旋转型相似三角形应用的分析方法
中考数学相似三角形中的重要模型手拉手模型
相似三角形中的重要模型-手拉手模型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。
而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。
手拉手相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“手拉手”模型(旋转模型)【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
1）手拉手相似模型（任意三角形）条件:如图，∠BAC=∠DAE=α，A DA E kA BA C==； 结论：△ADE ∽△ABC ，△ABD ∽△ACE ；E CkB D=.2）手拉手相似模型（直角三角形）条件:如图，90A O BC OD ∠=∠=︒，O C O D kO AO B==（即△COD ∽△AOB ）；结论：△AOC ∽△BOD ；B DkA C=，AC ⊥BD ，12A B C DS A B C D=⨯.3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形）条件:M 为等边三角形ABC 和DEF 的中点； 结论：△BME ∽△CMF ；B EC F条件:△ABC 和ADE 是等腰直角三角形； 结论：△ABD ∽△ACE.例1．（2022·山西·寿阳县九年级期末）问题情境：如图1所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，在图1中将ADE 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM =12BD ，EN =12CE ，得到图3，请解答下列问题：(1)猜想证明：若AB =AC ，请探究下列数量关系：①在图2中，BD 与CE 的数量关系是_________． ②在图3中，猜想∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想；(2)拓展应用：其他条件不变，若AB ，按上述操作方法，得到图4，请你继续探究：∠MAN 与∠BAC的数量关系？AM 与AN 的数量关系？直接写出你的猜想．例2．（2022•新乡中考模拟）在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，请探索解答下列问题．【问题发现】（1）如图1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，点D，E分别在CA，AB上，则CD与BE的数量关系是，直线CD与BE的夹角为；【类比探究】（2）如图2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD 与BE之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由．【拓展延伸】（3）在（1）的条件下，若m＝2，将△AED绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线．请直接写出CD的长．例3．（2022·山东·九年级课时练习）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为斜边BC上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是______，位置关系是______；【探究证明】如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一条直线上时，BD与CE具有怎样的位置关系，说明理由；【拓展延伸】如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，过点C作CA⊥BD于A．将△ACD绕点A顺时针旋转，点C的对应点为点E．设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当C，D，E在同一条直线上时，画出图形，并求出线段BE的长度．例4．（2022·山东·东营市一模）【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．例5．（2022•长垣市一模）在△AB＝AC，点D为AB边上一动点，∠CDE＝∠BAC＝α，CD＝ED，连接BE，EC．（1）问题发现：如图①，若α＝60°，则∠EBA＝，AD与EB的数量关系是；（2）类比探究：如图②，当α＝90°时，请写出∠EBA的度数及AD与EB的数量关系并说明理由；（3）拓展应用：如图③，点E为正方形ABCD的边AB上的三等分点，以DE为边在DE上方作正方形DEFG，点O为正方形DEFG的中心，若OA＝，请直接写出线段EF的长度．例6.（2022·成都市·九年级课时练习）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E 、A 、D 在同一条直线上），发现B ED G=且B ED G⊥．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形A E F G 绕点A 按逆时针方向旋转（如图1），还能得到B E D G=吗？若能，请给出证明，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形A E F G 和菱形A B C D ，将菱形A E F G 绕点A 按顺时针方向旋转（如图2），试问当E A G ∠与B A D ∠的大小满足怎样的关系时，B ED G=；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形A E F G 和矩形A B C D ，且23AE AB AGAD==，2A Ea=，2A Bb=（如图3），连接D E ，B G ．试求22D E B G+的值（用a ，b 表示）．课后专项训练1.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（）A．5：3B．4：3C．√5：2D．2：√32.如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF=56AE，其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．②③④3、如图，正方形A B C D的边长为8，线段C E绕着点C逆时针方向旋转，且3C E=，连接B E，以B E为边作正方形B E F G，M为A B边的中点，当线段F M的长最小时，ta n E C B∠=______．4．（2022•虹口区期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．5．（2023·浙江·九年级课时练习）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，求证：P A＝DC；（2）如图2，当α＝120°时，猜想P A和DC的数量关系并说明理由．（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP D到CP的距离．6．（2022·重庆·九年级课时练习）观察猜想(1)如图1，在等边A B C中，点M 是边B C 上任意一点（不含端点B 、C ），连接A M ，以A M 为边作等边A M N，连接C N ，则A B C ∠与A C N ∠的数量关系是______． (2)类比探究：如图2，在等边A B C中，点M 是B C 延长线上任意一点（不含端点C ），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由． (3)拓展延伸:如图3，在等腰A B C中，B AB C=，点M 是边B C 上任意一点（不含端点B 、C ），连接A M ，以A M 为边作等腰A M N，使顶角A M NA B C∠=∠．连按C N ．试探究A B C ∠与A C N ∠的数量关系，并说明理由．7．（2022·江苏·九年级课时练习）【问题发现】如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为斜边BC 上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AE ，连接EC ，则线段BD 与CE 的数量关系是______，位置关系是______；【探究证明】如图2，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将△ADE 绕点A 旋转，当点C ，D ，E 在同一条直线上时，BD 与CE 具有怎样的位置关系，说明理由；【拓展延伸】如图3，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝2CD ＝4，过点C 作CA ⊥BD 于A ．将△ACD 绕点A 顺时针旋转，点C 的对应点为点E ．设旋转角∠CAE 为α（0°＜α＜360°），当C ，D ，E 在同一条直线上时，画出图形，并求出线段BE 的长度．8．（2022·山东·九年级课时练习）如图，A B C和A D E是有公共顶点直角三角形，90B A C D A E ∠=∠=︒，点P 为射线B D ，C E 的交点．（1）如图1，若A B C和A D E是等腰直角三角形，求证：C PB D⊥；（2）如图2，若30A D EA B C ∠=∠=︒，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）在（1）的条件下，4A B =，3A D =，若把A D E 绕点A 旋转，当90E A C ∠=︒时，请直接写出P B 的长度9．（2023·广东·深圳市九年级期中）（1）如图1，Rt △ABC 与Rt △ADE ，∠ADE ＝∠ABC ＝90°，12A BA DB CD E==，连接BD ，CE ．求证：5B DC E=．（2）如图2，四边形ABCD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，且12A B A D=，连接BC ，BC 、AC 、CD 之间有何数量关系？小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°，并放大2倍，点B 对应点D ．点C 落点为点E ，连接DE ，请你根据以上思路直接写出BC ，AC ，CD 之间的关系． （3）拓展：如图4，矩形ABCD ，E 为线段AD 上一点，以CE 为边，在其右侧作矩形CEFG ，且12A B C EB CE F==，AB＝5，连接BE，BF．求BE的最小值．510．（2023·绵阳市·九年级专题练习）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．观察猜想：的值为，直线CD与AP所成的较小角的度数为°；（1）如图1，当α＝60°时，C DA P的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；类比探究：（2）如图2，当α＝90°时，求出C DA P拓展应用：（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2BD的长．11．（2023·湖北·九年级专题练习）在A B C和A D E中，B A B C∠=∠=，点=，D A D E=，且A B C A D EαE在A B C的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且90∠+∠=︒．A C E AB Eα=︒时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的【观察猜想】（1）如图①，当60数量关系为__________．α=︒时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，【探究证明】（2）如图②，当90请说明理由；【拓展应用】（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若B C=B D E的面积．12．（2023··广西一模）如图，A C B△和D C E均为等腰直角三角形，,．现将D C E绕点C旋转．∠=∠=︒==A CB DC E A C B CD CE C90,（1）如图1，若,,A D E三点共线，A D=B到直线C E的距离；（2）如图2，连接,A EB D，点F为线段B D的中点，连接C F，求证：A E C F⊥；（3）如图3，若点G在线段A B上，且8,==，在A C G内部有一点O，请直接写出A C A G22O C A G++的最小值．13．（2022•南山区校级一模）（1）【问题发现】如图①，正方形AEFG 的两边分别在正方形ABCD 的边AB 和AD 上，连接CF ．填空：①线段CF 与DG 的数量关系为 ；②直线CF 与DG 所夹锐角的度数为 ．（2）【拓展探究】如图②，将正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3）【解决问题】如图③，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ＝10，O 为AC 的中点．若点D 在直线BC 上运动，连接OE ，则在点D 的运动过程中，线段OE 长的最小值为 （直接写出结果）．14、某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边A B C 中，点P 是边B C 上任意一点，连接A P ，以A P 为边作等边A P Q，连接CQ ，BP 与CQ 的数量关系是________； （2）变式探究：如图2，在等腰A B C中，A BB C=，点P 是边B C 上任意一点，以A P 为腰作等腰A P Q，使A PP Q=，A P QA B C∠=∠，连接C Q ，判断A B C ∠和A C Q ∠的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在正方形A D B C 中，点P 是边B C 上一点，以A P 为边作正方形A P E F ，Q 是正方形A P E F 的中心，连接C Q ．若正方形A P E F 的边长为5，2C Q =A DBC 的边长．15、如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，C ，F ，G 三点在一直线上，连接AF 并延长交边CD 于点M ．（1）求证：△MFC ∽△MCA ；（2）求证△ACF ∽△ABE ； （3）若DM =1，CM =2，求正方形AEFG 的边长．16、已知，ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝2α°，点D 为BC 边中点，连接AD ，点E 为线段AD 上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出B F的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是A E否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）如图3，当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时D F的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示）D C。
三角形全等、相似及综合应用模型(6大模型+解题技巧)—2024年中考数学(全国通用)(解析版)
三角形全等、相似及综合应用模型题型解读｜模型构建｜通关试练三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等。
特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。
直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。
模型01 与三角形有关的线段应用高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）模型02 与三角形有关的角的应用（1）三角形的内角：（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．（2）三角形的外角：（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．模型03 三角形全等的判定及应用（1）全等三角形的定义：全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
相似三角形题型讲解解析
相似三角形题型讲解相似三角形是初中几何的重要内容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考内容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。
一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。
分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。
本例除公共角∠G 外,由BC ∥AD 可得∠1=∠2，所以△AGD ∽△EGC 。
再∠1=∠2（对顶角），由AB ∥DG 可得∠4=∠G ，所以△EGC ∽△EAB 。
评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。
（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。
例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线， 求证：△ABC ∽△BCD分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。
借助于计算也是一种常用的方法。
证明：∵∠A=36°，△ABC 是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72° 又BD 平分∠ABC ，则∠DBC=36°在△ABC 和△BCD 中，∠C 为公共角，∠A=∠DBC=36° ∴△ABC∽△BCD例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABCA B C DEF G 1234ABCD分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。
所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。
初二 超经典相似三角形模型分析大全
相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识(一)A字型、反A字型(斜A字型）（平行）B（不平行）(二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）(不平行)(三）母子型B(四）一线三等角型:三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五)一线三直角型:（六）双垂型:二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GA BCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形：例1：如图，梯形ABCD 中,AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ,BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2:已知:如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上， ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知:如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证:FC FB FD ⋅=2．2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线,∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：（1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NBACDEB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。
求证:EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。
求证：∠=︒GBM 90GMF EHDCA5．已知：如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°，BC =2,AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ,交边AC 于点D (点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点,且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证:AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时,求△BEP 的面积．ABPD E双垂型:1、如图，在△ABC 中,∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：(1）△ABD ∽△ACE;（2）△ADE ∽△ABC ；(3）BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=62，求：点B 到直线AC 的距离.C共享型相似三角形:1、△ABC 是等边三角形，D 、B 、C 、E 在一条直线上,∠DAE=︒120，已知BD=1，CE=3，，求等边三角形的边长.2、已知：如图，在Rt △ABC 中,AB =AC ，∠DAE =45°．求证:(1)△ABE ∽△ACD ； (2）CD BE BC ⋅=22．CA一线三等角型相似三角形:例1：如图，等边△ABC 中，边长为6,D 是BC 上动点，∠EDF =60° (1)求证：△BDE ∽△CFD（2）当BD =1,FC =3时，求BE例2：（1）在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.①若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长；②若x BP =，y CQ =,求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域;（2）正方形ABCD 的边长为5(如下图）,点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ 。
初中数学中考[图形的认识]第4讲相似三角形(教师版)
![初中数学中考[图形的认识]第4讲相似三角形(教师版)](https://img.taocdn.com/s3/m/1e70c4324028915f814dc23e.png)
【知识梳理】【方法技巧】1、判定三角形相似的基本思路：一是条件中若有一组等角，可再找一组等角（找相等的角时注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角或者同角的补角）或找夹这组等角的两组对应边成比例；二是条件中若有两组对应边成比例，可找夹角相等或计算第三组对应边的比，考虑三组对应边成比例（具体方法如下：首先把三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大边的比，最后看三个比是否相等）。
2、解决圆中的相似问题时，要充分运用圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，切线的性质等找出角之间的关系，进而利用相似三角形的判定定理及性质求解。
3、相似三角形的基本模型：（1）“A ”字型（2）“X ”字型（3）“K ”字型（4）旋转型：符合旋转型的两个三角形，常用“两边成比例及夹角相等”来证明相似BBB CB C CQ DBA（5）母子型：在“母子三角形”中，应用公共边可得到关于三条线段的乘方式，由此可证明相似问题中的等积式。
4、位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形（2）两个图形的每组对应顶点的连线都经过同一点5、关于位似的警示点：（1）位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形（2）位似图形可能在位似中心的同侧，也可能在位似中心的两侧，因此作一个图形关于某点的位似图形往往有两个。
如图： O A B C D OA B CD D CB AC D B A6、在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x,y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）.【考点突破】考点1、基本概念与定理例1、如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（）A．=B．=3 C．=D．=变式1、已知=，那么的值为（）A．B．C．D．变式2、下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm、2cm、20cm、30cm B．1cm、2cm、3cm、4cmC．5cm、10cm、10cm、20cm D．4cm、2cm、1cm、3cm例2、△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16变式1、已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．B．C．D．变式2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6例3、如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A．B．C．D．变式1、如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c 于点D，E，F，若=，则=（）A．B．C．D．1例4、如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C．变式1、如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠C=∠E B．∠B=∠ADE C．D．例5、在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．变式2、如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．考点2：位似例1、在平面直角坐标系中，△ABC顶点A（2，3）．若以原点O为位似中心，画三角形ABC 的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比为，则A′的坐标为（）A．B．C．D．变式1、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是．变式2、如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的是个数是（）A．1B．2C．3D．4例2、已知△ABC和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm2，△A′B′C′的周长是△ABC的周长一半．则△ABC的面积等于（）A．24cm2B．12cm2C．6cm2D．3cm2变式1、如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（）A．1B．2C．4D．8考点3：相似的应用例1、小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米B．40米C．90米D．80米变式1、如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=4米，CA=2米，则树的高度为（）A．6米B．4.5米C．4米D．3米例2、如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使点A，B，D 在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E也在一条直线上且DE∥BC．如果BC=24m，BD=12m，DE=40m，则河的宽度AB约为（）A．20m B．18m C．28m D．30m变式1、如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2cm，BC=14m，则楼高CD为（）m．A．10.5 B．12 C．13 D．15变式2、如图，在河两岸分别有A、B两村，现测得A、B、D在一条直线上，A、C、E在一条直线上，BC∥DE，DE=90米，BC=70米，BD=20米，则A、B两村间的距离为（）A．50米B．60米C．70米D．80米变式3、为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是（）A．75米B．25米C．100米D．120米考点3、常见相似模型例1、如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③，④，⑤AC2=AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（）A．①②④B．②④⑤C．①②③④ D．①②③⑤变式1、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C．=D．=例2、如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB=3，PB=2．则PC等于（）A．2 B．3 C．4 D．5变式1、如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC=4，则PA的长为．例3、如图，在△ABC中，∠C=60°，以分别交AC，BC于点D，E，已知圆O的半径为．则DE的长为．变式1、如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA=2，PC=CD=3，则PB=（）A．6 B．7 C．8 D．9例4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（）A．CE=DE B．CE=DE C．CE=3DE D．CE=2DE变式1、如图，边长为4的正方形ABCD中有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若BF=1，则小正方形的边长为（）A．B．C．D．变式2、如图（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP △PCD（填：“≌”或“～”）（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）拓展延伸：设AE=t，△EPF面积为S，试确定S关于t的函数关系式；当S=4.2时，求所对应的t的值．例5、如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE 交AC于点E．写出相似三角形________________.变式1、等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别交边AB、AC于点E、F．（1）如图1，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图2，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长．例6、如图，在Rt△ABC中，CD是边AB上的高，若AC=4，AB=10，则AD的长为（）A．B．2 C．D．3变式1、如图，△ABC中，∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则CD= ．变式2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是，AC 的长是．例7、如图，矩形EFHG的边GH在△ABC边BC上，其他两个顶点分别在边AB、AC上，已知△ABC 的边BC=120cm，BC边上的高AD为80cm；求：（1）当矩形EFHG是正方形时，求这个正方形的边长；（2）设EG的长为x cm，x为何值时，矩形EFHG的面积最大？并求面积的最大值．变式1、如图，锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y，则y与x 的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分层训练】<A组>1．△ABC∽△DEF，且相似比为2：1，△ABC的面积为8，则△DEF的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．162．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．75cm，115cm B．60cm，100cm C．85cm，125cm D．45cm，85cm3．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值为（）A．B．5 C．或5 D．无数个4．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（4，2） B．（6，0） C．（6，3） D．（6，5）5．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米B．40米C．90米D．80米6．我们在制作视力表时发现，每个“E”形图的长和宽相等（即每个“E”形图近似于正方形），如图，小明在制作视力表时，测得l1=14cm，l2=7cm，他选择了一张面积为4cm2的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“E”形图．那么下面四张正方形卡纸中，能够刚好剪得第①个大“E”形图的是（）A．面积为8cm2的卡纸B．面积为16cm2的卡纸C．面积为32cm2的卡纸D．面积为64cm2的卡纸7．如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（2，6），B（4，2），C（6，2），D（6，4），在第一象限内，画出以原点为位似中心，相似比为的位似图形A1B1C1D1，并写出各点坐标．8．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．<B组>1．如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA 水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．①△OB1C∽△OA1D；②OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•F1；④F=F1．其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．九年级某班开展数学活动，活动内容为测量如图所示的电杆AB的高度．在太阳光的照射下，电杆影子的一部分（BE）落在地面上，另一部分（EF）落在斜坡上，站在水平面上的小明的影子为DG，已知斜坡的倾角∠FEH=30°，CD=1.6m，DG=0.8m，BE=2.1m，EF=1.7m，则电杆的高约为m．（精确到0.1，参考数据：，）3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．4．如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A、B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）5．【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．参考答案【考点突破】考点1、基本概念与定理例1、解：∵2x=3y，∴=，∴选项A不正确；∵2x=3y，∴=，∴==3，∴选项B正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴选项C不正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴∴选项D不正确．故选：B．变式1、解：∵=，∴设a=2k，则b=3k，则原式==．故选B．变式2、解：A.1×30≠2×20，故本选项错误；B.3×2≠1×4，故本选项错误；C.5×20=10×10，故本选项正确；D.4×1≠3×2，故本选项错误；故选C．例2、解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．变式1、解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选：A．变式2、解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△ACD：S△ABC=1：2，∴AD：BC=1：2；∵AD∥BC，∴△AOD～△BOC，∵AD：BC=1：2，∴S△AOD：S△BOC=1：4．故选：B．例3、解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵AH=2，BH=1，BC=5，∴AB=AH+BH=3，∴，∴，故选D．变式1、解：∵a∥b∥c，∴==．故选B．例4、解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C．变式1、解：∵∠1=∠2，∴∠DAE=∠BAC，A、添加∠C=∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；B、添加∠B=∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；C、添加=，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；D、添加=，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；故选D．例5、解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6．A、==，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；B、=，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；C、==，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；D、==，对应边===，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；故选：D．变式2、解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为。
基本图形分析法七 从旋转型全等三角形到旋转型相似三角形(徐方瞿教授讲座)
从旋转型全等三角形到旋转型相似三角形旋转型全等三角形AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=> △ABC≌△ADE，∠ABD=∠ACE，∠ADB=∠AEC将△ABC绕三角形的顶点A旋转一个角度成为△ADE，这两个三角形就是一对旋转型全等三角形。
而由AB=AD，这是两条具有公共端点的相等线段，所以它们可以组成一个等腰三角形，同样，由AC=AE，它们也可以组成一个等腰三角形，而这两个等腰三角形的顶角是相等的，所以这两个等腰三角形一定相似，而由∠ABD=∠ACE 和∠ADB=∠AEC，如果延长BD与CE相交，则可得两个圆内接四边形。
所以，一对绕三角形的顶点旋转得到的旋转型全等三角形的基本图形中，一定同时出现一对相似的等腰三角形和两个圆内接四边形。
由于这是旋转型全等三角形的基本图形的本质属性，所以只有在整体上进行教学，才能将这个基本图形的特征、性质、应用条件和应用方法讲清楚。
然而，按照通常的教学进度，在进行全等三角形的教学时，显然还不可能进行相似三角形和圆周角这两部分内容的教学，而在进行相似三角形和圆周角的教学时，又不可能再回过来进行全等三角形的教学，也就是本质上是完整的内容被割裂开来进行教学了，所以老师就很难讲清楚，讲清楚问题的本质，将清楚思想方法的规律性，这也就是旋转型全等三角形在教学中出现的困难所在。
解决的方法：一是在进行旋转型全等三角形的教学时，可适当地进行拓展，让学生较早地接触、知道并形成一定的概念、性质，到进入相似三角形和圆周角的教学时再进行强化；二是在进行旋转型全等三角形的教学时，如果没有拓展的话，则可在进入相似三角形和圆周角的教学时，尤其是在总复习阶段可安排专题性的教学。
在进行全等三角形的教学时，由于在相似的等腰三角形中，有两类特殊的等腰三角形，它们是必定相似的，这就是等边三角形和等腰直角三角形，所以在给出等边三角形或等腰直角三角形的条件时，就可以实质上出现相似的等腰三角形而又可以避免出现相似三角形的概念，成为旋转型全等三角形的可实施的教学内容。
初三数学相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础． 二、相似三角形 (1)三角形相似的条件：① ；② ；③ . 三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等 判定定理1a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
相似三角形的判定和性质
相似三角形的判定和性质知识讲解1. 比例线段：对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a cb d =（或a:b=c:d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项． 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项． 比例的性质（1）基本性质①a ：b=c ：d ad=bc②a ：b=b ：c（2）更比性质（交换比例的内项或外项） （交换内项） （交换外项） （同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）：（4）合比性质：（5）等比性质：ba n f db m ec a n fd b n m fe d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0( 黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=AB 0．618AB cb b a =⇔ac b =⇔2db c a =⇒=d c b a ac bd =ab c d =cd a b d c b a =⇒=dd c b b a d c b a ±=±⇒=215-≈如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．2. 平行线分线段成比例定理： ① 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3．AB BC =DE EF ;AB AC =DE DF ;BC AC =EF DF. ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．3. 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．4. 相似三角形的概念：对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．5. 相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边的比相等；（2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．6. 相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似．7. 相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法．8.相似三角形的判定方法（1）三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1（AA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似．④判定定理2（SAS）：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．⑤判定定理3（SSS）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似（2）直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用②定理（HL）：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似①垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．9. 相似三角形中的基本图形：（1） 平行型：（2）交错型：（3）旋转型：（4）子母型：（5）其他：10. 双垂直条件下的计算与证明问题：“双垂直”指：“Rt △ABC 中，∠BCA=90°，CD ⊥AB 于D”（如图），结论有：（1）△ADC ∽△CDB ∽△ACB（2）由△ADC ∽△CDB 得CD2=AD·BD（3）由△ADC ∽△ACB 得AC2=AD·AB（4）由△CDB ∽△ACB 得BC2=BD·AB（5）由面积得AC·BC=AB·CD（6）勾股定理AB C D EA B C D A B C D E DAB C ED A BC第一部分：比例线段例题精讲【例1】 下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（ ）A ．1、2、3、4B ．1、2、2、4C ．3、5、9、13D ．1、2、2、3【例2】 若b m m a 2,3==，则_____:=b a ．【例3】 已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为,,a b c h h h ，且6:5:4::=c b a ，那么,,a b c h h h 等于（ ）A ．4：5：6B ．6：5：4C ．15：12：10D ．10：12：15【例4】 已知754z y x ==，则下列等式成立的是（ ） A ．91=+-y x y x B ．167=++z z y x C ．38=-+++z y x z y x D ．x z y 3=+【例5】 如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）A ．AD AE AB AC = B ．CE EA CF FB =C ．DE AD BC BD = D ．EF CF AB CB =【例6】 已知：如图，F 是四边形ABCD 对角线AC 上一点，EF ∥BC ，FG ∥AD ．求证：AB AE ＋CDCG ＝1．课堂练习1. 若a ， x ， b ， y 是比例线段，则比例式为_________；若a=1，x= -2， b=-2．5， 则y=_______．2. 若ab=cd ，则有a ∶d=_______；若m ∶x=n ∶y ， 则x ∶y=_______．3. 已知△ABC 中三边长分别为a ，b ，c ，对应边上的高分别为4,5,3ab c h h h ===．则a ：b ：c=____________． 4. 若0234x y z ==≠，则23______x y z+=. 5. 如图，△ABC 中，，且DE=12，BC=15，GH=4，求AH ．6. 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，():():()(2):7:1,24a c a b c b a b c -+-=-++= .① 求a 、b 、c 的值．②判断△ABC 的形状．第二部分：相似三角形判定类型一(平行法、‘AA’)例题精讲【例7】 如图，已知△ADE ∽△ABC ，且∠ADE=∠B ，则对应角为______________________________________________，AG DE AH BC=对应边为________________________________________________．【例8】已知：如图，D、E是△ABC的边AC、AB上的点，且∠ADE=∠B．（1）求证：△ADE∽△ABC（2）求证：AD·AC=AE·AB【例9】已知：如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且CE=CD，∠DAC=∠B．求证：△AEC∽△BDA【例10】已知:如图，ΔABC中，AD=DB，∠1=∠2．求证:ΔABC∽ΔEAD．【例11】如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，12DE CD．（1）求证：△ABF∽△EDF （2）求证：△EFD∽△EBC；（3）若DF=4，求BC的长课堂练习7. 图，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________8. 如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，试说明:2.AB AD AC9. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝4，AD＝33，AE＝3，求AF的长．10. 已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，求证：△DBE∽△ABC．11. 如图，平行四边形ABCD中，E是DC的中点，连接BE交对角线AC于F．（1）求证：△ABF∽△CEF；（2）若AC=9，求AF的长．第三部分：相似三角形判定类型二(‘SAS’、‘SSS’)例题精讲【例12】如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④【例13】已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．【例14】已知:如图，ΔABC中，CE⊥AB，BF⊥AC．求证:ΔAEF∽ΔACB．课堂练习12. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请在图中画出一个与△ACB相似且相的三角形．13. 如图，O是△ABC内任一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，求证：△DEF∽△ABC．14. 如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．求证：DFDEAC AB．第四部分：相似三角形判定类型三（直角三角形） 例题精讲【例15】 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 点，则图中相似三角形有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 【例16】 已知：如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高．求证：△ABC ∽△CBD ∽△ACD ．课堂练习15. 如图，锐角△ABC的高BD，CE交于O点，则图中与△BOE相似的三角形的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．416. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，根据下列各条件分别求出未知所有线段的长：（1）AC=3，BC=4；（2）AC=52，AD=2；（3）AD=5，DB=1445；（4）BD=4，AB=29．第五部分：相似三角形判定类型四（特殊三角形）例题精讲【例17】下列说法正确的个数是( )①有一个角相等的两个等腰三角形相似②有一个底角相等的两个等腰三角形相似③所有的等腰三角形相似④顶角相等的两个等腰三角形相似A．1 B．2 C．3 D．4【例18】已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD．ADB C【例19】如图，△ABC和△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形并证明．课堂练习17. 下列说法正确的个数是( )①所有的等腰三角形都相似②所有等边三角形都相似③所有直角三角形都相似④所有等腰直角三角形都相似A．1 B．2 C．3 D．418. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE=DF，∠EDF=∠A．（1）找出图中相似的三角形，并证明；（2）求证：BD AB CE BC．19. 如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．第六部分：解决实际问题例题精讲【例20】2012黔南州）如图，夏季的一天，身高为1．6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3．2m，CA=0．8m，于是得出树的高度为（）A．8m B．6．4m C．4．8m D．10m【例21】 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是1．5m ，两个路灯的高度都是9m ，则两路灯之间的距离是（ ）A ．24mB ．25mC ．28mD ．30m【例22】 如图，A ﹑B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A ﹑B 间的距离，但绳子不够，于是他想了一个办法：在地上取一点C ，使它可以直接到达A ﹑B 两点，在AC 的延长线上取一点D ，使CD=21CA ，在BC 的延长线上取一点E ，使CE=21CB ，测得DE 的长为5米，则AB 两点间的距离为（ ）A ．6米B ．8米C ．10米D ．12米【例23】 如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m 的竹竿的影长是0．8m ，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1．2m ，又测得地面的影长为2．6m ，请你帮她算一下，树高是（ ）A ．3.25mB ．4.25mC ．4.45mD ．4.75m【例24】 如图，有一所正方形的学校，北门（点A ）和西门（点B ）各开在北、西面围墙的正中间．在北门的正北方30米处（点C ）有一颗大榕树．如果一个学生从西门出来，朝正西方走750米（点D ），恰好见到学校北面的大榕树，那么这所学校占地平方米．课堂练习20. 如图所示，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上．已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC 的距离为0．1米，胶片的高BC为0．038米，若需要投影后的图象DE高1．9米，则投影机光源离屏幕大约为（）A．6米B．5米C．4米D．3米21. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1．5米，那么路灯A的高度AB等于（）A．4．5米B．6米C．7．2米D．8米22. 如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（）A ．61cmB ．31cmC ．21cmD ．1cm23. 一个油桶高0．8m ，桶内有油，一根长1m 的木棒从桶盖小口插入桶内，一端到达桶底，另一端恰好在小口处，抽出木棒量得浸油部分长0．8m ，则油桶内的油的高度是（ ）A ．0．8mB ．0．64mC ．1mD ．0．7m24. 汪老师要装修自己带阁楼的新居（下图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯AC 时，为避免上楼时墙角F 碰头，设计墙角F 到楼梯的竖直距离FG 为1．75m ．他量得客厅高AB=2．8m ，楼梯洞口宽AF=2m ．阁楼阳台宽EF=3m ．请你帮助汪老师解决下列问题：（1）要使墙角F 到楼梯的竖直距离FG 为1．75m ，楼梯底端C 到墙角D 的距离CD 是多少米? （2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶高小于20cm ，每个台阶宽要大于20cm ，问汪老师应该将楼梯建几个台阶?为什么?课堂练习诊断结果课后作业1.下列各组中的四条线段成比列的是（ ） A ．1cm 、2cm 、20cm 、30cm B ．1cm 、2cm 、3cm 、4cm C ．4cm 、2cm 、1cm 、3cmD ．5cm 、10cm 、10cm 、20cm2.已知：32+a =4b =65+c ，且2a-b+3c=21，a 、b 、c 的值分别为________，________，_________．3. 如图，△ADE ∽△ACB ，其中∠1=∠B ，则AB BC AD)()()(==．4. 如图，画一个三角形，使它与已知△ABC 相似，且原三角形与所画三角形的相似比为2∶1．5. △ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为32，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，相似比为45，则△ABC ∽△A 2B 2C 2，其相似比为____________．6. 分别根据下列已知条件，写出各组相似三角形的对应比例式．图1 图2 图3(1)如图1，△ABC ∽△ADE ，其中DE ∥BC ，则_________=_________=_________．(2)如图2，△AOB ∽△DOE ，其中DE ∥AB ，则_________=_________=_________．(3)如图3，△ABC ∽△ADE ，其中∠ADE=∠B ，则_________=_________=_________．7. 如图．从下面这些三角形中，选出相似的三角形____________________．8.画符合要求的相似三角形在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画出一个△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1)，且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．（1）（2）9.如图，已知⊿ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点A，交BC边于点E，DC⊥BC于点C，与AD交于点D，（1）求证：⊿ACE ∽⊿ADC；（2）如果CE＝1，CD＝2，求AC的长．10.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DE为AC的中线，延长线交AB的延长于F，求证：AB·AF=AC·DF．11.如图；已知梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC．（1）△ABD 和△DCB 相似吗?说明理由．（2）BD2和AD·BC相等吗?说明理由．12.如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则球拍击球的高度h为（）A．0.6m B．1.2m C．1.3m D．1.4m13.三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图所示）．现测得OA=20cm，OA′=50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是_________．14.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是_______mm．15.如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC=30cm，BC=40cm．问题1：将斜边上的高CD五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条．则这4张纸条的面积和是________cm2．问题2：若将斜边上的高CD n等分，然后裁出（n-1）张宽度相等的长方形纸条．则这（n-1）张纸条的面积和是____________cm2．16.如图，点D、E分别是等边三角形ABC的BC、AC边上的点，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）BD2=AD•DF吗?为什么?17.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：（1）AE=CG；（2）AN•DN=CN•MN．课后作业诊断结果学习札记。
专题39 旋转相似问题(解析版)-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练
专题39 旋转相似问题【规律总结】“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，则△ADE ∽△ABC ，该图可看成把第一个图中的△ADE 绕点A 旋转某一角度而形成的【典例分析】例1．（2020·丹东第十中学九年级月考）如图，正方形ABCD 中，点F 是BC 边上一点，连接AF ，以AF 为对角线作正方形AEFG ，边FG 与正方形ABCD 的对角线AC 相交于点H ，连接DG ．以下四个结论：①EAB GAD ∠=∠；②AFC AGD ∆∆∽；③22AE AH AC =⋅；④DG AC ⊥．其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】 ①四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形，∠EAB 、∠GAD 与∠BAG 的和均为90°，即可证明∠EAB 与∠GAD 相等；②由题意易得AD=DC ，AG=FG ，进而可得AC AF AD AG=，∠DAG=∠CAF ，然后问题可证；③由四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形，可求证∠HAF∠∠FAC ，则有AF AC AH AF =，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证．【详解】解：①∠四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形∠∠EAG=∠BAD=90°又∠∠EAB=90°-∠BAG ，∠GAD=90°-∠BAG∠∠EAB=∠GAD∠①正确②∠四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形∠AD=DC ，AG=FGAD ，AG∠AC AD =，AF AG=即AC AF AD AG= 又∠∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC∠∠DAG=∠CAF∠AFC AGD ∆∆∽∠②正确③∠四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形，AF 、AC 为对角线∠∠AFH=∠ACF=45°又∠∠FAH=∠CAF∠∠HAF∠∠FAC ∠AF AC AH AF=即2·AF AC AH =又∠22AE AH AC =⋅∠③正确④由②知AFC AGD ∆∆∽又∠四边形ABCD 为正方形， AC 为对角线∠∠ADG=∠ACF=45°∠DG 在正方形另外一条对角线上∠DG∠AC∠④正确故选：D ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明．例2．（2019·浙江杭州市·八年级期末）已知正方形DEFG 的顶点F 在正方形ABCD 的一边AD的延长线上，连结AG ，CE 交于点H ，若3AB =，DE =CH 的长为________.【分析】连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M，证明∠ANG∠ADM，得到DM ADNG AN=，从而求出DM的长，再通过勾股定理算出AM的长，通过证明∠ADG∠∠CDE得到∠DAG=∠DCE，从而说明∠ADM∠∠CHM，得到AD AMCH CM=，最后算出CH的长.【详解】解：连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M，∠∠GNA=90°，DN=FN=EN=GN，∠∠MAD=∠GAN，∠MDA=∠GNA=90°，∠∠ANG∠ADM，∠DM AD NG AN=，∠DE=∠DF=EG=2,∠DN=NG=1，∠AD=AB=3，∠3 131 DM=+，解得：DM=34，∠MC=94，=，∠∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG，∠∠ADG=∠EDC ，在∠ADG 和∠CDE 中，AD CD ADG CDE DG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ADG∠∠CDE （SAS ），∠∠DAG=∠DCE ，∠∠AMD=∠CMH ，∠∠ADM=∠CHM=90°，∠∠ADM∠∠CHM ， ∠AD AM CH CM=，即3494CH=， 解得：.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，综合性较强，解题的关键是找到合适的全等三角形和相似三角形，通过其性质计算出CH 的长.例3．（2020·浙江金华市·九年级期末）如图1，在Rt ABC 中，90ACB AC BC ︒∠==，，在斜边AB 上取一点D ，过点D 作//DE BC ，交AC 于点E ．现将ADE 绕点A 旋转一定角度到如图2所示的位置（点D 在ABC 的内部），使得90ABD ACD ︒∠+∠=．（1）①求证：ABD ACE ∽；②若1,CD BD ==，求AD 的长；（2）如图3，将原题中的条件“AC BC =”去掉，其它条件不变，AC AE k AB AD==设，若13CD BD ==，，4=AD ，求k 的值；（3）如图4，将原题中的条件“90ACB ︒∠=”去掉，其它条件不变，若23AC AE AB AD ==，设CD m =，BD n AD p ==，，试探究m n p ，，三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）【答案】（1）①见解析；②（2）k =；（3）4p 2=9m 2+4n 2． 【分析】（1）①先利用平行线分线段成比例定理得AE AD AC AB =，进而得出结论； ②利用①得出的比例式求出CE ，再判断出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出∠ABD∠∠ACE ，即可得出AE=4k ，CE=3k ，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE 的平方，用DE 的平方建立方程求解即可；（3）同（2）的方法得出22249=+DE m n ，23==DE AE p 即可得出结论； 【详解】解：（1）①∠DE∠BC ， ∠AE AD AC AB =， 由旋转知，∠EAC=∠DAB ，∠∠ABD∠∠ACE ，②在Rt∠ABC 中，AC=BC ，∠AB =，由①知，∠ABD∠∠ACE ，∠∠ABD=∠ACE ，∠∠ACD+∠ABD=90°，∠∠ACE+∠ACD=90°，∠∠DCE=90°，∠∠ABD∠∠ACE ，AB AD BD AC AE CE∴===∠AD =，BD =∠BD =∠CE =在Rt∠CDE 中，1,==CD CE 根据勾股定理得，DE=2，在Rt∠ADE 中，AE=DE ，∠==AD （2）由旋转知，∠EAC=∠DAB ， AC AE AB AD=， ∠∠ABD∠∠ACE ，.∴===AC AE CE k AB AD BD∠AD=4，BD=3，∠AE=kAD=4k ，CE=kBD=3k ，∠∠ABD∠∠ACE ，∠∠ABD=∠ACE ，∠∠ACD+∠ABD=90°，∠∠ACE+∠ACD=90°，∠∠DCE=90°，在Rt∠CDE 中，DE 2=CD 2+CE 2=1+9k 2，在Rt∠ADE 中，DE 2=AD 2-AE 2=16-16k 2，∠1+9k 2=16-16k 2，∠k =或k =， （3）由旋转知，∠EAC=∠DAB ， AC AE AB AD = ∠∠ABD∠∠ACE ，23AC AE CE AB AD BD ∴=== ∠AD=p ，BD=n ，∠2222,3333AE AD p CE BD n ====， ∠∠ABD∠∠ACE ，∠∠ABD=∠ACE ，∠∠ACD+∠ABD=90°，∠∠ACE+∠ACD=90°，∠∠DCE=90°，在Rt∠CDE 中，2222249DE CD CE m n =+=+， ∠23==DE AE p ， 2224499p m n ∴=+， ∠4p 2=9m 2+4n 2．【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，解本题的关键是得出∠DCE=90°和利用两边对应成比例夹角相等来判断两三角形相似的方法应用．【好题演练】一、单选题1．（2020·广西贵港市·九年级其他模拟）在Rt△ABC 中，△BAC ＝90°，AD 是△ABC 的中线，△ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，使点C 落在C ′的位置，C ′D 交AB 于点Q ，则BQ AQ的值为（ ）A B C D【答案】A【分析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将BQAQ转化为BQAC，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案．【详解】解：如图，过点A作AE∠BC，垂足为E，∠∠ADC＝45°，∠∠ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE AD，在Rt∠ABC中，∠∠BAC＝90°，AD是∠ABC的中线，∠AD＝CD＝BD，由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，∠∠CDC′＝45°+45°＝90°，∠∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，∠∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，∠AC′＝AQ＝AC，由∠AEC∠∠BDQ得：BQAC＝BDAE，∠BQ AQ ＝BQ AC ＝AD AE ． 故选：A ．【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键．2．（2019·全国九年级课时练习）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE △AC 于点F ，连接DF ，给出下列四个结论：①△AEF △△CAB ；②CF ＝2AF ；③DF ＝DC ；④S △ABF ：S 四边形CDEF ＝2：5，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】 ①根据四边形ABCD 是矩形，BE∠AC ，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB ，于是∠AEF∠∠CAB ，故①正确；②根据点E 是AD 边的中点，以及AD∠BC ，得出∠AEF∠∠CBF ，根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF ，故②正确；③过D 作DM∠BE 交AC 于N ，得到四边形BMDE 是平行四边形，求出BM=DE=12BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；④根据∠AEF∠∠CBF得到EF与BF的比值，以及AF与AC的比值，据此求出S∠AEF=12S∠ABF，S∠ABF=1 6S矩形ABCD，可得S四边形CDEF=S∠ACD-S∠AEF=512S矩形ABCD，即可得到S四边形CDEF=52S∠ABF，故④正确．【详解】如图，过D作DM∠BE交AC于N，∠四边形ABCD是矩形，∠AD∠BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∠BE∠AC于点F，∠∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∠∠AEF∠∠CAB，故①正确；∠AD∠BC，∠∠AEF∠∠CBF，∠AEBC＝AFCF，∠AE＝12AD＝12BC，∠AFCF＝12，∠CF＝2AF，故②正确，∠DE∠BM，BE∠DM，∠四边形BMDE是平行四边形，∠BM＝DE＝12BC，∠BM＝CM，∠CN＝NF，∠BE∠AC于点F，DM∠BE，∠DN∠CF，∠DF＝DC，故③正确；∠∠AEF∠∠CBF，∠EFBF＝AEBC＝12，∠S∠AEF＝12S∠ABF，S∠ABF＝16S矩形ABCD，∠S∠AEF＝112S矩形ABCD，又∠S四边形CDEF＝S∠ACD﹣S∠AEF＝12S矩形ABCD﹣112S矩形ABCD＝512S矩形ABCD，∠S∠ABF：S四边形CDEF＝2：5，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题3．（2018·山西九年级专题练习）如图，已知四边形ABCD 与四边形CFGE 都是矩形，点E 在CD 上，点H 为AG 的中点，3AB =，2BC =， 1.5CE =，1CF =，则DH 的长为______ ．【分析】延长GE 交AB 于点M ，作DN AG ⊥于.N 首先求出AG 、AH ，由ADN ∠GAM △，得AD AN DN AG MG AM==，求出DN 、AN ，HN ，在Rt DHN 中利用勾股定理即可解决问题． 【详解】延长GE 交AB 于点M ，作DN AG ⊥于N ．四边形ABCD 与四边形CFGE 都是矩形，∴四边形BFGM 是矩形，213MG BF BC CF ∴==+=+=，1.5BM CE FG ∴===，1.5AM AB BM ∴=-=，AG ∴==点H 为AG 的中点，12AH AG ∴== //AD MG ，DAN AGM ∴∠=∠，AND AMG ∠=∠，ADN ∴∠GAM △，AD AN DN AG MG AM∴==， 23332AN DN ==，AN ∴=DN =HN AN AH ∴===， ∴在Rt DHN中，DH ===．． 【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．4．（2019·甘肃白银市·九年级期末）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE△AC 于点F ，连接DF ，分析下列五个结论：①△AEF△△CAB ；②CF ＝2AF ；③DF ＝DC ；④S 四边形CDEF ＝52S △ABF ，其中正确的结论有_____个．【答案】4【分析】①四边形ABCD是矩形，BE∠AC，则∠ABC＝∠AFB＝90°，又∠BAF＝∠CAB，于是∠AEF∠∠CAB，故①正确；②由AE＝12AD＝12BC，又AD∠BC，所以AEBC＝AFFC＝12，故②正确；③过D作DM∠BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM＝DE＝12BC，得到CN＝NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；④根据∠AEF∠∠CBF得到12EF AEBF BC==，求出S∠AEF＝12S∠ABF，S∠ABF＝16S矩形ABCD S四边形CDEF＝S∠ACD﹣S∠AEF＝12S矩形ABCD﹣112S矩形ABCD＝512S矩形ABCD，即可得到S四边形CDEF＝52S∠ABF，故④正确．【详解】解：过D作DM∠BE交AC于N，∠四边形ABCD是矩形，∠AD∠BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∠BE∠AC于点F，∠∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∠∠AEF∠∠CAB，故①正确；∠AD∠BC，∠∠AEF∠∠CBF，∠AEBC＝AFFC＝12，∠AE＝12AD＝12BC，∠AFCF＝12，∠CF＝2AF，故②正确，∠DE∠BM，BE∠DM，∠四边形BMDE是平行四边形，∠BM＝DE＝12 BC，∠BM＝CM，∠CN＝NF，∠BE∠AC于点F，DM∠BE，∠DN∠CF，∠DF＝DC，故③正确；∠∠AEF∠∠CBF，∠12 EF AEBF BC==，∠S∠AEF＝12S∠ABF，S∠ABF＝16S矩形ABCD∠S ∠AEF ＝112S 矩形ABCD ， 又∠S 四边形CDEF ＝S ∠ACD ﹣S ∠AEF ＝12S 矩形ABCD ﹣112S 矩形ABCD ＝512S 矩形ABCD ， ∠S 四边形CDEF ＝52S ∠ABF ，故④正确； 故答案为：4．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线，根据相似三角形表示出图形面积之间关系是解题的关键．三、解答题5．（2020·河南南阳市·九年级期中）将ABC 绕点A 逆时针方向旋转θ，并使各边长变为原来的n 倍，得到AB C ''△，我们将这种变换记为[],n θ．（1）问题发现如图①，对ABC 作变换60⎡︒⎣得AB C ''△，则:AB C ABC S S ''=△△______；直线BC与直线B C ''所夹的锐角度数为______．（2）拓展探究如图②，ABC 中，35BAC ∠=︒且:AB AC =，连结BB '，CC '．对ABC 作变换60⎡︒⎣得AB C ''△，求:ABB ACC S S ''△△的值及直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．（3）问题解决如图③，ABC 中，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒，对ABC 作变换[],n θ得AB C ''△，使点B 、C 、C '在同一直线上，且四边形ABB C ''为矩形，请直接写出n 的值．【答案】（1）3:1，60；（2）35︒，理由见解析；（3）2n =．【分析】（1）利用新定义得出[],n θ的意义，利用旋转的性质得到AB C ''△∠ABC ，且相似比为，60BAB '∠=︒，进而求出面积比，通过外角的性质得到DEB '∠即可求出直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数；（2）利用新定义得出[],n θ的意义，得到::AB AB AC AC ''==35BAC B AC ''∠=∠=︒，进而可以得到BAB CAC ''∠=∠，下证BAB '△∠CAC '△，通过题中给的相似比即可求出面积之比，延长CC '交BB '于D ，通过DEB AEC ''∠=∠，BB A CC A ''∠=∠，可以证得DEB '△∠AEC '，从而得到C DB ''∠的度数，即可得直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数；（3）由四边形ABB C ''为矩形，得到90BAC '∠=︒，进而求出CAC '∠的度数，利用含30角的直角三角形的性质即可得到AC AC'的值，进而求出n 的值． 【详解】解：（1）由题意可知：对ABC 作变换60⎡︒⎣得AB C ''△，∴AB C ''△∠ABC ，60BAB '∠=︒，∴B B '∠=∠，∴()2:3:1AB C ABC S S ''==， ADE B BAB '∠=∠+∠，ADE B DEB ''∠=∠+∠，∴60DEB BAB ''∠=∠=︒，即直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数为：60︒．故答案为：3:1，60．（2）根据题意得：::1:AB AB AC AC ''==35BAC B AC ''∠=∠=︒， ∴BAC B AC B AC B AC ''''∠+∠=∠+∠，∴BAB CAC ''∠=∠，∴BAB '△∠CAC '△，∴相似比AB k AC=，BB A CC A ''∠=∠，:AB AC =，∴2:2ABB ACC S S ''==，延长CC '交BB '于D ，如图，设CC '交AB '于E ．DEB AEC ''∠=∠，BB A CC A ''∠=∠，∴DEB '△∠AEC '，∴35C DB B AC ''''∠=∠=︒，∴:2ABB ACC S S ''=△△，直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数为35︒． （3）四边形ABB C ''为矩形，∴90BAC '∠=︒，30BAC ∠=︒，∴60CAC BAC BAC ''∠=∠-∠=︒，90ACB ∠=︒，∴90ACC '∠=︒，在Rt ACC '△中，12AC AC '=， ∴21AC AC '=， ∴2AC n AC '==， 即n 的值为2．【点睛】本题考查了图形的旋转，相似三角形的判定和性质，新定义运算，三角形的外角性质以及含30角的直角三角形的性质，解题的关键是根据题意得出[],n θ的意义．6．（2019·辽宁葫芦岛市·九年级一模）如图，在Rt ABC ∆中，△AC8=90°，△BAC=a ，点D 在边AC 上（不与点A 、C 重合）连接BD ，点K 为线段BD 的中点，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连结CK ，EK ，CE ，将△ADE 绕点A 顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90度)(1)如图1．若a=45︒，则BCK ∆的形状为__________________；(2)在（1)的条件下，若将图1中的三角形ADE 绕点A 旋转，使得D ，E ，B 三点共线，点K 为线段BD 的中点，如图2所示，求证：2BE AE CK -=；(3)若三角形ADE 绕点A 旋转至图3位置时，使得D ，E ，B 三点共线，点K 仍为线段BD 的中点，请你直接写出BE ，AE ，CK 三者之间的数量关系（用含a 的三角函数表示）【答案】（1）等腰直角三角形；（2）见解析；（3）BE -AE=2CK ；【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质及等腰直角三角形的性质证明EK=KC ，∠EKC =90°即可； （2）在BD 上截取BG=DE ，连接CG ，设AC 交BF 于Q ，结合等腰直角三角形的性质利用SAS 可证∠AEC∠∠BGC ，由全等三角形对应边、对应角相等的性质易证∠ECG 是等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线的性质可得CK=EK=KG ，等量代换可得结论.（3）在BD 上截取BG=DE ，连接CG ，设AC 交BE 于Q ，根据等角的余角相等可得∠CAE=∠CBG ，由tanα的表示可得BC BG AC AE=，易证∠CAE∠∠CBG ，由直角三角形斜边中线的性质等量代换可得结论.【详解】（1）等腰直角三角形；理由：如图1中，∠∠A=45°，∠ACB=90°，∠∠A=∠CBA=45°，∠CA=CB，∠DE∠AB，∠∠DEB=90°，∠DK=KB，∠EK=KB=DK= 12 BD，∠∠KEB=∠KBE，∠∠EKD=∠KBE+∠KEB=2∠KBE，∠∠DCB=90°，DK=KB，∠CK=KB=KD= 12 BD，∠∠KCB=∠KBC，EK=KC，∠∠DKC=∠KBC+∠KCB=2∠KBC，∠∠EKC=∠EKD+∠DKC=2（∠KBE+∠KBC）=2∠ABC=90°，∠∠ECK是等腰直角三角形．（2）证明：如图2中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q．∠∠α=45°，DE∠AE，∠∠AED=90°，∠DAE=45°，∠∠ADE是等腰直角三角形，∠DE=AE=BG，∠∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2，∠∠3=∠4，∠AC=BC，∠∠AEC∠∠BGC（SAS），∠CE=CG，∠5=∠BCG，∠∠ECG=∠ACB=90°，∠∠ECG是等腰直角三角形，∠KD=KB，DE=BG，∠KE=KG，∠CK=EK=KG，∠BE－AE= BE－BG=EG=EK＋KG =2CK．（3）解：结论：BE-AE•tanα=2CK．理由：如图3中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于Q．∠DE∠AE ，∠ACB=90°，∠∠CAE+∠EQA=90°,∠CBG+∠CQB=90°∠∠EQA=∠CQB ，∠∠CAE=∠CBG ，在Rt∠ACB 中，tanα=BC AC， 在Rt∠ADE 中，tanα= EDE AE BG A ， ∠=BC BG AC AE， DE=AE·tanα ∠∠CAE∠∠CBG ，∠∠ACE=∠BCG ，∠∠ECG=∠ACB=90°，∠KD=KB ，DE=BG ，∠KE=KG ，∠EG=2CK ，∠BE －BG=EG=2CK ，∠BE －DE=2CK ，∠BE －AE•tanα=2CK ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等，灵活的利用等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键.。
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旋转型相似三角形应用的分析方法∠BAD=∠CAE，∠ACB=∠AED=> △ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE=> AB•AE=AC•AD在几何问题中，出现了由一点发出的四条两两交成等角的成比例线段时，就要应用旋转型相似三角形进行证明，找相似三角形的方法是将由这个公共端点发出的四条两两交成等角的成比例线段两两组成相似三角形，也就是将成比例的四条线段的端点两两连结得到相似三角形，且可以得到两对旋转型相似三角形。
由于由同一点发出的四条线段，总有顺序关系，而1、4和2、3组成的三角形是不相似的，所以必定是两种可能：即1、2和3、4组成相似三角形；1、3和2、4组成相似三角形，也就相应地得到这两对同时出现的旋转型相似三角形。
在几何问题中，出现了由一点发出的四条两两交成等角的成比例线段会出现一种特殊情况，就是其中的两条相乘线段重叠在角平分线上时，仍然要应用旋转型相似三角形进行证明，找相似三角形的方法也仍然是将由这个公共端点发出的四条两两交成等角的成比例线段两两组成相似三角形。
例1，已知：⊙O与⊙O'相交于A、B，⊙O的弦AC交⊙O'于D，⊙O'的弦AE交⊙O于F，连结BC、BD、BE、BF．求证：BC•BE=BD•BF分析1：本题要证明的结论BC•BE=BD•BF是线段之间的比例关系，所以首先进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，经过描图可以发现这是由同一点B发出的四条成比例线段，同时通过观察可以判断它们是两两交成等角的，从而可应用旋转型相似三角形进行证明，根据由B发出的四条成比例线段BC、BD、BF、BE两两组成相似三角形的方法，如选取BC、BD组成△BCD，那么BF、BE就应组成△BFE，如选取BC、BD组成△BCD，那么BF、BE就应组成△BFE，问题也就成为应证△BCD 和△BFE相似，由条件A、C、B、F四点共圆，且A、F、E成一直线，所以∠BCD=∠BFE，根据同样的道理，由A、D、B、E四点共圆， A、D、C成一直线，又可得∠BDC=∠BEF，所以△BCD和△BFE相似就可以证明，分析就可以完成。
分析2：如选取BC、BF组成△BCF，那么BD、BE就应组成△BDE，但现在图形中这两个三角形都还未出现，所但现在图形中这两个三角形都还未出现，所以应先将这两个三角形添完整，也就是连结CF、DE，问题也就成为应证△BCF和△BDE 相似，由于∠BFC是⊙O的一个圆周角，所以就可以应用或添加圆周角的基本图形进行证明，现在图形中∠BFC所对的弧BC所对的另一个圆周角尚未出现，所以应先将这个圆周角添上，也就是连结AB，于是由条件给出的A、C、B、F四点共圆，就可得∠BFC=∠BAC，又因为A、D、B、E四点共圆，又可得∠BAD=∠BED，所以∠BFC=∠BED，根据同样的道理，由A、C、B、F四点共圆，可得∠BCF=∠BAF，由A、D、B、E四点共圆，可得∠BDE=∠BAE，所以∠BCF=∠BDE，所以△BCF和△BDE相似就可以证明，分析就可以完成例2，已知：△ABC内接于⊙O，AD⊥BC垂足是D，AE是⊙O的直径．求证：AB•AC=AD•AE分析1：本题要证明的结论AB•AC=AD•AE，是线段之间的比例关系，所以首先进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，经过描图可以发现这是由同一点A发出的四条成比例线段，同时通过观察可以判断它们是两两交成等角的，从而可添加旋转型相似三角形进行证明，从而可添加旋转型相似三角形进行证明，添加的方法是将由A发出的四条成比例线段AB、AC、AD、AE两两组成相似三角形，如选取AC、AD组成△ACD，那么AE、AB就应组成△AEB，于是连结BE，问题就成为应证△ABE和△ADC相似，由条件AE是⊙O的直径，B 是半圆上的一点，所以应用直径的性质，也就是半圆上的圆周角的基本图形的性质，可得∠ABE=90°，而由条件AD是△ABC的高，又可得∠ADC=90°，所以∠ABE=∠ADC=90°，又因为∠AEB和∠ACD是同弧所对的圆周角，当然相等，所以△ABE和△ADC相似就可以证明，分析就可以完成。
分析2：如选择AB、AD组成△ABD，那么AE、AC就应组成△AEC，于是连结CE，问题就成为应证△ABD和△AEC相似，由条件AE是⊙O的直径，C是半圆上的一点，所以应用直径的性质，也就是半圆上的圆周角的基本图形的性质，可得∠ACE=90°，而由条件AD是△ABC的高，又可得∠ADB=90°，所以∠ADB=∠ACE=90°，又因为∠ABD和∠AEC是同弧所对的圆周角，当然相等，所以△ABD和△AEC相似就可以证明，分析就可以完成。
例3，已知：⊙O与⊙O'相交于A、B，过B作直线交⊙O于C、交⊙O'于D，连结AO、AC、AO'、AD，求证：AO•AD=AC•AO'分析1：本题要证明的结论AO•AD=AC•AO'，是线段之间的比例关系，所以首先进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，经过描图可以发现这是由同一点A发出的四条成比例线段，同时通过观察可以判断它们是两两交成等角的，从而可应用旋转型相似三角形进行证明，根据由A发出的四条成比例线段AO、AD、AC、AO'两两组成相似三角形的方法，如选择AO、AO'组成△AOO'，那么AC、AD就应组成△ACD，但现在图形中△AOO'还未出现，所以应先将这个三角形添完整，也就是连结OO'，问题也就成为应证△AOO'和△ACD相似，于是首先考虑证明∠AOO'=∠ACD，由于OO'是相交两圆的连心线，所以就想到要应用相交两圆的性质，也就是连心线垂直平分公共弦的性质进行证明，但现在图形中公共弦尚未出现，所以应先将公共弦添上，也就是连结AB，就可得OO'垂直平分AB，OO'平分弧AB，于是由∠AOO'是⊙O的一个圆心角，可得∠AOO'的度数=1/2（☉O的）弧AB的度数，而由∠ACB 是⊙O的一个圆周角，也可得∠ACB的度数=1/2（☉O的）弧AB的度数，所以∠AOO'=∠ACD，根据同样的道理，又可得∠AO'O=∠ADC，所以△AOO'和△ACD相似就可以证明，分析就可以完成。
例4，已知：四边形ABCD内接于⊙O，E是⊙O上的一点，EF⊥AB垂足是F，EG⊥BC 垂足是G，EH⊥CD垂足是H，EI⊥AD垂足是I．求证：EG•EI=EF•EH所以应首先描图，搞清楚它们之间的位置关系，经过描图可以发现这是由一点E 发出的四条成比例线段，从而可通过添加旋转型相似三角形进行证明，分析1：本要题要证明的结论EG•EI=EF•EH是线段之间的比例关系，所以应首先描图，搞清楚它们之间的位置关系，经过描图可以发现这是由一点E发出的四条成比例线段，从而可通过添加旋转型相似三角形进行证明，添加的方法是将这四条线段两两组成相似三角形，若考虑将EF、EG和EI、EH分别组成三角形，则连结FG、IH，然后应证△EFG∽△EIH，由条件∠EFB=∠EGB=90°，所以可应用圆周角或圆内接四边形的基本图形的性质进行证明，也就是可得E、F、B、G四点共圆，于是连结BE后，可得∠EFG=∠EBG，根据同样的道理，由∠EID=∠EHD=90°，得E、I、D、H四点共圆，连结ED后，可得∠EIH=∠EDH，这样要证明这一对三角形相似，首先就可以证∠EFG=∠EIH，也就转化为要证∠EBG=∠EDH，由于条件给出B、E、C、D四点共圆，所以这两个角相等就可以证明，根据类似的方法，由E、F、B、G四点共圆，可得∠EGF=∠EBF，由E、I、D、H四点共圆，可得∠EHI=∠EDI，而由A、B、E、D四点共圆和F、B、A共线，又可得∠EBF=∠EDA，所以∠EGF=∠EHI，从而就可证明△EFG∽△EIH，分析就可以完成。
分析2：若考虑将EF和EI、EG和EH分别组成三角形，则连结FI、GH，就应证△EFI∽△EGH，而由∠EFA=∠EIA=90°，可得E、I、A、F四点共圆，∠EIF=∠EAF，∠EAI=∠EFI，再由∠EGC=∠EHC=90°，又可得E、H、C、G四点共圆，∠EHG=∠ECG，∠EGH=∠ECH，而由A、B、E、C四点共圆，又可得∠BAE=∠BCE，所以∠EIF=∠EHG，而由A、E、C、D四点共圆，D、C、H成一直线，又可得∠ECH=∠EAD，从而可得∠EFI=∠EGH，所以△EFI∽△EGH就可以证明。
例5，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，CD是∠ACB的角平分线．求证：BC=CD+AD分析1：本题要证的结论BC=CD+AD，是一条线段等于两条线段的和，所以可根据线段和差关系的定义来进行分析，所以想到在和线段BC上截取线段等于CD，证明留下来的线段和AD相等，也就是在线段BC上截取CE=CD，然后应证BE=AD，这样就出现了CE和CD是两条具有公共端点C的相等线段，所以它们可以组成一个等腰三角形，现在这个等腰三角形只有两条腰而没有底边，所以应将底边添上，也就是连结DE，就可得∠CDE=∠CED，由条件AB=AC，∠A=100°，应用等腰三角形的性质可得，而CD是∠ACB的角平分线，所以，于是就有，从而就得到∠CED=2∠ABC，而由B、E、C成一直线，又有∠CED是△EBD的外角，由此就得△EBD是等腰三角形，BE=DE，这样问题就成为应证DE=AD，由于条件中给出CD是∠ACB的角平分线，所以∠BCD和∠ACD这两个相等的角就是关于CD成轴对称的，从而就可以添加轴对称型全等三角形进行证明，添加的方法是将三角形沿对称轴翻折过去，所以将△ACD沿CD翻折过去，则由∠BCD=∠ACD，可知CA必定落在CB上，所以添加方法就是在CB上截取CF=CA，再连结DF，则由CF=CA，∠FCD=∠ACD和CD=CD，就可得△FCD≌△ACD，DF=DA，这样问题就转化成要证DE=DF，而这又是两条具有公共端点D的相等线段，它们可以组成一个等腰三角形的基本图形，问题也就成为一个等腰三角形的判定问题，所以问题又应转化成证DE=DF的等价性质∠DEF=∠DFE，但我们已证∠DEF=80°，从而又应证∠DFE也等于80°，由于∠DFE是∠DFC的补角，而∠DFC=∠BAC=100°，所以分析可以完成。
分析二：本题要证的结论BC=CD+AD，是一条线段等于两条线段的和，所以可根据线段和差关系的定义来进行分析，所以也可以将CD和AD这两条线段接起来，也就是延长CD到E，使DE=DA，那么问题就成为要证CE=CB，那么问题就成为要证CE=CB,由于这是两条具有公共端点C的相等线段，它们可组成一个等腰三角形，但现在这个等腰三角形只有两条腰，而没有底边，所以应将底边添上，分析1：本题要证的结论BC=CD+AD，是一条线段等于两条线段的和，所以可根据线段和差关系的定义来进行分析，所以想到在和线段BC上截取线段等于CD，证明留下来的线段和AD相等，也就是在线段BC上截取CE=CD，然后应证BE=AD，这样就出现了CE和CD是两条具有公共端点C的相等线段，所以它们可以组成一个等腰三角形，现在这个等腰三角形只有两条腰而没有底边，所以应将底边添上，也就是连结DE，就可得∠CDE=∠CED，由条件AB=AC，∠A=100°，应用等腰三角形的性质可得，而CD是∠ACB的角平分线，所以，于是就有，从而就得到∠CED=2∠ABC，而由B、E、C成一直线，又有∠CED是△EBD的外角，由此就得△EBD是等腰三角形，BE=DE,这样问题就成为应证DE=AD，由于条件中给出CD 是∠ACB的角平分线，所以∠BCD和∠ACD这两个相等的角就是关于CD成轴对称的，从而就可以添加轴对称型全等三角形进行证明，添加的方法是将三角形沿对称轴翻折过去，所以将△ACD沿CD翻折过去，则由∠BCD=∠ACD，可知CA必定落在CB上，所以添加方法就是在CB上截取CF=CA，再连结DF，则由CF=CA，∠FCD=∠ACD和CD=CD，就可得△FCD≌△ACD，DF=DA，这样问题就转化成要证DE=DF，而这又是两条具有公共端点D的相等线段，它们可以组成一个等腰三角形的基本图形，问题也就成为一个等腰三角形的判定问题，所以问题又应转化成证DE=DF的等价性质∠DEF=∠DFE，但我们已证∠DEF=80°，从而又应证∠DFE也等于80°，由于∠DFE是∠DFC的补角，而∠DFC=∠BAC=100°，所以分析可以完成。