模式识别课件总顺序No5第二章NO4陈艳071021非参数估计
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模式识别第二章ppt课件
2.2.2 聚类准则
• 试探方法
凭直观感觉或经验，针对实际问题定义一种 相似性测度的阈值，然后按最近邻规则指定 某些模式样本属于某一个聚类类别。
– 例如对欧氏距离，它反映了样本间的近邻性，但 将一个样本分到不同类别中的哪一个时，还必须 规定一个距离测度的阈值作为聚类的判别准则。
精选ppt课件2021
• 特征选择的维数
在特征选择中往往会选择一些多余的特征，它增加了 维数，从而增加了聚类分析的复杂度，但对模式分类 却没有提供多少有用的信息。在这种情况下，需要去 掉相关程度过高的特征（进行降维处理）。
• 降维方法
– 结论：若rij->1，则表明第i维特征与第j维特征所反 映的特征规律接近，因此可以略去其中的一个特
– 距离阈值T对聚类结果的影响
精选ppt课件2021
17
2.3 基于试探的聚类搜索算法
2.3.2 最大最小距离算法
• 基本思想：以试探类间欧氏距离为最大 作为预选出聚类中心的条件。
• 病人的病程
– 名义尺度：指定性的指标，即特征度量时没有数量
关系，也没有明显的次序关系，如黑色和白色的关
系，男性和女性的关系等，都可将它们分别用“0”
和“1”来表示。
• 超过2个状态时，可精选用pp多t课个件2数021值表示。
8
2.2 模式相似性的测度和
聚类准则
2.2.1 相似Βιβλιοθήκη 测度• 目的：为了能将模式集划分成不同的类别，必须定义 一种相似性的测度，来度量同一类样本间的类似性和 不属于同一类样本间的差异性。
12
2.2 模式相似性的测度和
聚类准则
2.2.2 聚类准则
• 聚类准则函数法
– 依据：由于聚类是将样本进行分类以使类别间可 分离性为最大，因此聚类准则应是反映类别间相 似性或分离性的函数；
• 试探方法
凭直观感觉或经验，针对实际问题定义一种 相似性测度的阈值，然后按最近邻规则指定 某些模式样本属于某一个聚类类别。
– 例如对欧氏距离，它反映了样本间的近邻性，但 将一个样本分到不同类别中的哪一个时，还必须 规定一个距离测度的阈值作为聚类的判别准则。
精选ppt课件2021
• 特征选择的维数
在特征选择中往往会选择一些多余的特征，它增加了 维数，从而增加了聚类分析的复杂度，但对模式分类 却没有提供多少有用的信息。在这种情况下，需要去 掉相关程度过高的特征（进行降维处理）。
• 降维方法
– 结论：若rij->1，则表明第i维特征与第j维特征所反 映的特征规律接近，因此可以略去其中的一个特
– 距离阈值T对聚类结果的影响
精选ppt课件2021
17
2.3 基于试探的聚类搜索算法
2.3.2 最大最小距离算法
• 基本思想：以试探类间欧氏距离为最大 作为预选出聚类中心的条件。
• 病人的病程
– 名义尺度：指定性的指标，即特征度量时没有数量
关系，也没有明显的次序关系，如黑色和白色的关
系，男性和女性的关系等，都可将它们分别用“0”
和“1”来表示。
• 超过2个状态时，可精选用pp多t课个件2数021值表示。
8
2.2 模式相似性的测度和
聚类准则
2.2.1 相似Βιβλιοθήκη 测度• 目的：为了能将模式集划分成不同的类别，必须定义 一种相似性的测度，来度量同一类样本间的类似性和 不属于同一类样本间的差异性。
12
2.2 模式相似性的测度和
聚类准则
2.2.2 聚类准则
• 聚类准则函数法
– 依据：由于聚类是将样本进行分类以使类别间可 分离性为最大，因此聚类准则应是反映类别间相 似性或分离性的函数；
模式识别ppt课件
pˆ N则是这些曲线
( x)
2.5，1.1为中心的正态曲线，而
之和。
由图看出：每个样本对估计的贡献与样本间
的距离有关，样本越多， PN(x)越准确。
例2：设待估计的p(x)是均值为0，方差为1的正
态密度函数。
若随机抽取X样本中的1个、 16个、 256个作
为学习样本xi,试用窗口法估计pN(x)。
| x xi |
(
)0
（保证 pˆ N ( x) 非负）
hN
( | x x i | )d ( | x x i | ) 0
（使 pˆ N ( x)dx 1）
hN
hN
④ 窗函数的选择
例：矩形窗、正态窗、指数窗、三角窗等等（只要
满足上述两条件，都可作为窗函数使用）
超立方体体积：VN h
d
N
其中
h1
hN
N
d=1，窗口为一线段 ； d=2，窗口为一平面
d=3，窗口为一立方体 ；d>3，窗口为一超立方体
窗口的选择：有多种选择
Φ(u)
方窗函数
Φ(u)
正态窗函数
Φ(u)
指数窗函数
hN
正态窗函数
1
1
,
|
u
|
(u )
2
0.其他
(u )
满足上述条件的区域序列(VN)有两种选择方法，
形成两种非参数估计方法：
1）Parzen窗法；
2）KN近邻估计
两者如何选择VN ？
1）Parzen窗法：
1
使体积VN以N的某个函数减小，例 VN
( x)
2.5，1.1为中心的正态曲线，而
之和。
由图看出：每个样本对估计的贡献与样本间
的距离有关，样本越多， PN(x)越准确。
例2：设待估计的p(x)是均值为0，方差为1的正
态密度函数。
若随机抽取X样本中的1个、 16个、 256个作
为学习样本xi,试用窗口法估计pN(x)。
| x xi |
(
)0
（保证 pˆ N ( x) 非负）
hN
( | x x i | )d ( | x x i | ) 0
（使 pˆ N ( x)dx 1）
hN
hN
④ 窗函数的选择
例：矩形窗、正态窗、指数窗、三角窗等等（只要
满足上述两条件，都可作为窗函数使用）
超立方体体积：VN h
d
N
其中
h1
hN
N
d=1，窗口为一线段 ； d=2，窗口为一平面
d=3，窗口为一立方体 ；d>3，窗口为一超立方体
窗口的选择：有多种选择
Φ(u)
方窗函数
Φ(u)
正态窗函数
Φ(u)
指数窗函数
hN
正态窗函数
1
1
,
|
u
|
(u )
2
0.其他
(u )
满足上述条件的区域序列(VN)有两种选择方法，
形成两种非参数估计方法：
1）Parzen窗法；
2）KN近邻估计
两者如何选择VN ？
1）Parzen窗法：
1
使体积VN以N的某个函数减小，例 VN
模式识别介绍课件
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第1章 绪论
第4章 线性判别函数（重点掌握）
4.1 线性判别函数和决策面 4.2 感知准则函数 4.3 最小平方误差准则函数（MSE ） 4.4 Fisher线性判别函数 4.5 多类情况下的线性判别函数和固定增量算法 4.6 分段线性判别函数
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第1章 绪论
第6章 近邻法（了解） 非监督学习方法的部分内容合并到此章介绍。 第7章 特征的抽取和选择（掌握） 基于K —L展开式的特征提取合并到此章介绍。 其它内容不作要求 课程小结：讲授模式识别的应用实例及复习前面 各知识点。 考核 考试成绩（80%）+平时成绩（20%）
第1章 绪论
第1章 绪论
1.1 模式和模式识别的基本概念 1.2 模式识别系统 1.3 模式识别的发展及应用 1.4 本课程授课按排及考核标准
第1章 绪论
1.1 模式和模式识别
1.1.1 模式 1.1.2 模式识别
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第1章 绪论
1.1.1 模式
“模式”这个概念的内涵是很丰富的,我们把凡是 人类能用其感官直接或间接接受的外界信息都称为 模式,比如,文字、图片、景物是模式,声音,语音是 模式,心电图、脑电图、地震波等也是模式。广义 地说,存在于时间和空间中可观察的事物,如果我们 可以区别它们是否相同或是相似,都可以称为模式, 但模式所指的不是事物本身,而是我们从事物获得 的信息, Байду номын сангаас此, 模式往往表现为具有时间和空间分布 的信息。
返回本节
第1章 绪论
第1章 绪论
1.3.4 其它方面的应用
模式识别进行遥感图片的分类，可以完成大量的 信息处理工作；在军事上，可见光、雷达、红外 图像的分析与识别，可以检出和鉴别目标的出现， 判断目标的类别并对运动中的目标进行监视和跟 踪。采用地形匹配的方法校正飞行轨道以提高导 弹的命中精度，也是模式识别的重要应用课题。 此外，模式识别在鉴别人脸和和指纹，地质勘测、 高能物理，机器人技术等方面也有很多用处。
第1章 绪论
第4章 线性判别函数（重点掌握）
4.1 线性判别函数和决策面 4.2 感知准则函数 4.3 最小平方误差准则函数（MSE ） 4.4 Fisher线性判别函数 4.5 多类情况下的线性判别函数和固定增量算法 4.6 分段线性判别函数
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第1章 绪论
第6章 近邻法（了解） 非监督学习方法的部分内容合并到此章介绍。 第7章 特征的抽取和选择（掌握） 基于K —L展开式的特征提取合并到此章介绍。 其它内容不作要求 课程小结：讲授模式识别的应用实例及复习前面 各知识点。 考核 考试成绩（80%）+平时成绩（20%）
第1章 绪论
第1章 绪论
1.1 模式和模式识别的基本概念 1.2 模式识别系统 1.3 模式识别的发展及应用 1.4 本课程授课按排及考核标准
第1章 绪论
1.1 模式和模式识别
1.1.1 模式 1.1.2 模式识别
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第1章 绪论
1.1.1 模式
“模式”这个概念的内涵是很丰富的,我们把凡是 人类能用其感官直接或间接接受的外界信息都称为 模式,比如,文字、图片、景物是模式,声音,语音是 模式,心电图、脑电图、地震波等也是模式。广义 地说,存在于时间和空间中可观察的事物,如果我们 可以区别它们是否相同或是相似,都可以称为模式, 但模式所指的不是事物本身,而是我们从事物获得 的信息, Байду номын сангаас此, 模式往往表现为具有时间和空间分布 的信息。
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第1章 绪论
第1章 绪论
1.3.4 其它方面的应用
模式识别进行遥感图片的分类，可以完成大量的 信息处理工作；在军事上，可见光、雷达、红外 图像的分析与识别，可以检出和鉴别目标的出现， 判断目标的类别并对运动中的目标进行监视和跟 踪。采用地形匹配的方法校正飞行轨道以提高导 弹的命中精度，也是模式识别的重要应用课题。 此外，模式识别在鉴别人脸和和指纹，地质勘测、 高能物理，机器人技术等方面也有很多用处。
模式识别课件 非参数估计共36页PPT
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
模式识别课件 非参数估计
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。—
15、机会是不守纪律的。——雨果
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
模式识别课件 非参数估计
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。—
模式识别(统计决策方法)PPT课件
p＝P(A)
实际上，求出的P为频率，但是如果统计次数足够大，可以 认为此时的频率接近概率 可见概率就是频率的稳定中心。任何事件A的概率为
0＜=P(A)＜=1
条件概率:我们把事件B已经出现的条件下，事件A发生的概 率记做为P(A|B)。并称之为在B出现的条件下A出现的条件概 率，而称P(A)为无条件概率。
称满足上述条件的, A1,A2,…,An为完备事件组.
另有一事件B = BA1+BA2+…+BAn
条件概率公式
P(AiB)＝P(Ai)·P(B|Ai)
A1
A3
An
B
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai )
A2
i 1
自动化学院
.
13
贝叶斯公式推导 全概率公式
Ai∩Aj=Φ
BAi BAj , P(BAi ) P(BAj ) P(BAi BAj )
= P(点目标)P(目标丢失|点目标)+P(斑目标)P(目标丢失|斑目 标) =0.4×0.01+0.6×0.02=0.016
自动P(化成学功院检测目标)=1-P（目标丢失）=98.4%
.
15
贝叶斯公式推导
全概率公式
诸Ai是原因，B是结果
由此可以形象地把全概 率公式看成为：
“由原因推结果”，每 个原因对结果的发生有 一定的“作用”，即结 果发生的可能性与各种 原因的“作用”大小有 关. 全概率公式表达了它 们之间的关系 .
n
,
P(Aj )P(B | Aj )
j 1
i 1, 2, , n
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出，它是在观察到事件 B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.
实际上，求出的P为频率，但是如果统计次数足够大，可以 认为此时的频率接近概率 可见概率就是频率的稳定中心。任何事件A的概率为
0＜=P(A)＜=1
条件概率:我们把事件B已经出现的条件下，事件A发生的概 率记做为P(A|B)。并称之为在B出现的条件下A出现的条件概 率，而称P(A)为无条件概率。
称满足上述条件的, A1,A2,…,An为完备事件组.
另有一事件B = BA1+BA2+…+BAn
条件概率公式
P(AiB)＝P(Ai)·P(B|Ai)
A1
A3
An
B
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai )
A2
i 1
自动化学院
.
13
贝叶斯公式推导 全概率公式
Ai∩Aj=Φ
BAi BAj , P(BAi ) P(BAj ) P(BAi BAj )
= P(点目标)P(目标丢失|点目标)+P(斑目标)P(目标丢失|斑目 标) =0.4×0.01+0.6×0.02=0.016
自动P(化成学功院检测目标)=1-P（目标丢失）=98.4%
.
15
贝叶斯公式推导
全概率公式
诸Ai是原因，B是结果
由此可以形象地把全概 率公式看成为：
“由原因推结果”，每 个原因对结果的发生有 一定的“作用”，即结 果发生的可能性与各种 原因的“作用”大小有 关. 全概率公式表达了它 们之间的关系 .
n
,
P(Aj )P(B | Aj )
j 1
i 1, 2, , n
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出，它是在观察到事件 B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.
模式识别课件 非参数估计共36页文档
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境பைடு நூலகம்
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
模式识别课件 非参数估计 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境பைடு நூலகம்
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
模式识别课件 非参数估计 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
模式识别课程概述【可编辑PPT】
教材简介
J.P. Marques de Sá
Oporto University电子和计算机 工程系的模式识别概论性课程
以实际应用为指导 以练习为核心
第一次课内容
基本概念
对象识别 模式相似度 模式识别任务
练习
类别 模式 特征 模式识别方法 模式识别工程
第二次课内容
模式判别
决策区域和决策函数 广义决策函数 分类超平面
模式识别课程概述
模式识别
导论课程
熟悉并掌握模式识别的基本概念和术语、基本方法 直观体验如何应用、以及了解工程应用中的常见问题
课程特点
结合实际数据，完成各类模式识别实践任务，并要求大家给出分析报告
成绩构成
课堂讨论：30%
出勤：5%
课程报告：65% （完成给定的模式识别任务，并给出口头以及书面报告，最后形成正 式论文）
特征空间尺度 协方差矩阵
练习
第三次课内容
模式判别 主成分 特征评价Байду номын сангаас维数比率问题
练习
第四次课内容
数据聚类
非监督学习分类 标准化问题 树聚类
练习
降维问题 K均值聚类 聚类有效性
第五次课内容
统计分类
线性判别 最小距离分类器 欧几里得线性判别
练习
马氏距离线性判别 Fisher线性判别
第六次课内容
统计分类
贝叶斯分类 基于最小风险的贝叶斯准则 正态形式贝叶斯分类
拒绝区域
维数比率以及错误率 估计
练习
第七次课内容
统计分类
模型无关方法 特征选择 分类器评价
练习
树分类器
第八次课内容
口头报告
模式识别-非参数估计ppt课件
vn hn
d
Rn
h ． n
x
vn
Applied Pattern Recognition CSE616
17
Parzen窗口法
• 可以证明，满足前述三个条件的等效条件为：
vn 0 • lim n
• limnv n
n
Applied Pattern Recognition CSE616
n
• 将样本归类到
p (X ) P ( n j) 最大的类别中去
Applied Pattern Recognition CSE616
33
Kn近邻法
• Parzen窗口法的估计效果取决于样本总数n及 h ，当n
1
较小时，对 h1 较为敏感，即 ：
h 较 大 容 易 产 生 平 均 性 误 差 1 h 较 小 则 容 易 产 生 噪 声 性 误 差 1
一 维 二 维 其中：v为包含X点的区域 三 维 四 维
Applied Pattern Recognition CSE616
7
非参数估计
K为n个样本中落入体积v的样本数。
故：
k/n p(X) v
表示单位体积内落入x点邻域的样本在总样本中的比例， 可以此来近似样本在X点处的类概率密度值。
Applied Pattern Recognition CSE616
10
非参数估计
Applied Pattern Recognition CSE616
11
非参数估计
• 问题二
• 若样本数n固定， 则当
含任何样本，得出
v 0 时，则会出现x邻域内不包
p (X )0
的错误估计
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
m[N ( 1)P]
这样，在Pm处，就有 m = k (N+1) P’ N P’
即
P’ k / N
式中P’是P的估计，即P’是总可体编辑密pp度t P(x)在区域R上的一个估计6。
③ 设P(x)连续，且区域R的体积V足够小，则
PRP(x)d xP(x)V
设P’(x)是P(x)的估计，由上面二式得：
NlimkN
可编辑ppt
10
③
应满足：
lim
'N
(x)
kN N VN
处处收敛于P(x)。
（N=1，2，…）
说明：
在区域平滑地缩小，且P(x)在X点连续的情况下，则：
条件①可使空间平均密度P / V收敛于真实的密度P(x)；
条件②仅对P(x)≠0的点才有意义，即当P(x)≠0时，使
5 总体分布的非参数估计方法
可编辑ppt
1
(1) 基本方法
前述都设已知总体分布（即已知概密），但实际不然。 因此如何用样本来估计总体分布的问题，就是本节的目 的—即非参数估计。 含有p(x)，p(x|wi)，p(wi|x) 等的估计。 而p(wi|x)的估计的一种基本方法是绕过概率的估计而直接 求决策函数的方法—即近邻法则。
可编辑ppt
2
1) 本节所述估计的目的
▪ 从样本集æ 估计样本空间任何一点X的概率密度 P’(X); ▪ 如果æ 来自某一类别（如wi类），则估计结果为类条件概
密P’(X|wi)； ▪ 如果æ 来自c个类别，但不具体涉及类别，则估计结果为
混合密度P’(X)。
可编辑ppt
3
2) 非参数估计的基本思想
可编辑ppt
12
(2) Parzen窗法
1) Parzen窗估计的概念
• 要估计d维空间中某点X的概率密度时，可以以X为中心，
作一边／棱长为hN的d维超立方体VN，则其体积为：
VN hNd
此立方体被视为一个窗口。
现在的问题是要求出落入VN中的样本数kN。
可编辑ppt
13
• 为能用函数描述区域RN和对落入RN的样本计数，定义窗 函数的基本形式为：
① 随机向量X落入到区域R的概率P
为:
PRP(x)dx
P(X)
这表示概率P是概密函数P(X)的一 种平均,对P作估计就是估计出P(X)的 这个平均值。
可编辑ppt
X R
4
② 设N个样本x1,x2,…,xn是从概密为P(x)的总体中独立抽取 的，则N个样本中有k个样本落在区域R中的概率Pk自然服从 二项分布，即
这就是Parzen窗法估计的基本公式。
可编辑ppt
16
讨论：
① 上式实际上是一个迭加函数，窗函数作迭加基函数，每个样 本点处作为迭加节点，使用kN个以样本Xi为中心的窗函数迭 加对X处的密度进行估计；
② 自然，样本较密集的区域上概密估计（迭加函数）值较大；
③ 上式说明每一样本Xi对密度函数的贡献只在一个窗口范围内；
P’(x)≠0，可使频率在概率意义上收敛于概率；
可编辑ppt
11
条件③是式
P'N
(x)
kN N VN
收敛的必要条件，它描述了N
的增长速度要大于kN的增长速度，使kN/N为无穷小，而kN/N和
VN为同阶的无穷小，使 k N N VN
P '( x )
为非无穷大的有界数，避免
凡满足上述三个条件的区域序列和样本选取都可以。
hN为边／棱长的超立方体，用变量
Xi（此Xi可作样本）刻划下的通用
窗函数的形式如下：
(
x xi hN
1当 )0其他
xxi
j
hN,j1, .d 2
X2
窗口
边长为1
X1 X-1 1 X1 hN 2 hN
此φ函数被称为Parzen窗函数，其含义为如果一个样本
Xi落入窗口，则φ=1（即计数为1），否则φ=0（即计数为0）。
N kp'Rp'(x)dxp'(x)V
于是可得：
p '(x) k N V
上式就是X点概率密度P(x)的估计值，它与k、N、V有关。
可编辑ppt
7
说明：
① 从理论上讲，要使P’(x)趋于P(x)，就须让积分域R无限小 （即让其V近于零），同时让N、k无穷大，但实际估计时体 积V不是任意的小，且样本总数也是有限的，所以P’(x) 总是 存在误差。
PkCN kPk(1P)Nk
其中,P为样本X落入R的概率,Pk为k个样本落入R的概率。
CN k
N!
k!(N k)!
可编辑ppt
5
使Pk取最大的k值称为众数（记为m）， 即
Pm maPxk
（众数的意义是：在抽出的N个样本中有m个样本落入 区域R的概率最大。）
对二项分布，众数m为(N+1)P的整数部分，即
② 如果把体积V固定，样本取得足够多，则K/N将在概率上收 敛，但这时得到的是一个R区域上P(x)的平均估计。
即 P ' R P '( x ) d x
V
R dx
而要想得到P’(x)，而不是P(x)在R上的平均，则须让V趋于零。
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③ 如果把样本数目固定，而令V趋于零，由于样本数目总是有限 的，所以当V趋于零时，会使区域R不断缩小以致于可能不包 含任何样本，这就会得出P’(x)=0(无价值的估计）； 如果恰巧有一个或几个样本同X（点）重合的出现在R中， 则会使估计发散到无穷大（这也是无价值的估计）。
(u){1
当|uj
|1, 2
j
1,2,...,d
0
其它
U2
1/2
u = {u1 ,…, ud}T
Φ(u)是一个以原点为中心，边 -1/2 ／棱长为1的d维超立方体函数，其 函数值为1（可用于计样本数）。
1/2
U1
-1/2
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• 由于通过坐标的平移和尺度的
缩放可以改变超立方体的位置和大
小。所以对于一个以X为中心，以
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3) 理论上的解决方案
为了提高X处的概密P(x)的估计精度，据极限理论，采 取如下步骤以尽量满足理论要求。
① 构造一包含样本X的区域序列R1、R2 、…、RN 、…各区 域RN(N=1，2，…)的体积VN满足：
NlimVN 0
② 在RN域中取N个样本进行估计实验，并设有kN个样本落入 RN中，样本数目应满足：
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换句话说，就是检查d维空间中的每一个样本Xi，如果向 量X-Xi中的每一分量都小于hN/2，则该样本必在VN以内（且计 数为1），否则就在VN以外（且不计数）。
故落入VN内的样本数为：
kN
N i1
xhNxi
这样可得X点处概率估计为
P’ N(x)kN VNNN 1iN 1V 1Nxh Nxi