平行线的特征三
平行线的特征
动手做一做 实验:在准备好的横格本上任选两条平行线 、 实验 在准备好的横格本上任选两条平行线a、 在准备好的横格本上任选两条平行线 b 与平行线a、 相交 相交． （1）任意画一条直线 与平行线 、b相交． ）任意画一条直线c与平行线 （2）任选一对同位角，用量角器度量，看 ）任选一对同位角，用量角器度量， 看这一对同位角有什么关系？ 看这一对同位角有什么关系？
问题讨论
请大家想一想：两条平行线被第三条直线所截，内错角、 请大家想一想：两条平行线被第三条直线所截，内错角、 同旁内角有什么关系呢 ？ 如图，已知直线a//b，思考 如图，已知直线 ， c ∠1与∠2、 ∠2与∠3之间有什么关 与 、 与 之间有什么关 为什么？ 系？为什么？ 4 a 1 已知) （1） ∵ a//b (已知 ） 已知 3 2 ∴∠2=∠ （ 两直线平行， ∴∠ ∠4（ 两直线平行，同位角相等 ） b 又∵∠1=∠4 （ 对顶角相等 ） ∵∠ ∠ ∴∠1=∠ ∴∠ ∠2
同旁内角互补 ）
平行线的三个特征： 平行线的三个特征 ：
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
两直线平行
两直线平行的三个条件： 两直线平行的三个条件： 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行
例1：小青不小心把家里的梯形玻璃块打碎了，还剩下梯 ：小青不小心把家里的梯形玻璃块打碎了， 形上底的一部分（如图）．要订造一块新的玻璃， ）．要订造一块新的玻璃 形上底的一部分（如图）．要订造一块新的玻璃，已经 你想一想， 量得 ∠A=1150，∠D=1000． 你想一想，梯形另外两个 角 各是多少度？ 已知梯形的两底AD//BC) 各是多少度？(已知梯形的两底 ) 已知） 解:∵ AD//BC （已知）. ∵ A＋ B＝ C＋ D＝ ∴ ∠A＋∠B＝1800；∠C＋∠D＝1800 两直线平行，同旁内角互补） （两直线平行，同旁内角互补）. 已知) 又∵ ∠A=1150；∠D=1000. (已知 已知 ∴ ∠C＝1800－∠D＝1800－1000＝800. ＝ ＝ ？ B ？ C ∠B＝1800－∠A＝1800－1150＝650. ＝ ＝ A
平行线的特征
平行线的特征平行线是几何学中重要的概念之一。
在二维欧几里得空间中，如果两条直线永远不相交，那么它们被称为平行线。
本文将介绍平行线的特征及相关的性质。
1. 平行线的定义给定二维欧几里得空间中的两条直线L1和L2，如果它们满足以下条件，则称L1和L2为平行线：•L1和L2不相交。
•L1和L2存在公共的平面。
2. 平行线的性质2.1 平行线的判定已知两条直线L1和L2，判断它们是否平行的方法有多种，这里介绍两种常见的判定方法：方法一：使用线性方程判断如果直线L1的斜率等于直线L2的斜率，那么L1和L2是平行线。
方法二：使用向量判断设直线L1上一点为点A，直线L2上一点为点B。
如果向量AB与L1的方向向量平行，则L1和L2是平行线。
2.2 平行线与夹角平行线之间不存在交点，因此它们之间的夹角为0度。
即使将两条平行线延长，无论延长多远，它们之间的夹角始终保持不变。
2.3 平行线与平行四边形平行线之间的性质与平行四边形的性质密切相关。
平行四边形是有四条边都平行的四边形。
性质一：对边平行平行四边形的对边是平行的。
即如果ABCD是一个平行四边形，那么线段AB和线段CD是平行线，线段AC和线段BD是平行线。
性质二：邻边互补平行四边形的邻边是互补的。
即如果ABCD是一个平行四边形，那么角A和角C是互补角，角B和角D是互补角。
性质三：对角线等长平行四边形的对角线等长。
即如果ABCD是一个平行四边形，那么线段AC和线段BD的长度相等。
2.4 平行线与转角当两条直线相交时，会形成四个角。
其中，相邻的两个角称为相邻角，非相邻的两个角称为转角。
如果两条直线分别与一条横穿它们的其他线相交，并且转角为等量，则这两条直线是平行线。
3. 平行线的应用平行线在几何学中有广泛的应用，下面简要介绍其中的几个应用领域。
3.1 地理学在地理学中，平行线常用于地图投影中的经纬度线。
地球上的纬线是平行于赤道的圆环状线，而经线是与纬线相交在地球上的两极的直线。
数学初中平行线与角知识点整理
数学初中平行线与角知识点整理平行线与角是初中数学中重要的几何概念，它们在解题过程中起着关键的作用。
了解和掌握平行线与角的知识点，对于解决与图形相关的问题非常重要。
下面将对平行线与角的定义、性质、判定方法以及相关题型进行整理和总结，以便学生们更好地掌握和运用这些知识。
一、平行线的定义与性质1. 定义：平行线是在同一个平面内，永远不相交的两条直线。
用符号"||"表示。
2. 性质：(1) 平行线的特征之一是它们具有相同的斜率。
这意味着它们的斜率互为相等或相反数。
(2) 平行线之间的距离是恒定不变的。
对于两条平行线，可以通过垂直距离公式(如线段AB的长度)计算它们之间的距离：d = (|b - aX + bY - c|) / √(a^2 + b^2)二、平行线的判定方法1. 同位角判定法：如果两条直线被一组平行线所切割或被一组平行线所截取的同位角相等，则这两条直线是平行线。
2. 内错角判定法：如果两条直线被一组平行线所截取，且互为内错角，则这两条直线是平行线。
3. 外错角判定法：如果两条直线被一组平行线所截取，且互为外错角，则这两条直线是平行线。
三、平行线与角的性质和定理1. 同位角性质：同位角是指两条平行线被一组平行线所切割时，分别在两条平行线的同一条边的对应位置上所形成的一组对应角。
同位角具有以下性质：(1) 同位角相等；(2) 对应角相等。
2. 内错角和外错角性质：内错角是指两条平行线被一组平行线所截取时，位于两条平行线之间的一组对应角；外错角是位于两条平行线之外的一组对应角。
内错角和外错角具有以下性质：(1) 内错角互补；(2) 外错角互补；(3) 内错角与外错角共线。
3. 平行线间角关系定理：(1) 同位角、内错角、外错角的对应角相等；(2) 备注角相等。
四、常见题型举例1. 判断题型：(1) 判断下列各组角是否为同位角：∠1 = 70°, ∠2 = 110°, ∠3 = 70°, ∠4 = 110°(2) 判断下列各组角是否互为内错角或外错角：∠1 = 70°, ∠2 = 110°, ∠3 = 70°, ∠4 = 110°2. 计算题型：(1) 已知平行线AB和CD之间的距离为6 cm，若两条平行线的斜率分别为1和-1/3，求平行线CD上一点E到直线AB 的距离。
平行线的判定和性质
平行线的判定和性质
1、平行线的判定方法：
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；
另：平行于同一条直线的两条直线相互平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
2、平行线的性质：
两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
3、注意区别平行线的性质和判定方法：
（1）叙述方式不同：尽管叙述平行线的性质与判定方法的文字相同，个数相同，但条件和结论的顺序是不同的；
（2）意义不同：平行线的判定方法是根据三种角(同位角、内错角、同旁内角)的数量关系，来识别两直线是否平行；而平行线的性质，是已知两直线平行，得到三种角的数量关系。
（3）作用不同：一个是作为平行线的识别，一个是平行线的特征。
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垂直与平行直线的性质
垂直与平行直线的性质在几何学中，直线是最基本的图形之一，而垂直与平行直线的性质则是直线相互关系中的重要概念。
本文将探讨垂直与平行直线的定义及其性质，并通过几个实际例子来加深理解。
一、垂直线的性质垂直线指两条直线在某一点上的切线互相垂直，构成90度的角。
下面我们来看一些垂直线的性质。
1. 垂直线的特征：- 两条垂直线的斜率的乘积为-1。
斜率是直线上单位纵坐标变化量与单位横坐标变化量的比值。
- 两条垂直线在平面直角坐标系上的表现为互相垂直，它们的角度为90度。
2. 垂直线与水平线：- 水平线与垂直线互相垂直，并且它们之间的夹角是90度。
- 垂直线与水平线在平面直角坐标系上的表现为直角关系，例如：原点处的 x 轴和 y 轴。
3. 衡量垂直线的方法：- 直角三角形的两条边互相垂直。
二、平行线的性质平行线两两永不相交，它们在平面直角坐标系上的表现为无交点，且它们的斜率相等。
下面我们来看一些平行线的性质。
1. 平行线的特征：- 两条平行线的斜率相等。
如果两条直线的斜率相等且不相交，则它们是平行线。
- 平行线的斜率可以任意取值，只要它们相等即可。
2. 平行线之间的距离：两条平行线之间的距离是它们两条直线之间的最短距离。
3. 平行线与横截线：- 横截线是与平行线相交的一条线段或线段的延伸，且与每一条平行线都有且只有一个交点。
- 平行线与横截线之间的关系是垂直，即横截线与每一条平行线都垂直。
三、实际例子1. 平行线的应用：铁路在火车轨道上，两根平行的铁轨之间始终保持相等的距离，这是为了确保火车的稳定通行。
铁轨之间的平行关系保证了火车无论行驶多远，轨道都不会离开平行位置。
2. 垂直线的应用：建筑设计在建筑设计中，垂直线是非常重要的。
建筑物的立柱、墙壁等垂直结构能够提供稳定性和坚固性，使建筑物能够承受外部压力，同时保持垂直直线的性质。
3. 平行线和垂直线的交错运用：电网在电网设计中，平行线和垂直线相互交错，形成一种规律的网格结构。
平行线的特征
平行线的判定
条件
结论
同位角相等， 两直线平行
内错角相等， 两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
平行线的特征
条件
结论
两直线平行，同位角相等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补
五、作业
作业
教材 ：习题2.4 知识技能： 第 1、2 题。
思维拓广
B
A D C
A
D
B
C
E
F
图(1)
F
E
图(2)
∴∠3+∠5=180° 同理： ∠4+∠6=180°
两直线平行，同旁内角互补。
1. 平行线的特征： 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补。
2. 注意：特征与判定的区别
试一试
1、如果AD//BC，可得∠B=∠1， 根据_两__直__线_平__行_，__同_位__角_相等
当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角会是 什么关系呢？试探究下列问题：
（1）如图（1）所示， AB∥ED， BC∥EF，那么 ∠B与∠E的
关系是_相__等___
（2）如图（2），AB∥ED， BC∥EF，那么∠B与∠E的关系是
__互___补____
当一个角的两边与另一个角的两边分
总结上面的结论是__别_平__行__时_，__这__两_个__角__相_等__或__互_补_________
2
（两直线平行，内错角相等） E
13
F
∠3＝ 1＿8＿0°－∠1＝＿6＿0°＿
（ 两直线平行， ） 同旁内角互补
B
D
做做一一做做
如图：一束平行光线AB和DE射向一个水平镜面后 被反射，此时∠1=∠2 ， ∠3=∠4 。
平行线和垂直线的特征
平行线和垂直线的特征平行线和垂直线是几何学中的两个基本概念，它们在我们的日常生活中无处不在，无论是建筑设计、道路规划还是数学题目中，都离不开平行线和垂直线的特征。
本文将探讨平行线和垂直线的定义、性质以及它们在实际应用中的重要性。
首先，我们来了解一下平行线的特征。
平行线是指在同一个平面内永远不会相交的直线。
换句话说，它们的方向相同，但是永远不会相交。
平行线的定义是几何学中的基本概念，它不仅仅存在于理论中，还广泛应用于实际生活中的各个领域。
例如，在建筑设计中，我们常常使用平行线来确定建筑物的结构和布局。
在道路规划中，平行线也被用来设计车道，确保车辆能够平行行驶而不会相互干扰。
在数学题目中，平行线也经常出现，我们需要根据平行线的性质来解答问题。
平行线有一些重要的性质。
首先，平行线的斜率相等。
斜率是直线的一个重要特征，它表示直线的倾斜程度。
如果两条直线的斜率相等，那么它们一定是平行线。
其次，平行线之间的距离是相等的。
这个性质可以通过构造平行线的垂线来证明。
垂线是与另一条直线垂直相交的直线，它们的交点与原直线之间的距离就是平行线之间的距离。
最后，平行线之间的夹角是相等的。
这个性质可以通过平行线与一条横截线相交所形成的内错角和外错角来证明。
接下来，我们来探讨一下垂直线的特征。
垂直线是指两条直线相交时，形成的四个角中，相邻两个角的和为90度的直线。
垂直线的特征在我们的日常生活中也是随处可见的。
例如，在建筑设计中，垂直线被用来确定墙壁和地板之间的垂直关系。
在道路规划中，垂直线被用来设计交叉口和人行横道，确保车辆和行人的安全。
在数学题目中，垂直线也经常出现，我们需要根据垂直线的性质来解答问题。
垂直线有一些重要的性质。
首先，垂直线的斜率互为相反数。
这是因为两条垂直线之间的夹角是90度，而斜率是通过夹角来计算的。
其次，垂直线之间的交点是两条直线的垂心。
垂心是指两条直线相交时，交点与原直线之间的距离最短的点。
最后，垂直线与平行线之间的关系是互补的。
平行线的判定及性质
授课主题平行线教学目的1.理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法及性质，并能进行简单的推理3. 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质教学内容【知识梳理】要点一、平行线1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．要点诠释：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.要点三、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．要点诠释：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”（3）真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.要点诠释：（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．要点六、平移1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．要点诠释：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.【典型例题】类型一、平行线例1．下列说法正确的是()A．不相交的两条线段是平行线.B．不相交的两条直线是平行线.C．不相交的两条射线是平行线.D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.【答案】D例2．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
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120o
苹果
草莓
梨子
桃子
香蕉
桔子
西瓜
杨梅
香蕉题：
A 2 E C F
如图：AB,CD被EF所截， AB∥CD(填空)。
若∠1＝120o，则∠2＝ ＿＿ （ ） 180o－∠1＝＿＿＿ ∠3＝
1
B
3 D
（
）
苹果
草莓
梨子
桃子
香蕉
桔子
西瓜
杨梅
草莓题：
1 A
B
1、如果AD//BC，根据___________
A B C
苹果
草莓Biblioteka 梨子桃子香蕉
桔子
西瓜
杨梅
梨子题：
苹果
草莓
梨子
桃子
香蕉
桔子
西瓜
杨梅
西瓜题：
如 图 ,a∥b ， c 、 d 是 截 线，∠1=80 ° ,∠5=70° . ∠2、∠3、 ∠4各是多 少度？为什么？ 2
c
1 3
4 5
d a
b
苹果
草莓
梨子
桃子
香蕉
桔子
西瓜
杨梅
桃子题：
如图,平行线AB、CD被直线AE所截. ° (1)从∠1=110 可以知道∠2 是多少度?为什么? ° (2)从∠1=110 可以知道∠3 是多少度?为什么? B ° (3)从∠1=110 可以知道∠4 是多少度?为什么?
北师大七年级(下) 《数学》( 北师大.七年级 下册 )
3
判定平行线的条件 如图， 直线a、b被直线c所截， 由“角”定 a∥b。 当满足_______条件时， “线” c 由“角”的数量关系（相等或互补） 1 定“线”的位置关系（平行） a
角的关系
你能说出 几个？
3
2 4 平行关系 b
如图，直线a与 直线b平行
C A 1 4 D 2 3 E
苹果
草莓
梨子
桃子
香蕉
桔子
西瓜
杨梅
杨梅题：
已知：直线a∥b, ∠1=115°. 则： ∠2=___,理由:________. 若∠3= 115°,则:直线c与d有 2 何位置关系?并说明理由.
c 1 3
d a
b
平行线的特征 由“线”定 “角” 由“线”的位置关系（平行）， 定“角”的数量关系（相等或互 补） 平行关系 角的关系
拓广探究：两条平行直线被第三条直线所截，
一对同位角的角平分线有何位置关系？内错角的 角平分线、同旁内角的角平分线它们分别又有何 位置关系呢？
聪明的伙伴相信通过 你们的认真观察、操 作、推理、交流等活 动，一定能发现其中
的奥秘。试试看…
作业 五、作业
作业： 1 、课本P73习题 2.4知识技能1、2 2、 轻巧夺冠P40—41 3、预习“用尺规作线段和角”
平行线的特征
两条平行直线被第三条直线所截，同 位角相等，内错角相等，同旁内角互补
两直线平行，同位角相等
简 记
两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补
注意：
只有在两直线平行的条件下才有： 同位角、内错角相等，同旁内角互补。 并不是所有的同位角、内错角都相等， 同旁内角都互补
做一做
如图：一束平行光线AB和DE射向一个水平镜面后 被反射， 此时∠1=∠2 ， ∠3=∠4 。 （1）∠1，∠3的大小有什么关系？ ∠2与∠4呢？
A D 1 B 2 C 3 E 4 F
做一做
相等：∠1=∠3； ∠2 =∠4 。
（1）∵AB∥DE ∴∠1=∠3。
∵∠1=∠2 ，∠3=∠4 ∴∠2=∠4。
（2）反射光线BC与EF也平行吗？ ∵∠2=∠4 ∴BC∥EF 。
平行
三星堆遗址
位于中国四川省广汉市南兴镇北的三星 堆遗址，属于古蜀国文明。遗址分布范围达 12平方公里，距今4800年至2800年，延续时 间近2000年。 出土了各种文物：金器、玉器、石器、 陶器、青铜器...等数千件。其中有享誉中 外的金杖、金面罩、青铜人像、头像、人立 像、画具等精品文物1000多件。
a b
c 1
3
2 4
5 6
（1）测量同位角∠1与∠5，它 们有什么关系？还有其它的同位 角吗？它们的大小关系如何？ （2）图中有几对内错角？它们的 大小有什么关系？为什么？ （3）图中有几对同旁内角？它们的 大小有什么关系？为什么？
7
8
相等
2对，相等 2对，互补
由 此 你 能 想 到 了 什 么？
结论
可得∠B=∠1
D
2、如果AB//CD，根据___________
可得∠D＝∠1
C
3、如果AD//BC，根据___________ 可得∠C＋_______＝180
苹果
草莓
梨子
桃子
香蕉
桔子
西瓜
杨梅
桔子题： 如图：在墙面上安装一管道需经两次拐
弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行。 若第一个弯道处∠B＝142o，那么第二 个弯道处∠C为多少度?为什么?
如图，是举世闻名的三星堆考古中发掘出 的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上已经 量得∠A=115°，∠D=110°。已知梯形的两底 AD//BC，请你求出另外两个角的度数。
A
115° 110°
D
解: ∵AD//BC ,∠A=115°
∴∠A+∠B=180 °(两直线平
行，同旁内角互补)
B
C
∴∠B=180°- ∠A=65°
比一比 、乐一乐：（分组比赛）
规则:（组长上来抽签、读题，组内讨论后派
一人回答，并说明理由）
苹果
草莓
梨子
桃子
香蕉
桔子
西瓜
杨梅
苹果
桔子
梨子
西瓜
香蕉
草莓
桃子
杨梅
苹果题：
如图，要在一座房子的两侧 铺设平行管道，如果房子 一侧铺设的角度为120，那 ° 么，为了使管道对接，另 一侧应以什么角度铺设？ 为什么？