(北师大版文)2021届高考数学复习课件：平面向量的概念及线性运算
2020届高考数学(文)一轮复习精品特训专题五：平面向量(2)平面向量的概念及其线性运算B
平面向量（2）平面向量的概念及其线性运算B
1、如图,点M是ABC的重心,则MAMBMC (
)
A.
0
B. 4ME
C. 4MD
D. 4MF
2、如图,在ABC中, 21,33ADACBPBD,若APABAC,则的值为(
)
A. 3
B. 2
C. 2
D. 3
3、已知空间四边形OAB,其对角线为,,OBACM分别是,OAOB的中点,点G在线段上,且使3MGGN,用向量,,OAOBOC表示向量OG,则( )
A. 313888OGOAOBOC
B. 733888OGOAOBOC
C. 2233OGOAOBOC
D. 133888OGOAOBOC
4、如图所示,已知43APAB,用,OAOB表示OP,则OP等于(
)
A. 1433OAOB
B. 1433OAOB
C. 1433OAOB
D. 1433OAOB
5、已知点O为ABC内一点,且230,,,OAOBOCAOBAOCBOC则的面积之比等于
A.9:4:1 B.1:4:9 C.3:2:1 D.1:2:3
6、已知向量(1,1),(2,3)ab,则2ab等于( )
A. 4,5
B. (4,5)
C. 0,1
D. 0,1 7、已知向量2,4a,(1,1)b,则2ab ( )
A. 5,7
B. (5,9)
C. (3,7)
D. (3,9)
8、ABBDACCD化简后为( )
A.
AD
B.
BC
C.
0
D.
DA
9、已知(2,1),(1,2)ab,若(9,8)(,)manbmnR,则mn的值为( )
A.2 B.-2 C.3 D.-3
10、设D、E、F分别为ABC的三边BC、CA、AB的中点,则EBFC ( )
2020版高考数学大一轮复习-5.1平面向量的概念及线性运算教案(文)(含解析)新人教A版
1 §5.1 平面向量的概念及线性运算
最新考纲 考情考向分析
1.了解向量的实际背景．
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．
3.理解向量的几何表示．
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现.
2
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量；其方向不确定 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|
平行向量
(共线向量) 共线向量的方向相同或相反 0与任一向量平行或共线
相等向量 同向且等长的有向线段 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
向量的加法 求两个向量和的运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 3 向量的减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
a－b＝a＋(－b)
数乘向量 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(2)λ(μa)＝(λμ)a；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb
3.平行向量基本定理
如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.
2021版高考北师大版文科数学一轮复习核心考点·精准研析5.1平面向量的概念及其线性运算
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核心考点·精准研析
考点一 平面向量的基本概念
1.下面说法正确的是 ( )
A.平面内的单位向量是唯一的
B.所有单位向量的终点的集合为一个单位圆
C.所有的单位向量都是共线的
D.所有单位向量的模相等
【解析】选D.因为平面内的单位向量有无数个,所以选项A错误;当单位向量的起点不同时,其终点就不一定在同一个圆上,所以选项B错误;当两个单位向量的方向不相同也不相反时,这两个向量就不共线,所以选项C错误;因为单位向量的模都等于1,所以选项D正确.
2.给出下列命题:
①零向量是唯一没有方向的向量;
②零向量的长度等于0;
③若a,b都为非零向量,则使+=0成立的条件是a与b反向共线.
其中错误的命题的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.①错误,零向量是有方向的,其方向是任意的;②正确,由零向量的定义可知,零向量的长度为0;③正确,因为与都是单位向量,所以只有当与是相反向量,即a与b反向共线时才成立.
1.解答向量概念型题目的要点
(1)准确理解向量的有关知识,应重点把握两个要点:大小和方向.
(2)向量线性运算的结果仍是向量,准确运用定义和运算律仍需从大小和方向角度去理解.
2.(1)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小.
(2)大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征.
(3)向量可以自由平移,任意一组平行向量都可以移到同一直线上.
考点二 平面向量的线性运算
【典例】1.(2018·全国卷I)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则= ( )
A.- B.-
C.+ D.+
2.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2
(λ1、λ2为实数),则λ1+λ2的值为
2021高考北师版(理科)数学一轮复习讲义： 第4章 第1节 平面向量的概念及线性运算
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第四章 平面向量、数系的扩大与复数的引入
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[五年考情]
考点 2021年 2021 年 2021年 2021年 2021年
平面向量的线性运算 — 全国卷Ⅰ·T7全国卷Ⅱ·T13 全国卷Ⅰ·T10 — —
平面向量根本定理及坐标运算 — 全国卷Ⅰ·T7 — — —
平面向量的数量积及其应用 全国卷Ⅰ·T13全国卷Ⅱ·T3全国卷Ⅲ·T3 全国卷Ⅰ·T5 全国卷Ⅰ·T15全国卷Ⅱ·T3 全国卷Ⅰ·T13全国卷Ⅱ·T13 全国卷·T13
复数的相关概念及其运算 全国卷Ⅰ·T2全国卷Ⅱ·T1全全国卷Ⅰ·T1全国卷Ⅱ·T2 全国卷Ⅰ·T2全国卷Ⅱ·T2 全国卷Ⅰ·T2全国卷Ⅱ·T2 全国卷·T3 .
下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 国卷Ⅲ·T2
[重点关注]
1．从近五年全国卷高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容，主要考察平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数量积及其应用，复数的有关概念及复数代数形式的四那么运算，多以选择题、填空题的形式出现，难度较小．
2．平面向量虽然有时也与其他知识渗透交汇命题，但平面向量仅起到穿针引线的载体作用．
3．本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形〞与“数〞的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．
[导学心语]
1．透彻理解平面向量的有关概念及相应的运算法那么是学好本章的根底．(1)向量的几何运算侧重于“形〞，坐标运算侧重于“数〞，要善于将二者有机结合和转化．(2)平面向量的数量积是高考的重点，要熟练掌握和运用．
2．平面向量与其他知识的综合渗透充分表达了平面向量的载体作用．平面向量的复习应做到：立足根底知识和根本技能，强化应用．
3．复数内容独立性较强，一般会以选择题形式单独命题，重点是代数运算，属容易题，因此切忌盲目拔高要求；重视“化虚为实〞的思想方法．
2021高考数学(文)一轮复习优化讲解《平面向量的概念及线性运算》
第1讲平面向量的概念及线性运算
一、知识梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
[注意](1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．
(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.
2．向量的线性运算
向量运算定义法则(或几何意义)运算律
加法求两个向量和的运
算交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a
＋(b＋c)
减法求a与b的相反向
量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)
数乘求实数λ与向量a的
积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a
的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；
当λ＝0时，
λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
常用结论
1．两特殊向量
(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模是确定的，但方向不确定．
(2)非零向量a的同向单位向量为a
|a|.
2．几个重要结论
(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→
＝1
2(OA→
＋OB→)．
(2)OA→
＝λOB→
＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
(3)若G为△ABC的重心，则有
①GA→
＋GB→
＋GC→
＝0；②AG→
＝1
3(AB→
＋AC→)．
二、习题改编
1．(必修4P86例4改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA→
＝a，OB→
＝
b，则DC→
＝，BC→
＝．(用a，b表示)
解析：如图，DC→
＝AB→
＝OB→
－OA→
＝b－a，BC→
＝OC→
－OB→
＝－OA→
－OB→
2021高考数学一轮复习统考第5章平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算学案(含解析)北师大版
第五章 平面向量
第1讲 平面向量的概念及其线性运算
基础知识整合
1．向量的有关概念
名称
定义 备注
向量 既有01大小又有02方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为030的向量
记作0，其方向是任意的
单位
向量 长度等于041个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|
平行
向量 方向相同或05相反的非零向量(又叫做共线向量) 0与任一向量平行或共线
相等
向量 长度相等且方向06相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反
向量 长度相等且方向07相反的向量 0的相反向量为0
2．向量的线性运算
向量
运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝
08b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝
09a＋(b＋c)
续表
向量 定义 法则(或几何意义) 运算律 运算
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝10|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向11相同；当λ＜0时，λa与a的方向12相反；当λ＝0时，λa＝130 λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝
14λa＋μa；
λ(a＋b)＝
15λa＋λb
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An＝A1An→.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．
3.OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
2021版高考数学一轮复习第五章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算教学案理北师大版
第1讲 平面向量的概念及线性运算
一、知识梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与 aλ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；
λ(a＋b)＝λa＋λb 的方向相反；
当λ＝0时，λ a＝0
3.向量共线的判定定理和性质定理
(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得b＝λa.
常用结论
1．几个特殊向量
(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.
(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．
(4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量a|a|和－a|a|.
2．五个常用结论
(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An→＝A1An→.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．
高三一轮复习2021版 第五章 第1讲 平面向量的概念及线性运算
知识点
考纲下载
平面向量的几何意义及基本概念 理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.
向量的线性运算 掌握平面向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.
平面向量的基本定理及坐标表示 理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题．
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算.
平面向量的数量积及向量的应用 理解平面向量数量积的概念及其几何意义．
掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系．
会用坐标表示平面向量的平行与垂直．
会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
复 数 了解复数的定义、复数的模和复数相等的概念．
了解复数的加、减运算的几何意义．
理解复数代数形式的四则运算.
第1讲 平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几
何意义) 运算律 加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与 a的方向相反；当λ＝0时，λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ__a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
2021届新高考数学一轮(新高考版)第27讲-平面向量的概念及线性运算(讲义版)
第27讲-平面向量的概念及线性运算
一、 考情分析
1.了解向量的实际背景；
2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；
3.理解向量的几何表示和基本要素；
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
二、 知识梳理
1.向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 如a，AB→
零向量 长度等于零的向量；其方向不确定 记作0
单位向量 给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0 a0＝a|a|
共线(平
行)向量 如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行 向量a与b
平行记作
a∥b
相等向量 同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量 如AB→＝a
相反向量 与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量 记作－a
2.向量的线性运算
向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
[微点提醒]
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An＝A1An→，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.
高考数学专题18平面向量的概念及其线性运算(含解析)理(2021年整理)
18 平面向量的概念及其线性运算
1．平面向量的实际背景及基本概念
（1）了解向量的实际背景。
（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
（3)理解向量的几何表示。
2．向量的线性运算
(1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
（2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。
（3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.
一、平面向量的相关概念 名称 定义 表示方法 注意事项
向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度（或模) 向量或;
模或 平面向量是自由向量
零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 记作 零向量方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位的向量 常用表示 非零向量的单位向量是 ABa||AB||a0eaaa
平行向量 方向相同或相反的非零向量 与共线可记为 与任一向量平行或共线 共线向量 平行向量又叫共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为
二、向量的线性运算
1．向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律
abab0abab00
2．共线向量定理
向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得.
【注】限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．
考向一 平面向量的基本概念
解决向量的概念问题应关注以下六点:
（1）正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．
（2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．
(4）相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量． ba（5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时,不要把它与函数图象移动混为一谈．
(6）非零向量a与的关系:是a方向上的单位向量．