＋1， 即x n ＋y n ＝x n ＋1－y n ＋1.(*)∵A n 和A n ＋1均在曲线C ：y 2＝2x (y ≥0)上，∴y 2n ＝2x n ，y 2n ＋1＝2x n ＋1.∴x n ＝y 2n 2，x n ＋1＝y 2n ＋12，代入(*)式得y 2n ＋1－y 2n ＝2(y n ＋1＋y n )． ∴y n ＋1－y n ＝2(n ∈N *)．∴数列{y n }是以y 1＝2为首项，2为公差的等差数列． ∴其通项公式为y n ＝2n (n ∈N *)．(3)由(2)可知，x n ＝y 2n2＝2n 2，∴a n ＝x n ＋y n ＝2n (n ＋1)．∴b i ＝12i (i ＋1)，c i ＝(2)－y i 2＝12i ＋1，∴∑i ＝1nb i ＝12(1×2)＋12(2×3)＋…＋12n (n ＋1)＝12(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝12(1－1n ＋1)， ∑i ＝1n c i ＝122＋123＋…＋12n ＋1＝14(1－12n )1－12 ＝12(1－12n )． ∑i ＝1n b i －∑i ＝1nc i ＝12(1－1n ＋1)－12(1－12n )＝12(12n －1n ＋1)＝n ＋1－2n 2n ＋1(n ＋1). 当n ＝1时，b 1＝c 1不符合题意，当n ＝2时b 2<c 2符合题意，当n ＝3时，b 3<c 3，符合题意，猜想对于一切大于或等于2的自然数都有∑i ＝1nb i <∑i ＝1nc i ，(*)观察知，欲证(*)式成立，只需证明n ≥2时，n ＋1≤2n . 以下用数学归纳法证明，①当n ＝2时，左边＝3，右边＝4，左边<右边； ②假设n ＝k (k ≥2)时，k ＋1<2k ，当n ＝k ＋1时， 左边＝(k ＋1)＋1<2k ＋1<2k ＋2k ＝2k ＋1＝右边．∴对于一切大于或等于2的正整数，都有n ＋1<2n ， 即∑i ＝1nb i <∑i ＝1nc i 成立．综上，满足题意的n 的最小值为2.5．已知正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立． (1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1； (2)探究a n 与1n的大小，并证明你的结论．[解析] (1)由a 2n ≤a n －a n ＋1得a n ＋1≤a n －a 2n .∵在数列{a n }中a n >0，∴a n ＋1>0， ∴a n －a 2n >0，∴0<a n <1，故数列{a n }中的任何一项都小于1. (2)解法1：由(1)知0<a n <1＝11，那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝⎛⎭⎫a 1－122＋14≤14<12， 由此猜想：a n <1n.下面用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N 时猜想正确． ①当n ＝2时，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N )时，有a k <1k ≤12成立．那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－⎝⎛⎭⎫a k －122＋14<－⎝⎛⎭⎫1k －122＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2<k －1k 2－1＝1k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时，猜想也正确． 综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n <1n .解法2：由a 2n ≤a n －a n ＋1， 得0<a k ＋1≤a k －a 2k ＝a k (1－a k )，∵0<a k <1，∴1a k ＋1≥1a k (1－a k )＝1a k ＋11－a k ，∴1a k ＋1－1a k ≥11－a k >1. 令k ＝1,2,3，…，n －1得：1a 2－1a 1>1，1a 3－1a 2>1，…，1a n －1a n －1>1， ∴1a n >1a 1＋n －1>n ，∴a n <1n. 6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 都在函数f (x )＝x ＋an 2x 的图象上． (1)求a 1、a 2、a 3的值，猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明；(2)将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a 1)，(a 2，a 3)，(a 4，a 5，a 6)，(a 7，a 8，a 9，a 10)；(a 11)，(a 12，a 13)，(a 14，a 15，a 16)，(a 17，a 18，a 19，a 20)；(a 21)，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n }，求b 5＋b 100的值．[分析] (1)将点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 代入函数f (x )＝x ＋an 2x 中，通过整理得到S n 与a n 的关系，则a 1，a 2，a 3可求；(2)通过观察发现b 100是第25组中第4个括号内各数之和，各组第4个括号中各数之和构成首项为68、公差为80的等差数列，利用等差数列求和公式可求b 100.[解析] (1)∵点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 在函数f (x )＝x ＋a n 2x的图象上， ∴S n n ＝n ＋a n 2n ，∴S n ＝n 2＋12a n . 令n ＝1得，a 1＝1＋12a 1，∴a 1＝2； 令n ＝2得，a 1＋a 2＝4＋12a 2，∴a 2＝4； 令n ＝3得，a 1＋a 2＋a 3＝9＋12a 3，∴a 3＝6. 由此猜想：a n ＝2n .用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由上面的求解知，猜想成立．②假设n ＝k (k ≥1)时猜想成立，即a k ＝2k 成立，则当n ＝k ＋1时，注意到S n ＝n 2＋12a n (n ∈N *)， 故S k ＋1＝(k ＋1)2＋12a k ＋1，S k ＝k 2＋12a k . 两式相减得，a k ＋1＝2k ＋1＋12a k ＋1－12a k ，所以a k ＋1＝4k ＋2－a k . 由归纳假设得，a k ＝2k ，故a k ＋1＝4k ＋2－a k ＝4k ＋2－2k ＝2(k ＋1)．这说明n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②知，对一切n ∈N *，a n ＝2n 成立．(2)因为a n ＝2n (n ∈N *)，所以数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)；(22)，(24,26)，(28,30,32)，(34,36,38,40)；(42)，….每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b 100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以b 100＝68＋24×80＝1988，又b 5＝22，所以b 5＋b 100＝2010.[点评] 由已知求出数列的前几项，做出猜想，然后利用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法．证明的关键是根据已知条件和假设寻找a k与a k＋1或S k与S k＋1间的关系，使命题得证．。
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专项强化训练(六)(45分钟100分)一、选择题(每小题6分,共30分)1.在100个产品中,一等品20个,二等品30个,三等品50个,用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本,则二等品中A被抽取到的概率为( )A. B. C. D.不确定2.从一堆苹果中任取了20个,并得到它们的质量(单位:克)数据分布如表:则这堆苹果中,质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的( )A.50%B.30%C.70%D.40%3.总体已经分成A,B,C三层,A,B,C三层个体数之比为2∶3∶5,现从总体中抽取容量为20的一个样本,已知A层中用简单随机抽样抽取样本时,甲被抽到的概率为,则总体的个体个数为( )A.4B.80C.120D.1604.有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:[11.5,15.5)2,[15.5,19.5)4,[19.5,23.5)9,[23.5,27.5)18,[27.5,31.5)11, [31.5,35.5)12,[35.5,39.5)7,[39.5,43.5]3.根据样本的频率分布估计,数据在[31.5,43.5]内的概率约是( )A. B.C. D.5.(2014·郑州模拟)为了研究某高校大学5000名新生的视力情况,随机抽查了该校100名进校新生的视力情况,得到其频率分布直方图如图,若规定视力低于5.0的学生属于近视学生,则估计该校新生中不是近视的人数约为( )A.300B.400C.600D.1 000二、填空题(每小题6分,共18分)6.(2014·日照模拟)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一个成员,他属于至少2个小组的概率是.他属于不超过2个小组的概率是.7.(2014·银川模拟)甲、乙两人比赛射击,两人所得的平均环数相同,其中甲所得环数的方差为5,乙所得环数如下:5,6,9,10,5,那么这两人中成绩较稳定的是.8.(2014·石家庄模拟)将容量为n的样本中的数据分成6组,绘制频率分布直方图.若第一至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数据的频数之和等于27,则n等于.三、解答题(每小题13分,共52分)9.(2014·兰州模拟)如图所示是某班学生一次数学考试成绩的频数分布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点),其中纵轴表示学生数,观察图形,回答下列问题:(1)全班有多少学生?(2)此次考试平均成绩大概是多少?(3)不及格的人数有多少?占全班多大比例?(4)如果80分及以上的成绩为优良,那么这个班的优良率为多少?10.(2014·枣庄模拟)有编号为A1,A2,A3,…,A6的6位同学,进行100米赛跑,得到下面的成绩:其中成绩在13秒内的同学记为优秀.(1)从上述6名同学中,随机抽取1名,求这名同学成绩优秀的概率.(2)从成绩优秀的同学中,随机抽取2名,用同学的编号列出所有可能的抽取结果,并求这2名同学的成绩都在12.3秒内的概率.11.(2014·天津模拟)某公司由筛选出的男员工14名,女员工6名共20名员工组建甲、乙两个部门,现对这20名员工进行一次综合测试,成绩的茎叶图如图所示(单位:分).现规定180分以上者到“甲部门”工作,180分以下者到“乙部门”工作.(1)求女员工成绩的平均值.(2)现采用分层抽样的方式分别从“甲部门”和“乙部门”中共选出5人参加一项活动.①甲、乙部门分别选出多少人?②若从这5人中随机选出2人,那么至少1人选自“甲部门”的概率是多少?12.(2014·珠海模拟)我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出.某市政府为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,为此市政府首先采用抽样调查的方法获得了n位居民某年的月均用水量(单位:吨).根据所得的n个数据按照区间[0,0.5),[0.5,1),[1,1.5),[1.5,2),[2,2.5), [2.5,3),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]进行分组,得到频率分布直方图如图.(1)若已知n位居民中月均用水量小于1吨的人数是12,求n位居民中月均用水量分别在区间[2,2.5)和[2.5,3)内的人数.(2)在该市居民中随意抽取10位,求至少有2位居民月均用水量在区间[2,2.5)或[2.5,3)内的概率.(精确到0.01,参考数据:0.619≈0.012,0.6110≈0.0071)答案解析1.【解析】选A.每个个体被抽到的概率等于=,故二等品中产品A被抽到的概率为.2.【解析】选C.由表中数据可知,质量不小于120克的苹果有14个,一共有苹果20个,所以质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的70%.3.【解析】选B.因为从总体中抽取容量为20的一个样本,甲被抽到的概率为,所以在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率是,所以总体的个体个数为=80.4.【解析】选 B.根据所给的数据的分组及各组的频数得到数据在[31.5,43.5]范围的有[31.5,35.5)12;[35.5,39.5)7;[39.5,43.5]3,所以满足题意的数据有12+7+3=22(个),总的数据有66个,根据等可能数据的概率得到P==,故选B.5.【解析】选C.由频率分布直方图可知,视力在[5.0,5.1],[5.1,5.2]的频率分别为0.7×0.1=0.07,0.5×0.1=0.05.所以在样本中,有100×(0.07+0.05)=12人不是近视,可见不近视率约为0.12, 因为共有5000人,故估计该校新生中不是近视的人数约为5000×0.12=600,故选C.【加固训练】(2014·深圳模拟)某容量为180的样本的频率分布直方图共有n(n>1)个小矩形,若第一个小矩形的面积等于其余(n-1)个小矩形的面积之和的,则第一个小矩形对应的频数为( )A.20B.25C.30D.35【思路点拨】由第一个小矩形的面积和其余(n-1)个小矩形的面积之和的关系,求出第一个小矩形的面积占所有矩形面积的比例,从而得到第一个小矩形的频率,然后乘以样本容量即可得到第一个小矩形对应的频数.【解析】选C.设第一个小矩形的面积为S,则其余(n-1)个小矩形的面积之和为5S,则n个小矩形面积的总和为6S,那么第一个小矩形的面积等于所有n个小矩形的面积之和的.因为样本的频率分布直方图中,矩形的面积就是对应的频率,所以第一个小矩形对应的频率为.则第一个小矩形对应的频数是180×=30.故选C.6.【解析】“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况,故他属于至少2个小组的概率为P==.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”,其对立事件是“3个小组”. 故他属于不超过2个小组的概率是P=1-=.答案:7.【解析】==7,=[(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(5-7)2]=×(4+1+4+9+4)=4.4.因为>,所以乙稳定.答案:乙8.【解析】设第一至第六组数据的频数分别为2x,3x,4x,6x,4x,x,则2x+3x+4x=27,解得x=3,故n=20x=60.答案:609.【解析】(1)由频数分布直方图可知,成绩在[30,40)的有1人,[40,50)的有2人,[50,60)的有3人,[60,70)的有8人,[70,80)的有10人,[80,90)的有14人,[90,100)的有6人,所以总人数为1+2+3+8+10+14+6=44.(2)≈75.45.(3)不及格的人数有1+2+3=6(人),因为全班共有44人,所以占全班比例是×100%≈13.64%.(4)由图知,成绩为优良的有14+6=20(人),因为全班共有44人,所以优良率是×100%≈45.45%.10.【解析】(1)由所给成绩可知,成绩优秀的同学共有5名,设“从6名同学中,随机抽取1名成绩为优秀”为事件A,则P(A)=.(2)成绩优秀的同学编号为A1,A2,A3,A4,A5.从这5名同学中随机抽取2名,所有可能的结果为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A3,A4),(A3,A5),(A4,A5)共有10种,设“这2名同学的成绩都在12.3秒内”为事件B,则B中所有可能的结果为(A1,A3),(A1,A5),(A3,A5)共3种.所以P(B)=.11.【解析】(1)女员工成绩的平均值为:(160×1+170×2+180×2+190×1+8+7+8+6+5+2)=181.(2)①“甲部门”共有8人,“乙部门”共有12人,按分层抽样从“甲部门”选出2人,“乙部门”共选出3人.②设“甲部门”选出的2人记为a,b,“乙部门”选出的3人记为1,2,3,则所有的选取方式有(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(1,2)(1,3),(2,3)共10种情形,其中满足至少有1人选自“甲部门”的有(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),共7种情形,故所求的概率为.12.【解析】(1)根据频率分布直方图可得n位居民中月均用水量小于1吨的频率为(0.08+0.16)×0.5=0.12,所以n==100(人),所以根据频率分布直方图可得n位居民中月均用水量在区间[2,2.5)内的人数是0.5×0.5×100=25(人),在[2.5,3)内的人数是0.28×0.5×100=14(人).(2)设A,B分别表示随机事件“居民月均用水量在区间[2,2.5)内”和“居民月均用水量在区间[2.5,3)内”,则事件A,B互斥,所以居民月均用水量在区间[2,2.5)或[2.5,3)内的概率是P=P(A∪B)=P(A)+P(B)=+==0.39,设X表示10位居民中月均用水量在区间[2,2.5)或[2.5,3)内的人数,则X～B(10,0.39),所以所求概率是P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-×0.390×0.6110-×0.391×0.619≈1-0.0071-10×0.39×0.012≈0.95.关闭Word文档返回原板块。