第二章平面问题的复变函数解法-2009分析
复变函数2章
| z | x 2 y 2
为实数绝对值、长度概念的推广。 单位复数：模为1的复数。 0复数的等价条件：模为0。即： z=0|z|=0 两复数z1=x1 + iy1 、 z2=x2 + iy2的距离：
y
( x, y )
x
0
y
d z1 , z 2 z1 z2
z2 z z 1 2
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例 (P9例1.2) 求Arg(2-2i) 、 Arg(-3+4i) 解: 2-2i在第四象限 arg(2-2i)=arctan(-2/2)= -π /4 Arg(2-2i)=arg(2-2i)+2kπ (k=0, 1, 2, ...) = -π /4+2kπ -3+4i在第二象限 arg(-3+4i)=arctan(4/(-3))+π = - arctan(4/3)+π Arg(-3+4i)=arg(-3+4i)+2kπ = - arctan(4/3) +π+2kπ =- arctan(4/3)+(2k+1)π (k=0, 1, 2, ...)
1 2 1 2
模：
z1 z2 z1 z2
z1 / z2 z1 / z2
幅角：Arg(z1·2)= Arg z1+Arg z2 z Arg(z1/z2)= Arg z1-Arg z2 或 arg(z1·2)= Arg z1+Arg z2 + 2kπ z arg(z1/z2)= Arg z1-Arg z2 + 2kπ 乘(除)——模乘(除)、幅角加(减)
特别当z2 为单位复数时，z1·2 为z1 绕原点正向旋转 θ2 ，z2 为 z 旋转乘数。 如z2=i，θ2=π/2， z1·2为z1绕原点正向旋转π/2； z z2=-1，θ2=π， z1·2为z1绕原点正向旋转π。 z 与向量乘积不同！
复变函数的学习要点
第一章 复数与复变函数的学习要点复变函数论是分析学的一个分支，称为复分析．复变函数论中所涉及的函数是自变量与因变量均取复数的函数，称为复变函数．复变函数论主要研究的对象，是在某种意义下可导（或可微）的复变函数，这种函数通常称为解析函数．为了建立研究解析函数的理论基础，我们首先要对复数域和复变函数有一个清晰的认识．本章主要介绍复数的基本概念、复数的基本运算（即四则运算，乘方与开方运算，共轭运算）、复数的三角表示与指数表示（统称极坐标表示）、平面拓扑（即平面点集）的一般概念及其复数表示、复变函数的极限与连续．另外，为了研究的需要，在本章我们还将引入复球面与无穷远点．学习要点及基本要求1．熟悉复数的三种常用的表示（代数、几何和极坐标表示），理解复数的模和幅角的含义，并知道复数0为什么不定义幅角．2．熟练掌握复数的基本运算（四则运算、乘方和开方、复数的共扼），并理解它们的几何意义．掌握复数相等的两种规定：设111i z re θ=，222i z r e θ=，则1212Re Re z z z z =⇔=且12Im Im z z =；1212z z r r =⇔=且122()k k θθπ=+∈（或12z z =且12Arg Arg z z =）． 3．掌握并理解有关复数的如下等式和不等式，并能利用它们解决一些简单的几何问题（例如12arg z z 表示向量2z 到向量1z 的夹角等）． 121212z z z z z z -≤±≤+，Re ,Im Re Im z z z z z ≤≤+；1Re ()2z z z =+，1Im ()2z z z i=-，2z z z =⋅； 1212Arg Arg Arg z z z z ⋅=+，1122Arg Arg Arg z z z z =-（其中12,0z z ≠）；1Arg Arg z z =-，Arg Arg z z =-，1Arg z n=（其中0z ≠）． 4．掌握直线和圆周方程的如下几种常用的复数表示：直线的几种复数表示：（1）一般形式： 0z z d ββ++=，其中β是不为零的复常数，d ∈．（2）过两点,()a b a b ≠的直线：Im 0z a b a-=-（复数方程）； ()z a t b a =+-，t -∞<<+∞（复参数方程）．若限制01t ≤≤，则上面的参数方程为连接两点,()a b a b ≠的直线段的参数方程．（3）两点,()a b a b ≠的连线段的垂直平分线：z a z b -=-或1z a z b -=-． 圆周的几种复数表示：（1）一般形式：0az z z z d ββ⋅+++=，其中β是复常数，,a d ∈，2ad β>．（2）不共线三点,,a b c 所确定的圆周：Im 0a zc z a bc b--=--． （3）以0z 为心，R 为半径的圆周：0z z R -= （复数方程）， 0i z z R e θ=+⋅，02θπ≤≤或πθπ-≤≤（复参数方程）． （4）以两点,()a b a b ≠为对称点的圆周：z a r z b-=-，(0,1)r r >≠． 5．理解复数在球面上的几何表示（即单位球面上的球极投影），非正常复数∞的几何表示（即单位球面上的北极点），复平面和扩充复平面的几何表示（即分别为复球面去掉北极点和复球面），并掌握复数与其球极投影点的坐标之间的如下关系：设z ∈，(,,)Z x y u 为z 在复球面222:1S x y u ++=上的球极投影，则1x iy z u+=-（已知(,,)Z x y u ，可求z ）， 22221(1)11z zx z z z y i z z u z ⎧+⎪=⎪+⎪+⎪=⎨+⎪⎪-⎪=⎪+⎩（已知z ，可求(,,)Z x y u ）． 6．会用复数来表示一些平面点集，并会判断一个平面点集是否区域、单连通区域和多连通区域．7．理解简单（闭）曲线、光滑曲线和分段光滑曲线的含义．8．掌握复变函数的极限和连续的概念，能对照数学分析中极限和连续的性质，平行地写出复变函数的极限与连续的相应性质（比如，极限和连续的四则运算性、极限和连续的局部不等性（由于复数没有大小的规定，因此，此性质是与局部保号性相对应的性质）、极限与连续的局部有界性、极限存在的柯西准则、极限的归结原则和复合函数的连续性等），并能熟练地运用四则运算性和复合函数的连续性求函数的极限或判断函数的连续性．9．正确理解并熟练掌握复变函数的极限和连续与其实部、虚部两个二元实函数的极限和连续的等价关系，能利用这种关系借助二元实函数的极限或连续简洁地求复变函数的极限或讨论复变函数的连续性；能利用这种关系借助有界闭集上二元连续函数的整体性质简洁地证明有界闭集上复变连续函数的整体性质（比如：有界性，最大模和最小模的存在性，一致连续性）．另外，关于对具体函数的一致连续性的讨论，大家还要掌握利用下面的结论来判断函数不一致连续的有效方法，结论如下：复变函数()f z 在点集E ⊂上一致连续⇔对任意两个点列n z ，n z 'E ∈，只要0()n n z z n '-→→∞，总有lim ()()0n n n f z f z →∞⎡⎤'-=⎣⎦． 复变函数()f z 在点集E ⊂上不一致连续⇔存在两个点列n z ，n z 'E ∈，虽然0()n n z z n '-→→∞，但 lim ()()0n n n f z f z →∞⎡⎤'-≠⎣⎦． 10．掌握讨论0lim ()z z z Ef z →∈不存在的如下有效方法： 设l 是点集E ⊂中过0z 的一条曲线（0z 是E 的聚点），1l 和2l 是点集E 中过0z 的两条不同曲线，若0lim ()z z z l f z →∈不存在或01lim ()z z z l f z →∈，02lim ()z z z l f z →∈都存在但极限值不相等，则0lim ()z z z E f z →∈一定不存在．第二章 解析函数的学习要点解析函数是复变函数论研究的中心和主要对象，它是一类具有某种特性的可微（可导）函数，并在理论和实际问题中有着广泛的应用．本章，首先，从复变函数的导数或可微的概念出发，引入解析函数，导出复变函数可导和解析的主要条件——柯西—黎曼条件，并给出判断函数可导和解析的一类充分必要条件（它是用复变函数的实部和虚部两个二元实函数所具有的微分性质来表达的充要条件）；其次，介绍几类基本初等解析函数，这些函数实际上是数学分析中大家所熟知的初等函数在复数域上的推广，并研究它们的有关性质及函数值的算法——尤其是多值函数的分支函数的函数值的算法（即已知初值求终值的计算公式提供的算法）．学习要点及基本要求1．能正确地理解复变函数可微（可导）和解析的概念，并弄清下面几种关系：● 在一点连续，可微与解析的关系（可微⇒⇐连续；解析⇒⇐可微）；● 可微与解析两个概念之间的联系和差异；● 可微和解析与复变函数的实部、虚部两个二元实函数可微之间的联系和差别（进而体会实部、虚部两个二元实函数所满足的柯西—黎曼条件的作用）．2．熟习复变函数导数和解析的运算法则（如四则运算法则，复合函数的求导法则）．3．能熟练运用实部、虚部两个二元实函数所满足的条件来讨论具体函数的可微性和解析性；能熟练地运用复变函数导数和解析的运算法则，并借助一些已知的解析函数来判断某些复变函数的解析性．下面列举的几类具体函数，其可微性和解析性情况及讨论方法希望大家要熟习： ● ()f z z =；()f z z =；()Re f z z =；()Im f z z =都在上处处连续但处处不可微，从而它们都在上处处不解析． ● 2()f z z =；2()Re f z z =在都在上处处连续但仅在原点0z =可微，从而它们都在上处处不解析；2()f z z a =-；2()Re ()f z z a =-在都在上处处连续但仅在一点z a =可微，从而它们都在上处处不解析． ● ()f z c ≡（常函数）；多项式函数101()n n n P z a z a z a -=+++；指数函数z e ；正弦和余弦函数sin z 和cos z ；双曲正弦和余弦函数cosh z 和sinh z 都在上解析（即都是整函数，所谓整函数是指在上解析的函数）．● 有理函数101101()n n n m m ma z a z a R zb z b z b --+++=+++；正切、余切、正割和余割函数（即tan z 、cot z 、sec z 和csc z ）都在其自然定义域内解析． 4．熟练掌握函数可微和解析的充要条件以及在可微情况下，函数导数用实或虚部的偏导数来计算的计算公式：函数()f z u iv =+在点z x iy =+可微，则()u v u u v v v u f z i i i i x x x y y x y y∂∂∂∂∂∂∂∂'=+=-=+=-∂∂∂∂∂∂∂∂． 理解柯西—黎曼条件在函数可微或解析中的地位和作用，并能熟练地运用柯西—黎曼条件判别给定的函数的可导性和解析性．5．归纳区域内解析函数为常函数的若干等价条件，并达到下面的目的：● 通过体验这些等价条件的证明进一步体会柯西—黎曼条件在讨论解析函数性质中的作用．● 通过这些等价条件，利用逆向思维的思想（反证法），简洁的判断某些函数的不解析性，例如，z ，Re z ，Im z ，z e ，sin z 等都在复平面上不解析；一般地，若()f z 在区域D 内解析，且()f z 不恒为常数，则Re ()f z ，Im ()f z ，()f z 等都在D 内不解析．6．熟练地掌握几类初等单值解析函数（如：常函数，多项式函数，有理函数，复指数函数，复三角函数，复双曲函数以及这些函数经过有限次的四则运算或函数的复合所得的函数），以及这些函数的主要性质．7．通过幅角函数、对数函数、根式函数和一般幂函数学习，达到下面的目的：（1）初步了解和体会研究初等多值函数的基本思想（即将其分支函数单值化）；初步掌握将初等多值函数单值化的基本方法（即寻找支点——产生多值的客观原因，再取连接支点的适当支割线——消除多值实现原因的方法）；（2）了解支点的特点（即动点单独围绕支点变化时，函数值会发生变化）——这是判断支点的依据，了解支割线的特点（即将函数的定义范围沿支割线割开，能限制动点在割开的定义范围内不可能再围绕各支点变化）——这是作支割线的依据，并理解它们在将多值函数单值化中的作用；（3）知道多值解析函数的含义（即在单值化区域内，每个分支函数都是单值解析函数），据此说明为什么教材中涉及的具体多值函数除幅角函数外，其他的都是多值解析函数．8．熟练掌握将幅角函数，对数函数，一般幂函数（包括根式函数w =）以及稍复杂一点的两类常用根式类函数w 和w分出它们的单值分支函数，并会利用下面列举的已知初值在连续变化的意义下求终值的公式，快速地求出满足初值条件要求的单分支函数在另一指定点处的函数值．五类已知初值在连续变化意义下求终值的公式（注意：这些公式也是判断支点的手段；这些公式中后面的四类在今后的函数值的计算中经常用）：（1）一般公式（2个）：● 设()f z 是某多值函数在区域G 内的分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定，比如G 是单值化区域，()f z 就是单值的，否则()f z 就是多值的），01,z z G ∈，01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，若已知()f z 在0z 点的值为0()f z （称为初值），则此分支函数在另一点1z 处的值1()f z （称为终值）要按下面的公式计算：10()()()C f z f z f z =+∆其中()C f z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，()f z 的连续改变量．● 在上述公式中，若进一步还有()0f z ≠（z G ∈），则借助复数的极坐标表示以及下面的幅角类函数的已知初值求终值的公式，还可得下面的一般公式：设()f z 是某多值函数在区域G 内的分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），且()0f z ≠（z G ∈），01,z z G ∈，01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，若已知()f z 在0z 点的值为0arg ()00()()i f z f z f z e =（称为初值）， 则此分支函数在另一点1z 处的值1()f z （称为终值）还可按下面的公式计算：0arg ()arg ()11()()C i f z i f z f z f z e e ∆=⋅，其中0arg ()i f z e 是初值0arg ()00()()i f z f z f z e =中的因子0arg ()i f z e ，arg ()C f z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg ()f z 的连续改变量．（2）幅角类函数的公式（2个）：● 设arg z 是幅角函数rg A z 在区域{}\0G ⊂内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知arg z 在某一点0z G ∈的值为0arg z ，则此分支函数在另一点1z G ∈的值1arg z 要按下面的公式计算：10arg arg arg C z z z =+∆其中01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，arg C z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg z 的连续改变量．● 设()f z 在区域G 内连续，且()0f z ≠，arg ()f z 是rg ()A f z 在区域G 内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知arg ()f z 在某一点0z G ∈的值为0arg ()f z ，则此分支函数在另一点1z G ∈的值1arg ()f z 要按下面的公式计算：10arg ()arg ()arg ()C f z f z f z =+∆其中01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，arg ()C f z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg ()f z 的连续改变量．（3）对数类函数的公式（2个）：● 设ln ln arg z z i z =+（称为确定分支的结构表示）是对数函数Ln z 在区域{}\0G ⊂内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知ln z 在某一点0z G ∈的值为000ln ln arg z z i z =+，则此分支函数在另一点1z G ∈的值1ln z 要按下面的公式计算：110ln ln arg arg C z z i z i z =+∆+其中{}00arg Im ln z z =，01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线， arg C z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg z 的连续改变量．● 设()f z 在区域G 内连续，且()0f z ≠，ln ()ln ()arg ()f z f z i f z =+是Ln ()f z 在区域G 内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知ln ()f z 在某一点0z G ∈的值为000ln ()ln ()arg ()f z f z i f z =+，则此分支函数在另一点1z G ∈的值1ln ()f z 要按下面的公式计算：110ln ()ln ()arg ()arg ()C f z f z i f z i f z =+∆+其中{}00arg ()Im ln ()f z f z =，01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，arg ()C f z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg ()f z 的连续改变量．（4）根式类函数的公式（2个）：● arg zi n e =（称为确定分支的结构表示）是根式函数在区域{}\0G ⊂内的0z G ∈0arg z i n e =，则此分支函数在另一点1z G ∈要按下面的公式计算：0arg argC z z i i n n e e ∆⋅其中0arg z i n e 0arg z i n e =中的因子0arg z i n e ，01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，arg C z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg z 的连续改变量．● 设()f z 在区域G 内连续，且()0f z ≠arg ()f z i n e =是根式类函数在区域G 0z G ∈的值为0arg ()f z i n e ，则此分支函数在另一点1z G ∈要按下面的公式计算：0arg ()arg ()C f z f z i i n n e e ∆=⋅其中0arg ()f z i n e 0arg ()f z i n e 中的因子0arg ()f z i ne ，01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，arg ()Cf z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg ()f z 的连续改变量．特别，取()()f z P z =（多项式函数）或()()f z R z =（有理函数）时，上述公式就是两类常用根式类函数分值函数已知初值求终值的公式．（5）一般幂函数的公式：● 设ln arg z i zz e e ααα=⋅（称为确定分支的结构表示）是一般幂函数在区域{}\0G ⊂内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知z α在某一点0z G ∈的值为00ln arg 0z i z z e e ααα=⋅，则此分支函数在另一点1z G ∈的值1z α要按下面的公式计算：10ln arg arg 1C z i z i z z e e e αααα∆=⋅⋅其中0arg i z e α是初值00ln arg 0z i z z e e ααα=⋅中的因子0arg i z e α（具体可用00arg 0ln i z z z e e ααα=计算），01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，arg C z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg z 的连续改变量．9．在8涉及的计算中，幅角的连续改变量的计算是关键，下面列举的幅角连续改变量的计算公式是具体计算中常用的（希望熟练掌握）：设C 是一条有向简单曲线，1()f z 和2()f z 在C 上连续，且1()0f z ≠，2()0f z ≠，则 1212arg ()()arg ()arg ()C C C f z f z f z f z ∆=∆+∆；1122()arg arg ()arg ()()C C C f z f z f z f z ∆=∆-∆；11arg ()C C f z n∆=∆． 特别，取1101()()()()m k k m f z P z a z a z a ==--，则注意到0arg 0C a ∆=，有11011arg ()arg ()()arg()m mk k C C m i C i i f z a z a z a k z a =∆=∆--=∆-∑ 取1101101()()()()()()()m n k k m n a z a z a P z f z Q z b z b z b ββ--==--，则注意到0arg 0C a ∆=，0arg 0C b ∆=，有111011101()arg ()arg()()()argarg()arg().()()mn C C k k m nm C i C i j C j i j n P z f z Q z a z a z a k z a z b b z b z b βββ==∆=∆--=∆=∆--∆---∑∑第三章 复积分的学习要点复变函数的积分（以下简称为复积分）是研究解析函数的重要工具之一．用这种工具我们可以证明解析函数的许多重要性质．例如，解析函数导数的连续性，解析函数的无穷可微性等，这些表面看起来只与微分学有关的命题，都可用复积分这一工具得到比较好地解决．另外，对解析函数，我们完全可以通过函数的连续性，再结合函数的适当积分特征（积分与路径无关）来加以刻画，从而使对解析函数研究摆脱以往过份依赖实、虚部二元实函数，受数学分析知识的限制这种尴尬的境地，为解析函数的研究开辟了新的途径和新的思路．实际上，解析函数的许多进一步研究，正是在有了积分定义法之后，才得以进一步深入．学习要点及基本要求1．能正确地理解复变函数积分的定义，掌握复积分与实、虚部二元实函数所产生的两个第二型曲线积分的关系，从而真正理解为什么复积分虽具有形式上的一元性，但实质上是与二元实函数的第二型线积分联系在一起的，具有第二型线积分的特点．复积分与实积分的具体关系如下：函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+定义在平面有向光滑或逐段光滑曲线C 上，则()f z 沿C 可积或()d Cf z z ⎰存在⇔(,)d (,)d Cu x y x v x y y -⎰和(,)d (,)d Cv x y x u x y y +⎰都存在．此时还有()d (,)d (,)d (,)d (,)d CCCf z z u x y x v x y y i v x y x u x y y =-+⋅+⎰⎰⎰．2．熟练掌握复积分的若干基本性质以及基本性质的应用（比如：利用积分的估值性，估计复积分的模，证明一些与积分有关的极限问题等）．3．熟练掌握复积分计算的两种基本方法——参数方程法和牛顿－莱布尼兹公式法，并能用这两种方法熟练计算复积分．● 熟记复积分的参数方程计算公式：记积分路径C （C 为光滑曲线）的参数方程为：()z z t =，0t t T ≤≤，其中00()z z t =，()Z z T =()f z 在积分路径C 上连续，则()d [()]()d T Ct f z z f z t z t t '=⋅⎰⎰，其中右边定积分上、下限要根据曲线C 的方向确定．另外为了能用上述公式顺利地进行计算，还要能正确写出一些常见曲线的参数方程，例如：（1）连接两点1z 和2z 的直线段12z z 的参数方程：121()z z z z t =+-，01t ≤≤． （2）圆周0z z ρ-=的参数方程0i z z e θρ=+，02θπ≤≤或πθπ-≤≤． ● 熟记复积分的牛顿－莱布尼兹公式：设函数()f z 在区域D 内连续，0z ，Z D ∈，C 是区域D 内从0z 到Z 的任意积分路径（要求是光滑或逐段光滑的曲线），若()f z 在区域D 内存在原函数()F z （即()()F z f z '=，z D ∈），则0()d ()d ()()()Z Zz z Cf z z f z z F z F Z F z ∆===-⎰⎰．这里值得注意的是：10 用牛顿－莱布尼兹公式计算积分的关键是：找到被积函数()f z 在包含积分路径C 的某区域内的原函数．20 当()F z 为某多值函数在包含积分路径C 的某单值化区域内的单值解析分支函数时，()F Z 的值一般不能随便取，要根据0()F z 的值（常常作为初值）以及z 沿C 从0z 连续变到Z 来确定（即分支函数的已知初值求终值的公式来确定）．4．熟悉并掌握几个常用典型的积分：① 若C 是平面上的一条围线，a C ∉，记()I C 表示C 的内部，()W C 表示C 的外部，则()1()1()2,1d 0()0nCa I C n a I C n a W C n Zi z z a π∈=∈≠∈∈⎧⎪=⎨-⎪⎩⎰，，，，， ． ② 若C 是平面上以a 为心，R 为半径的一段圆弧，其参数方程为：i z a R e θ=+⋅， （1202θθθπ≤≤≤≤），方向是θ从1θ到2θ（即θ增加的方向或逆时针方向），则2121(1)(1)111(),1d 1(),()(1)当当i n i n nCn n n i z e e z a n R θθθθ---=≠⋅-⎧⎪=⎨⋅--⎪-⎩⎰．特别，当C 为整个圆周z a R -=时，此时02θπ≤≤，112,1d 0,()nCn n i z z a π=≠⎧=⎨-⎩⎰当当． ③0d Cz Z z =-⎰，221d ()2C z z Z z =-⎰，其中C 为从0z 到Z 的任意光滑或逐段光滑曲线．特别当0z 与Z 重合（0Z z =），即C 为简单闭曲线时，d 0Cz =⎰，d 0Cz z =⎰．④ 要学会善于利用积分曲线的方程，对被积函数进行简化，例如当积分曲线为圆周2z R =时，可利用22R z z z ==⋅对被积函数进行简化等．5．了解并熟悉柯西（积分）定理的各种形式，理解各种形式的条件和结论的含义，理解为什么积分与路径无关能成为单连通区域内解析函数的积分特征；熟练掌握运用各种形式的柯西（积分）定理计算复积分的方法（理解各种形式的柯西定理在计算积分中所起的作用）；初步掌握利用复积分来解决某些定积分问题的方法，体会这种方法的基本思路：即先选择适当的复积分，通过复积分的方法计算出积分的值，然后再利用参数方程法将复积分转化为实积分，通过比较实部和虚部，达到解决实积分的目的）．初步掌握利用柯西定理来解决解析函数的原函数的存在性问题，关注以下三个要点：生的变上限函数．内的一个原函数．一个原函数；当解析函数在此区域内的积分与路径有关时，它一定没有原函数，此时变上限函数是多值函数．附：定理3.3 若函数()f z 在单连通区域D 内解析，0z D ∈为取定的一点，则区域D 定义的变上限函数0()()d Z z F z f ξξ=⎰在D 解析，且为()f z 在D 内的原函数，即()()F z f z '=，z D ∈．定理3.4 若函数()f z 在单连通区域D 内连续，且积分与路径无关，0z D ∈为取定的一点，则区域D 定义的变上限函数0()()d Z z F z f ξξ=⎰在D 解析，且为()f z 在D 内的原函数，即()()F z f z '=，z D ∈．问题思考：若解析函数()f z 在某多连通区域D 内的变上限函数0()()d Z z F z f ξξ=⎰是多值函数（即()f z 在D 内的积分与路径有关），试用考虑如何将0()()d Z z F z f ξξ=⎰在D 内单值化？并由此再体会第二章中，为什么将多值函数单值化时，要用割线将定义域割开，其道理是什么？6．能正确地理解柯西（积分）公式的含义，掌握其证明的方法及其如下统一形式：设D 为有界区域，C 为其边界，若()f z 在D 解析，在闭区域D D C =+上连续（即()f z 可以连续到C 上），则(),1()d 20,C f z zD f i z z D D Cξξπξ∈⎧⎪=⎨-∉=+⎪⎩⎰其中1()d 2C f i zξξπξ-⎰也称为柯西型积分．并能熟练地应用柯西（积分）公式或其统一形式来计算复积分或某些其它的值（如()f z 在某一点的导数值等）．7．熟练掌握解析函数的高阶导数公式，并能熟练地运用高阶导数公式来计算复积分或证明某些定积分问题（如：220(21)!!cos d 2(2)!!n n n πθθπ-=⋅⎰等）．8．掌握解析函数的无穷可微性、复积分的柯西不等式、关于整函数的刘维尔定理及其刘维尔定理的简单应用（如：证明某些整函数为常函数，证明代数学基本定理等）． 9．掌握莫勒拉定理以及解析函数的积分定义法． 10．归纳复积分()d Cf z z ⎰的常用计算方法：当C 是非封闭简单曲线时，主要有下面的方法：① 利用C 的参数方程，将复积分()d Cf z z ⎰化为关于参数的定积分；② 补充适当积分路径与原积分路径合成封闭曲线，再用柯西定理或柯西公式以及参数方程法．此时要求补充的积分路径尽可能简单，以便在补充的积分路径上的复积分计算起来比较容易；③ 利用复积分的牛顿—莱布尼兹公式． 当C 是简单闭曲线时，主要有下面的方法：① 利用C 的参数方程，将复积分()d Cf z z ⎰化为关于参数的定积分；② 利用柯西定理或柯西（积分）公式或高阶导数的积分公式． ③ 利用教材第3章习题3的第11或12题． 11．单连通区域内积分与路径无关的两种说法：设D 是单连通区域，函数()f z 定义在D 上，则下面的两种说法是等价的：①对于D 内任意两点0z ，1z ，以及D 内任意一条以0z 为起点，1z 为终点的简单曲线C ，总有()d Cf z z ⎰的值只与0z 和1z 有关，而与D 内从0z 到1z 的简单曲线C 无关（即积分与路径无关）．②对于D 内任意的简单闭曲线C ，总有()d 0Cf z z =⎰．注意：这两种说法也适合于多连通区域的情形．第四、五章 复级数的学习要点复级数也是研究解析函数的一种重要的工具，实际上，解析函数的许多重要性质，还需要借助适当的级数才能得到比较好的解决。
高中数学复变函数的教学入门与实例分析
高中数学复变函数的教学入门与实例分析在高中数学的学习中，复变函数是一个相对较新且具有一定挑战性的领域。
对于学生来说，理解和掌握复变函数的概念和应用并非易事。
然而，通过恰当的教学方法和丰富的实例分析，能够帮助学生逐步建立对复变函数的认识，为进一步的数学学习打下坚实的基础。
一、复变函数的基本概念复变函数是指以复数为自变量和因变量的函数。
复数的形式通常表示为＄z ＝ x ＋ iy$，其中＄x$ 为实部，＄y$ 为虚部，＄i$ 为虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
复变函数可以表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄w ＝ u ＋ iv$ 也是复数，＄u$ 和＄v$ 分别是其实部和虚部。
在引入复变函数的概念时，需要让学生明确复数与复平面的对应关系。
复平面是由实轴和虚轴组成的平面，复数可以在这个平面上表示为一个点。
二、复变函数的导数与实函数类似，复变函数也有导数的概念。
但复变函数的导数定义比实函数更为严格。
对于复变函数＄f(z)＄，如果极限＄＼lim_{＼Delta z ＼to 0} ＼frac{f(z ＋＼Delta z) f(z)｝｛＼Delta z}＄存在且与＄＼Delta z$ 的趋近方式无关，则称＄f(z)＄在点＄z$ 处可导。
可导的复变函数具有一些特殊的性质，例如柯西黎曼方程：若＄f(z) ＝ u(x,y) ＋ iv(x,y)＄可导，则＄＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}＄，＄＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＄。
三、复变函数的积分复变函数的积分是沿着复平面上的曲线进行的。
设＄f(z)＄是定义在区域＄D$ 内的复变函数，＄C$ 是＄D$ 内的一条有向光滑曲线，复变函数的积分定义为＄＼int_C f(z) dz ＝＼lim_{＼lambda ＼to 0} ＼sum_{k=1}＾n f(＼zeta_k) ＼Delta z_k$，其中＄＼lambda$ 是曲线＄C$ 的分划的最大弦长，＄＼zeta_k$ 是曲线＄C$ 上的点，＄＼Delta z_k$ 是曲线段的长度。
复变函数2 解析函数
u x = 1, u y = 0 , v x = 0 , v y = − 1 ⇒ u x ≠ v y u y ≠ − v x
故 w = z 在复平面内处处不可导, 处处不解析；
2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以
u x = 2 x , u y = 0, vx = y , v y = x
f ( z )在z0的某邻域内可导. f ( z )在z 0 解析：
z 0 称为解析点， 否则称为奇点 。
f ( z )在D内处处解析. f ( z )在区域D内解析：
函数在一点解析 ⇒ 在该点可导。 反之不一定成立。 在区域内： 解析 ⇔ 可导 . 例如 f (z) =
2
z2
在整个复平面上解析； w = f ( z) = z
证明：f ( z )在D内解析 ⇒
u x = v y , v x = −u y ,
⇒ u xx = v xy , u yy = −v xy ⇒ u xx + u yy = 0. 同样可得 vxx + v yy = 0.
且u, v有任意阶连续偏导数
注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数 u, v, f ( z ) = u + iv 不一定是解析函数 . 例如： f ( z ) = z 2 = x 2 − y 2 + i 2 xy 是解析函数，
当且仅当 x = y = 0时, u x = v y , u y = − v x , 因而函数仅在z = 0可导, 但在复平面内任何地方都不 解析.
例题3 f ( z ) = u + iv是区域D内的解析函数， 且 f ′( z ) ≠ 0
第二章 复变函数
第二章 复变函数:第二节：初等函数1、指数函数：我们要把实指数函数的定义扩充到整个复平面上，使得复变数z=x+iy 的函数f (z )满足下列条件：（1）x e x f R x =∈∀)(,；（2）f (z )在整个复平面C 上解析；（3）C ,21∈∀z z ，有)()()(2121z f z f z z f =+； 则可以证明，)sin (cos )(y i y e z f x +=，事实上，由(3)及(1)有)()()(iy f e iy x f z f x =+=令 ),()()(y iB y A iy f +=其中A (y )及B (y )是实值函数，所以)()()(y B ie y A e z f x x +=显然，y y A cos )(=及y y B sin )(=满足上面的条件。
若,,222111iy x z iy x z +=+=则有)()]sin()[cos()sin (cos )sin (cos )()(2121212211212121z z f y y i y y e y i y e y i y ez f z f x x x x +=+++=++=+ 因此，定义复指数函数，为)sin (cos exp y i y e z e w x z +==由此有Euler 公式：y i y e iy sin cos +=；指数函数的基本性质：（4）C ∈∀z ，0≠z e ；（5）指数函数z e w =在整个复平面内有定义并且解析，z z e e =)'(，指数函数z e w =是实指数函数在复平面上的解析推广；（6）Euler 公式：y i y e iy sin cos +=；（7）从定义得||x z e e =， ,2,1,02±±=+=k k y Arge z ，π利用Euler 公式，得到复数的指数表示式：若复数z 的模为r ，幅角为θ，则有θθθi re i r z =+=)sin (cos ；（8）指数函数是周期i π2为得周期函数；（9）指数函数的几何映射性质：由于指数函数有周期i π2，所以研究当z 在带形}2Im 0C,|{π<<∈=z z z B 中变化时，函数z e w =的映射性质。
复变函数与积分变换 第二章第四节平面场的复势_复变函数论
z
z
复势为
f
( z)
2eiLn
1 z
c,
(c
c1
ic2
)
于是力函数为 u( x, y) 2eArgz c1,
势函数为
v(
x,
y)
2eln
1 z
c2 .
如果导线竖立在 z z0,
复势为
f (z) 2eiLn 1 c. z z0
四、小结与思考
了解复变函数可表示平面向量场, 对于某单 连通域内给定的平面无源无旋场, 可以作出一解 析函数(称为该场的复势), 统一研究该场的分布 和变化情况.
反之,已知一个复变函数w
u(
x,
y)
iv( x,
y),
也
可作出对应的平面向量场 A u( x, y)i v( x, y) j .
例如, 一个平面定常流速场(如河水的表面)
v vx ( x, y)i vy ( x, y) j
可以用复变函数v v(z) vx ( x, y) ivy ( x, y) 表示,
o
x
等势线是直线族 x c2.
例2 在《场论》中将散度div v 0的点统称为
源点
(有时称使
div
v
0
的点为源点,
而使
div
v
0的点为洞). 试求由单个源点所形成的定常
流速场的复势, 并画出流动图象. 解 不妨设流速场v内只有一个位于坐标原
点的源点, 而其他各点无源无旋, 在无穷
远处保持静止状态.
流过圆周的流量为
N
v
r
0ds
g(r)r0 r0ds 2 z g( z ).
z r
z r
复变函数论第2章第1节
所以 ， 函数 f ( z ) z 在 z 平面上处处不可微.
练习 : 证明函数 f ( z ) | z |2 在 z 0 处可导，且导数等于 0. 8
2 解析函数及其简单性质
定义2.2 如果函数 f ( z )在 区域 D内可微 ,则称 f ( z )
为区域 D 内的 解析函数 (全纯函数或正则函数),
证明： 由于 f ( z z ) f ( z ) z z z lim lim z 0 z 0 z z x iy z z z z lim lim lim x 0 x iy z 0 z 0 z z
y 0
其极限为1 ; 当 z 取实数 ( y 0) 趋于零时， 其极限为 1 . 当 z 取纯虚数 (x 0) 趋于零时，
当点 z z 沿平行于实轴的方向 (y 0 , x 0) 趋于点 z 时 , ( 2.4) 成为
x u x v lim i lim f ( z ) x 0 x x 0 x
u v 且有 , 必存在， 于是知 x x u v i f ( z ) x x
u v i f ( z ) y y
( 2.6)
16
u v u v i f ( z ) ( 2.5) i f ( z ) ( 2.6) x x y y
比较 ( 2.5) 及 ( 2.6) 式 ,可知 f ( z ) 可微条件为
u v u v , . x y y x
( 2.5)
15
u i v lim f ( z ) ( 2.4) x 0 x i y y 0
同样，当点 z z 沿平行于虚轴的方向 ( x 0 ,
y 0)趋于点 z 时 , ( 2.4) 成为
平面弹性力学的复变函数解法
又因为应力函数必须为实函数，则
F = 2 Re[F1 ( z1 ) + F2 ( z 2 )]
双协调方程的求解
为表示方便，令
dF1 dF2 Φ1 ( z1 ) = , Φ 2 (z2 ) = dz1 dz 2
则应力分量为
2 ' ' σ x = 2 Re[µ12Φ1 (z1 ) + µ2 Φ2 (z 2 )] ' ' σ y = 2 Re[Φ1 (z1 ) + Φ2 (z 2 )] ' ' τ xy = 2 Re[µ1 Φ1 (z1 ) + µ2Φ2 (z 2 )]
将Z1和Z2平面上的椭圆边界映射为单位圆边界 且 ζ 1 和ζ 2 在边界上值均为 eiθ
无限大带孔平板内边界条件
经过上述变换后，我们要求的应力函数即为 ζ 平面上以原 点为圆心的单位圆外的全纯函数 复变函数中可以将某一在去心邻域内解析的函数唯一地展 开成洛朗级数 特别地，对于一个在 ζ ≥ 1 域内解析的函数我们可以写 为
µ1 = α + βi , µ 2 = γ + δi , µ1 = α − βi , µ 2 = γ − δi
2）复参数成对存在
µ1 = µ 2 = α + β i , µ1 = µ 2 = α − β i
双协调方程的求解
如果设 D4 F = ϕ3 , D3 D4 F = ϕ2 , D2 D3 D4 F = ϕ1 则 ∂ϕ ∂ϕ D1ϕ1 = 1 − µ1 1 = 0 ∂y ∂x 积分上式得到 ϕ 1 = f1 ( x + µ 1 y )
平面弹性力学的复变 函数解法
汇报人：舒怀
平面弹性力学的复变函数解法
平衡微分方程
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第二章 平面裂纹问题的复变函数解法第1节 绪论如果二元实变函数()y x U ,在区域D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯（Laplace ）方程02=∇U⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∇22222y x则称()y x U ,为区域D 内的调和函数。
弹性力学的分析表明, 平面问题可以归结为求解满足双调和方程022=∇∇U 的应力函数U ，并使其在边界上满足全部边界条件。
双调和方程022=∇∇U 的解U 为双调和函数。
在数学中，复变解析函数的实部和虚部均为调和函数(满足02=∇U )。
而利用复变解析函数来讨论含孔、裂纹等结构的平面问题比较方便。
1．复变函数的基础知识复数a ib + 1-=i 为虚单位复变数（量）iy x z += 实变数x 和y 分别称为复变数z 的实部和虚部，记为：z x Re =，z y Im =则有：z i z z Im Re += (2-1-1) z 的极坐标形式为()θθsin cos i r z +=θi re =z 的共轭复数()θθθi re i r iy x z -=-=-=sin cos复变函数以复变量iy x z +=为自变量的函数, 称为复变函数。
复变函数也可以看成是由它的实部f Re 和虚部f Im 所组成，有：()Re Im f z f i f p iq =+=+()iq p f i f z f -=-=Im Re (2-1-2)例如 ()()22222y ixy x iy x z z f -+=+==则有 22Re y x f p -==，xy f q 2Im ==几何上，可以将函数()z f 看成复数平面z 上的点),(y x 到另一复数平面W 上的点),(q p 的变换, 变换关系如图2-1-1所示。
p(p,q)q W0 0y z (x,y)图2-1-1 复数平面变换图复变函数的导数设复变函数)(z f 在某一点的领域内有定义，取z ∆为复值增量，若()()zz f z z f Lim z ∆-∆+→∆0 (2-1-3) 极限存在，则)(z f 在点z 处可导，并记为()z f '，即()z f '为)(z f 在点z 处的导数。
注意在复变函数可导的定义中，0→∆z 的方式应该是任意的，定义式（2-1-3）极限值存在的要求与0→∆z 的方式无关。
复变函数)(z f 的实部f Re 和虚部f Im 对x ，y 足够高阶的偏导数，还不能说明极限式（2-1-3）一定存在。
例如33Im Re )(iy x f i f z f +=+=若取x z ∆=∆，则()()()x iy x iy x x Lim z z f z z f Lim x z ∆--+∆+=∆-∆+→∆→∆333300 ()23220330333x xx x x xx Lim x x x x Lim x x =∆∆+∆+∆=∆-∆+=→∆→∆ 若取y i z ∆=∆，则()()()233003y y i iy y y i Lim z z f z z f Lim y z =∆-∆+=∆-∆+→∆→∆ 可见，当z ∆取不同值时，（2-1-3）式所示的极限并不相等，说明此极限并不存在。
由复变函数可导定义的这一特点出发，可导出复变函数可导的充分与必要条件。
设f Re 和f Im 在区域D 内有对y x ,的一阶连续偏导数，则函数()z f 在D 内一点z 处可导的充分与必要条件为y f x f ∂∂=∂∂Im Re （2-1-4） yf x f ∂∂-=∂∂Re Im （2-1-5） 这一条件称为柯西—黎曼（Cauchy —Riemann ）条件。
事实上，若取x z ∆=∆，则有()()()xf i x f z z f z z f Lim z f z ∂∂+∂∂=∆-∆+=→∆Im Re '0 （2-1-6） 证明：设 ()f z p iq =+ （Re Im p fq f ==）0=∆y ，x z ∆=∆()()()xiy x f x iy x f Lim z f z ∆+-∆++=→∆0' ()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∆+-∆∆++∆+=→∆x y x iq y x p x y x x iq y x x p Lim z ,,,,0 ()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∆-∆++∆-∆+=→∆x y x iq y x x iq x y x p y x x p Lim z ,,,,0 ()()()()xy x q y x x q Lim i x y x p y x x p Limz z ∆-∆++∆-∆+=→∆→∆,,,,00 x q i x p ∂∂+∂∂= 再取y i z ∆=∆，有()()()yf i y f z z f z z f Lim z f z ∂∂-∂∂=∆-∆+=→∆Re Im '0 （2-1-7） 为使导数存在，上述两个极限必须相等，即得（2-1-4）、（2-1-5），由此证明了必要条件，充分条件证明从略。
由（2-1-6）、（2-1-7）两式，可以直接得到复变函数对z 的导数的实部和虚部与复变解析函数的实部和虚部对x ，y 的偏导数之间的以下重要关系： y f x f f ∂∂=∂∂=Im Re 'Re （2-1-8） yf x f f ∂∂-=∂∂=Re Im 'Im （2-1-9） 解析函数xf i x f ∂∂+∂∂=Im Re在iy x z +=平面的域D 中，函数()z f 称为解析的需要满足以下条件，即在域D 内任意一点，可用极限方法决定其导数，而且导数是唯一的，与z ∆趋于零的路线无关。
换句话说，如果函数()z f 在0z 及0z 的领域内处处可导，则称()z f 在0z 解析，如果()z f 在区域D 内的每一点解析，则称()z f 为D 内的解析函数。
如果()z f 在0z 不解析, 那么称0z 为()z f 的奇点。
复变解析函数的调和性如果二元实变函数()y x U ,在区域D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯（Laplace ）方程02=∇U则称()y x U ,为区域D 内的调和函数。
从柯西—黎曼条件出发，可以证明，复变解析函数的实部f Re 和虚部f Im 都满足调和方程，所以都是调和函数。
将（2-1-4）式对x 求偏导，（2-1-5）式对y 求偏导，相加后得：222222Re Im Im Re 0f f f f y x y x x y∂∂∂∂-++=∂∂∂∂∂∂ 有：0Re Re Re 22222=∇=∂∂+∂∂f yf x f 将（2-1-5）式对x 求偏导，（2-1-4）式对y 求偏导，相减后得： 0Im Im Im 22222=∇=∂∂+∂∂f yf x f （2-1-10）将使iq p +构成区域内解析函数的调和函数()y x q ,称为()y x p ,的共轭调和函数。
调和函数与双调和函数之间具有下列关系：1) 若f Re 是一个调和函数，它必然是一个双调和函数。
这是因为若0Re 2=∇f 成立，则0Re 22=∇∇f 必然成立。
2) 若f Re 是一个调和函数，则f x Re ，f y Re ，f r Re 2都是双调和函数(式中极坐标222y x r +=)。
证明：()()f y x f x x f x y x f x Re Re Re Re 222222222∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∇ f y x f x x f x Re Re Re 22∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=f y x f x x f x Re Re Re 22222 'Re 2Re Re 22f f x xf =∇+∂∂= （用到2-1-8式） 222Re 2Re '0x f f ∇∇=∇=（用到下面定理，'f 解析）复变函数的导数与积分若()z f 在区域D 内解析，那么()z f 在D 内存在任意阶导数，且所有的导数都是解析的。
解析函数的导数与积分均为解析函数。
复变函数()z f 对于复变数z 的导数、积分等运算规则与一般实函数的运算规则相同。
取一个复变解析函数()z f =，其一阶导数为()z f -，则()()dzz f d z f =-= ()()dz z f z f ⎰-==类似地，令()z f 为()z f -的一阶导数，()z f '为()z f 的一阶导数，则()()dzz f d z f -= ()()dz z df z f =' 由（2-1-8）、（2-1-9）式可知y f x f f ∂∂=∂∂===-Im Re Re yf x f f ∂∂-=∂∂===-Re Im Im 等等。
2．双调和函数的Muskhelishvili 复应力函数表示可以用两个解析函数表示满足双调和函数022=∇∇U 的解U ，引进P U =∇2，则因为0222=∇∇=∇U P ，P 为调和函数。
设Q 为P 的共轭调和函数，即P 与Q 之间满足柯西—黎曼条件，则 ()()()y x iQ y x P z f ,,+= （2-1-11） 是所讨论区域上的解析函数。
再设()()()()⎰=+=dz z f y x iq y x p z 41,,ϕ （2-1-12） 由解析函数性质可知，()z ϕ也是一个解析函数。
对()y x xp ,和()y x yq ,作用Laplace 算子()xp xp ∂∂=∇22， ()y q yq ∂∂=∇22 （2-1-13） 由（2-1-6）式及（2-1-11）、（2-1-12）式，可得()()()iQ P z f x q i x p z +==∂∂+∂∂=4141'ϕ 由上式及柯西—黎曼条件，可得yq x p P ∂∂=∂∂=41 44p q P x y∂∂==∂∂ 或者 yq x p P ∂∂+∂∂=22（2-1-14） 由（2-1-13）和（2-1-14），得()qy xp P +∇=2 由P U =∇2，有()02=--∇yq xp U令()yq xp U y x p --=,1 （2-1-15） ()y x p ,1是一个调和函数，设调和函数()y x p ,1为解析复变函数()z χ的实部，即 ()()z y x p χRe ,1= （2-1-16） 另利用()()()y x iq y x p z ,,+=ϕ和iy x z -=-的乘积，可得()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+-z z yq xp ϕRe （2-1-17） （反推：()()()z z x iy p iq xp yq ixq iyp ϕ=-+=++-）实部最后，由（2-1-15）、（2-1-16）和（2-1-17）式，得yq xp p U ++=1()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-z z z χϕRe （2-1-18） 由此可见，双调和函数U 可以用两个复变解析函数()z ϕ和()z χ来表示。