高考数学经典试题

高考数学经典试题1. 下表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数．（1）写出a 45的值； （2）写出a ij 的计算公式；（３）证明：正整数N 在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．讲解 学会按步思维，从图表中一步一步的翻译推理出所要计算的值．（1） 按第一行依次可读出：,1013=a 1314=a ，1615=a ；按第一行依次可读出：,1723=a 2224=a ，2725=a ；最后，按第５列就可读出：,3835=a 4945=a ．（２）因为该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，所以它的通项公式是： a j j 1431=+-()而第二行是首项为7，公差为5的等差数列，于是它的通项公式为：a j j 2751=+-() …… 通过递推易知，第i 行是首项为431+-()i ，公差为21i +的等差数列，故有43(1)(21)(1)(21).ij a i i j i j j =+-++-=++（３）先证必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i ，j 使得N i j j =++()21．从而12)12(212+++=+j j i N =++()()2121i j ，这说明正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．再证充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k ，l ，使得212121N k l +=++()()，从而N k l l a kl =++=()21，由此可见N 在该等差数阵中．综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.2. 求(){}{}=-=⋂-=3244lg 22x y y x y x [)(),,--⋃+∞311 。

3. “渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数（如2578），在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是1736。

4. 函数()1>=a a y x及其反函数的图象与函数xy 1=的图象交于A 、B 两点，若22=AB ，则实数a 的值等于_________。

1(1)a =5. 从装有1+n 个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()N n m n m ∈≤<,,0，共有mn C 1+种取法。

在这m n C 1+种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，共有mn C C ⋅01种取法；另一类是取出的m 个球有1-m 个白球和1个黑球，共有111-⋅m n C C 种取法。

显然m n m n m n C C C C C 111101+-=⋅+⋅，即有等式：mn m n m n C C C 11+-=+成立。

试根据上述思想化简下列式子：=⋅++⋅+⋅+---k m n k k m n k m n k m n C C C C C C C 2211 m k n C + ()N n m k n m k ∈≤<≤,,,1。

6. 某企业购置了一批设备投入生产，据分析每台设备生产的总利润y （单位：万元）与年数x ()N x ∈满足如图的二次函数关系。

要使生产的年平均利润最大，则每台设备应使用 （ C ）（A ）3年 （B ）4年 （C ）5年 （D ）6年7. （14分）已知函数()Z k xx f k k ∈=++-22)(，且)3()2(f f <（1）求k 的值；（2）试判断是否存在正数p ，使函数()x p x f p x g 12)(1)(-+⋅-=在区间[]2,1-上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-817,4。

若存在，求出这个p 的值；若不存在，说明理由。

解：（1）∵)3()2(f f <，∴022>++-k k ，即022<--k k ，∵Z k ∈，∴10或=k （2）2)(x x f =，()p p p p x p x p x p x g 414212121)(222++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-+⋅-=；当[]2,1212-∈-p p ，即⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,41p 时，1)2(,4)1(,2,8174142-=-=-==+g g p p p ；当()+∞∈-,2212pp 时，∵0>p ，∴这样的p 不存在。

当()1,212-∞-∈-p p ，即⎪⎭⎫⎝⎛∈41,0p 时，4)2(,817)1(-==-g g ，这样的p 不存在。

综上得，2=p 。

8. （14分）如图，设圆()3222=+-y x 的圆心为C ，此圆和抛物线()02>=p px y 有四个交点，若在x 轴上方的两个交点为A 、B ，坐标原点为O ，AOB ∆的面积为S 。

（1） 求P 的取值范围；（2） 求S 关于P 的函数)(p f 的表达式及S 的取值范围； （3） 求当S 取最大值时，向量,的夹角。

解：（1）把 px y =2代入()3222=+-y x 得 ()0142=+-+x p x由 ⎪⎩⎪⎨⎧>⋅>+>∆0002121x x x x ， 得⎪⎩⎪⎨⎧>>->+-00401282p p p p ，即 ()2,0∈p （2）设()()2211,,,px x B px x A ，AB 的方程：()121211x x x x px px px y ---=-()121x x x x p -+=， 即0121121=+-+-+x x x p px y x x x p即()02121=++-x px y x x x p ， 即06=+⋅--⋅p y p x p点O 到AB 的距离6p d =，又()()p x x p x x AB 612221221-=-⋅+-=∴()21221661221≤-=⋅-⋅=P P P P S ， 即 ⎥⎦⎤ ⎝⎛∈21,0S （3）S 取最大值时，1=P ，解方程0132=+-x x ，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫⎝⎛--215,253,215,253B A ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=215,215,215,215，011=+-=⋅CB CA ∴向量CB CA ,的夹角的大小为︒90。

9. （16分）前段时期美国为了推翻萨达姆政权，进行了第二次海湾战争。

据美军估计，这场以推翻萨达姆政权为目的的战争的花费约为540亿美元。

同时美国战后每月还要投入约4亿美元进行战后重建。

但是由于伊拉克拥有丰富的石油资源，这使得美国战后可以在伊获利。

战后第一个月美国大概便可赚取约10亿美元，只是为此美国每月还需另向伊交纳约1亿美元的工厂设备维护费。

此后随着生产的恢复及高速建设，美国每月的石油总收入以0050的速度递增，直至第四个月方才稳定下来，但维护费还在缴纳。

问多少个月后，美国才能收回在伊的“投资”？解：设n 个月后，美国才能收回在伊的“投资”，则()n n n 4540]35.15.15.11[1032+≥--+++即75.59375.28≥n ，65.20≥n ，即21个月后，美国才能收回在伊的“投资”。

10. 数列 ,5,4,4,4,4,3,3,3,2,2,1的第2004项是____________。

6311. 在等比数列}{n a 中，20101=a ，公比31-=q ，若)(321N n a a a a b n n ∈⋅⋅= ，则n b 达到最大时，n的值为____________。

8 12. 设函数为常数）b a xbx a x f ,(||)(+=，且①0)2(=-f ；②)(x f 有两个单调递增区间，则同时满足上述条件的一个有序数对),(b a 为______________。

满足)0()4,(<t t t 的任一组解均可13. 已知两条曲线0:,1:22221=++=+x bxy ax C y x C （b a ,不同时为0）.则“221a b +<”是“1C 与2C 有且仅有两个不同交点”的 A(A)充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件14. 已知二次函数)(41)(2R t at b at t f ∈+-=有最大值且最大值为正实数，集合}0|{<-=xax x A ，集合}|{22b x x B <=。

（1）求A 和B ；（2）定义A 与B 的差集：A x x B A ∈=-|{且}B x ∉。

设a ，b ，x 均为整数，且A x ∈。

)(E P 为x 取自B A -的概率，)(F P 为x 取自B A 的概率，写出a 与b 的三组值，使32)(=E P ，31)(=F P ，并分别写出所有满足上述条件的a （从大到小）、b （从小到大）依次构成的数列{n a }、{n b }的通项公式（不必证明）； （3）若函数)(t f 中，n a a =，n b b =（理）设1t 、2t 是方程0)(=t f 的两个根，判断||21t t -是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。

（文）写出)(t f 的最大值)(n f ，并判断)(n f 是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。

（1）∵)()(412R t t b at t f a ∈+-=有最大值，∴0<a 。

配方得ab a b t a t f 4122)()(-+-=，由1041>⇒>-b a b 。

∴}0|{<<=x a x A ，}|{b x b x B <<-=。

（2）要使32)(=E P ，31)(=F P 。

可以使①A 中有3个元素，B A -中有2个元素， B A 中有1个元素。

则2,4=-=b a 。

②A 中有6个元素，B A -中有4个元素， B A 中有2个元素。

则3,7=-=b a 。

③A 中有9个元素,B A -中有6个元素,B A 中有3个元素。

则4,10=-=b a 。

1,13+=--=n b n a n n 。

（3）（理）0)(=t f ，得01>-=∆n b 。

691169121221211224)(||)(++++-===-+=-=nnn n n n n a b t t t t t t n g ，∵692911=⋅≥+n n n n ，当且仅当31=n 时等号成立。

∴)(n g 在N 上单调递增。

41max 21)1(||==-g t t 。

又0)(lim =∞→n g n ，故没有最小值。

（文）∵nnn n n a b n g 412141241)(++-===单调递增，∴41min )1()(==f n f ，又121)(lim =∞→n f n ，∴没有最大值。