一元二次方程与几何图形的面积问题
列一元二次方程解有关面积问题
２ １．上 述 方 法 为 矩 形 面 积 的直 ４８ 接 表 示 方 法 ． 外 ， 图 还 可 将 三 另 此 条 小 路 进 行平 移 。将 阴影 部 分 的 矩 形 进 行平 移 得 如 下 几 何 图 形 ：
解
设道 路修 建 ｍ宽 ．
依题 意 ， （０ ）６ — ｘ ＝ ４ ８ 得 ４ （４ ２ ） ２ １ ．
・ ．
．
ｘ２
－
７ｘ ２ ＋７１ ＝Ｏ，
・
． ．
１ｌｘ＝ １ 舍 ） ＝ ，２７ （ ．
显然 空 白部 分 的长 和宽 分 别 为 （４ ） ６ 一 以及 （０ ）这 样 空 白 ４咄 ，
部 分 的 面 积 为 （４ ） （ ０ ｘ ， ６ 一 ・４ － ）
答 ： 路应 修建 １ 道 ｍ宽 ．
故 得方 程 （４ ２ ）４ － ）２ １． ６ —ｘ （０ ｘ＝ ４ ８
点缀 所 建 的 仓 库 只 有 三
如图所 示 ， 建一 个 面积为 １０ｍ 的仓 库 ， 库 的一边 要 ３ 仓
所 以 ６块
６ ２ ４－ ｘ
×
—
—
条边长为 二 ｍ 丝
．
３
三条 道路 ， 两条 纵 向 ，一条 横 向，并 且互相 垂直 ，把广 场 分成 大
－
—
面 积 总 和 为 ６×— ｘ ４ ０
２
：
３
小相等 的６ ，用来 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ草坪 ，如 图所 示． 草坪 的面积 ￣２ １ ｍ ， 块 要使 ４８
Ｕ 册
一
元二 次方 程
有 面积 问题
。
露
利用面积求线段的长度是一元二次方程的常见题型， 这
一元二次方程与实际问题----面积问题 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
知识讲解
解法二:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题
意得
9x·7x=
3 4
×27×21
27
27
x2 = 4
解得
33 x1= 2
33 x2= - 2 (舍去）
33
21
故上下边衬的宽度为:
27-9x 2=
27-9· 2 2
=
54-27 3 4
≈1.8
故左右边衬的宽度为:
21-7x 2=
21-7·
九年级-上册-21.3.5
一元二次方程与实际问题 -----面积问题
难点名称：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次 方程的数学模型。
1
目录
CONTENTS
导入
知识讲解
课堂练习
小节
2
导入
我们知道议程是刻画实际问题中数学关系的有效数学模型，所以 我们经常用议程来分析解决实际问题，在以前的学习中，我们已 经了解并掌握了怎样用一元二次方程、二元二次方程组及分式方 程等去解决实际问题，那么今天，我们就尝试着用一元二次方程 去分析解决实际问题。
33 2
2
=
42-21 4
3
≈1.4
课堂练习
例1：如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边
从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s
的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q
出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？
7
课堂练习
例1：如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边
从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s
用一元二次方程解决几何图形问题含答案
用一元二次方程解决几何图形问题含答案用一元二次方程解决几何图形问题基础题知识点1：一般图形的问题1.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米。
设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为x(x+10)=900.2.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，则原来这块木板的面积是64平方米。
3.一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7平方厘米，则它的两条直角边长分别为2cm和7cm。
4.一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12米。
5.一个矩形周长为56厘米。
1) 当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为18厘米和10厘米。
2) 不能围成面积为200平方厘米的矩形，因为方程y^2-28y+200=0无实数根。
知识点2：边框与甬道问题6.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了1米，另一边减少了2米，剩余空地的面积为18平方米。
求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x米，则可列方程为(x-1)(x-2)=18.7.在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为22米，因为可列方程为100×80-100x-80x=7644.10.某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.设道路的宽为x m，则草坪的面积为(32-2x)(20-x)，因此正确的方程是A：(32-2x)(20-x)=570.11.在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的1/8，则路宽x应满足的方程是C：(40-2x)(70-3x)=2450.。
一元二次方程解决几何问题
一元二次方程解决几何问题
一元二次方程是一种形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是实数，而x是未知数。
它可以用于解决许多几何问题，如以下几个例子：
1. 高度和时间问题：假设一颗物体从一个高度h开始自由下落，利用物体的自由落体运动公式可以得到一个关于时间t的二次方程，通过解方程可以确定物体落地的时间点。
2. 路程和时间问题：假设一个物体以某个速度v在直线上运动，利用物体的匀速运动公式可以得到一个关于时间t的一次方程，通过解方程可以确定物体达到某个距离的时间点。
3. 面积问题：对于某些几何图形，如矩形、正方形和圆等，可以通过设定面积为某个值的条件，建立相应的二次方程来求解图形的尺寸。
这只是一些常见的例子，实际上，一元二次方程在几何问题中具有广泛的应用。
九年级数学一元二次方程的应用之面积问题
一元二次方程应用一、同步知识梳理列方程解应用题的步骤及注意的问题：（1）设未知数和做答时，单位要写清楚。
（2）列方程时，方程两边的量应该相同，并且各项的单位应该一致。
（3）在找相等关系时，对题中所给出的条件应该充分利用，不要漏掉。
（4）对于求得的方程的解，还要看它是否有实际意义。
因此在学习时要特别注意以上几个方面的问题，在今后的学习中逐步体会到用方程解决问题的优越性。
二、同步题型分析题型一：面积问题——判断清楚要设什么是关键例1、如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．100×80－100x－80x＝7644 B．（100－x）（80－x）＋x2＝7644C．（100－x）（80－x）＝7644 D．100x＋80x＝356例2、某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为（）A．x（x－10）＝200 B．2x＋2（x－10）＝200C．2x＋2（x＋10）＝200 D．x（x＋10）＝200点评：本题考查列一元二次方程；由实际问题转化成几何图形，再根据长方形的面积公式得到一元二次方程是解决本题的基本思路，难度较小。
例3、如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD。
求该矩形草坪BC边的长。
例4、图1是边长为30的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是cm3。
变式训练1．如图，邻边不等．．的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m。
若矩形的面积为4m2，则AB的长度是m（可利用的围墙长度超过6m）。
504m，道路宽应为多少？2.在宽20m，长为32m的矩形耕地上修三条同样宽的耕作道路，使耕地面积为23．如图所示，要用防护网围成长方形花坛，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个2米宽的门，现有防护网的长度为91米，花坛的面积需要1080平方米，若墙长50米，求花坛的长和宽。
一元二次方程—面积问题
第3课时几何图形与一元二次方程教学目标：1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．继续探究YI实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题．3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力．教学过程：一、情境导入如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决图形面积问题【类型一】利用面积构造一元二次方程模型(2014·甘肃陇南)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( ) A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x(5－x)＝6，故选择B.方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程．(2014·黑龙江农垦)现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长．解析：设小正方形的边长为x cm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程．解：设小正方形的边长为x cm ，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－2x )cm ，宽是(60－2x )cm ，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80－2x )(60－2x )＝1500，整理得x 2－70x ＋825＝0，解得x 1＝55，x 2＝15.又60－2x >0，∴x ＝55(舍)．∴小正方形的边长为15cm.方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可． 【类型二】整体法构造一元二次方程模型(2014·甘肃兰州)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x 米，根据题意可列出的方程为______________．解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x 的代数式表示草坪的长为(22－x )米，宽为(17－x )米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22－x )(17－x )＝300.解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x －17x ＋x 2＝300.方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解． 【类型三】利用一元二次方程解决动点问题如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A 出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s 的速度移动．(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC 的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方程求解．解：(1)设x s后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝x cm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2x cm.则根据题意，得12·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x＋8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.(2)设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半．则根据题意，得12(6－x)·2x＝12×12×6×8.整理，得x2－6x＋12＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻．板书设计教学反思与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好.。
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
解题思路
假设长方形的长为l，宽为w， 通过列方程建立方程组，然后 求解得出面积。
解答与解析
通过解方程组，得出长方形的 长、宽和面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
实例3 ：三角形面积问题
问题提出
已知直角三角形的斜边长度为c， 某一直角边的长度为a，求三角形 的面积。
解题思路
根据已知条件，利用勾股定理和三 角形面积公式建立方程，然后求解 得出面积。
一元二次方程应用题(几 何图形面积问题)
本演示将介绍一元二次方程的应用，特别是在解决几何图形面积问题时的应 用。通过精彩的实例和深入的讲解，帮助你全面理解和掌握这一知识点。
一元二次方程介绍
简要介绍一元二次方程的概念、形式和解法方法，以及元二次方程解决几何图形的面积问题，通过代入、求解方程， 计算各种图形的面积。
解答与解析
通过解方程和应用三角形面积公式， 得出三角形的面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
总结与实践建议
总结一元二次方程在解决几何图形面积问题中的应用要点，并提供一些建议和实践步骤，以帮助你更好地掌握这一 知识。
实例1：正方形面积问题
1
问题提出
给定正方形的对角线长度为d，求正方形的面积。
2
解题思路
假设正方形的边长为x，利用勾股定理建立方程，然后求解得出面积。
3
解答与解析
通过解方程，得出正方形的边长和面积的具体数值，详细解析计算过程和答案。
实例2 ：长方形面积问题
问题提出
已知长方形的周长为P，求长方 形的面积。
用一元二次方程解几何问题
为7x cm,依题意得
(27 18x)(21 14x) 3 27 21 4
解得
x1
6
3 4
3
(不合意，舍去)，x2
=
6—3 4
3
∴上、下边衬的宽均为 1.8 cm ，左、右
边衬的宽均为 1.4 cm
感悟新知
思考：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单
地解决上面的问题? 请你试一试．
解： 设正中央的矩形两边长分别为9x cm，7x cm.
认知基础练
6 用配方法解一元二次方程x2＋2x－1＝0， 可将方程配方为( A ) A．(x＋1)2＝2 B．(x＋1)2＝0 C．(x－1)2＝2 D．(x－1)2＝0
认知基础练
3 【2020·贵阳十七中期中】将代数式x2－10x＋5配方 后，发现它的最小值为( B ) A．－30 B．－20 C．－5 D．0
方法技巧练
【点拨】根据a2＋b2＝12a＋8b－52，可以求得a，b的 值 ， 由 a ， b ， c 为 正 整 数 且 是 △ABC 的 三 边 长 ， c 是 △ABC的最短边长，即可求得c的值．
方法技巧练
解：将已知等式两边同时加上 2， 得 x2＋x12＋2＋2x＋1x＝2， 即x＋1x2＋2x＋1x＝2. 设 x＋1x＝y，则x＋1x2＋2x＋1x＝2 可化为 y2＋2y ＝2.配方，得 y2＋2y＋1＝2＋1，∴(y＋1)2＝3.
方法技巧练
开平方，得 y＋1＝± 3. 解得 y1＝ 3－1，y2＝－ 3－1. ∴x＋1x＝ 3－1 或 x＋1x＝－ 3－1. 经检验，不存在实数 x 使 x＋1x＝ 3－1，故舍去． ∴x＋1x＝－ 3－1.
认知基础练
2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( D ) A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－5 C．(a＋2)2＋4 D．(a＋2)2－9
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xm
如图，设路宽为x米，
xm 20m
横向路面为 32x 米2 ， 纵向路面面积为 20x 米2 。
32m
耕地矩形的长（横向）为（32-x) 米 ， 耕地矩形的宽（纵向）为 (20-x) 米 。 相等关系是：耕地长×耕地宽 =540米2
即 32 x20 x 540.
2 x 化简得： 52x 100 0, x1 50, x2 2
20m
32m
分析：此题的相等关系是 矩形面积减去道路面积等 于540米2。 解法一、
x米
20m 32m
如图，设道路的宽为x米， 2 则横向的路面面积为 32x 米 纵向的路面面积为 20x 米2 。
，
所列的方程是不是 32 20 (32x 20x) 540 ？
注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2 图中的道路面积不是 32x 20x 米2
32 2 20 2 2 =100 (米
2
2)
耕地面积= 32 20 100 = 540（米2） 答：所求道路的宽为2米。
解法二： 我们利用“图形经过移动，它的面 积大小不会改变”的道理，把纵、横两 条路移动一下，使列方程容易些（目的 是求出路面的宽，至于实际施工，仍可 按原图的位置修路）
，
而是从其中减去重叠部分，即应是 32x 20x x 2 米2
32 20 32 x 20 x x 所以正确的方程是：
化简得，x 52x 100 0, x1 50, x2 2.
2
2
540
其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.
取x=2时，道路总面积为：
实际问题与一元二次方程
面积问题
一元二次方程应用题解题步骤 1、分析题意，找出等量关系，用字母表示 问题里的未知数。 2、用字母的代表式表示有关的量。 3、根据等量关系列出方程。 4、解方程，求出未知数的值。 5、检查求得的值是否正确和符合实际情 况，并写出答案。
例1、在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修 筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作 为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为 多少？
再往下的计算、格式书写与解法1相同。
例2 、如图பைடு நூலகம்示，若修三条宽度相等的道
路，且花坛的总面积不变，则道路的宽是 多少米？
20
3
20
3 2 解：设道路宽为xm，则长方形草坪的长为（ 32-2x） m， 宽为(20-x) m，由题意得:（32-2x） (20-x) =540 小结：运用以上的方法，通过平移的手段，运用· 一元二 次方程可以求解分散面积问题。