数值分析10方程求根的迭代法
数值分析与算法 简单迭代法求解线性方程组
简单迭代法求解线性方程组1．原理：将原线性方程组Ax=b中系数矩阵的主对角线移到一边并将其系数化为一，然后在给定迭代初值的情况下通过迭代的方法求解线性方程组的值。
2．C语言实现方式：(1)计算迭代矩阵：将系数矩阵的所有值分别处以各自所在行的主对角线值，然后将主对角线赋值为0。
(2)输入迭代初值，进行迭代将迭代初值存入y[n]矩阵，然后利用迭代式nn=nn+x[i][j]*y[j];y[i]=nn+b[i];经过有限次迭代得到误差要求以内的值3．源程序如下：#include<iostream>#include<math.h>#include<iomanip>using namespace std;#define kk 50 //定义最大方程元数int n,i,c,j,hh,gg,mm;double A[kk][kk],x[kk][kk],b[kk],y[kk],a[kk],z[kk],m,nn,d,e=1,w,fff ;void main(){cout<<"输入的方程元数"<<endl; //数据的输入cin>>n;cout<<"请输入方程系数矩阵:"<<endl;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)cin>>A[i][j];cout<<"请输入右边向量:"<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>b[i];cout<<"输入你想要的迭代精度(建议1e-5以上)！"<<endl; cin>>fff;cout<<"输入最大迭代次数（建议300次以上）！"<<endl; cin>>mm;//计算出迭代矩阵for(i=0;i<n;i++){b[i]=b[i]/A[i][i];for(j=0;j<n;j++){if(i==j){x[i][i]=0;}else{x[i][j]=-A[i][j]/A[i][i];}}}//输出迭代矩阵cout<<"计算出迭代矩阵为："<<endl;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)cout<<x[i][j]<<" ";cout<<b[i]<<" ";cout<<endl;}//赋迭代初值cout<<"输入迭代初值"<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>y[i];int f=1;//简单迭代法cout<<" ";for(i=1;i<n+1;i++)cout<<'\t'<<"X["<<i<<"]"<<" "<<'\t';cout<<"精度";cout<<endl;cout<<"迭代初值为： ";cout<<setiosflags(ios::fixed);for(i=0;i<n;i++)cout<<y[i]<<" ";cout<<endl;while(e>fff){for(i=0;i<n;i++){z[i]=y[i];nn=0;for(j=0;j<n;j++){nn=nn+x[i][j]*y[j];y[i]=nn+b[i];}e=fabs(z[0]-y[0]);if(fabs(z[i]-y[i])>e)e=fabs(z[i]-y[i]);if(i==0){cout<<setiosflags(ios::fixed);cout<<"第"<<setw(3)<<setprecision(3)<<f++<<"次迭代"<<" "; }cout<<setiosflags(ios::fixed);cout<<setw(8)<<setprecision(8)<<y[i]<<" ";}cout<<e;cout<<endl;if(f>mm){cout<<"迭代次数大于"<<mm<<"次"<<endl;cout<<"认为方程发散，迭代不收敛"<<endl;exit(1);}}cout<<endl;cout<<endl;cout<<"方程迭代了"<<f-1<<"次,达到你所要求的精度"<<fff<<endl;cout<<"最后结果为："<<endl;cout<<endl;for(i=0;i<n;i++){cout<<"X"<<"["<<i+1<<"]"<<"="<<y[i];cout<<endl;}exit(1);}4．实验数据和结果：按照提示依次输入方程元数，系数矩阵，右边向量和迭代初值。
数值分析10迭代法的收敛性分析
研究方向
进一步深入研究迭代法的收敛性，探索更有 效的迭代公式和算法，以提高收敛速度和稳 定性。
展望
随着计算技术的发展，迭代法在数值分析中 的应用将更加广泛，其收敛性分析将为解决 实际问题提供更有力的支持。同时，随着数 学理论的发展，迭代法的收敛性分析将更加 深入和完善。
感谢您的观看
THANKS
例如，梯度下降法和牛顿法是两种常见的求解优化问 题的迭代法。通过收敛性分析，可以发现梯度下降法 在一般情况下是收敛的，但可能会遇到收敛速度较慢 或者不收敛的情况；而牛顿法在一般情况下也是收敛 的，且收敛速度可能比梯度下降法更快。因此，在实 际应用中，可以根据问题的具体情况选择合适的迭代 方法。
06
迭代法收敛的充要条件
迭代法收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径小于1。谱半径是迭代矩阵所有特征值的模的最大值。
收敛性的判定方法
可以通过计算迭代矩阵的特征值来判断迭代法的收敛性，也可以通过迭代矩阵的范数来近似判断。
收敛速度的度量
01
02
03
迭代次数
迭代次数是衡量收敛速度 的一个直观指标，迭代次 数越少，收敛速度越快。
在非线性方程求解中的应用
非线性方程的求解是数值分析中的另一个重 要问题，迭代法也是求解非线性方程的重要 方法之一。与线性方程组求解类似，收敛性 分析在非线性方程求解中也有着重要的作用 。通过收敛性分析，可以判断迭代法的收敛 速度和收敛性，从而选择合适的迭代方法和 参数，提高求解效率。
数值分析实验报告--解线性方程组的迭代法及其并行算法
disp('请注意：高斯-塞德尔迭代的结果没有达 到给定的精度，并且迭代次数已经超过最大迭 代次数max1,方程组的精确解jX和迭代向量X 如下： ') X=X';jX=jX' end end X=X';D,U,L,jX=jX'
高斯－塞德尔的输入为：
A=[10 2 3;2 10 1;3 1 10]; b=[1;1;2]; X0=[0 0 0]'; X=gsdddy(A,b,X0,inf, 0.001,100) A=[10 2 3;2 10 1;3 1 10]; 请注意：因为对角矩阵 D 非奇异，所以此方程组有解.
0.0301 0.0758 0.1834
8.心得体会：
这已经是第三次实验了， 或多或少我已经对 MATLAB 有了更多的了 解与深入的学习。通过这次实验我了解了雅可比迭代法和高斯－ 塞德尔迭代法的基本思想，虽然我们不能熟练编出程序，但还是 能看明白的。运行起来也比较容易，让我跟好的了解迭代法的多 样性，使平常手算的题能得到很好的验证。通过这次实验让我对 MATLAB 又有了更深一层的认识，使我对这门课兴趣也更加浓厚。
运行雅可比迭代程序输入： A=[10
b=[1;1;2];X0=[0 0 0]'; X=jacdd(A,b,X0,inf,0.001,100)
2 3;2 10 1;3 1 10];
结果为：
k= 1 X=
0.1000 k= 2 X= 0.0200 k= 3 X= 0.0400 k= 4 X= 0.0276 k= 5 X= 0.0314 k= 6 X= 0.0294 k= 7 X= 0.0301 k= 8 X= 0.0297
6、 设计思想：先化简，把对角线的项提到左边，其它项
数值分析实验报告——方程求根
《数值分析》实验报告实验一方程求根一、实验目的:掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法求方程的根的各种计算方法、并实施程序调试和运行，学习应用这些算法于实际问题。
二、实验内容:二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法求方程的根、程序的调试和运行，给出实例的计算结果。
观察初值对收敛性的影响。
三、实验步骤：①、二分法：定义：对于区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。
实现方法：首先我们设一方程400*(x^4)-300*(x^3)+200*(x^2)-10*x-1=0，并求其在区间[0.1,1]上的根，误差限为e=10^-4。
PS：本方法应用的软件为matlab。
disp('二分法')a=0.1;b=1;tol=0.0001;n0=100;fa=400*(a.^4)-300*(a.^3)+200*(a.^2)-10*a-1;for i=1:n0 p=(a+b)/2;fp=400*(p.^4)-300*(p.^3)+200*(p.^2)-10*p-1;if fp==0||(abs((b-a)/2)<tol)disp('用二分法求得方程的根p=')disp(p)disp('二分迭代次数为：')disp(i)break;end;if fa*fp>0 a=p;else b=p;end;end;if i==n0&&~(fp==0||(abs((b-a)/2)<tol)) disp(n0) disp('次二分迭代后没有求出方程的根')end;程序调试：运行结果：用二分法求得方程的根p=0.1108二分迭代次数为：14②Newton法定义：取定初值x0，找到函数对应的点，然后通过该点作函数切线，交x轴，得到新的横坐标值，然后找函数对应的点，做切线，得到新的横坐标值,重复上述步骤，多次迭代，直到收敛到需要的精度。
数值分析第三章线性方程组迭代法
数值分析第三章线性方程组迭代法线性方程组是数值分析中的重要问题之一，涉及求解线性方程组的迭代法也是该领域的研究重点之一、本文将对线性方程组迭代法进行深入探讨。
线性方程组的一般形式为AX=b，其中A是一个n×n的系数矩阵，x和b是n维向量。
许多实际问题，如电路分析、结构力学、物理模拟等，都可以归结为求解线性方程组的问题。
然而，当n很大时，直接求解线性方程组的方法计算量很大，效率低下。
因此，我们需要寻找一种更高效的方法来求解线性方程组。
线性方程组迭代法是一种基于迭代思想的求解线性方程组的方法。
其基本思想是通过构造一个序列{xn}，使得序列中的每一项都逼近解向量x。
通过不断迭代，可以最终得到解向量x的一个近似解。
常用的线性方程组迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次超松弛迭代法等。
雅可比迭代法是其中的一种较为简单的迭代法。
其基本思想是通过分解系数矩阵A，将线性方程组AX=b转化为x=Tx+c的形式，其中T是一个与A有关的矩阵，c是一个常向量。
然后，通过不断迭代，生成序列xn，并使序列中的每一项都逼近解向量x。
高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法。
其核心思想是利用当前迭代步骤中已经求得的近似解向量的信息。
具体而言，每次迭代时，将前一次迭代得到的近似解向量中已经计算过的分量纳入计算，以加速收敛速度。
相比于雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法的收敛速度更快。
逐次超松弛迭代法是高斯-赛德尔迭代法的改进方法。
其核心思想在于通过引入一个松弛因子ω，将高斯-赛德尔迭代法中的每次迭代变为x[k+1]=x[k]+ω(d[k+1]-x[k])的形式，其中d[k+1]是每次迭代计算得到的近似解向量的一个更新。
逐次超松弛迭代法可以根据问题的特点调整松弛因子的值，以获得更好的收敛性。
除了以上提到的三种迭代法，还有一些其他的线性方程组迭代法，如SOR迭代法、共轭梯度法等。
这些方法都具有不同的特点和适用范围，可以根据问题的具体情况选择合适的迭代法。
高斯-赛德尔法--数值分析线性方程组的迭代解法
实验六、高斯-塞德尔法
一、实验目的
通过本实验学习线性方程组的迭代解法。掌握高斯-赛德尔迭代法编程。
二、计算公式
}
if(k==T)printf("\nNo");
else
printf("\n",k);
for(i=0;i<M;i++)
printf("x(%d)=%15.7f\n",i+1,x[i]);
}
四、例题
书P189页例6：用高斯-塞德尔迭代解线性方程组：
取 使得
#include<math.h>
#define M 3
#define N 4
main()
{
double a[M][N]={{8,-3,2,20},
{4,11,-1,33},
{6,3,12,36},
};
double x[M]={0,0,0};//初值
double r,t,q,eps=0.0000202;//需要精度
if(j!=i)q=q+a[i][j]*x[j];
x[i]=(a[i][N-1]-q)/a[i][i];
if(fabs(x[i]-t)>r)r=fabs(x[i]-t);
}
if(r<eps)break;
printf("\nk=%d,",k);
for(i=0;i<M;i++)
printf("\nx[%d]=%lf",i,x[i]);
《数值分析》第六讲方程求根
《数值分析》第六讲方程求根数值分析是研究用数值方法解决数学问题的一门学科，其中方程求根是其中重要的内容之一、方程求根是指找到一个或多个满足方程条件的根。
在实际生活中，方程求根的问题是非常常见的，比如求解物理学中的运动方程、电路中的电流方程等等。
本文将简要介绍几种常用的方程求根方法。
首先介绍最简单的试位法。
试位法是通过选择一个初始值，然后逐步逼近根的位置。
具体来说，首先选择一个初始点x0，然后根据函数的性质来选择一个适当的步长h。
然后计算f(x0)和f(x0+h)，如果它们符号相同，则说明根在区间(x0,x0+h)内；如果符号不同，则说明根在区间(x0-h,x0)内。
通过这样的逐步逼近，最终可以找到方程的根。
然而，试位法的精度依赖于所选择的初始值和步长，如果选择不当，可能会导致找不到根。
其次介绍割线法。
割线法也是一种逼近法，它的思路是通过不断连接两个初始点来逼近根的位置。
具体来说，选择两个初始点x0和x1，计算f(x0)和f(x1)，然后通过割线的斜率来计算下一个点的位置，即x2=x1-(f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))。
重复这个过程，可以逐步逼近根的位置。
割线法相较于试位法的优势是可以更快地逼近根的位置，但同样也依赖于所选择的初始点。
还有一种非常常用的方程求根方法是二分法。
二分法是通过不断将问题划分为两个子问题来逼近根的位置。
具体来说，选择一个初始区间[a,b]，计算f(a)和f(b)。
如果f(a)和f(b)符号相同，则说明根不在此区间内，需要重新选择区间。
如果f(a)和f(b)符号不同，则说明根在此区间内。
然后根据区间中点的位置，划分出两个新的子区间，再次进行判断。
通过这样的逐步划分，最终可以找到方程的根。
二分法是一种十分稳定和可靠的方法，但是它的收敛速度相对较慢。
最后介绍牛顿法。
牛顿法是一种迭代法，通过不断进行线性逼近来逼近根的位置。
具体来说，选择一个初始点x0，然后通过计算函数f在该点的斜率来计算下一个点的位置，即x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
数值分析 迭代法 二分法和迭代法原理
lim | xk x* | 0
k
即 lim xk x *.
k
(b) | xk1 x*| L | xk x*|
| xk 1 xk | | ( xk 1 x*) ( xk x*) | xk x * xk 1 x * (1 L) xk x * 1 xk x * xk 1 xk 1 L 又 | xk1 xk | ( xk ) ( xk1 ) | '( ) | | xk xk1 | L | xk xk1 |
等价变换
x = (x) 称为迭代函数
(x) 的不动点x*
不动点迭代
具体做法：
从一个给定的初值 x0 出发，计算 x1 = (x0), x2 = (x1), … x 若 k k 0 收敛，即存在 x* 使得 lim x k x *，则由 的连续
k
xk 1 lim xk 可得 x* = (x*)，即 x* 是 的不 性和 lim k k
根的估计
引理3.1（连续函数的介值定理） 设f(x)在 [a,b]上连续，且f(a) f(b)<0，则存在x*(a,b) 使f(x*)=0。 例3.1 证明x33x1 = 0 有且仅有3个实根，并 确定根的大致位置使误差不超过 =0.5。 解:
单调性分析和解的位置 选步长h=2, 扫描节点函数值 异号区间内有根
ek 1 xk 1 x* ( xk ) ( x*) '( )ek e 取极限得 lim k 1 '( x*) 0 线性收敛. k e k
数值分析-方程迭代法
实验内容1 用下列方法求方程201303==--x x x 在附近的根，要求准确到四位有效数字。
（1）牛顿法。
（2）单点弦截法（3）双点弦截法2 用Aitken 法求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的根，精度要求为410-=ε。
三 实验步骤（算法）与结果1： 用双点弦截法求方程201303==--x x x在附近的根①算法的C 语言代码：#include<stdio.h>#include<math.h>double f(double x){ double f;f=x*x-1/x;return f;}void main(){double y=0,z=0,x;printf("please enter a number near the root: ") ;scanf("%f",&x);for (y=f(x),z=f(y);fabs(z-y)>5e-5;){x=(x*z-y*y)/(x-2*y+z) ;y=f(x);z=f(y);}printf("the root is:") ;printf("X=%-10.4f\n",z);}②实验结果：如下图，按题要求输入2，则可得结果X=1.46562：用Aitken 法求方程0123=--x x在5.10=x 附近的根①算法的C 语言代码：#include<stdio.h>#include<math.h>double f(double x){double f=pow(x,3)-3*x-1;return f;}void main(){double f1,f2,x=2.0,y=1.5,z;for(;fabs(y-x)>5e-5;){f1=f(x);f2=f(y);z=y-f2*(y-x)/(f2-f1);x=y;y=z;}printf("the root is:") ;printf("X=%-10.4f\n",y);}②实验结果：如下图，在程序代码中预先设置接近于根的两个值x1=2.0与x2=1.5作为初值，则可得结果X=1.8794.。
数值分析--第三章--迭代法
数值分析--第三章--迭代法迭代⼀般⽅程：本⽂实例⽅程组：⼀.jacobi迭代法从第i个⽅程组解出xi。
线性⽅程组Ax=b，先给定⼀组x的初始值，如[0,0,0]，第⼀次迭代，⽤x2=0，x3=0带⼊第⼀个式⼦得到x1的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x3=0,带⼊第⼆个式⼦得到x2的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x2=0带⼊第三个式⼦得到x3的第⼀次迭代结果。
得到第⼀次的x后，重复第⼀次的运算。
转化成⼀般的形式：（其中L是A的下三⾓部分，D是A的对⾓元素部分，U 是上三⾓部分）得到迭代公式：其中的矩阵B和向量f如何求得呢？其实，矩阵B的计算也很简单，就是每⾏的元素/该⾏上的对⾓元素⼆.Gauss-Seidel迭代法【收敛速度更快】这个可以和jacobi法对⽐进⾏理解，我们以第⼆次迭代为例（这⾥的第⼀次迭代结果都⽤⼀样的，懒得去换）从上表对⽐结果可以看出，Jacobi⽅法的第⼆次迭代的时候，都是从第⼀次迭代结果中，获取输⼊值。
上⼀次迭代结果[2.5,3.0,3.0]，将这个结果带⼊上⾯式⼦1，得到x1=2.88，；将[2.5,3.0,3.0]替换成[2.88,3.0,3.0]带⼊第⼆个式⼦的运算，这⾥得到x2=1.95，所以把[2.88,3.0,3.0]替换成[2.88,1.95,3.0]输⼊第三个式⼦计算X3=1.0.这就完成了这⼀次的迭代，得到迭代结果[2.88,1.95,1.0],基于这个结果，开始下⼀次迭代。
特点：jacobi迭代法，需要存储，上⼀次的迭代结果，也要存储这⼀次的迭代结果，所以需要两组存储单元。
⽽Gauss-Seidel迭代法，每⼀次迭代得到的每⼀个式⼦得到的值，替换上⼀次迭代结果中的值即可。
所以只需要⼀组存储单元。
转化成⼀般式：注意：第⼆个式⼦中的是k+1次迭代的第⼀个式⼦的值，不是第k次迭代得值。
计算过程同jacobi迭代法的类似三.逐次超松弛法SOR法上⾯仅仅通过实例说明，Jacobi和Seidel迭代的运算过程。
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存在 x* 的某个 邻域 N(x*) =[x*- , x* + ], 使得对 x N(x*)都有| ’(x) | L < 1, 则由 x0 N(x*) 开始 的迭代都收敛。
几何含义
y
y=x
y
y=x
p1
p0
y=g(x)
p0
x0 x1 x* x x0 x*
p1 y=g(x) x1 x
几何含义
y
y= (x)
y=x
y y=(x) p0
y=x
p0 p1 x1 x0 x*
x x0 x*
p1
x
x1
压缩映像定理
定理 设 (x)C[a, b] 且可导，若 (1) a (x) b 对一切 x[a, b] 都成立 (2) 0 L < 1，使得 | ’(x) | L 对 x[a, b] 成立 则有 (a) 对任意 x0[a, b]，由 xk+1 = (xk) 产生的迭代序列 均收敛到 (x) 在 [a, b] 中的唯一不动点 x*。 xk k 0 (b) 有如下的误差估计
n
lim xn x*
存在
(x*) x*
(x)的不动点 f (x*) 0 x 为
*
等价于
几何
意义
y x y (x)
转换例子
例： 已知方程 x3-6x2+9x-2=0 在 [3,4] 内有一根，考虑迭代
(1) x = 1(x) = x3-6x2+10x-2 ;
1 |x x * | |x x k k 1 k| 1 L k L |x x * | |x x k 1 0| 1 L
可用| x k+1-xk | 来控制收敛精度 L 越小收敛越快
压缩映像定理证明
(a) 由压缩映像定理可知，不动点 x* 存在且唯一。
| x x * | ( x ) ( x * ) | ' ( ) | | x x * | L | x x * | k k 1 k 1 k 1
这种在 x* 的邻域内具有的收敛性称为局部收敛性。
迭代过程的收敛速度
| ek1 | C 0 r k | e | k
定义
lim
(C为常数)
则称该迭代为 r 阶收敛。 (1) 当 r =1 时称为线性收敛，此时 C < 1； (2) 当 r =2 时称为二次收敛，或平方收敛； (3) 当 r >1 时称为超线性收敛。
二分法线性收敛
不动点迭代中，若 ’(x*) 0，则
e x x * ( x )( x * ) ' ( ) e k 1 k 1 k k |e k 1| |'(x * )|0 取极限得 lim 线性收敛 r k | e | k
P阶收敛
有根区间：[a, b] 上存在 f (x) = 0 的一个实根 研究 内容： 在有根的前提下求出方程的近似根。
迭代法的基本思想
同解迭Leabharlann 函数基 本 思 路f(x )0
x (x ) 公式
迭代
x (x k 1 k)
？转换是
否唯一
给定初值
x0
序 x x 列 x x 0 1 n 1 n
定理
设迭代 xk+1 = (xk) ，若 (p)(x) 在 x* 的某邻域内连续， 则该迭代法具有 p 阶收敛的充要条件是 (x * )x * ,
(p 1 ) '(x * ) ''(x * ) (x * )0 , (p ) (x * )0
e 1 ( p) k 1 lim r (x * ) k e p ! k 证明：充分性. 根据泰勒展开有
| x x | | ( x x * ) ( x x * ) | x x * x x * k 1 k k 1 k k k 1
( 1 L )x x * k
1 x x * x x k k 1 k 1 L x xxx | ( ) ( ) | ' ( ) | | x x | L | x x | 又 | k 1 k k k 1 kk 1 kk 1
第四章 方程求根的迭代法
高 云
方程求根需要考虑的问题
求 f (x) = 0 的根
代数方程： f (x) = a0 + a1x + . . . + anxn 超越方程： f (x) 含超越函数，如 sin(x), ex, lnx 等 实根与复根 根的重数
f (x) = ( x – x*)m ·g(x) 且 g(x*) 0, 则 x* 为 f (x) 的 m 重根
3 (2) x () x ( x 9 x 26 ) ; 2
3 2 x 6 x 9 x 2 (3) x ; ( x ) x 2 3 3 x 1 2 x 9
2 3 (4) x ; ( x ) 6 x 9 x 2 4
？哪种转换方法好
2 k | x x * | L | x x * | L | x xL * | | x x * | k k 1 k 2 0
l i m |x x * | 0 k
k
压缩映像定理证明
(b) |x x * | L |x x * | k 1 k
k 1 L L x x * x x x x x x k k 1 k k k 1 1 0 1 L 1 L 1 L
全局收敛与局部收敛
定理的条件保证了不动点迭代的全局收敛性。 即迭代的收敛性与初始点的选取无关。
定理中的条件 | ’(x) | L < 1 可以适当放宽
k 1 k
(p ) ( ) k
并且有
() x () x ( x * ) ' ( x * ) ( xx * ). . . ( xx * ) p !