1.2 第2课时 真命题和假命题

第2课时 真命题和假命题
[对应学生用书B 本P 4—P 5]
重点提示
说明一个命题是真命题，要有推理过程，而说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可，其中反例是指具备命题的条件，但不具备命题的结论的实际例子．
A 组 基础巩固达标练
1 下列命题中，属于真命题的是(A )
A. 如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
B. 两个互补的角一定是邻补角
C. 如果a 2＝b 2，那么a ＝b
D. 如果两个角是同位角，那么这两个角一定相等
2 有下列命题：①如果a ＜0，b ＞0
，那么a ＋b ＜0；②同角的补角相等；③同位角相等；④如果a 2＞b 2
，
那么a ＞b ；⑤有公共顶点且相等的两个角是对顶角．其中真命题的个数是(A )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3 能说明命题“对于任何实数a ，|a|＞－a ”是假命题的一个反例可以为(A )
A. a ＝－2
B. a ＝1
3
C. a ＝1
D. a ＝ 2 4
有下列命题：①对顶角相等；②内错角相等；③垂线段最短；④带根号的数都是无理数；⑤一个非负实数的绝对值是它本身．其中真命题的个数为(C )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 5
有下列命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中假命题有__3__个．
6 在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题， 因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，
只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断__乙__的说法是对的．7命题“最小角等于50°的三角形是锐角三角形”是__真
__命题(填“真”或“假”)．
8当n＝0，1，2，3，4，5时，n2＋n的值是偶数吗？命题“对于所有的自然数n，n2＋n的值都是偶数”是真命题还是假命题？
【解】都是偶数．
∵n2＋n＝n(n＋1)，n为自然数，
∴n2＋n的值为任意两个连续自然数的积，
∴n2＋n的值都是偶数，
∴该命题是真命题．
(第9题)
9如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC，分别交AC，CD于点E，F，则∠CEF＝∠CFE.请用推理的方法说明它是真命题．
【解】∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE.
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CEF＋∠CBE＝90°，∠DFB＋∠ABE＝90°，
∴∠CEF＝∠DFB.
∵∠CFE＝∠DFB，
∴∠CEF＝∠CFE.
(第10题)
10如图，直线AB，CD，BE，CF都被直线BC所截．在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并用推理的方法说明它是真命题．
①AB⊥BC，CD⊥BC；②BE∥CF；③∠1＝∠2.
题设：____________．
结论：____________．
推理过程：
【解】答案不唯一，如：
题设：①②.
结论：③.
推理过程：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB.
∵BE∥CF，∴∠EBC＝∠FCB，
∴∠ABC－∠EBC＝∠DCB－∠FCB，
即∠1＝∠2.
B组能力提升自主练
11下列命题中，属于假命题的是(C)
A. 邻补角的平分线互相垂直
B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
C. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等
D. 平行线的一组内错角的平分线互相平行
解析如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故选C.
12一次数学测试，满分为100分．测试分数出来后，同桌的小华和小刚把他俩的分数进行计算，小华说：“我俩分数的和是160分．”小刚说：“我俩分数的差是60分．”对于下面两个命题：①俩人的说法都是正确的；②至少有一人说错了．其中真命题是__②__(填序号)．
解析若设小华的说法是真命题，则两个人的分数和为160分，
当其中一人的分数为100分，另一人的分数为60分时，他们之间的分差最大，为100－60＝40(分)＜60分，因此他们两人之中，肯定有人说错了，故真命题是②.
13“已知a，b是实数，若a>b，则a2>b2”，这一命题显然是错误的．若结论保持不变，怎样改变条件，才能使之成立？有下列改法：①若a>b>0，则a2>b2；②若a>b且a＋b>0，则a2>b2；③若a<b<0，则a2>b2；④若a<b且a＋b<0，则a2>b2.其中正确的改法是__①②③④__(填序号)．
解析要使“a2>b2”成立，必须满足|a|>|b|.
①③两种改法是a，b同号，且满足|a|>|b|，
②④两种改法是a，b异号，也满足|a|>|b|，
故①②③④四种改法都正确．
14对于同一平面内的三条直线a，b，c，有下列条件：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.请以其中两个条件为题设，一个条件为结论，组成一个真命题(至少写两个命题)．
【解】若a∥b，b∥c，则a∥c；
若a∥b，a∥c，则b∥c；
若b∥c，a∥c，则a∥b；
若a⊥b，a⊥c，则b∥c；
若a⊥b，b∥c，则a⊥c；
若b∥c，a⊥c，则a⊥b.
15如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，DG平分∠CDF，∠1＋∠2＝90°，则：①AB∥CD；②BE∥DG；③ED⊥GD.用推理的方法说明以上命题是真命题．
（第15题）
【解】①∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∴∠2＝∠ABE，∠1＝∠CDE.
又∵∠1＋∠2＝90°，
∴∠1＋∠2＋∠CDE＋∠ABE＝180°，
即∠ABD＋∠CDB＝180°，
∴AB ∥CD.
②∵AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠CDF. ∵BE 平分∠ABD ，DG 平分∠CDF ， ∴∠2＝12∠ABD ＝1
2∠CDF ＝∠GDF ，
∴BE ∥DG.
③∵∠2＝∠GDF ，∠1＋∠2＝90°， ∴∠1＋∠GDF ＝90°，
∴∠EDG ＝180°－(∠1＋∠GDF)＝90°， ∴ED ⊥GD.
C 组 探究创新培优练
16 我们定义：若两个整数的平方差是8的倍数
，则称这两个整数为共周整数．显然奇数与偶数的平方差一定是个奇数，
因此它们肯定不是共周整数．
请解决下列问题：
(1)两个偶数一定是共周整数吗？ (2)两个连续奇数是共周整数吗？ (3)任意两个奇数是共周整数吗？ 导学号：41674004
【解】 (1)两个偶数不一定是共周整数．如42－22＝16－4＝12，12÷8＝1……4. (2)设两个连续奇数分别为2n ＋1，2n －1(n 为整数)，则(2n ＋1)2－(2n －1)2＝n 2＋4n ＋1－n 2＋4n －1＝8n ，
∴两个连续奇数是共周整数．
(3)设两个奇数分别为2k ＋1，2b ＋1(k ，b 均为整数)，则(2k ＋1)2－(2b ＋1)2＝4k 2＋4k ＋1－(4b 2＋4b ＋1)＝4k 2－4b 2＋4k －4b ＝4(k ＋b)(k －b)＋4(k －b)＝4(k －b)(k ＋b ＋1)．
∵k 与b 都是整数，
∴k －b 与k ＋b ＋1必定一奇一偶，
∴4(k－b)(k＋b＋1)一定是8的倍数，∴任意两个奇数是共周整数．。