弯曲应力、变形
弯曲加工中的变形和应力分析
弯曲加工中的变形和应力分析弯曲加工是常见的金属加工方式，用于制造各种弯曲件和构件。
然而，由于材料的物理性质和弯曲过程中的力学行为，弯曲加工会引起变形和应力分析问题。
本文将探讨弯曲加工中的变形和应力分析，以及如何减少这些问题的影响。
一、变形分析在弯曲加工过程中，变形是无法避免的。
所谓变形，是指在应力作用下，材料形状、大小和方向的改变。
通常，变形可以分为弹性变形和塑性变形。
弹性变形是指在一定范围内，材料受到外力作用后产生的可逆变形。
当外力撤去时，材料会恢复原来的形状和大小。
但是，在弯曲加工中，由于弯曲角度和半径的不同，一般会发生较大的弹性变形。
如果变形过大，可能会导致后续生产过程中的装配和配合问题。
塑性变形是指材料在受到外力作用后，发生不可逆的形变。
一般来说，弯曲角度越大，材料受到的应力就越大，从而容易发生塑性变形。
当塑性变形过大时，可能会导致组件失效，甚至破裂。
解决变形问题的一种方法是优化材料选择和减少弯曲角度。
例如，在生产薄壁构件时，可以选择具有更高抗弯强度的材料。
此外，通过改变弯曲半径和角度，可以减少材料的弹性变形和塑性变形。
二、应力分析弯曲加工产生的应力是造成变形和破裂的重要原因之一。
应力是物质中单位面积或单位体积内的力。
在弯曲加工中，应力主要有两种类型：（1）剪切应力；（2）曲率应力。
剪切应力是弯曲过程中使材料沿截面滑动的应力。
剪切应力通常会导致塑性变形，因此，在选择材料和设计弯曲构件时，必须考虑到剪切应力的大小和方向。
曲率应力是在弯曲过程中产生的沿材料截面法线方向的应力。
曲率应力是通常导致弹性变形和塑性变形的主要应力。
为减少曲率应力的影响，可以采用较大的弯曲半径，并根据具体情况选择材料和工艺参数。
三、弯曲加工的影响因素在弯曲加工过程中，有许多因素会影响变形和应力问题。
以下是一些可能影响弯曲加工的主要因素：1. 材料强度和硬度：常规金属弯曲构件的性能受材料强度和硬度影响。
强度和硬度越高，变形和应力问题也越突出。
梁的弯曲(应力、变形)
2
回顾与比较
内力
应力
F
A
FAy
编辑ppt
T
IP
M
?
?
FS
3
§9-6 梁的弯曲时的应力及强度计算
一、弯曲正应力 Normal stress in bending beam
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲Pure bending
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－剪力弯曲Bending by
transverse force
编辑ppt
4
研究对象：等截面直梁 研究方法：实验——观察——假定
编辑ppt5Leabharlann 实验观察——梁表面变形特征
横线仍是直线，但发生 相对转动，仍与纵线正交
纵线弯成曲线，且梁的 下侧伸长，上侧缩短
以上是外部的情况，内部如何？ 想象 —— 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直
x
61.7106Pa61.7MPa
编辑ppt
13
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
M ql /867.5kNm 2
x
2. C 截面最大正应力
120
B
x
180
K
30 C 截面弯矩
z
MC60kN m
FBY
y
C 截面惯性矩
IZ5.83120 5m 4
x 90kN
C max
M C y max IZ
于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度 透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁
编辑ppt
6
编辑ppt
7
总之 ，由外部去 想象内部 —— 得到
材料力学三个主应力计算公式
材料力学三个主应力计算公式
1材料力学三个主应力计算公式
材料力学是用物理学的方法研究材料在外加拉力、轴向力、压力等机械荷载作用下的弹性和非弹性变形行为的一门学科。
这里我们主要讲解三个主要的应力计算公式，它们是拉伸应力公式、压缩应力公式和弯曲应力公式。
1拉伸应力公式
拉伸应力公式是研究材料受到拉力的变形的一个主要的应力计算公式。
对一般的条件，拉伸应力公式可以表示为：σ=F/A，其中σ是拉伸作用下材料的应力，F为拉力的大小，A是拉力所作用的面积。
2压缩应力公式
压缩应力公式是研究材料受到压缩的变形的一个主要的应力计算公式。
对一般的条件，压缩应力公式可以表示为：σ=F/A，其中σ是压缩作用下材料的应力，F为压缩力的大小，A是压缩力所作用的面积。
3弯曲应力公式
弯曲应力公式是研究材料受到弯曲的变形的一个主要的应力计算公式。
对一般的条件，弯曲应力公式可以表示为：σ=M/I，其中σ是弯曲作用下材料的应力，M为弯矩的大小，I是受到弯矩作用的轴状截面积的矩。
弯曲应力几何关系可以表示为：σm=E⋅（1/R）
⋅σ=E⋅（1/r）⋅截面有效截面积，其中R和r分别是弯曲的半径和有效截面的半径。
以上是关于材料力学三个主要的应力计算公式，也就是拉伸应力公式、压缩应力公式和弯曲应力公式的介绍。
通过对这些公式的学习，可以深入了解材料的变形以及如何从力学的角度来衡量材料的应力。
弯曲变形知识点总结
弯曲变形知识点总结一、弯曲变形的原理1.1 弯曲应力和弯曲应变在外力作用下，梁或梁状结构会发生弯曲变形。
在梁上的任意一点，都会受到弯曲应力的作用。
弯曲应力是指由于梁在受力下产生的内部应力，它的大小和方向取决于梁的截面形状、受力方向和大小等因素。
弯曲应力与梁的截面形状呈二次关系，通常情况下，弯曲应力最大值出现在梁的截面中性轴附近。
随着梁的弯曲，材料内部会产生弯曲应变。
弯曲应变也是和梁的截面形状有关的，并且与弯曲应力呈线性关系。
弯曲应变可以用来描述梁在受力下的变形情况，对于计算梁的弯曲变形非常重要。
1.2 理想弹性梁的弯曲变形对于理想弹性梁而言，其弯曲变形可以通过弯曲方程来描述。
弯曲方程可以根据梁的几何形状和外力作用来得到，通过求解弯曲方程可以得到梁的变形情况。
理想弹性梁的弯曲变形遵循胡克定律，即弯曲应力和弯曲应变成正比。
1.3 破坏弯曲当外力作用到一定程度时，梁会发生破坏弯曲。
在破坏弯曲阶段，梁的抵抗力不足以克服外力作用，导致梁发生不可逆的变形。
在此阶段，梁的弯曲应力和弯曲应变将迅速增大，直至梁失去稳定性。
二、弯曲变形的计算方法2.1 弯曲方程弯曲方程是描述梁弯曲变形的重要工具，可以根据弯曲方程来求解梁的弯曲应力和弯曲应变。
通常情况下，弯曲方程是一种二阶微分方程，需要求解出合适的边界条件，才能得到梁的变形情况。
弯曲方程的求解与梁的截面形状直接相关，对于不同形状的梁，需要采用不同的弯曲方程。
2.2 梁的截面性质对于计算梁的弯曲变形而言，了解梁的截面性质非常重要。
梁的截面性质包括截面面积、截面惯性矩等参数，这些参数会直接影响弯曲方程的求解。
在实际工程中，可以通过截面性质来选择合适的梁截面形状，以满足结构设计的需求。
2.3 数值计算方法为了解决复杂梁的弯曲变形问题，通常需要采用数值计算方法。
数值计算方法可以通过数学模型来描述梁的变形行为，然后通过计算机仿真来得到梁的变形情况。
在工程实践中，有限元方法是一种常用的数值计算方法，可以对复杂结构的弯曲变形问题进行有效求解。
梁的弯曲(应力、变形)
梁的弯曲类型
01
02
03
自由弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端不受约束，可以自由 转动。
简支弯曲
梁在受到外力作用时，其 一端固定，另一端可以自 由转动。
固支弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端均固定，不能发生转 动。
梁的弯曲应用场景
桥梁工程
桥梁中的梁常常需要进行弯曲变形以承受车辆和 行人等载荷。
稳定性。
06 梁的弯曲研究展望
CHAPTER
新材料的应用研究
高强度材料
随着材料科学的进步，高强度、轻质的新型 材料不断涌现，如碳纤维复合材料、钛合金 等。这些新材料在梁的弯曲研究中具有广阔 的应用前景，能够显著提高梁的承载能力和 刚度。
功能材料
新型功能材料如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有独特的力学性能和功能特性，为梁的弯 曲研究提供了新的思路和解决方案。
反复的弯曲变形可能导致疲劳裂纹的 产生和扩展，影响结构的疲劳寿命。
对使用功能的影响
弯曲变形可能导致结构使用功能受限 或影响正常使用。
04 梁的弯曲分析方法
CHAPTER
理论分析方法
弹性力学方法
01
基于弹性力学理论，通过数学公式推导梁在弯曲状态下的应力
和变形。
能量平衡法
02
利用能量守恒原理，通过计算梁在不同弯曲状态下的能量变化，
详细描述
常见的截面形状有矩形、工字形、圆形等。应根据梁的用途和受力情况选择合适的截面形状。例如， 对于承受较大弯矩的梁，采用工字形截面可以有效地提高梁的承载能力和稳定性。
支撑结构优化
总结词
支撑结构是影响梁弯曲性能的重要因素，合理的支撑结构可以提高梁的稳定性，减小梁 的变形。
弯曲与剪切变形的计算
弯曲与剪切变形的计算弯曲和剪切变形是材料力学中非常重要的概念。
在许多工程领域中，了解和计算弯曲和剪切变形对于设计和分析结构的性能至关重要。
本文将介绍弯曲和剪切变形的计算方法，并探讨它们的应用。
一、弯曲变形的计算弯曲是指材料在受力作用下沿弯曲轴线产生的变形。
弯曲变形的计算可以通过弯曲应变和弯曲应力来实现。
1. 弯曲应变的计算弯曲应变是材料在弯曲变形中的应变量。
假设材料长度为L，弯曲后的曲率半径为R，那么弯曲应变可以通过以下公式计算：ε = ρ / R其中，ε表示弯曲应变，ρ表示材料上某点的位置与原始中心线的偏移量，R表示弯曲后的曲率半径。
2. 弯曲应力的计算弯曲应力是材料在弯曲变形中的应力量。
弯曲应力可以通过以下公式计算：σ = M / S其中，σ表示弯曲应力，M表示弯矩，S表示抵抗弯曲变形的截面形状。
二、剪切变形的计算剪切变形是指材料在受力作用下平面内的切变变形。
剪切变形的计算同样可以通过剪切应变和剪切应力来实现。
1. 剪切应变的计算剪切应变是材料在剪切变形中的应变量。
剪切应变可以通过以下公式计算：γ = δ / h其中，γ表示剪切应变，δ表示平面内相邻点的位移，h表示两点间的距离。
2. 剪切应力的计算剪切应力是材料在剪切变形中的应力量。
剪切应力可以通过以下公式计算：τ = F / A其中，τ表示剪切应力，F表示应力面上的剪切力，A表示应力面的面积。
三、弯曲和剪切变形的应用1. 结构设计通过计算弯曲和剪切变形，可以评估结构在受力下的变形程度，从而进行结构设计的优化。
例如，在桥梁设计中，计算桥梁的弯曲和剪切变形可以确保结构的安全性和稳定性。
2. 材料选择了解材料在弯曲和剪切变形下的性能可以帮助工程师选择适合特定应用的材料。
不同材料的弯曲和剪切性能可能会有所不同，因此需要根据应用需求进行合适的选择。
3. 结构分析通过计算弯曲和剪切变形，可以对结构进行全面的分析。
这有助于理解和预测结构在受力下的行为，为结构的维护和优化提供依据。
弯曲应力—纯弯曲时的正应力(材料力学)
§5－2 正应力计算公式
3、物理关系
σ Eε
M
?
所以 σ E y
z
O
x
应力分布规律：
?
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。待解决问题中性轴的位置?
中性层的曲率半径
§5－2 正应力计算公式
4、静力关系
横截面上内力系为垂直于横截面的空 间平行力系，这一力系简化得到三个内力分 M 量。
y t max
M
z
y
σtmax
σ cmax My cmax Iz
§5－2 正应力计算公式
二、横力弯曲时梁横截面上的正应力
实际工程中的梁，其横截面上大多同时存在着弯矩和剪力，为横 力弯曲。但根据实验和进一步的理论研究可知，剪力的存在对正应力 分布规律的影响很小。因此对横力弯曲的情况，前面推导的正应力公 式也适用。
（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处。
σ max M y max Iz
引用记号
Wz
Iz ymax
—抗弯截面系数
则公式改写为
σ max
M Wz
§5－2 正应力计算公式
对于中性轴为对称轴的横截面
矩形截面
Wz
Iz h/2
bh3 / 12 h/2
bh2 6
实心圆截面
Wz
Iz d /2
πd 4 / 64 d /2
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
⊥ 中性轴 横截面对称轴
中性层
中性轴
横截面对称轴
§5－2 正应力计算公式
2、变形几何关系
d
dx
图（a）
O’
b’ z
初中物理弯曲公式总结归纳
初中物理弯曲公式总结归纳弯曲是物理学中常见的力学现象之一，它在日常生活以及工程领域中都有着广泛的应用。
在研究和分析弯曲现象时，我们需要使用弯曲公式，这些公式帮助我们计算弯曲材料的应力、应变以及变形程度。
本文将对初中物理中常见的弯曲公式进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和运用这些公式。
1. 弹性力学中的弯曲公式弹性力学是研究材料在受力时的弹性变形行为的学科。
在弹性力学中，弯曲公式的基本形式为M = σy * I / c，其中M表示弯矩，σy表示材料的屈服强度，I表示截面的惯性矩，c表示截面到受力点的距离。
2. 弯曲材料的受力情况在考虑弯曲公式时，我们需要明确材料的受力情况。
常见的弯曲情况有：2.1. 单点受力弯曲当材料只在一个点受到力的作用时，我们可以计算出该点的弯矩，并通过弯曲公式来推导材料的变形情况。
2.2. 均布受力弯曲当材料在整个长度上均匀受到力的作用时，我们需要考虑力的分布情况，并将弯矩进行积分求解。
通过弯曲公式可以计算出任意截面上的弯矩，并进一步分析材料的变形情况。
3. 弯曲公式的应用弯曲公式在工程领域中有广泛的应用，以下是一些常见的应用案例：3.1. 梁的设计和分析梁是承受弯曲力的结构元件，理解和运用弯曲公式是设计和分析梁结构的基础。
通过计算梁的弯矩分布情况，我们可以评估梁的稳定性和变形情况，确保梁在使用过程中能够满足强度和刚度的要求。
3.2. 弯曲杆件的变形控制当材料发生弯曲时，会产生一定的变形。
通过对弯曲公式的运用，我们可以预测杆件在受力时的变形情况，并为杆件的设计和控制提供依据。
例如，在机械设计中，我们经常需要考虑到某些杆件的变形对整个系统的影响，通过合理设计杆件的尺寸和材料，可以降低变形对系统性能的影响。
3.3. 桥梁和建筑物的结构分析对于大型桥梁和建筑物的结构分析，弯曲公式的应用尤为重要。
通过分析结构承受的弯矩分布情况，我们可以评估结构的稳定性和安全性，并优化结构的设计方案，确保其能够承受预期的力学载荷。
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y
y
根据平截面假设，横截面上
距离中性轴y处的纵向正应变
1 E1,A1 z
2 E2,A2
沿截面高度线性变化。
y
表示中性层的曲率
(a)
(b)
三、复合梁的强度
当材料处于线弹性范围时, 由单向应力状态的胡克定律, 截面1和 截面2上的弯曲正应力分别为:
1 M
E1I1 E2I2
E2
M
E1 E2
I1
I2
M
E2 nI1
I2
M E2 I z
I z nI1 I2 n y2dA1 y2dA2 y2dndA1 y2dA2
A1
A2
A1
A2
E1
E2
ydA1 ydA2 y ndA1
A1
A2
A1
ydA2 0
A2
可见,如果把截面1上各点的y坐标保持不变,把截面1的宽度乘以n, 那么我们就可以把复合梁等效为弹性模量为E2的匀质梁。
三、转换截面法
(便于确定中性轴位置并求出惯性矩大小)
由前面的推导有:
E1 ydA1 E2 ydA2 0
A1
A2
1
M
E1I1 E2I2
Hale Waihona Puke 令 n E1 称为模量比 E2
将上面两式变形:
E1
E2
ydA1 ydA2 y ndA1
A1
A2
A1
ydA2 0
A2
三、 复合梁的强度
EIZ
由(a)(b)式得 M z y
Iz
y
M
m
Mz
n
中性轴
y z
o
dA
mn dx
Mzy Iz
max
Mz Wz
M
max
M x max Wz
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离 IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
二 梁的正应力强度计算
2 梁的正应力强度条件
对梁的某一截面： 对全梁（等截面）：
max
Mymax IZ
M WZ
max
M max ymax IZ
M max Wz
max
M max WZ
三、 复合梁的强度 一、复合梁
由两种或者两种以上的材料构成的梁, 称为复合梁(组合梁)。
(a)双金属梁
(b)夹层梁
(c)钢筋混凝土
三、复合梁的强度
二、复合梁的基本方程
如图(a)所示复合梁, 材料1与材料2的弹性模量分别为E1与E2, 相应的横截面积分别为A1与A2。梁在纵向对称面内承受纯弯曲, 横截面上的弯矩为M。
12
上下表面的最大拉压应力：
max
Myc Iz
20N.m 1257.4 1012
m4
6.07 103 m 96.55Mpa
max
M n
Iz
h
yc
2.5
20N.m 1257.4 1012
m4
3.93103 m
156.27Mpa
弯曲应力
四 梁的剪应力强度计算
(a)
(b)
三、复合梁的强度
反之，也可以改变截面2的弹性模量，假设 E1 E2
n' E2 E1
截面1和截面2的弯曲正应力公式为：
y
1
My Iz
y
2
n'
My Iz
1 E1,A1
1 E1,A1
z
z
2 E2,A2
2 E1,n´A2
(a)
(b)
三、 复合梁的强度
解： 等效截面法,截面1保持不变，
E2 n 2.5 E1
仍与变形后梁的轴线垂直，
只是转了一个角度。
单向受拉、压假设
设各纵向纤维之间互不挤压，每一根 纵向纤维均处于单向拉伸、或压缩。
一 基本概念与假设
F
F
mn
o1
o2
m
n
中性层
中性轴
3 中性层、中性轴
由连续性假设， 存 在着一层既不伸长，也不 缩短的纵向纤维层，称为 中性层。
中性层与横截面的交 线称为中性轴。梁弯曲时， 梁横截面绕各自中性轴旋 转。
1
E1 y
2
E2 y
由于两种材料的弹性模量不同, 所以尽管线应变沿高度线性变化, 正应力在两截面交界处发生突变。
y
y
y
1 E1,A1
z
2 E2,A2
(a)
(b)
(c)
7.4 复合梁的强度 中性轴的位置，由轴力为零确定：
1dA1 2dA2 FN 0
A1
A2
中性层的曲率由弯矩平衡得到: y1dA1 y 2dA2 M
弯曲应力
二 梁的正应力强度计算
F
mn
F
1 纯弯曲时梁的正应力公式推导
mn
y
M
M z 中性轴
m
n
dA y z
o
mn dx
o
d
y
dx
yd d y
d
E
E
y
(a)
FN
dA
A
E
ydA 0
A
M y
zdA
A
E
AzydA
0
M z
ydA
A
E
y2dA EIZ
A
1 M Z (b)
截面1宽度做调整后的截面我们称为实际截面的等效截面或相当 截面。
三、复合梁的强度
用等效截面替代实际截面后，可以根据等效截面求复合梁弯曲 时的中性轴位置以及惯性矩的大小。
截面1和截面2的弯曲正应力公式为：
y
1
n
My Iz
y
2
My Iz
1 E1,A1 z
2 E2,A2
1 E2,nA1 z
2 E2,A2
A1
A2
又:
1
E1 y
2
E2 y
有:
E1 ydA1 E2 ydA2 0
A1
A2
E1
y2dA1
A1
E2
y 2 dA2
A2
M
确定中性轴的位置
1 M
E1I1 E2I2
三、复合梁的强度
则截面1和截面2上的弯曲正应力分别为:
1
ME1 y E1I1 E2I2
2
ME2 y E1I1 E2I2
材料力学
弯曲应力
弯曲应力
一 基本概念与假设
弯曲应力 /一 基本概念与假设
1 纯弯曲与横力弯曲
纯弯曲：
A
横截面上弯矩为常量，而切力为零。
FF
a C Da B F
横力弯曲： 横截面上既有弯矩，又有切力。
F Fa
一 基本概念与假设 2 平面假设与单向受拉、压假设
平面假设
梁弯曲变形后，其横
F
F
截面仍保持为一平面，并
作等效截面，将截面2宽度乘以2.5
求等效截面的形心，对z’轴求静矩， 得到：
yc
10 5 2.5 10 5
2.510 5 7.5 2.510 5
mm
6.07mm
三、复合梁的强度 等效截面对中性轴的惯性矩：
Iz
10 53 12
10 5 6.07
2.52
2.5 10 53 2.5 10 5 10 6.07 2.52 mm4 1257.4mm4
y
当复合梁各部分连接紧密，在弯曲变形
过程中无相对错动时，复合梁为一
1 E1,A1 整体梁。 z
平截面假设和单向应力假设仍然成立!
2 E2,A2
在梁发生弯曲变形时, 梁横截面上各点绕中性轴 (a) 发生一个微小转动。
三、复合梁的强度
对于由单一材料组成的梁, 梁弯曲时的中性轴过横截面的形心。
对于复合梁，由于材料性质不均匀,弯曲时候的中性轴不再通 过横截面的形心。