【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件：第5章 第1节 平面向量的概念及其线性运算
课堂典例讲练
2
课前自主导学
4
课 时 作 业
第五章
平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
高考目标导航
第五章
平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
考纲要求 1.了解向量的实际背景． 2．理解平面向量的概 念，理解两个向量相等的含 义． 3．理解向量的几何表 示． 4．掌握向量加法、减法 的运算，并理解其几何意义． 5．掌握向量数乘的运算 及其几何意义，理解两个向量 共线的含义． 6．了解向量线性运算的 性质及其几何意义.
为 平 行 四 边 形 ， 则
→ → → → |AB|＝|DC|， 因 此 ， AB＝DC.
第五章
平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；
又b＝c， ∴b，c的长度相等且方向相同， ∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝C． ④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．平面内的单位向量有且仅有一个
C． a与b是共线向量，b与c 是平行向量，则a与c 是方向相 同的向量 D．相等的向量必是共线向量 [答案] D
第五章
平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
[ 解析]
向 量 是 既 有 大 小 又 有 方 向 的 量 ， 所 以 零 向 量 必 有 A错 误 ； 对 平 面 内 的 任 一 非 零 向 量 a 即 是 一 个 单 位 向 量 ， 由 |a| a的 任 意 性 ， a
命题分析 从近三年的高考试题来 看，向量的线性运算、共线问 题是高考的热点．尤其向量的 线性运算出现的频率较高，多 以选择题、填空题的形式出 现，属中低档题目．主要考查 了向量的线性运算及几何意 义，另外与向量共线和平面向 量基本定理交汇命题． 预测2016年高考对本部分 内容的考查仍以向量线性运算 及几何意义为主，保持选择、 填空题形式，难度不大.
[思路分析] 以平面向量的概念为判断依据，或通过举反 例说明其正确与否．
第五章
平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
[ 规范解答]
①不 正 确 ． 两 个 向 量 的 长 度 相 等 ， 但 它 们 的
方向不一定相同． → → → → → → ②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC， 又∵A，B，C，D 是 不 共 线 的 四 点 ， 行 四 边 形 ； 反 之 ， 若 四 边 形 A B C D ∴四边形 A B C D 为平 → → AB∥DC且
第五章
平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
6．在平行四边形 A B C D
中 ， 对 角 线 AC 与 BD 交于点 O，
→ → → AB＋AD＝λAO，则 λ＝________.
[ 答案] 2
[ 解析]
本 题 考 查 向 量 加 法 的 几 何 意 义 ．
→ → → → AB＋AD＝AC＝2AO，∴λ＝2.
C 中，当 b ＝ λa 时， a 与 b 一定共线，但 a ， b 共线时，若
b≠0，a＝0，则b＝λa不成立． 排除A，B，C，故选D．
第五章
平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
4．(文)如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的
中点，则( )
→ → → A．AD＋BE＋CF＝0
向 量 运 算
定 义 求a与b的 相 反 向 量 －
法 则 (或 几 何 意 义
)
运 算 律
减 法
b的 和 的 运 算 叫 作 a与 b的 差
三角形 _ _ _ _ _ _ 法 则
第五章
平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
向 量 运 算
定 义
法 则 (或 几 何 意 义
)
运 算 律 λ(μa)＝ (λμ )_ a ； _ _ _ _ _ (λ＋μ)a＝ λ_ a ＋ _ _ _ _ _ μa ； λ(a＋b)＝ λ_ a ＋ _ _ _ _ _ λb
AB 上 有 一 点
→ → B．－OA＋2OB 1→ 2→ D．－3OA＋3OB
[ 解析]
依 题 意 得 ：
→ → → → 2(OC－OA)＋(OB－OC)＝0，
→ → → ∴OC＝2OA－OB.
第五章
平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
5．( 2 0 1 4 ·
新 课 标 Ⅰ)已知 A，B，C 为圆 O 上 的 三 点 ， 若
第五章
平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
2．下列结论中，不正确的是(
)
→ → → → A．向量AB，CD共线与向量AB∥CD同义 → → → → B．若向量AB∥CD，则向量AB与DC共线 → → → → C．若向量AB＝CD，则向量BA＝DC D． 只 要 向 量 a，b 满足|a|＝|b|， 就 有 a＝b
到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充
分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③. [答案] ②③
第五章
平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
[方法总结]
解决这类与平面向量的概念有关的命题真假
的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意 零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：(1)模相等；(2) 方向相同．
|_ λ || ( 1 ) | λa|＝_ _ _ _ _ .a|
求 实 数 λ ( 2 ) 当 λ>0 时 ， λa 数 乘 与 向 量 a 的 方 向 与 a的 方 向 相同 的 积 的 运 _ _ _ _ _ _ ； 当 λ<0 时 ， 算( a 非 零 λa 的 方 向 与 a的 相反 向 量) 方 向_ _ _ _ _ _ ； 当 λ
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
(1)交换律：a 求两个向 加法 量和的运 算
三角形 ______法则
b＋a ＋b＝______.
(2)结合律： (a＋b)＋c＝
a______ ＋(b＋c) 平行四边形 法则 ___________
第五章 平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
→ AO
1 → → → → ＝2(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为 _ _ _ _ _ _ _ _ .
[ 答案]
90°
[ 解析] 角 ． 由 条 件
本题考查了平面向量基本定理以及向量的夹 → → AB、AC为邻边作的平
→ 1 → → AO＝2(AB＋AC)， 所 以 以 向 量
→ → 行四边形是矩形，所以向量AB、AC的夹角是 9 0 ° . 向量的夹角是 从同一点出发的两个向量所成的角．
第五章 平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
课前自主导学
第五章
平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
1.向量的有关概念及表示法 名称 向量 定义 既有______ 大小 又有______ 方向 的量；向量的大小叫作 向量的______( 长度 或____) 模 表示法
→ 向量____ AB → 模______ |AB|
[ 答案]
D
[ 解析]
根据平行向量(或共线向量)定义知 A、B 均 正 确 ；
根据向量相等的概念知 C 正确，D 不 正 确 ．
第五章
平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
3．平面向量a，b共线的充要条件是( A．a，b方向相同 B．a，b两向量中至少有一个为零向量 C．存在λ∈R，使b＝λa
→ → → B．BD－CF＋DF＝0
→ → → → → → C．AD＋CE－CF＝0 D．BD－BE－FC＝0 [ 答案] A [ 解析] 考查平面向量的线性运算．
→ → → → → → AD＋BE＋CF＝AD＋DF＋FA＝0.
第五章 平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
(理)已知 O、A、B 是 平 面 上 的 三 个 点 ， 直 线 → → → C，满足 2AC＋CB＝0，则OC＝( → → A．2OA－OB 2→ 1→ C．3OA－3OB [ 答案] A )
方 向 ， 又 规 定 零 向 量 与 任 一 向 量 平 行 ， 所 以 零 向 量 是 唯 一 的 一 个 方 向 不 确 定 的 向 量 ， 故 而 言 ， 由 于
a ＝1， 所 以 |a|
可 知 B错 误 ； 共 线 向 量 即 平 行 向 量 ， 包 括 方 向 相 同 或 方 向 相 反 的 非 零 向 量 及 零 向 量 ， 故 方 向 相 同 的 向 量 ， 所 以 C错 误 ； 由 于 相 等 向 量 即 长 度 相 等 且 D正 确 ．
时，a与b可以是任意向量．
第五章
平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
平面向量的线性运算
→ → 如图，以向量OA＝a，OB＝b 为邻边作▱OADB， → 1→ → 1 → → → → BM＝3BC，CN＝3CD，用 a，b 表示OM，ON，MN.
[ 思路分析]
结合图形，灵活运用三角形法则和平行四边
[答案] C
第五章 平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
[ 解析 ]
(1) 错，两向量共线要看其方向而不是起点与终
点；(2)对，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大 小，但它们的模均为实数，故可以比较大小； (3) 错，当 a ＝ 0 时，不论λ 为何值， λa＝ 0 ； (4) 错．当 λ ＝ μ＝ 0 时， λa＝ μb ，此
北师大版高考数学一轮复习统考第5章平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算课件
第1讲 平面向量的概念及其线性运 算
最新 PPT 欢迎下载 可修改
1
1
PART ONE
基础知识整合
最新 PPT 欢迎下载 可修改
2
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
既有 01 __大__小__又有 02 _方__向___的
向量 量；向量的大小叫做向量的长度 平面向量是自由向量
(或称模)
解析 9答案
3．已知 a，b 是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的
是( )
A．a＋b＝0
B．a＝b
C．a 与 b 共线反向
D．存在正实数 λ，使 a＝λb
解析 因为 a，b 是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则 a 与 b 共线同 向，故 D 正确．
最新 PPT 欢迎下载 可修改
A．c＝－12a＋32b
B．c＝32a－12b
C．c＝－a＋2b
D．c＝a＋2b
解析 ∵A→C＝－3C→B，∴A→C＝32A→B，∴O→C－O→A ＝32(O→B－O→A)，∴O→C＝32O→B－12O→A，即 c＝－12a＋32b.故选 A.
最新 PPT 欢迎下载 可修改
解析 12答案
6．(2019·安徽芜湖模拟)已知▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 O→A＝a，O→B＝b，则D→C＝__b_－__a___，B→C＝_－__a_－__b__(用 a，b 表示)．
最新 PPT 欢迎下载 可修改
6
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向 最后一个向量终点的向量，即A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An－1An＝A→1An.特别 地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
《2016届走向高考》高三数学一轮(北师大版)基础巩固第5章第1节平面向量的概念及其线性运算
第五章 第一节一、选择题1．下列命题中为假命题的是( ) A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相同 [答案] D[解析] 由定义可知，A 、B 、C 正确．由于共线的单位向量方向可以相同或相反，故D 错误．2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A ．P A →＋PB →＝0 B ．PB →＋PC →＝0 C ．PC →＋P A →＝0 D ．P A →＋PB →＋PC →＝0[答案] C[解析] 解法1：由向量加法的平行四边形法则易知，BA →与BC →的和向量过AC 边上的中点，长度是AC 边上的中线长的二倍，结合已知条件可知P 为AC 边中点，故P A →＋PC →＝0.解法2：∵BC →＋BA →＝2BP →，∴PB →＋BC →＋PB →＋BA →＝0，即PC →＋P A →＝0.3．(2014·新课标Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A ．AD →B ．12AD →C ．BC →D ．12BC →[答案] A [解析] 如图，EB →＋FC →＝－12(BA →＋BC →)－12(CB →＋CA →)＝－12(BA →＋CA →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.4．(文)下列命题中真命题是( ) ①a ∥b ⇔存在唯一的实数λ，使得a ＝λb②a ∥b ⇔存在不全为0的实数λ1和λ2使λ1a ＋λ2b ＝0 ③a 与b 不共线⇔若λ1a ＋λ2b ＝0，则λ1＝λ2＝0 ④a 与b 不共线⇔不存在实数λ1、λ2，使得λ1a ＋λ2b ＝0 A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④[答案] B(理)已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －B ．如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向[答案] D[解析] 考查向量相等及向量平行的条件． ∵c ∥d ，∴c ＝λd ，∴k a ＋b ＝λ(a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ1＝－λ，∴k ＝－1，λ＝－1.故选D ． 5．非零向量OA →，OB →不共线，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若P A →＝λAB →(λ∈R )，则点Q (x ，y )的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0[答案] A[解析] P A →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)， 即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2. 6．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形[答案] C[解析] AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，∴AD →∥BC →，且|AD →|＝2|BC →|，∴四边形ABCD 为梯形．故选C ． 二、填空题 7．化简：(1)AB →－AD →－DC →＝________ (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________ [答案] (1)CB →(2)0[解析] 运用三角形法则求和向量时，应“始终相接，始指向终”；求差向量时，应“同始连终，指向被减”．(1)AB →－AD →－DC →＝DB →－DC →＝CB →.(2)解法1：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0.解法2：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.8．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. [答案] －13[解析] 由已知得a ＋λb ＝－k (b －3a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k 3k ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝－13k ＝13.9．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．[答案] 直角三角形[解析] OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，故A 、B 、C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 三、解答题10．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，其中e 1，e 2为两个非零不共线向量．问：是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？[分析] 运用向量共线的条件，确定是否存在实数k ，使是d ＝k C ． [解析] d ＝λa ＋μb ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2.要使c ∥d ，则应存在实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2＝k (2e 1－9e 2)＝2k e 1－9k e 2，∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，∴λ＝－2μ.故存在这样的实数λ，μ，满足λ＝－2μ，就能使d 与c 共线.一、选择题1．(2014·福建高考)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A ．OM →B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →[答案] D[解析] 本题考查了平面向量平行四边形法则， OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC )＋(OB →＋OD →) ＝2OM →＋2OM →＝4OM →.2．(文)已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上 [答案] B[解析] 本题考查平面向量的共线问题，由CB →＝λP A →＋PB →得CB →－PB →＝λP A →，∴CP →＝λP A →.则CP →与P A →为共线向量，又CP →与P A →有一个公共点P ，∴C 、P 、A 三点共线，即点P 在直线AC 上．故选B ．(理)设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直 [答案] A[解析] AD →＋BE →＋CF →＝AB →＋BD →＋BC →＋CE →＋BF →－BC →＝AB →＋13BC →＋BC →－23AC →－13AB →－BC→＝23(AB →－AC →)＋13BC →＝23CB →＋13BC →＝－13BC →，故选A ． 二、填空题3．在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是________．[答案] 23[解析] 由P A →＋PB →＋PC →＝AB →，得P A →＋PB →＋BA →＋PC →＝0，即PC →＝2AP →，所以点P 是CA 边上的三等分点，如图所示．故S △PBC S △ABC ＝PC AC ＝23.4．在△ABC 中，点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若AB →＋AC →＋mAM →＝0，则实数m 的值为______．[答案] －3[解析] 由MA →＋MB →＋MC →＝0知M 为△ABC 的重心， 设BC 的中点为D ，则有AB →＋AC →＝2AD →，而AM →＝23AD →，故2AD →＋23mAD →＝0，∴m ＝－3.三、解答题5．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a ，t b ，13(a＋b )三向量的终点在一条直线上？[解析] 设a －t b ＝λ[a －13(a ＋b )](λ∈R )，化简整理得(23λ－1)a ＋(t －13λ)b ＝0，∵a 与b 不共线，∴由平面向量基本定理有⎩⎨⎧23λ－1＝0，t －λ3＝0，∴⎩⎨⎧λ＝32，t ＝12.故t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一条直线上．6．在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上|AD ||AB |＝13，|AE ||AC |＝14，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.[解析] 取AE 的三等分点M ，使AM ＝13|AE |，连接DM .设|AM |＝t ，则|ME |＝2t . 又|AE |＝14|AC |，∴|AC |＝12t ，|EC |＝9t ，且DM ∥BE . AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC ) ＝13AB →＋211(－13AB →＋AC →) ＝311AB →＋211AC →＝311a ＋211B ．。
高中数学北师大版一轮复习 第五章 第1节 平面向量的概念及线性运算 (2)
(4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可以表示成xx12＝yy21.(
)
5
知识衍化体验
考点聚集突破
解析 (1)共线向量不可以作为基底. (2)同一向量在不同基底下的表示不相同. (4)若 b＝(0，0)，则xx21＝yy12无意义. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
24
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
角度2 利用向量共线求参数 【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a
＋b)，则λ＝________. (2)已知向量 a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若 ma＋nb 与 a－3b 共线，则mn ＝________.
μ∈R)，则52μ－λ＝( )
A.－12
B.1
C.32
D.－3
(2)(2019·宜春调研)在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且A→D＝13A→B＋12A→C.延长
AD 交 BC 于 E，若A→E＝λA→B＋μA→C，则 λ－μ 的值是________.
12
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
∴x＝2，y＝2，则点P(2，2).
答案 A
8
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
4.(2015·全国Ⅰ卷)已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量A→C＝(－4，－3)，则向量B→C＝( )
A.(－7，－4)
B.(7，4)
C.(－1，4)
D.(1，4)
解析 根据题意得A→B＝(3，1)，∴B→C＝A→C－A→B＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，
《2016届走向高考》高三数学一轮(人教A版)课件第5章第2节平面向量基本定理及向量的坐标表示
→ 1→ → → → [分析] (1)由条件“AE＝3EB，BF＋2CF＝0”可以将DE， → DF用 a，b 线性表示，依据平面向量基本定理可用待定系数法 求出 λ，μ.
(2)由于 G 为 AF 与 DE 的交点，所以 A、G、F 三点共线， → → → → D、G、E 三点共线，因此可设DG＝mDE，AG＝nAF，利用平 面向量基本定理建立 m、n 的方程求解．
→ 1→ 4．如图所示，在▱ABCD 中，已知AE＝3BC，AC 与 BE 相 → → 交于点 F，AF＝λAC，则 λ＝________.
[答案]
1 4
1 → → → → → [解析] 解法 1： 设BA＝a， BC＝b.则BE＝BA＋AE＝a＋3b. → 而AC＝b－a， → → 所以AF＝λAC＝λ(b－a)． → → → 故BF＝BA＋AF＝a＋λ(b－a)＝(1－λ)a＋λb.
• [解析] 一个平面内任意不共线的两个向量都 可以作为平面的基底，它能表示出平面内的 其他向量．A中，e1＝0，且e2与a不共线；C、 D中的两个向量都是共线向量且不与a共线， 故表示不出a.B中的两个向量不共线，可以作 为平面的一组基底，故可表示出a，
→ 4→ → 3．(文)(2013· 四川广元模拟)如图，已知AP＝3AB，用OA， → → → OB表示OP，则OP等于( )
• [答案] D
→ → → [解析] 设 C(x，y)，因为OC＝λOA＋μOB， λ＝3x－y， 8 x＝3λ＋μ， 所以 解得 y＝λ＋3μ， 3y－x μ＝ 8 . 3x－y 3y－x 因为 λ≥μ≥1，所以 8 ≥ 8 ≥1， 3x－y－8≥0， 即x－3y＋8≤0， x≥y. 故选 D．
正交 3．如果基底的两个基向量互相垂直，则称其为 ________
北师大版版高考数学一轮复习第五章平面向量平面向量的概念及线性运算教学案理
一、知识梳理１．向量的有关概念（１）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．（２）零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．（３）单位向量：长度等于１个单位的向量．（４）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．（５）相等向量：长度相等且方向相同的向量．（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量．２．向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：（a＋b）＋c ＝a＋（b＋c）减法求a与b的相反向量—b的和的运算a—b＝a＋（—b）数乘求实数λ与向量a的积的运算|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ（μ a）＝（λμ）a；（λ＋μ）a＝λa＋μ_a；λ（a＋b）＝λa＋λb３．向量共线的判定定理和性质定理（１）判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．（２）性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得b＝λa.常用结论１．几个特殊向量（１）要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0．（２）单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．（３）任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．（４）与向量a平行的单位向量有两个，即向量错误!和—错误!.２．五个常用结论（１）一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．（２）若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则错误!＝错误!（错误!＋错误!）．（３）若A，B，C是平面内不共线的三点，则错误!＋错误!＋错误!＝0⇔P为△ABC的重心．（４）在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G（如图所示），易知G 为△ABC的重心，则有如下结论：１错误!＋错误!＋错误!＝0；２错误!＝错误!（错误!＋错误!）；３错误!＝错误!（错误!＋错误!），错误!＝错误!（错误!＋错误!）．（５）若错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ，μ为常数），则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝１．二、教材衍化１．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝________，错误!＝________（用a，b表示）．解析：如图，错误!＝错误!＝错误!—错误!＝b—a，错误!＝错误!—错误!＝—错误!—错误!＝—a—b.答案：b—a—a—b２．在平行四边形ABCD中，若|错误!＋错误!|＝|错误!—错误!|，则四边形ABCD的形状为________．解析：如图，因为错误!＋错误!＝错误!，错误!—错误!＝错误!，所以|错误!|＝|错误!|.由对角线相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．答案：矩形一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．（）（２）零向量与任意向量平行．（）（３）若a∥b，b∥c，则a∥c.（）（４）若向量错误!与向量错误!是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．（）（５）当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．（）（6）在△ABC中，D是BC的中点，则错误!＝错误!（错误!＋错误!）．（）答案：（１）×（２）√（３）×（４）×（５）√（6）√二、易错纠偏错误!错误!（１）对向量共线定理认识不准确；（２）向量线性运算不熟致错；（３）向量三角不等式认识不清致错．１．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．若a＋b＝0，则a＝—b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．２．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝错误!AB，BE＝错误!BC.若错误!＝λ１错误!＋λ２错误!（λ１，λ２为实数），则λ１＝________，λ２＝________．解析：错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝—错误!错误!＋错误!错误!，所以λ１＝—错误!，λ２＝错误!.答案：—错误!错误!３．已知向量a，b，若|a|＝２，|b|＝４，则|a—b|的取值范围为________．解析：当a与b方向相同时，|a—b|＝２，当a与b方向相反时，|a—b|＝6，当a与b不共线时，２<|a—b|<6，所以|a—b|的取值范围为[２，6]．此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况．答案：[２，6][学生用书P8２]平面向量的有关概念（自主练透）１．设a0为单位向量，１若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；２若a与a0平行，则a＝|a|a0；３若a与a0平行且|a|＝１，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是（）Ａ．0 Ｂ．１C．２Ｄ．３解析：选Ｄ．向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故１是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝—|a|a0，故２３也是假命题．综上所述，假命题的个数是３．２．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使错误!＝错误!成立的充分条件是（）Ａ．a＝—bＢ．a∥bＣ．a＝２bＤ．a∥b且|a|＝|b|解析：选Ｃ．因为向量错误!的方向与向量a相同，向量错误!的方向与向量b相同，且错误!＝错误!，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，Ｄ．当a＝２b时，错误!＝错误!＝错误!，故“a＝２b”是“错误!＝错误!”成立的充分条件．１若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；２若|a|＝|b|，则a＝b或a＝—b；３若A，B，C，D是不共线的四点，且错误!＝错误!，则ABCD为平行四边形；４a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；５已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．解析：１是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．２是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反．３是正确的，因为错误!＝错误!，所以|错误!|＝|错误!|且错误!∥错误!；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．４是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．５是错误的，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．答案：３错误!辨析向量有关概念的五个关键点（１）向量定义的关键是方向和长度．（２）非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．（３）相等向量的关键是方向相同且长度相等．（４）单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．（５）零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．平面向量的线性运算（多维探究）角度一向量的线性运算（１）（２0１8·高考全国卷Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则错误!＝（）Ａ．错误!错误!—错误!错误!Ｂ．错误!错误!—错误!错误!Ｃ．错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．错误!错误!＋错误!错误!（２）在四边形ABCD中，错误!＝错误!，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则（）Ａ．错误!＝错误!错误!＋错误!错误!Ｂ．错误!＝错误!错误!＋错误!错误!Ｃ．错误!＝错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．错误!＝错误!错误!＋错误!错误!【解析】（１）法一：如图所示，错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!×错误!（错误!＋错误!）＋错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!—错误!错误!，故选Ａ．法二：错误!＝错误!—错误!＝错误!—错误!错误!＝错误!—错误!×错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!—错误!错误!，故选Ａ．（２）在四边形ABCD中，如图所示，因为错误!＝错误!，所以四边形ABCD为平行四边形．由已知得错误!＝错误!错误!，由题意知△DEF∽△BEA，则错误!＝错误!错误!，所以错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!—错误!）＝错误!×错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，故选Ｂ．【答案】（１）A （２）B角度二根据向量线性运算求参数（一题多解）如图，在直角梯形ABCD中，错误!＝错误!错误!，错误!＝２错误!，且错误!＝r错误!＋s错误!，则２r＋３s＝（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４【解析】法一：由题图可得错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!＋错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!.因为错误!＝r错误!＋s错误!，所以r＝错误!，s＝错误!，则２r＋３s＝１＋２＝３．法二：因为错误!＝２错误!，所以错误!—错误!＝２（错误!—错误!），整理，得错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!，以下同法一．法三：如图，延长AD，BC交于点P，则由错误!＝错误!错误!得DC∥AB，且AB＝４DC.又错误!＝２错误!，所以E为PB的中点，且错误!＝错误!错误!.于是，错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.以下同法一．法四：如图，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B（４m，0），D（３m，３h），E（４m，２h），其中m＞0，h＞0．由错误!＝r错误!＋s错误!，得（４m，２h）＝r（４m，0）＋s（３m，３h），所以错误!解得错误!所以２r＋３s＝１＋２＝３．【答案】C错误!平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略（１）向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则．（２）求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．１．（２0２0·福州模拟）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且错误!＝错误!.则下列关系中正确的是（）Ａ．错误!—错误!＝错误!错误!Ｂ．错误!＋错误!＝错误!错误!Ｃ．错误!—错误!＝错误!错误!Ｄ．错误!＋错误!＝错误!错误!解析：选Ａ．由题意得，错误!—错误!＝错误!—错误!＝错误!＝错误!＝错误!错误!，所以A正确；错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!错误!，所以B错误；错误!—错误!＝错误!—错误!＝错误!＝错误!错误!，所以C错误；错误!＋错误!＝错误!＋错误!，错误!错误!＝错误!＝错误!—错误!，若错误!＋错误!＝错误!错误!，则错误!＝0，不合题意，所以D错误．故选Ａ．２．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且错误!＝３错误!，点O在线段CD上（与点C，D 不重合），若错误!＝x错误!＋（１—x）错误!，则x的取值范围是________．解析：设错误!＝y错误!，因为错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋y错误!＝错误!＋y（错误!—错误!）＝—y错误!＋（１＋y）错误!.因为错误!＝３错误!，点O在线段CD上（与点C，D不重合）．所以y∈错误!，因为错误!＝x错误!＋（１—x）错误!，所以x＝—y，所以x∈错误!.答案：错误!平面向量共线定理的应用（典例迁移）设两个非零向量a与b不共线．（１）若错误!＝a＋b，错误!＝２a＋8b，错误!＝３（a—b），求证：A，B，D三点共线；（２）试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．【解】（１）证明：因为错误!＝a＋b，错误!＝２a＋8b，错误!＝３（a—b），所以错误!＝错误!＋错误!＝２a＋8b＋３（a—b）＝５（a＋b）＝５错误!，所以错误!，错误!共线，又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．（２）因为k a＋b与a＋k b共线，所以存在实数λ，使k a＋b＝λ（a＋k b），即（k—λ）a＝（λk—１）b.又a，b是两个不共线的非零向量，所以k—λ＝λk—１＝0．所以k２—１＝0．所以k＝±１．【迁移探究１】（变条件）若将本例（１）中“错误!＝２a＋8b”改为“错误!＝a＋m b”，则m 为何值时，A，B，D三点共线？解：错误!＋错误!＝（a＋m b）＋３（a—b）＝４a＋（m—３）b，即错误!＝４a＋（m—３）b.若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使错误!＝λ错误!，即４a＋（m—３）b＝λ（a＋b），所以错误!解得m＝7．故当m＝7时，A，B，D三点共线．【迁移探究２】（变条件）若将本例（２）中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解：因为k a＋b与a＋k b反向共线，所以存在实数λ，使k a＋b＝λ（a＋k b）（λ＜0），所以错误!所以k＝±１．又λ＜0，k＝λ，所以k＝—１．故当k＝—１时，两向量反向共线．错误!共线向量定理的３个应用（１）证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb（b≠0），则a与b共线．（２）证明三点共线：若存在实数λ，使错误!＝λ错误!，则A，B，C三点共线．（３）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值．[注意] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．１．设两个非零向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a，t b，错误!（a＋b）的终点在同一条直线上，则实数t＝________．解析：因为a，t b，错误!（a＋b）三个向量的终点在同一条直线上，且a与b的起点相同，所以a—t b与a—错误!（a＋b）共线，即a—t b与错误!a—错误!b共线，所以存在实数λ，使a—t b＝λ错误!，所以错误!解得λ＝错误!，t＝错误!.答案：错误!２．如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，错误!＝λ错误!，则λ＝________．解析：因为错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，所以错误!＝错误!错误!，错误!＝２错误!.由向量加法的平行四边形法则可知，错误!＝错误!＋错误!，所以错误!＝λ错误!＝λ（错误!＋错误!）＝λ错误!＝错误!λ错误!＋２λ错误!，由E，F，K三点共线，可得λ＝错误!.答案：错误![学生用书P8４]共线定理的推广与应用[共线定理] 已知错误!，错误!为平面内两个不共线的向量，设错误!＝x错误!＋y错误!，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝１．[推广形式] 如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设错误!＝x错误!＋y错误!（x，y∈R）．当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ，μ∈R），则λ＋μ＝１．由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数m∈R，使得错误!＝m错误!，则错误!＝m错误!＝mλ错误!＋mμ错误!.又错误!＝x错误!＋y错误!（x，y∈R），所以x＋y＝mλ＋mμ＝m.以上过程可逆．因此得到结论：错误!＝x错误!＋y错误!，则x＋y＝m（定值），反之亦成立．（应用实例）如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设错误!＝α错误!＋β错误!（α，β∈R），则α＋β的取值范围是________．【解析】当P在△CDE内时，直线EC是最近的平行线，过D点的平行线是最远的，所以α＋β∈错误!＝[３，４]．【答案】[３，４]如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D，若错误!＝m错误!＋n错误!，则m＋n的取值范围是________．【解析】由点D是圆O外的一点，可设错误!＝λ错误!（λ＞１），则错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋λ错误!＝λ错误!＋（１—λ）错误!.因为C，O，D三点共线，令错误!＝—μ错误!（μ＞１），所以错误!＝—错误!错误!—错误!·错误!（λ＞１，μ＞１）．因为错误!＝m错误!＋n错误!，所以m＝—错误!，n ＝—错误!，则m＋n＝—错误!—错误!＝—错误!∈（—１，0）．【答案】（—１，0）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝错误!，C为弧AB上的动点，若错误!＝x错误!＋y错误!，则x＋３y的取值范围是________．【解析】错误!＝x错误!＋３y错误!，如图，作错误!＝错误!，则考虑以向量错误!，错误!为基底．显然，当C在A点时，经过m＝１的平行线，当C在B点时，经过m＝３的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x＋３y的取值范围是[１，３]．【答案】[１，３][基础题组练]１．如图，已知错误!＝错误!错误!，用错误!，错误!表示错误!，则错误!等于（）A.错误!错误!—错误!错误!Ｂ．错误!错误!＋错误!错误!Ｃ．—错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．—错误!错误!—错误!错误!解析：选Ｃ．错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!—错误!）＝—错误!错误!＋错误!错误!.故选Ｃ．２．在△ABC中，AB＝２，BC＝３，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．由题意易得错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!，所以２错误!＝错误!＋错误!错误!，即错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.故λ＋μ＝错误!＋错误!＝错误!.３．（２0２0·广东华附、省实、广雅、深中联考）设a，b是非零向量，记a与b所成的角为θ，下列四个条件中，使错误!＝错误!成立的充要条件是（）Ａ．a∥bＢ．θ＝0Ｃ．θ＝错误!Ｄ．θ＝π解析：选Ｂ．错误!＝错误!等价于非零向量a与b同向共线，即θ＝0，故选Ｂ．４．（２0２0·合肥一模）已知A，B，C三点不共线，且点O满足１6错误!—１２错误!—３错误!＝0，则（）Ａ．错误!＝１２错误!＋３错误!Ｂ．错误!＝１２错误!—３错误!Ｃ．错误!＝—１２错误!＋３错误!Ｄ．错误!＝—１２错误!—３错误!解析：选Ａ．对于A，错误!＝１２错误!＋３错误!＝１２（错误!—错误!）＋３（错误!—错误!）＝１２错误!＋３错误!—１５错误!，整理，可得１6错误!—１２错误!—３错误!＝0，这与题干中条件相符合，故选Ａ．５．如图，在△ABC中，错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则错误!的值为（）Ａ．—３Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．—２解析：选Ｂ．因为错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!—错误!错误!＝错误!×错误!错误!—错误!错误!＝错误!错误!—错误!错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.又错误!＝λ错误!＋μ错误!，所以λ＝错误!，μ＝错误!，所以错误!＝错误!×错误!＝３．故选Ｂ．6．若|错误!|＝|错误!|＝|错误!—错误!|＝２，则|错误!＋错误!|＝________．解析：因为|错误!|＝|错误!|＝|错误!—错误!|＝２，所以△ABC是边长为２的正三角形，所以|错误!＋错误!|为△ABC的边BC上的高的２倍，所以|错误!＋错误!|＝２错误!.答案：２错误!7．已知O为△ABC内一点，且２错误!＝错误!＋错误!，错误!＝t错误!，若B，O，D三点共线，则t的值为________．解析：设线段BC的中点为M，则错误!＋错误!＝２错误!.因为２错误!＝错误!＋错误!，所以错误!＝错误!，则错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.由B，O，D三点共线，得错误!＋错误!＝１，解得t＝错误!.答案：错误!8．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝４，且错误!＝错误!错误!＋λ错误!（λ∈R），则AD的长为________．解析：因为B，D，C三点共线，所以错误!＋λ＝１，解得λ＝错误!，如图，过点D分别作AC，AB 的平行线交AB，AC于点M，N，则错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，因为△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，所以四边形AMDN是菱形，因为AB＝４，所以AN＝AM＝３，AD＝３错误!.答案：３错误!9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝２GE，设错误!＝a，错误!＝b，试用a，b表示错误!，错误!.解：错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!a＋错误!b；错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!a＋错误!b.１0．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设错误!＝m错误!，错误!＝n错误!，m，n∈R，求错误!＋错误!的值．解：设错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝错误!（a＋b），错误!＝错误!—错误!＝n b—m a，错误!＝错误!—错误!＝错误!（a＋b）—m a＝错误!a＋错误!b.由P，G，Q共线得，存在实数λ使得错误!＝λ错误!，即n b—m a＝λ错误!a＋错误!λb，则错误!消去λ，得错误!＋错误!＝３．[综合题组练]１．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋（２λ—１）b，若c与d反向共线，则实数λ的值为（）Ａ．１Ｂ．—错误!Ｃ．１或—错误!Ｄ．—１或—错误!解析：选Ｂ．由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝k d（k＜0），于是λa＋b＝k[a＋（２λ—１）b]．整理得λa＋b＝k a＋（２λk—k）b.由于a，b不共线，所以有错误!整理得２λ２—λ—１＝0，解得λ＝１或λ＝—错误!.又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝—错误!.２．（一题多解）如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝错误!DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N若错误!＝m错误!，错误!＝n错误!，则（）Ａ．m＋n是定值，定值为２Ｂ．２m＋n是定值，定值为３Ｃ．错误!＋错误!是定值，定值为２Ｄ．错误!＋错误!是定值，定值为３解析：选Ｄ．法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由错误!＝n错误!可得错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＝错误!，由BD＝错误!DC可得错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＝错误!，因为错误!＝m错误!，所以m＝错误!，整理可得错误!＋错误!＝３．法二：因为M，D，N三点共线，所以错误!＝λ错误!＋（１—λ）·错误!.又错误!＝m错误!，错误!＝n错误!，所以错误!＝λm错误!＋（１—λ）·n错误!.又错误!＝错误!错误!，所以错误!—错误!＝错误!错误!—错误!错误!，所以错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.比较系数知λm＝错误!，（１—λ）n＝错误!，所以错误!＋错误!＝３，故选Ｄ．３．（２0２0·铜川模拟）在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ＋μ＝________．解析：如图，因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得错误!＝t错误!＝t（错误!—错误!）．因为M是线段AD的中点，所以错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（—错误!＋t错误!—t错误!）＝—错误!（t＋１）·错误!＋错误!t错误!.又错误!＝λ错误!＋μ错误!，所以λ＝—错误!（t＋１），μ＝错误!t，所以λ＋μ＝—错误!.答案：—错误!.４．已知P为△ABC所在平面内一点，错误!＋错误!＋错误!＝0，|错误!|＝|错误!|＝|错误!|＝２，则△ABC的面积为________．解析：因为错误!＋错误!＋错误!＝0，所以错误!＝—（错误!＋错误!）．由平行四边形法则可知，以错误!，错误!为边组成的平行四边形的一条对角线与错误!反向，且长度相等．因为|错误!|＝|错误!|＝|错误!|＝２，所以以错误!，错误!为边的平行四边形为菱形，且除BC外的另一条对角线长为２，所以BC＝２错误!，∠ABC＝90°，所以S△ABC＝错误!AB·BC＝错误!×２×２错误!＝２错误!.答案：２错误!５．在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若c与x a ＋y b（x，y为非零实数）共线，求错误!的值．解：设e１，e２分别为水平方向（向右）与竖直方向（向上）的单位向量，则向量c＝e１—２e２，a ＝２e１＋e２，b＝—２e１—２e２，由c与x a＋y b共线，得c＝λ（x a＋y b），所以e１—２e２＝２λ（x—y）e１＋λ（x—２y）e２，所以错误!所以错误!所以错误!的值为错误!.6．已知O，A，B是不共线的三点，且错误!＝m错误!＋n错误!（m，n∈R）．（１）若m＋n＝１，求证：A，P，B三点共线；（２）若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝１．证明：（１）若m＋n＝１，则错误!＝m错误!＋（１—m）错误!＝错误!＋m（错误!—错误!），所以错误!—错误!＝m（错误!—错误!），即错误!＝m错误!，所以错误!与错误!共线．又因为错误!与错误!有公共点B，所以A，P，B三点共线．（２）若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使错误!＝λ错误!，所以错误!—错误!＝λ（错误!—错误!）．又错误!＝m错误!＋n错误!.故有m错误!＋（n—１）错误!＝λ错误!—λ错误!，即（m—λ）错误!＋（n＋λ—１）错误!＝0．因为O，A，B不共线，所以错误!，错误!不共线，所以错误!所以m＋n＝１．。
高考数学一轮专项复习ppt课件-平面向量中的综合应用(北师大版)
3.(2023·绵阳模拟)已知圆 C 的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，点 P 在直线 y＝ x＋3 上，线段 AB 为圆 C 的直径，则|P→A＋P→B|的最小值为
32 A. 2
√B.3 2
C.4 2
D.3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
因为C为AB的中点， 所以P→A＋P→B＝2P→C， 从而|P→A＋P→B|＝|2P→C|＝2|P→C|， 可知|P→C|的最小值为点 C 到直线 y＝x＋3 的距离，d＝|1－12＋3|＝322， 所以|P→A＋P→B|min＝2×322＝3 2.
下列命题正确的是
√A.若P→A·P→B＝P→B·P→C＝P→C·P→A，则 P 是△ABC 的垂心
B.若A→P＝λ|AA→→BB|＋|AA→→CC|，则直线 AP 必过△ABC 的外心
√C.若|O→A|＝|O→B|＝|O→C|，则 O 为△ABC 的外心 √D.若N→A＋N→B＋N→C＝0，则 N 是△ABC 的重心
(2)(多选)在直角△ABC 中，斜边 AB＝2，P 为△ABC 所在平面内一点，A→P
＝12sin2θ·A→B＋cos2θ·A→C(其中 θ∈R)，则
√A.A→B·A→C的取值范围是(0,4) √B.点 P 经过△ABC 的外心
C.点 P 所在轨迹的长度为 2
√D.P→C·(P→A＋P→B)的取值范围是－12，0
则△ABC 的面积为
2＋ 2 A. 2
√B.1＋2 2
C. 2
D.2
设AB的中点为D， 则O→A＋O→B＋ 2O→C＝0 可化为 2O→D＋ 2O→C＝0， 即为O→C＝－ 2O→D，
∴ O，D，C三点共线且CD⊥AB，
高三数学高考第一轮复习课件：平面向量
第33讲 │ 知识要点
第33讲 │ 双基固化 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第31讲 │ 双基固化
第31讲 │ 双基固化
第31讲 │ 双基固化
第31讲 │ 能力提升 能力提升
第31讲 │ 能力提升
第31讲 │ 能力提升
第31讲 │ 规律总结 规律总结
第32讲 │ 解斜三角形及应用举例
第32讲 解斜三角形及应用举例
第32讲 │ 编读互动 编读互动
第32讲 │ 知识要点 知识要点
第五单元 │ 考点解读
（６）掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点 和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式．
（７）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解 斜三角形．
第五单元 │ 复习策略
复习策略
１．向量具有的几何形式和代数形式的“双重身份”，使 它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．本 单元内容为新增知识点，在近几年的考试中所占分值比例正逐 年加大，分值在１６～１７分，较多情况是２小１大（一选择 一填空，解答题中一部分）或１小２大（选择或填空，解答题 以向量为背景或叙述形式）． ２．本单元主要命题方式及考点： （１）主要考查向量的性质和运算法则以及基本运算技 能．要求掌握和、差、数乘和向量的数量积的运算法则，理解 其直观的几何意义．
第28讲 │ 双基固化
第28讲 │ 双基固化
高考数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算课件文北师大版
4.(必修4P87 A组T6改编)已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,且
O A =a,O B =b,则 D C =
,B C =
(用a,b表示).
【解析】 D C A B O B O A b a , B C O C O B O A O B a b . 答案:b-a -a-b
【解题新思维】 向量共线性质的运用 【结论】 已知 O A O B O C (λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件为λ+μ=1.
【典例】 如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB,
AC于不同的两点M,N,若 A B ＝ m A M ， A C ＝ n A N ， 则m+n的值为
.
世纪金榜导学号
【解析】A O ＝ 1 (A B ＋ A C ) ＝ m A M ＋ n A N .因为M,O,N三点共线,所以 m ＋ n =1,
2
22
22
m+n=2.
答案:2
【一题多解】MN绕O旋转,当N与C重合时,M与B重合,此时m=n=1,所以m+n=2. 答案:2
【迁移应用】
在△ABC中,N是AC边上一点且 AN 1 NC ,P是BN上一点,若 APmAB2AC,
2
9
则实数m的值是
.
【解析】如图,因为 AN 1,PN是C BN上一点.所以
2
A N 1A C ， A P m A B 2A C
3
9
mAB,2因A为NB,P,N三点共线,所以m+
3
2 .1，则m1
3
3
答案: 1
高考数学(北师大版理)一轮复习课件第五章平面向量第1节
[常用结论与微点提醒] 1.若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则O→P＝12(O→A＋O→B).
2.O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ为实数)，若点 A，B，C 共线，则 λ＋μ＝1.
3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考 虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
xA→B＋yA→C，所以 x＝12，y＝－16.
答案
(1)D
1 (2)2
－16
规律方法 1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向 量将加减法相互转化. 2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相 应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.
________；y＝________.
解析 (1)由A→D＝－13A→B＋43A→C，可得 3A→D＝－A→B＋4A→C，即 4A→D－4A→C＝A→D－A→B，则 4C→D
＝B→D，即B→D＝－4D→C，可得B→D＋D→C＝－3D→C，故B→C＝－3D→C，则 λ＝－3.
(2)由题中条件得，M→N＝M→C＋C→N＝13A→C＋12C→B＝13A→C＋12(A→B－A→C)＝12A→B－16A→C＝
4.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致 错误.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若 a∥b，b∥c，则 a∥c.( ) (3)向量A→B与向量C→D是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 b＝λa，反之成立.( )
高考数学一轮专项复习ppt课件-平面向量的概念及线性运算(北师大版)
|4＋7|＝11； 当A→C，A→B不共线时，3＝||A→C|－|A→B||<|B→C|<||A→C|＋|A→B||＝11， 故|B→C| 的取值范围是[3,11].
命题点2 向量的线性运算
思维升华
平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量. (4)|aa|是与非零向量 a 同方向的单位向量.
跟踪训练1 (1)(多选)下列关于向量的说法正确的是
√A.若|a|＝0，则 a＝0
例5 (1)(2023·徐州模拟)已知向量a，b不共线，向量8a－kb与－ka＋b共 线，则k＝__±_2__2___.
因为向量a，b不共线，向量8a－kb与－ka＋b共线， 所以8a－kb＝t(－ka＋b)＝－kta＋tb，t∈R， 故8－＝k＝－tk，t， 解得 k＝±2 2.
(2)已知△ABC 的重心为 G，经过点 G 的直线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E， 若A→D＝λA→B，A→E＝μA→C，则1λ＋1μ＝____3____.
√C.向量A→B与B→A是平行向量
D.平行向量不一定是共线向量
自主诊断
A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误； B项，|a|＝|b|说明a，b的长度相等，不能判断它们的方向，故B错误； C 项，向量A→B与B→A方向相反，是平行向量，故 C 正确； D项，平行向量就是共线向量，故D错误.
跟踪训练 3 (1)(2023·绵阳模拟)已知平面向量 a，b 不共线，A→B＝4a＋6b， B→C＝－a＋3b，C→D＝a＋3b，则