中点四大模型

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初中几何模型--中点四大模型

中点四大模型模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形模型分析如图①，AD 是ABC ∆的中线，延长AD 至点E 使AD DE =，易证：()SAS EDB ADC ∆≅∆如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使FD DE =，易证：()SAS EDCFDB ∆≅∆当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或倍长类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。

模型实例如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，EF AF =，求证：BE AC =证法一：倍长中线如图，延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接BG 在ADC ∆和GDB ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DB DC GDB ADC DG AD ∴ GDB ADC ∆≅∆ ∴ AC BG G CAD =∠=∠, 又∵ EF AF = ∴ CAD AEF ∠=∠ ∴ G AEF ∠=∠ 又AEF BEG ∠=∠ ∴ G BEG ∠=∠ ∴ BG BE = ∴ BE AC = 证法二：倍长类中线如图，延长AD 到点G ，使得ED DG =，连接CG 在BDE ∆和CDG ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD BD GDC EDB DG DE ∴ ()SAS CDGBDE ∆≅∆∴ GC BE G BED =∠=∠, 又∵ AEF BED ∠=∠ ∴ G AEF ∠=∠ 又∵ EF AF = ∴ CAD AEF ∠=∠ ∴ CAD G ∠=∠ ∴ CG AC = ∴ BE AC =如图，在ABC ∆中，12=AB ，20=AC ，求BC 边上中线AD 的范围如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DN DM ⊥，如果2222DN DM CN BM +=+，求证：()22241AC AB AD +=模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一” 模型实例如图，在ABC ∆中，5==AC AB ，6=BC ，M 为BC 的中点，AC MN ⊥于点N ，求MN 的长度解答连接AM∵ 5==AC AB ，6=BC ，点M 为BC 的中点 ∴ BC AM ⊥，321===BC CM BM ∵ 5=AB ∴ 4352222=-=-=BM AB AM∵ AC MN ⊥∴ MN AC AM MC S AMC ⋅=⋅=∆2121 即MN ⨯⨯=⨯⨯5214321 ∴ 512=MN如图，在ABC ∆中，AC AB =，D 是BC 的中点，DE AE ⊥，DF AF ⊥，且AF AE = 求证：FDC EDB ∠=∠已知ABC Rt ∆中，BC AC =，090=∠C ，D 为AB 边的中点，090=∠EDF ，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F（1）当EDF ∠绕D 点旋转到AC DE ⊥于E 时（如图①），求证：ABC CEF DEF S S S ∆∆∆=+21；（2）当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S ∆、CEF S ∆、ABC S ∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明模型3 已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理模型分析在三角形中，如果又有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：BC DE //，且BC DE 21=来解题。

中点模型的构造、等积模型

几何综合题型一：中点模型的构造中点模型 ①中线（点）：倍长（类）中线 ②两中点：中位线③等腰三角形底边中点：三线合一④直角三角形斜边中点：斜边中线=斜边一半⇒构造两等腰 ⑤中垂线：中垂线上的点连两端点有些题目的中点没有直接给出，此时需要挖掘题目中隐含的中点条件，并适时添加辅助线．典题精练【例1】如图，在平行四边形ABCD 中，点M 为边AD 的中点，过点C 作AB 的垂线交AB 于点E ，若∠EMD = 3∠MEA ．求证：BC =2AB ．DCBA E M【解析】证法一：如右图（a ），延长EM 交CD 的长线于点E '，连结CM ∵AB ∥CD ，∴∠ME'D =∠MEA ．又AM = DM ，∠AME =∠DME' ∴△AFM ≌△DE M '． ∴EM =E M '∵AB ∥CD ，CE ⊥AB ， ∴EC ⊥CD ．∴CM 是Rt △ECE '斜边EE '的中线， ∴ME '=MC ．∴ME D E CM '='，∴∠EMC = 2ME D ∠'= 2∠AEM ． ∵∠EMD =3∠MEA ， ∴∠CMD =∠DCM ， ∴MD = CD ．∵AD = 2DM ，AB = CD ，AD = BC ， ∴BC = 2AB ．证法二：(a )E’ME A BCD如右图(b )，过点M 作MM AB '∥交BC 于M '，过点M '作M E ME ''∥交AB 的延长线于点E '，连接EM '．∴点M '是BC '的中点，EE AB '=，E BM EAM ∠''=∠，M E B M EA ''=∠，M MD EAM E BM '=∠=∠'' ∵点M '是Rt △EBC 斜边BC 的中点， ∴M E BM '='，∴BEM M BE ∠'=∠'．∴180E BM BEM ∠''=︒-∠'．∵∠EMD = 3∠MEA ，∴2M MD MEA ∠'=∠， ∴2E BM M E B ∠''=∠''∴1802BEM M E B ︒-∠'=∠''，1902M E B BEM ∠''=︒-∠'．∴E EM E ∠=∠''．∴EM EE '=',∴BM AB '=． ∴BC = 2AB ．【例2】如图所示，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边，向三角形的外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，点M 为BC 中点，⑴ 求证：AM ⊥EG ；⑵ 求证：EG = 2AM ．GF E DCBAM【解析】⑴ 如图所示，延长AM 到N ，使MN = AM ,延长MA 交EG 于点P ，连接BN 、NC ．∵BM = CM ，∴四边形ABNC 是平行四边形． ∴BN = AC = AG ．∵∠EAG +∠BAC = 180︒， ∠ABN +∠BAC = 180︒， ∴∠EAG =∠ABN ． ∵AE = AB ，∴△EAG ≌△ABN ．∴∠AEG =∠BAN ．又∵∠EAB = 90︒，∴∠EAP +∠BAN = 90︒． ∴∠AEP +∠EAP = 90︒． ∴MA ⊥EG ．⑵ 证明：∵△EAG ≌△ABN ，∴EG = AN = 2AM ．题型二：平移及等积变换典题精练(b )M’E’ME A B CDN P M A B C DE F G【例3】已知：如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，FG ⊥DE 于点H ．⑴ 求证：FG = DE ．⑵ 求证：FD + BG．HG FE DC B APAB C DEFG H【解析】延长GC 到点P ，使得GP = DF ，连接EP ，DP ．⑴ ∵DF ∥GP ，GP = DF∴四边形DFGP 为平行四边形 ∴FG = DP ，FG ∥DP 又∵FG ⊥DE ，∴DP ⊥DE ∴∠ADE =∠CDP 在△ADE 和△CDP 中 DAE DCP DA DCADE CDP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△CDP ∴DE = DP = FG⑵ 由⑴知道△DEP 为等腰直角三角形∴EP ==在△EGP 中，EG + DF = EG + GP ≥PE当EG ∥FD 时，取到等号【例4】如下图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若△PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？D【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差．如右图，连接CP 、AP ．可得：12BCP ADP S S ABCD +=△△12ABP BDP ADP ABCD S S S S ++=△△△所以BCD ABP BDP S S S -=△△△而12BCP BCFE S S =△，12ABP ABHG S S =△，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S -=-==△△△(平方分米)．题型三：旋转典题精练【例5】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠ABC =∠ADE =90°，点M 是CE 的中点，连接BM .⑴ 如图①，点D 在AB 上，连接DM ，并延长DM 交BC 于点N ，可探究得出BD 与BM 的数量关系为．⑵ 如图②，点D 不在AB 上，⑴中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．图1NMED CBA图2M DCBE【解析】⑴ BD⑵ 结论成立，证明：连接DM ，过点C 作CF ∥ED ，与DM 的延长线交于点F ，连接BF ，可证得△MDE ≌△MFC ,∴DM = FM ，DE = FC ， ∴AD = ED = FC ，作AN ⊥EC 于点N ，由已知∠ADE =90°，∠ABC =90°，可证得∠1 =∠2，∠3 =∠4， ∵CF ∥ED ， ∴∠1 =∠FCM ，∴∠BCF =∠4 +∠FCM = ∠3 +∠1 =∠3 +∠2 =∠BAD . ∴△BCF ≌△BAD ,∴BF = BD ，∠5 =∠6，∴∠DBF =∠5 +∠ABF =∠6 +∠ABF =∠ABC = 90°， ∴△DBF 是等腰三角形， ∵点M 是DF 的中点，则△BMD 是等腰三角形，∴BD【例6】已知正方形ABCD ，在BC 边上取一点E ，作EF AE ⊥交BCD ∠的外角平分线于F ，求证：AE EF =．D F CE B AGDFCE BA 【解析】法一：如图，连接AC ，过E 作EG BC ⊥，交AC 于G ．∵90AEG GEF ∠=︒-∠，90FEC GEF ∠=︒-∠， ∴AEG FEC ∠=∠．又∵GEC △为等腰直角三角形，∴GE CE =．又9045135ECF ∠=︒+︒=︒，18045135EGA ∠=︒-︒=︒， ∴ECF EGA ∠=∠，∴AEG FEC △≌△，故AE EF =．法二：如图，过E 作EG BC ⊥，交FC 的延长线于G ，连接AC ，则45ECG DCF ∠=∠=︒，∴45EGF ∠=︒，∴EG EC =．而45ACE ∠=︒，∴EGF ECA ∠=∠．又90FEG FEC ∠=︒+∠，90AEC FEC ∠=︒+∠，∴FEG AEC ∠=∠，有EFG EAC △≌△， ∴AE EF =．法三：在AB 上截取BN =BE ，证明ANE ECF △≌△即可；思维拓展训练(选讲)训练1. 如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD = BC ，AC 与BD 交于点O ，∠AOB =60︒，P 、Q 、R 分别是OA 、OB 、OC 的中点，求证：△PQR 是正三角形．DCB AR Q P O【解析】证明：如右图，连接BP 、CR ．∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴AD = BC ，OA = OB ，OC = OD ． ∵∠AOB = 60°，∴△AOB 、△COD 都是正三角形． ∵P 是OA 的中点，R 是OD 的中点， ∴BP ⊥OA ，CR ⊥OD ． ∵PR 是△ODA 的中位线，∴PR = 1122AD BC =．∴PR = PQ = QR ．GDFCE BAO P QR ABCD∴△PQR 是正三角形．训练2. 如图⑴，四边形EFGH 中，若12∠=∠，则3∠必然等于4∠．请运用结论证明下述问题：如图⑵，在平行四边形ABCD 中取一点P ，使得56∠=∠，求证：78∠=∠．4321HGE F (1)(2)A BCDP5678【分析】此题为信息题，难点在于如何理解已知条件，经观察我们．．．．．发现，若．．．．1∠和．2∠，位置为．．．．时可得出．．．．3∠和．4∠相等．．（．本质为．．．四点共圆．．．．）．．图⑵中，5∠与6∠关系并不像条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决．而构造平行四边形，恰可以达到改变角位置作用，为使5∠与6∠成形，我们可有如下四种方法．【解析】分别过点B 、P 作BK AP ∥，PK AB ∥，交于点K ，连接CK ．∵BK AP ∥，PK AB ∥∴BK AP =，PK AB =，5BKP ∠=∠，7BPK ∠=∠∵AB CD =，AB CD ∥ ∴PK CD ∥，PK CD =∴四边形PKCD 为平行四边形 ∴PD CK = ∵AD BC = ∴ADP △≌BCK △∴8BCK ∠=∠ 在四边形BKCP 中，56BKP ∠=∠=∠ ∴BPK BCK ∠=∠ ∴78∠=∠A BCDP 5678K(∠5,∠6不动移)A BCDP 5678K(∠5,∠6不动移)ABC D P5678K(∠5不动移∠6)（∠5不动移∠6）（∠5，∠6不移动）（∠5，∠6不移动）(∠6不动移∠5)K8765P DC B A训练3. 已知：在△ABC 中，BC = a ，AC = b ，以AB 为边作等边三角形ABD ．探究下列问题：⑴ 如图(a )，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a = b = 3，且∠ACB =60°，则CD = ________；⑵ 如图(b )，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a = b = 6，且∠ACB =90°，则CD = ________；⑶ 如图(c )，当∠ACB 变化，且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数．(a )D C BA(b )DCBA(c )ABCD【解析】⑴⑵⑶ 如图（d ），以点D 为中心，将△DBC 逆时针旋转60°，则点B 落在点A ，点C 落在点E ，连接AE 、CE 、DE ． ∴CD = ED ，∠CDE = 60°． ∴△CDE 为等边三角形． ∴CE = CD ．当点E 、A 、C 不在一条直线上时，有CD = CE < AE + AC = a + b ；如图(e ),当点E 、A 、C 在一条直线上时，CD 有最大值，CD = CE = a + b ；此时∠CED =∠BCD =∠ECD =60°，∴∠ACB =120°．因此当∠ACB =120°时，CD 有最大值是a + b ．ED CBA(d )(e )ED CBA。

专题02 中点四大模型(知识解读)(老师版)

专题02中点四大模型（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。

【方法技巧】模型1：倍长中线法如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.模型2：平行线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3：中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.【模型1倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故选C．（3）证明：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，∵AD是△ABC中线，∴CD＝BD，∵在△ADC和△MDB中∴△ADC≌△MDB，∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF．【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.【解答】解：（1）延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，∵AD是BC边的中线，∴BD＝DC，∵∠ADC＝∠BDE，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝3，在△ABC中，AB＝5，∴5﹣3＜AE＜5+3，∴2＜AE＜8，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4；（2）延长FD到点G，使GD＝DF，连接BG，EG，∵D是BC边上的中点，∴BD＝DC，∵∠BDG＝∠CDF，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF，∵DE⊥DF，∴ED是GF的垂直平分线，∴EG＝EF，在△BEG中，BE+BG＞EG，∴BE+CF＞EF．【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．【解答】（1）结论：若要使△ACD≌△EBD，应添上条件：AC∥BE或AD＝DE；证明：当AC∥BE时，∵AC∥BE，∴∠CAD＝∠E，∠ACD＝∠EBD，又∵D为BC的中点，∴BD＝CD，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（AAS）；当AD＝DE时，∵点D是BC中点，∴BD＝DC，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS），（2）解：∵△ACD≌△EBD，∴AC＝BE＝3，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即5﹣3＜2AD＜5+3，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4．【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE到F，使得EF＝DE；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．【解答】解：方法一：延长DE到F，使得EF＝DE，连接BF．在△DEC和△FEB中，，∴△DEC≌△FEB，∴∠D＝∠F，DC＝FB，∵∠BAE＝∠D，∴∠BAE＝∠F，∴BA＝BF，∴AB＝CD．方法二：作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F∵CG⊥DE，BF⊥DE，∴∠CGE＝∠BFE＝90°，在△CGE和△BFE中，，∴△CGE≌△BFE，∴BF＝CG，在△ABF和△DCG中，∴△ABF≌△DCG，∴AB＝CD．方法三：过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．∵CF∥AB，∴∠BAE＝∠F，∠B＝∠FCE，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE，∴AB＝FC，∵∠BAE＝∠D，∠BAE＝∠F，∴∠D＝∠F，∴CF＝CD，∴AB＝CD．【模型2平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【解答】解：如图，延长AE交BC于点F，∵点E是CD的中点∴DE＝CE，∵AB⊥BC，AB⊥AD∴AD∥BC∴∠ADE＝∠BCE且DE＝CE，∠AED＝∠CEF∴△AED≌△FEC（ASA）∴AD＝FC＝5，AE＝EF∴BF＝BC﹣FC＝5∴在Rt△ABF中，AF＝＝13∴AE＝＝【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝．【答案】【解答】解：延长BE交CD于点F，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠DFE，在△ABE与△DFE中，，∴△ABE≌△DFE（ASA），∴BE＝EF＝BF，AB＝DF＝1，∴CF＝2，∴BF＝＝＝2，∴BE＝BF＝，故答案为：．【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE ＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【解答】解：石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，又∵M为BC中点，∴BM＝MC．在△BEM和△CFM中，，∴△BEM≌△CFM（SAS），∴ME＝MF．即石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；②求BE的长．【解答】解：①延长BE与CD相交于点F，则EF＝BE，证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠ABE＝∠DFE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AEB与△DEF中，，∴△AEB≌△△DEF（AAS），∴BE＝EF；②∵△AEB≌△△DEF，∴DF＝AB＝6，BE＝EF＝BF，∴CF＝CD﹣DF＝6，∵BC⊥CD，∴BF＝＝10，∴BE＝BF＝5．【模型3中位线】【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（）A．1B．2C．D．【答案】D【解答】解：延长BD交AC于H，在△ADB和△ADH中，，∴△ADB≌△ADH（ASA）．∴AH＝AB＝4，BD＝DH，∴HC＝AC﹣AH＝3，∵BD＝DH，BE＝EC，∴DE＝HC＝，故选：D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．【答案】20【解答】解：∵点D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点，∴EF、DE、DF为△ABC的中位线，∴EF＝AB，DF＝BC，DE＝AC，∴AB＝2EF，BC＝2DF，AC＝2DE，∵△DEF的周长为10，∴EF+DE+DF＝10，∴2EF+2DE+2DF＝20，∴AB+BC+AC＝20，∴△ABC的周长为20．故答案为：20．【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD 和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）四边形DEFC的面积为．【解答】（1）证明：在△ABC中，∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF．（2）解：过点D作DH⊥BC于H．∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∵AD＝BD，∴CD⊥AB，∠DCB＝∠ACB＝30°，∵BC＝4，BD＝2，∴CD＝＝，∵∠DHC＝90°，∴DH＝DC＝，∵DE为△ABC的中位线，∴DE∥CF，∵DE＝CF＝BC＝2，∴四边形DEFC是平行四边形，＝CF•DH＝2×＝2．∴S四边形DEFC故答案为：2．【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DE的中点为G，∴DE＝2DG，∵CD的中点为F，∴FG是△DFG的中位线，∴CE＝2FG，FG∥CE，∴FG∥AD，∵CE＝DE＝2BC，∴FG＝DG＝BC，∴AD＝FG，∴四边形AFGD是平行四边形，∵FG＝DG，∴四边形AFGD为菱形；（2）解：连接AG交DF于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADO，AD＝BC＝2，∵四边形AFGD为菱形，∴AG⊥DF，AG＝2AO，在Rt△ADO中，，∴tan∠ADO＝＝，∴设AO＝3x，DO＝2x，∵AO2+DO2＝AD2，∴（3x）2+（2x）2＝4，∴x＝或x＝﹣（舍去），∴AG＝2AO＝，∴AG的长为．【模型4】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．【解答】解：证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴EC＝EB，∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵∠A+∠B＝90°，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB；证法2：延长CD至点E，使得DE＝CD，连接AE、BE．如图3所示：∵AD＝DB，DE＝CD．∴四边形ACBE是平行四边形．又∵∠ACB＝90°，∴四边形ACBE是矩形．∴AB＝CE，又∵CD＝CE，∴CD＝AB；证法3：延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，∵CD是斜边AB的中线，∴BD＝AD，∵∠CDB＝∠EDA，CD＝DE，∴△CDB≌△EDA（SAS），∴CB＝AE，∠B＝∠DAE，∴CB∥AE，∴∠BCA+∠ACE＝180°，∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＝90°，∵CB＝AE，∠BCA＝∠EAC＝90°，AC＝CA∴△ABC≌△CEA（SAS），∴AB＝CE∵CE＝2CD∴AB＝2CD．【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A．5B．10C．15D．20【答案】D【解答】解：根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得斜边长＝2×10＝20，故选：D．【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F 是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【答案】C【解答】解：∵∠AEB＝90°，D是边AB的中点，AB＝6，∴DE＝AB＝3，∵EF＝1，∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴AC＝2DF＝8．故选：C．【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．【解答】解：证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴EC＝EB，∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵∠A+∠B＝90°，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．故答案为：EC＝EB；∠A+∠B＝90°；证法2：延长CD至点E，使得DE＝CD，连接AE、BE．如图3所示：∵AD＝DB，DE＝CD．∴四边形ACBE是平行四边形．又∵∠ACB＝90°，∴四边形ACBE是矩形．∴AB＝CE，又∵CD＝CE，∴CD＝AB．。

几何经典模型：中点四大模型

本文为word 版资料，可以任意编辑修改本文为word 版资料，可以任意编辑修本文为word 版资料，可以任意编辑修模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形②图①图构造全等倍长类中线倍长中线DC BAFF ABCABCDCBA模型分析如图①，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE ＝AD ，易证：△ADC ≌△EDB （SAS ）．如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE ＝FD ，易证：△FDB ≌△EDC （SAS ）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．模型实例如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AF ＝EF ，求证：AC ＝BE ．FECA1．如图，在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝20，求BC 边上中线AD 的范围．BA解：延长AD 到E ，使AD ＝DE ，连接BE ， ∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD ＝CD ，在△ADC 与△EDB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DE AD BDE ADC CD BD ， ∴△ADC ≌△EDB （SAS ）， ∴EB ＝AC ＝20，根据三角形的三边关系定理：20－12＜AE ＜20＋12， ∴4＜AD ＜16，故AD 的取值范围为4＜AD ＜16．EABCD2．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM ⊥DN ，如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2．求证：AD 2＝41(AB 2＋AC 2)． NMA∴ED ＝DN ．在△BED 与△CND 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN ED CDN BDE DC BD ∴△BED ≌△CND （SAS ）． ∴BE ＝NC ． ∵∠MDN ＝90°，∴MD 为EN 的中垂线． ∴EM ＝MN ．∴BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2， ∴△BEM 为直角三角形，∠MBE ＝90°． ∴∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°． ∴∠BAC ＝90°． ∴AD 2＝(21BC )2＝41（AB 2＋AC 2）． E ABCD MN模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．连接中线模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”．模型实例如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，求MN 的长度．NM CB AAN解答：连接AM ．∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 中点， ∴AM ⊥BC ，BM ＝CM ＝21BC ＝3． ∵AB ＝5， ∴AM ＝4352222=-=-BM AB ．∵MN ⊥AC ，∴S △ANC ＝21MC ·AM ＝21AC ·MN ．即：21×3×4＝21×5×MN ．∴MN ＝512小猿热搜1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AE ⊥DE ，AF ⊥DF ，且AE ＝AF ，求证：∠EDB ＝∠FDC ．F证明：连结AD ，∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∠ADB ＝∠ADC ＝90° 在Rt △AED 与Rt △AFD 中，⎩⎨⎧==ADAD AFAB ， ∴Rt △AED ≌Rt △AFD ．（HL ） ∴∠ADE ＝∠ADF ， ∵∠ADB ＋∠ADC ＝90°， ∴∠EDB ＝∠FDC ．AB C2．已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DF ⊥AC 于E 时（如图①），求证：S △DEF ＋S △CEF ＝21S △ABC ；（2）当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．③图②图①图EFCC∵∠EDF ＝90°， ∴∠1＝∠2，在△CDE 和△BDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠B DCB BD CD 21， ∴△CDE ≌△BDF （ASA ），∴S △DEF ＋S △CEF ＝S △ADE ＋S △BDF ＝21S △ABC ；（2）不成立；S △DEF −S △C EF ＝21S △ABC ；理由如下：连接CD ，如图3所示：同（1）得：△DEC ≌△DBF ，∠DCE ＝∠DBF ＝135° ∴S △DEF ＝S 五边形DBFEC ，＝S △CFE ＋S △DBC ，＝S △CFE ＋21S △ABC ， ∴S △DEF －S △CFE ＝21S △ABC ．∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是：S △DEF －S △CEF ＝21S △ABC ． AE ACDF模型3 已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理： DE ∥BC ，且DE ＝21BC 来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题．模型实例如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M ，N ．求证：∠BME ＝∠CNE ．NM FEDBAHABDEFM N解答如图，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE 、HF ． ∵E 、F 分别是BC 、AD 的中点， ∴FH ＝21AB ，FH ∥AB ，HE ＝21DC ，HE ∥NC ．又∵AB ＝CD ，∴HE ＝HF ．∴∠HFE ＝∠HEF ． ∵FH ∥MB ，HE ∥NC ，∴∠BME ＝∠HFE ，∠CNE ＝∠FEH ． ∴∠BME ＝∠CNE ．练习：1.（1）如图1，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，垂足分别为D ，E ，连接DE ，求证：DE ∥BC ，DE =12（AB +BC +AC ）；（2）如图2，BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？（3）如图3，BD 是△ABC 的内角平分线，CE 是△ABC 的外角平分线，其他条件不变，DE 与BC 还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.E D CBA图1G FEDCBA图2FED CBA图31.解答（1）如图①，分别延长AE ，AD 交BC 于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中， ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌ △BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB .同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12HK .又∵HK =BK +BC +CH =AB +BC +AC . ∴DE =12（AB +AC +BC ）.ED A（2）猜想结果：图②结论为DE =12（AB +AC -BC ）证明：分别延长AE ，AD 交BC 于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中 ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌△BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12HK . 又∵HK =BK +CH -BC =AB +AC -BC∴DE =12（AB +AC -BC ）GAB CDEF 图2（3）图③的结论为DE =12（BC +AC -AB ）证明：分别延长AE ，AD 交BC 或延长线于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中， ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌△BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB .同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12KH . 又∵HK =BH -BK =BC +CH -BK =BC +AC -AB∴DE =12（BC +AC -AB ）.ABCD EKHF图32.问题一：如图①，在四边形ABCD 中，AB 与CD 相交于点O ，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF ，分别交DC ，AB 于点M ，N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论.问题二：如图②，在△ABC 中，AC >AB ，D 点在AC 上，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若∠EFC =60°，连接GD ，判断△AGD 的形状并证明.图1NMO F E DC BAE图2G ABCDF2.证明（1）等腰三角形（提示：取AC 中点H ，连接FH ，EH ，如图①）图1ABC DE FNMO H（2）△AGD 是直角三角形如图②，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HF ，HE . ∵F 是AD 的中点， ∴HF ∥AB ，HF =12AB . ∴∠1=∠3.同理，HE ∥CD ，HE =12CD ， ∴∠2=∠EFC ， ∴AB =CD ， ∴HF =HE .∴△AGF 是等边三角形. ∴AF =FG . ∴GF =FD .∴∠FGD =∠FDG =30°.∴∠AGD =90°，即△AGD 是直角三角形.图2321G A BCDF H模型4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线构造直角三角形斜边上的中线DCBADA模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD =12AB ，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD 和△BCD ，该模型经常会与中位线定理一起综合应用. 模型实例如图，在△ABC 中，BE ，CF 分别为AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，DM ⊥ EF 于点M ，求证：FM =EM .M FEDCBA证明连接DE ，DF .BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点， DF =12BC ，DE =12BC .DF =DE ，即△DEF 是等腰三角形. DM ⊥EF ，点M 是EF 的中点，即FM =EM .ABCDEFM练习：1.如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB =10，求DM 的长度.MD A1.解答取AB 中点N ，连接DN ，MN .在Rt △ADB 中，N 是斜边AB 上的中点， ∴DN =12AB =BN =5.∴∠NDB =∠B .在△ABC 中，M ，N 分别是BC ，AB 的中点， ∴MN ∥AC∴∠NMB =∠C ，又∵∠NDB 是△NDM 的外角， ∴∠NDB =∠NMD +∠DNM .即∠B =∠NMD +∠DNM =∠C +∠DNM . 又∵∠B =2∠C ，∴∠DNM =∠C =∠NMD . ∴DM =DN . ∴DM =5.N MD CBA2.已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE =90°，连接DE ，M 为DE 的中点，连接MB ，MC ，求证：MB =MC .MEDCBA2.证明延长BM 交CE 于G ，∵△ABD 和△ACE 都是直角三角形， ∴CE ∥BD .∴∠BDM =∠GEM .又∵M 是DE 中点，即DM =EM ，且∠BMD =∠GME ， ∴△BMD ≌△GME . ∴BM =MG .∴M 是BG 的中点，∴在Rt △CBG 中，BM =CM .ABCDEMG3.问题1：如图①，三角形ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE ⊥ BC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F .AE 、BF 交于点M ，连接DE ，DF ，若DE =kDF ，则k 的值为 . 问题2：如图②，三角形ABC 中，CB =CA ，点D 是AB 边的中点，点M 在三角形ABC 内部，且∠MAC =∠MBC ，过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥ AC ，垂足分别为点E ，F ，连接DE ，DF ，求证：DE =DF .问题3：如图③，若将上面问题2中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.图1MF E DCBA图2ABCDE FM图3BCDE F M3.解答∵（1）AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，∴△AEB 和△AFB 都是直角三角形， ∵D 是AB 的中点， ∴DE =12AB ，DF =12AB . ∴DE =DF . ∵DE =KDF ， ∴k =1.图1MF E DCBA（2）∵CB =CA ， ∴∠CBA =∠CAB . ∵∠MAC =∠MBC ，∴∠CBA -∠MBC =∠CAB -∠MAC ，即∠ABM =∠BAM . ∴AM =BM .∵ME ⊥BC ，MF ⊥AC ， ∴∠MEB =∠MF A =90°. 又∵∠MBE =∠MAF ，∴△MEB ≌△MF A （AAS ） ∴BE =AF .∵D 是AB 的中点，即BD =AD ，又∵∠DBE =∠DAF ，∴△DBE ≌△DAF （SAS ） ∴DE =DF .图2BCDE FM（3）DE =DF .如图，作AM 的中点G ，BM 的中点H ，连DG ，FG ，DH ，EH . ∵点D 是边AB 的中点， ∴DG ∥BM ，DG =12BM . 同理可得：DH ∥AM ，DH =12AM . ∵ME ⊥BC 于E ，H 是BM 的中点.∴在Rt △BEM 中，HE =12BM =BH . ∴∠HBE =∠HEB . ∴∠MHE =2∠HBE .又∵DG =12BM ，HE =12BM ，∴DG =HE .同理可得：DH =FG . ∠MGF =2∠MAC . ∵DG ∥BM ，DH ∥GM ，∴四边形DHMG 是平行四边形. ∴∠DGM =∠DHM .∵∠MGF =2∠MAC ， ∠MHE =2∠MBC ， ∠MBC =∠MAC ， ∴∠MGF =∠MHE .∴∠DGM +∠MGF =∠DHM +∠MHE . ∴∠DGF =∠DHE . 在△DHE 与△FGD 中 DG HE DGF DHE DH FG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DHE ≌ △FGD （SAS ） ∴DE =DF .A BCDEFMHGbadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidu赠送—高中数学必修1知识点【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表+示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n -个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 B{|x x x ∈A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆B{|x x x ∈A A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇UA{|}x x ∈()U A A =∅2()U A A U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法）含绝对值的不等式的解法解集0) {|x a -()()()U U U A B A B =()()()UU U A B A B =。

2.4中点模型

中点模型一．四种不同的类型：1、类型一：三线合一型。

①如图所示，在等腰△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 在AD 上。

求证：BE=CE。

分析：等边三角形加上中线，可利用三线合一得到AD ⊥BC。

由垂直平分线可得BE=CE。

附思路图：说明：只要有等腰三角形，再加上中点就可以运用三线合一，得到垂直或者角平分线。

实质上运用的就是对称的思想。

②如图2，ABC ∆是等边三角形，D 点是AC 的中点，延长BC 到E，使CE=CD，过点D 作DM BE ⊥，垂直为M．求证：BM=EM．分析：等边三角形加上中点，可利用三线合一得到∠ADC=∠ABD=30°。

由CE=CD 可得∠E=30°；于是得到等腰△DBE；最后再根据三线合一得到BM=EM。

附思路图：说明：此题两次运用三线合一，前提都有等腰再加中点或者垂直，便可得到垂直或中点。

2、类型一：倍长中线型。

在利用中线解决几何问题时，我们经常采用“倍长中线法”添加辅助线。

倍长中线法：就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。

（1）直接倍长中线：如图1，AD 是△ABC 的中线。

延长AD 至E，使ED=AD，连接BE。

于是得到△ADC≌△EDB。

（2）间接倍长中线：如图2，AD 是△ABC的中线。

延长ED 至F，使FD=ED，连接CF。

于是得到△BED≌△CFD。

ABCDEABC DE FABC D M E图1图2说明：在含有中点的几何题中，更为常用的是间接倍长中线法。

两种方法基本思路完全一致，需要根据不同的题目灵活变化。

①如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G、F 分别为AD、BC 边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF 的长.分析：此题可用相似求出GE、EF，再用勾股定理求出GF 长，但这种方法过于麻烦。

因为有中点，所以我们可以采用间接倍长中线法将GE 倍长构造全等。

中点四大模型

中点四大模型模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形②图①图构造全等倍长类中线倍长中线DC BAFF ABCABCDCBA模型分析如图①，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE ＝AD ，易证：△ADC ≌△EDB （SAS ）．如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE ＝FD ，易证：△FDB ≌△EDC （SAS ）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．模型实例如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AF ＝EF ，求证：AC ＝BE ．FECA1．如图，在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝20，求BC 边上中线AD 的范围．BA解：延长AD 到E ，使AD ＝DE ，连接BE ， ∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD ＝CD ，在△ADC 与△EDB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DE AD BDE ADC CD BD ， ∴△ADC ≌△EDB （SAS ）， ∴EB ＝AC ＝20，根据三角形的三边关系定理：20－12＜AE ＜20＋12， ∴4＜AD ＜16，故AD 的取值范围为4＜AD ＜16．EABCD2．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM ⊥DN ，如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2．求证：AD 2＝41(AB 2＋AC 2)．NMA证明：如图，过点B 作AC 的平行线交ND 的延长线于E ，连ME ． ∵BD ＝DC ， ∴ED ＝DN ．在△BED 与△CND 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN ED CDN BDE DC BD ∴△BED ≌△CND （SAS ）． ∴BE ＝NC ． ∵∠MDN ＝90°，∴MD 为EN 的中垂线． ∴EM ＝MN ．∴BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2， ∴△BEM 为直角三角形，∠MBE ＝90°． ∴∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°． ∴∠BAC ＝90°． ∴AD 2＝(21BC )2＝41（AB 2＋AC 2）． ABCD MN模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．连接中线ABCDDCBA模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”．模型实例如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，求MN 的长度．NM CB AAN解答：连接AM ．∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 中点， ∴AM ⊥BC ，BM ＝CM ＝21BC ＝3． ∵AB ＝5， ∴AM ＝4352222=-=-BM AB ．∵MN ⊥AC ，∴S △ANC ＝21MC ·AM ＝21AC ·MN ．即：21×3×4＝21×5×MN ．∴MN ＝512小猿热搜1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AE ⊥DE ，AF ⊥DF ，且AE ＝AF ，求证：∠EDB ＝∠FDC ．FCA证明：连结AD ，∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∠ADB ＝∠ADC ＝90° 在Rt △AED 与Rt △AFD 中，⎩⎨⎧==ADAD AFAB ， ∴Rt △AED ≌Rt △AFD ．（HL ） ∴∠ADE ＝∠ADF ， ∵∠ADB ＋∠ADC ＝90°， ∴∠EDB ＝∠FDC ．AB C2．已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DF ⊥AC 于E 时（如图①），求证：S △DEF ＋S △CEF ＝21S △ABC ；（2）当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．③图②图①图ABDEFACDF DCA解：（1）连接CD ；如图2所示： ∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点， ∴∠B ＝45°，∠DCE ＝21∠ACB ＝45°，CD ⊥AB ，CD ＝21AB ＝BD ， ∴∠DCE ＝∠B ，∠CDB ＝90°，∵∠EDF ＝90°， ∴∠1＝∠2，在△CDE 和△BDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠B DCB BD CD 21， ∴△CDE ≌△BDF （ASA ），∴S △DEF ＋S △CEF ＝S △ADE ＋S △BDF ＝21S △ABC ；（2）不成立；S △DEF −S △C EF ＝21S △ABC ；理由如下：连接CD ，如图3所示：同（1）得：△DEC ≌△DBF ，∠DCE ＝∠DBF ＝135° ∴S △DEF ＝S 五边形DBFEC ，＝S △CFE ＋S △DBC ，＝S △CFE ＋21S △ABC ， ∴S △DEF －S △CFE ＝21S △ABC ．∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是：S △DEF －S △CEF ＝21S △ABC ． 21ACDEABCDEF模型3 已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理构造中位线取另一边中点EADDC模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理： DE ∥BC ，且DE ＝21BC 来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题．模型实例如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M ，N ．求证：∠BME ＝∠CNE ．NM FEDCBAHABDEFM N解答如图，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE 、HF ． ∵E 、F 分别是BC 、AD 的中点， ∴FH ＝21AB ，FH ∥AB ，HE ＝21DC ，HE ∥NC ．又∵AB ＝CD ，∴HE ＝HF ．∴∠HFE ＝∠HEF ． ∵FH ∥MB ，HE ∥NC ，∴∠BME ＝∠HFE ，∠CNE ＝∠FEH ． ∴∠BME ＝∠CNE ．练习：1.（1）如图1，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，垂足分别为D ，E ，连接DE ，求证：DE ∥BC ，DE =12（AB +BC +AC ）；（2）如图2，BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？（3）如图3，BD 是△ABC 的内角平分线，CE 是△ABC 的外角平分线，其他条件不变，DE 与BC 还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.E D CBA图1G FEDCBA图2FED BA图31.解答（1）如图①，分别延长AE ，AD 交BC 于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中，ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌ △BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB .同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12HK .又∵HK =BK +BC +CH =AB +BC +AC . ∴DE =12（AB +AC +BC ）.HKED C BA图1（2）猜想结果：图②结论为DE =12（AB +AC -BC ）证明：分别延长AE ，AD 交BC 于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌△BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12HK . 又∵HK =BK +CH -BC =AB +AC -BC∴DE =12（AB +AC -BC ）GABCDEKHF 图2（3）图③的结论为DE =12（BC +AC -AB ）证明：分别延长AE ，AD 交BC 或延长线于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中，ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌△BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB .同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12KH . 又∵HK =BH -BK=BC +CH -BK =BC +AC -AB∴DE =12（BC +AC -AB ）.ABCD EKHF图32.问题一：如图①，在四边形ABCD 中，AB 与CD 相交于点O ，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF ，分别交DC ，AB 于点M ，N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论.问题二：如图②，在△ABC 中，AC >AB ，D 点在AC 上，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若∠EFC =60°，连接GD ，判断△AGD 的形状并证明.图1NMO F E DC BAE图2G ABCDF2.证明（1）等腰三角形（提示：取AC 中点H ，连接FH ，EH ，如图①）图1ABC DE FNMO H（2）△AGD 是直角三角形如图②，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HF ，HE . ∵F 是AD 的中点， ∴HF ∥AB ，HF =12AB . ∴∠1=∠3.同理，HE ∥CD ，HE =12CD ， ∴∠2=∠EFC ， ∴AB =CD ，∴HF =HE . ∴∠1=∠2.∵∠EFC =60°，∴∠3=∠EFC =∠AFG =60°. ∴△AGF 是等边三角形. ∴AF =FG . ∴GF =FD .∴∠FGD =∠FDG =30°.∴∠AGD =90°，即△AGD 是直角三角形.图2321G A BCDF H模型4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线构造直角三角形斜边上的中线DCBADA模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD =12AB ，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD 和△BCD ，该模型经常会与中位线定理一起综合应用. 模型实例如图，在△ABC 中，BE ，CF 分别为AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，DM ⊥ EF 于点M ，求证：FM =EM .M FEDCBA证明连接DE ，DF .BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点， DF =12BC ，DE =12BC .DF =DE ，即△DEF 是等腰三角形. DM ⊥EF ，点M 是EF 的中点，即FM =EM .ABCEFM练习：1.如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB =10，求DM 的长度.MD A1.解答取AB 中点N ，连接DN ，MN .在Rt △ADB 中，N 是斜边AB 上的中点， ∴DN =12AB =BN =5.∴∠NDB =∠B .在△ABC 中，M ，N 分别是BC ，AB 的中点， ∴MN ∥AC∴∠NMB =∠C ，又∵∠NDB 是△NDM 的外角， ∴∠NDB =∠NMD +∠DNM .即∠B =∠NMD +∠DNM =∠C +∠DNM . 又∵∠B =2∠C ，∴∠DNM =∠C =∠NMD . ∴DM =DN . ∴DM =5.N MD CBA2.已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE =90°，连接DE ，M 为DE 的中点，连接MB ，MC ，求证：MB =MC .MEDCBA2.证明延长BM 交CE 于G ，∵△ABD 和△ACE 都是直角三角形， ∴CE ∥BD .∴∠BDM =∠GEM .又∵M 是DE 中点，即DM =EM ，且∠BMD =∠GME ， ∴△BMD ≌△GME . ∴BM =MG .∴M 是BG 的中点，∴在Rt △CBG 中，BM =CM .ABCDEMG3.问题1：如图①，三角形ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE ⊥ BC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F .AE 、BF 交于点M ，连接DE ，DF ，若DE =kDF ，则k 的值为 . 问题2：如图②，三角形ABC 中，CB =CA ，点D 是AB 边的中点，点M 在三角形ABC 内部，且∠MAC =∠MBC ，过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥ AC ，垂足分别为点E ，F ，连接DE ，DF ，求证：DE =DF .问题3：如图③，若将上面问题2中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.图1MF E DCBA图2ABCDE FM图3ABCDE F M3.解答∵（1）AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，∴△AEB 和△AFB 都是直角三角形， ∵D 是AB 的中点， ∴DE =12AB ，DF =12AB . ∴DE =DF . ∵DE =KDF ， ∴k =1.图1MF E DCBA（2）∵CB =CA ， ∴∠CBA =∠CAB . ∵∠MAC =∠MBC ，∴∠CBA -∠MBC =∠CAB -∠MAC ，即∠ABM =∠BAM . ∴AM =BM .∵ME ⊥BC ，MF ⊥AC ， ∴∠MEB =∠MF A =90°. 又∵∠MBE =∠MAF ，∴△MEB ≌△MF A （AAS ） ∴BE =AF .∵D 是AB 的中点，即BD =AD ，又∵∠DBE =∠DAF ，∴△DBE ≌△DAF （SAS ） ∴DE =DF .图2ABCDFM（3）DE =DF .如图，作AM 的中点G ，BM 的中点H ，连DG ，FG ，DH ，EH . ∵点D 是边AB 的中点， ∴DG ∥BM ，DG =12BM . 同理可得：DH ∥AM ，DH =12AM . ∵ME ⊥BC 于E ，H 是BM 的中点.∴在Rt △BEM 中，HE =12BM =BH . ∴∠HBE =∠HEB . ∴∠MHE =2∠HBE .又∵DG =12BM ，HE =12BM ，∴DG =HE .同理可得：DH =FG . ∠MGF =2∠MAC . ∵DG ∥BM ，DH ∥GM ，∴四边形DHMG 是平行四边形. ∴∠DGM =∠DHM .∵∠MGF =2∠MAC ， ∠MHE =2∠MBC ， ∠MBC =∠MAC ， ∴∠MGF =∠MHE .∴∠DGM +∠MGF =∠DHM +∠MHE . ∴∠DGF =∠DHE . 在△DHE 与△FGD 中DG HE DGF DHE DH FG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DHE ≌ △FGD （SAS ） ∴DE =DF .A BCDEFMHG。

初中数学常见模型之中点四大模型

巩固练习
1.（1）如图①，BD、CE 分别是△ABC 的外角平分，过点 A 作AD⊥BD、AE⊥CE，垂足分别为D、 E，连接DE。求证：DE∥BC，
（2）如图②，BD、CE 分别是△ABC 的内角平分，其它条件不变。上述结论是否成立？
（3）如图③，BD 是△ABC 的内角平分，CE 是△ABC 的外角平分，其它条件不变。DE 与BC 还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想BD 中，AB 与CD 相交于点O，AB=CD，E、F 分别是BC、AD 的中点，连接 EF 分别交DC、AB 于点M、N，判断△OMN 的形状，请直接写出结论；
问题二：如图②，在△ABC 中，AC>AB，点D 在AC 上，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点 G，若 ∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD 的形状并证明。
3.问题 1：如图①，△ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E、F， AE、BF 交于点M，连接DE、DF。若 DE =kDF ，则k 的值为；
问题 2 ：如图 ② ， △ ABC 中， CB=CA ，点 D 是 AB 边的中点，点 M 在 △ ABC 内部，且 ∠MAC=∠MBC。过点 M 分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F，连接DE、DF。若 DE=DF；
模型实例
例 1:如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE
并延长 AC 于点F，AF=EF。求证：AC=BE
巩固练习
1.如图，在△ABC 中，AB=12，AC=20，求BC 边上中线AD 的范围
2.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM⊥DN，如果求证：

重要的几何模型之中点模型(二)(学生版)-2024年中考数学常见几何模型

重要的几何模型之中点模型(二)中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。

常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型(与倍长中线法类似)；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。

本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1：直角三角形斜边中线模型定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，若AD为Rt△ABC斜边上的中线，则：(1)AD=1BC=BD=DC；(2)△ABD，△ACD为等腰三角形；(3)∠ADB=2∠C，∠ADC=2∠B．2图1图2拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则(1)AM=MD；(2)∠AMD=2∠ABD．模型运用条件：连斜边上的中线(出现斜边上的中点时)1(2023·江苏盐城·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，若CD=2，则AB=．2(2023·江苏扬州·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，过点D作DE ⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD=5，BC=8，则DE=．3(2023·河南新乡·统考三模)如图，点O为菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，过点C作CE⊥AB于点E，连接OE，若OD=3，OE=2，则菱形ABCD的面积为．4(2023上·四川成都·九年级校考期中)如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=45°，连接AC、BD．M是AC的中点，连接BM、DM．若AC=10，则△BMD的面积为．5(2023·江苏常州·中考真题)如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点(C不与A、B重合)，CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是()A.3B.4C.5D.66(2023·辽宁鞍山·校考三模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD，则下列说法不正确的是()A.BE=BCB.∠DFC=90°C.DG=3GFD.四边形BFDE是平行四边形模型2：中位线模型三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

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E
图2
C
模型4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线
A
A
D 构造直角三角形斜边上的中线
D
C
B
C
B
A
ME F
B
C
D
A
B
D
M
C
A
C
E
M
D
B
A
D F
M
B
E
Cห้องสมุดไป่ตู้
图1
A
D
F
M
B
C E
图2
A
D
F
M
B
E
C
图3
热搜精练 1．如图，在△ABC中，AB=12，AC=20，求BC边上中线AD的范围。
A
B
D
C
A
M
N
B
D
C
模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”
A
A
连接中线
B
C
D
B
D
C
模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线
合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”。
中点模型
模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形
A
A 倍长中线
B
B
D
C
图1
C D
F B
A D
倍长类中线
构造全等
C
B
图2
E A
F D
C E
模型分析如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE=AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）。如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE=FD，易证： △FDB≌△FDC（SAS）。当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。
A
N
B
M
C
A
E
F
B
D
C
A
E
D
C
F
B
图1
A
D
E
C
B
图2 F
A
D
C
BF
E
图3
模型3 已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理
D B
A
取另一边中点构造中位线 D
C
B
A E C
M
N
A
F
D
B
E
C
A
A
D
M B 图1C
G
F
E
E
D
NB
图2
C
A DE
B
C
N
图3
A O
F MN
C E
G A
FD
D
图1
B B