天津市和平区2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
天津市和平区2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（每小题5分，共40分）1．两圆224210x y x y +-++=与224410x y x y ++--=的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 2．若,x y R ∈ ，则“x y >”是“22x y >”的 （ ）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件3．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 的离心率为2，它的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为( )A.316B.38C.163D.83 4．已知下列命题：①命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1＜3x ”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(⌝p)∧(⌝q)为真命题”； ③“a ＞2”是“a ＞5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题． 其中真命题 有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．15．直线)1(1:-=-x k y l 和圆0222=-+x y x 的位置关系是( )A ．相离B ．相切或相交C ．相交D ．相切6．若直线)4(:1-=x k y l 与直线2l 关于点(2,1)对称，则直线2l 恒过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)7.双曲线12222=-bx a y 0(>a ，)0>b 与抛物线281x y =有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直于y 轴的弦长为332，则双曲线的离心率为（ ） （A ）2 （B ）332 （C ）223 （D ）38.已知函数()31,03221,112xx f x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪+⎩，若函数()3(0)2a g x ax a =-+>，若对1[0,1]x ∀∈，总21[0,]2x ∃∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的范围是（ ）A ．(,6]-∞B ．[4,)-+∞C ．(,4]-∞-D ． [6,)+∞二．填空题（每小题5分，共30分，将答案写在答题纸上．．．．．．．．．） 9. 双曲线8222=-x y 的渐近线方程为 10．若一个球的体积是3256π，则该球的内接正方体的表面积是 ． 11若函数)()(3R x bx x x f ∈+=在点))1(,1(--f 处的切线与直线2y x a =-+平行，则实数b 的值 12．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，求直线l 的斜率=k ____________13． 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．14. 若函数1)1(3)(223+--+=k x k kx x f 在区间(0，4)上是减函数，则k 的取值范围是________．三、解答题(共80分)15．（本小题满分13分）已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，（Ⅰ）若直线1l 过定点A (1，0)，且与圆C 相切，求1l 的方程；(Ⅱ) 若圆D 的半径为3，圆心在直线2l ：20x y +-=上，且与圆C 外切，求圆D 的方程．16.（本小题满分13分）1．如下图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，各棱长均为2，D 为AB 的中点.（1）求证：1//BC 1平面A CD ； （2）求证:平面111A ABB CD A 平面⊥ （3）求11B A 与平面CD A 1所成角的正切植.17.（本小题满分13分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为 1227.求直线l 方程．18.（本小题满分13分）设R a ∈，已知函数233)(x ax x f -=. （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）设)()()(x f x f x g '+=，若]3,1[∈∃x ，有0)(≤x g ，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，一个长轴端点为)2,0(-P ，离心率23=e ，过P 分别作斜率为21,k k 的直线PA ，PB ，交椭圆于点A ，B 。
（1）求椭圆的方程；（2）若221=k k ，证明直线AB 过一定点.20.（本小题满分14分）函数()()()()()ln ,212.f x x g x a x f x ==--- （I ）当1a =时，求函数()g x 的单调区间；（II ）设),(),(2211y x B y x A 是函数()y f x =图象上任意不同两点，线段AB 中点为C ()00,x y ，直线AB 的斜率为k.证明：()0k f x '>； （III ）设()()()01bF x f x b x =+>+，对任意(]1212,0,2,x x x x ∈≠，都有()()12121F x F x x x -<--，求实数b 的取值范围.天津市和平区2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题参考答案一、选择题 BAAD BBBD 二、填空题9、 x y 2±= 10、128 11、4-12、 33- 13、13222=+y x 14、 31≤k三、解答题：15、 解：（Ⅰ）①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意． ②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即0kx y k --=． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l 的距离等于半径2，即．所求直线方程是1x =，3430x y --=．………6分 （Ⅱ）依题意设(,2)D a a -，又已知圆的圆心(3,4),2C r =， 由两圆外切，可知5CD =∴可知 解得 2,3-==a a 或， ∴ (3,1)D -或(2,4)D －，∴ 所求圆的方程为 9)4()29)1()32222=-++=++-y x y x 或（（．…13分 16、解：连结1AC ，设1AC 与1AC 相交于点E ，连接DE ，则E 为1AC 中点，D 为AB 的中点，∴1//DE BC111,BC ACD DE ACD ⊂⊂ 平面平面 ∴11//BC ACD 平面. ………………………………………………4分 （2） 由ABC A A 平面⊥1，平面⊆CD 1AA CD ⊥∴又AB CD ⊥ 1111,AB A AA AB A ABB A A 面，⊆= 11A ABB CD 面⊥∴CD 1A CD 面⊆∴ 所以，平面111A ABB CD A 平面⊥………………8分（3）做11B E A D ⊥与E ,由（2）知11B E A DC ∴⊥面，所以11B A E ∴∠为所求角，111tan tan 2B A E ADA ∴∠=∠=…………………………13分17、解：(1)由题意知c ＝1，2a ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝4，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. ………………………4分(2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32， B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，△AF 2B 的面积为3，不符合题意．………………5分②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得： (3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ＞0成立， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2.………………7分可得|AB |＝12（k 2＋1）3＋4k2， 所以 △AF 2B 的面积为12|AB |d ＝12|k |k 2＋13＋4k 2＝1227，……………9分 化简得：17k 4＋k 2－18＝0，得k ＝±1， 所以. )1(-±=x y ………………13分18、（1）x ax x f 63)(2-='，0=a 时，x x f 6)(-='，0)(>'x f ，得0<x ，0)(<'x f ，得0>x ；0>a 时，0)(>'x f ，得a x 2>或0<x ，0)(<'x f ，得a x 20<<； 0<a 时，0)(>'x f ，得02<<x a ，0)(<'x f ，得a x 2<或0>x ；综上所述：0=a 时，)(x f 的单调递增区间为)0,(-∞，单调递减区间为),0(+∞.0>a 时，)(x f 的单调递增区间为)0,(-∞，),2(+∞a ，单调递减区间为)2,0(a .0<a 时，)(x f 的单调递增区间为)0,2(a ，单调递减区间为)2,(a-∞，),0(+∞…………………………………6分（2）依题意，]3,1[∈∃x ，0633223≤-+-x ax x ax 等价于不等式xx x x x x x a 3633632232++=++≤在]3,1[∈x 有解.令])3,1[(363)(2∈++=x x x x x h ，则0)3(]2)2[(3)3()64(3)(222222<+++-=+++-='x x x x x x x x h ，所以)(x h 在区间]3,1[上是减函数，所以)(x h 的最大值为49)1(=h ， 所以49≤a ，即实数a 的取值范围为]49,(-∞.…………………………6分 19、（1）椭圆的方程1422=+x y ………………4分 （2）直线PA ，PB 的方程分别为.2,221-=-=x k y x k y 由⎩⎨⎧=+-=442221x y x k y 得04)4(1221=-+x k x k ，解得0=x 或44211+=k k x ，于是)482,44(2121211+-+k k k k A ，同理)482,44(2222222+-+k k k k B ………………8分由122k k =得)122,12(2121211+-+k k k k B ，121)2(2k k k AB+=直线AB ：)44()2(24822111212121+-+=+--k kx k k k k y ，………………12分令0=x 得64)2(848221212121-=++-+-=k k k k y ，则直线AB 恒过点)6,0(-…………14分20、。
2017-2018年天津市和平区高二第一学期数学期末试卷(文科)及 解析
D．
﹣
=1
5． （3 分）已知 F1（﹣1，0） ，F2（1，0）是椭圆的两个焦点，过 F1 的直线 l 交椭 圆于 M，N 两点，若△MF2N 的周长为 8，则椭圆的标准方程为（ A． B． ）
C．
D．
6． （3 分）若双曲线 为（ A．y=±x ）
﹣y2=1（a＞0）的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程
表示双曲线，命题 q：
表示椭圆．
（1）若命题 P 与命题 q 都为真命题，则 P 是 q 的什么条件？ （请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既 不充分也不必要条件”中的哪一个） （2）若 P∧q 为假命题，且 P∨q 为真命题，求实数 m 的取值范围． 16．已知三点 P（5，2） 、F1（﹣6，0） 、F2（6，0） ． （Ⅰ）求以 F1、F2 为焦点且过点 P 的椭圆标准方程； （Ⅱ）设点 P、F1、F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P′、F1′、F2′，求以 F1′、F2′ 为焦点且过点 P′的双曲线的标准方程． 17．已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，点 D（2，y0）在抛物线 C 上， 且|DF|=3，直线 y=x﹣1 与抛物线 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点． （1）求抛物线 C 的方程； （2）求△OAB 的面积． 18．已知椭圆 E 的方程为 为 圆 C 的直径． （1）求直线 AB 的方程； （2）求椭圆 E 的标准方程． 19．已知椭圆 C 的中心在原点，离心率为 2． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）椭圆 C 的下顶点为 A，直线 y=kx+m（k≠0）与椭圆 C 相交于不同的两点 M， N，当|AM|=|AN|时，求 m 的取值范围． ，右焦点到直线 的距离为 （a＞b＞0 ）的离心率为 ，圆 C 的方程
天津市和平区2017-2018学年高二上学期期中质量调查数学试题Word版含解析
天津市和平区2017-2018学年高二上学期期中质量调查数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（）A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】∵直线的倾斜角为，∴直线的斜率为故选：A2. 在轴、轴上的截距分别是2、的直线方程为（）A. B. C. D.【答案】B即故选：B3. 若是异面直线，，则与的位置关系是（）A. 或B. 与相交或C. 与相交或D. 与相交或或【答案】D【解析】∵是异面直线，，∴与的位置关系是与相交或或故选：D4. 若一个长方体的长、宽、高分别为、、1，则它的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】长方体的体对角线长即外接球的直径，∴∴6π故选：C点睛：设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .5. 过点与且圆心在直线上的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵圆心在直线x+y﹣2=0上，∴可设圆的圆心M（a，2﹣a），根据圆过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），可得（1﹣a）2+（﹣1﹣2+a）2=（﹣1﹣a）2+（1﹣2+a）2，解得a=1，故圆的圆心为（1，1），半径等于MA=2，故圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．故选：D6. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵圆柱的轴截面为正方形，故圆柱的底面直径等于高即h=2r，又圆柱的侧面积为,∴,∴r=1,h=2,∴圆柱的体积等于，故选B考点：本题考查了圆柱的性质点评：熟练掌握圆柱的定义及性质是解决此类问题的关键7. 过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与之间的距离为（）A. B. C. 4 D. 2【答案】C【解析】求得圆的圆心为C（2，1）设点Q（x、y）为切线l上一个动点，则=（x+2，y﹣4），=（﹣4，3）∵PQ⊥CP，∴•=﹣4（x+2）+3（y﹣4）=0化简得4x﹣3y+20=0∵直线m：ax﹣3y=0与直线l平行，∴a=4，可得m方程为4x﹣3y=0，两条平行线的距离为d=．故选：C8. 已知平面平面，，点，直线，直线，直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示，对于A，虽然AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直；故不成立．对于B，AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；B成立；对于C，AB∥l⇒AB∥β，D成立；对于D，AB∥l∥m；A成立；故选A．点睛：判断线面关系的方法：①利用平行垂直的定理与性质进行直接联想与推导；（2）借助特殊几何体进行判断，比如正方体，正四面体，教室等等.第Ⅱ卷（共60分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9. 若点，，三点共线，则的值等于______.【答案】4【解析】解：因为若三点10. 一个圆锥的母线为，母线与轴的夹角为，则圆锥的高为_______.【答案】【解析】由题设条件可知，在直角三角形中，圆锥的高：h=20cos30°=20×=．故答案为：．11. 圆上到直线的距离等于1的点有_______个.【答案】3【解析】试题分析：是一个以为圆心，为半径的圆．圆心到的距离为，所以作与直线距离为的直线，会发现这样的直线有两条（一条在直线的上方，一条在直线的下方），上面的那条直线与圆有两个交点，下面的与圆有一个交点，所以圆上共有三个点与直线距离为．考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式．12. 若直线与平面相交于点，，，且，则三点的位置关系是_______.【答案】在同一条直线上【解析】O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．证明如下：如图所示，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面β，∵A∈β，B∈β，A∈l，B∈l，∴l⊂β，∵l∩α=O，∴O∈α，O∈β，∴O=α∩β．∵C，D∈α，∴α∩β=CD，∴O∈直线CD．∴O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．故答案为在同一条直线上．13. 如图，正方体中，给出以下四个结论：①平面；②与平面相交；③平面；④平面平面，其中正确结论的序号是_______.【答案】①④【解析】对于①，由于平面A1ABB1∥平面CDC1D1，而D1C⊂平面CDC1D1，故D1C与平面A1ABB1没有公共点，所以D1C∥平面A1ABB1正确；对于②，由于A1D1∥BC，所以A1D1⊂平面BCD1，错误；对于③，AD与BD显然不垂直，错误；对于④，容易证明BC⊥平面A1ABB1，而BC⊂平面BCD1，故平面BCD1⊥平面A1ABB1．正确．故答案为：①④．点睛：在正方体中判断线面关系要充分利用好正方体的特殊性质，比如BD⊥平面BD，四面体C1BD A1为正四面体，A1C⊥平面BD A1等.14. 三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则_________.【答案】考点：三棱锥体积三、解答题（本大题共5题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知直线经过直线与直线的交点.（1）若直线垂直于，求直线的方程；（2）若直线与经过两点，的直线平行，求直线的方程.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析:（1）易得点的坐标为，利用垂直关系得到斜率即可求出直线的方程；（2）利用平行关系得到斜率即可求出直线的方程.试题解析：由，解得∴点的坐标为.（1）∵直线的斜率为，∴与该直线垂直的直线的斜率为，∴直线的方程为，即.（2）直线的斜率为，∵直线与直线平行，∴，∴直线的方程为，即.16. 已知方程.（1）若此方程表示圆，求的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），求的值.【答案】(1)；(2).【解析】解：（1）方程变形为∵此方程表示圆∴∴（2）由消去得设，∴∵∴又∵，∴∴∴∴17. 如图，直三棱柱中，，，分别是的中点，求证：（1）平面；（2）；（3）平面平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】试题分析: 1）根据线面垂直的判定定理即可证明C1M⊥平面AA1B1B；（2）根据线面垂直的性质先证明A1B⊥平面AC1M，即可证明A1B⊥AM；（3）根据面面平行的判定定理即可证明平面AC1M∥平面B1NC．试题解析：（1）证法一：由直三棱柱得平面，∵平面，∴，又∵，为的中点，∴，又∵，∴平面.证法二：由直三棱柱得平面平面，且平面平面，∵，为的中点，∴，又∵平面，∴平面.（2）由（1）知，平面∵平面，∴，∵，，∴平面，∵平面，∴.（3）证法一：由直三棱柱知，四边形是矩形，∵分别是的中点，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面，连接，则四边形是矩形，∴，且，又∵，，∴，且，∴四边形是矩形，∴，∵平面，平面，∴平面又∵，∴平面平面.证法二：由（2）知，平面，∵平面，∴，∵，∴，∵平面，平面，∴，∵，∴平面，∴平面平面.点睛: 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18. 如图，在四棱锥中，底面四边形是矩形，平面，分别是的中点，.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；（3）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)45°；(3).【解析】试题分析:（1）取的中点，要证平面，即证，构造平行四边形即可；（2）根据题意易知为二面角的平面角，求出即可；（3）易证平面，为直线与平面所成的角，即可求出直线与平面所成角的正弦值.试题解析：（1）证明：取的中点，连接，∵是的中点，∴，且，∵四边形是矩形，∴，且，∴，且，又∵是的中点，∴，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面∴平面.（2）∵平面，平面∴，∵四边形是矩形，∴，∵，、平面，∴平面，又∵平面，∴为二面角的平面角，∵，∴为等腰直角三角形∴，即二面角的大小为. （3）由（2）知，为等腰直角三角形∵是斜边的中点，∴，由（1）知，，∴，又由（2）知，平面，平面，∴，∴，又∵平面，∴平面，∴是直线在平面上的射影，∴为直线与平面所成的角，在中，，，∴，在等腰直角中，∵是的中点，∴，∴∴，即直线与平面所成角的正弦值为.点睛:求直线与平面所成角问题主要有两个方法:①定义法,在斜线上取一点,过此点引平面的垂线,连接垂足与斜足得到射影,斜线与射影所夹较小角即线面角;②等积法:直接求得斜线上一点到平面的距离，其与斜线段长的比值即线面角的正弦值，关键求点到平面距离，往往利用等积法来求.19. 已知为坐标原点，设动点.（1）当时，若过点的直线与圆：相切，求直线的方程；（2）当时，求以为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；（3）当时，设，过点作的垂线，与以为直径的圆交于点，垂足为，试问：线段的长是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请说明理由.【答案】(1)或；(2)；(3)的长为定值为.【解析】试题分析:（1）圆C：x2+y2﹣8x=0化为（x﹣4）2+y2=16，得到圆心C（4，0），半径r=4，分类讨论即可求直线l的方程；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM 为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x﹣4y﹣5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）由于∽，∴，直线的方程为，求出，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值．试题解析：(1)解：依题意，将圆：化为标准方程为：，则圆心，半径为，∵直线过点，∴当斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；当斜率存在时，设过点的直线的方程为，即.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为4，即，解得，∴，即，综上可得，所求直线的方程为或.（2）依题意得，（），∴以为直径的圆圆心为，半径为，∴圆的方程为，∵以为直径的圆被直线截得的弦长为2，∴圆心到直线的距离为，∴，解得.∴圆心为，半径为，∴所求圆的方程为. （3）的长为定值.理由如下：依题意得（）由于∽，则，即，∵直线的方程为，即∴由点到直线的距离公式得，又由两点间的距离公式得，∴，∴，∴的长为定值为.。
2017-2018学年天津市和平区高二(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m=1”是“双曲线的离心率为2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（3分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|=（）A． B． C． D．3．（3分）已知双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣x2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=14．（3分）若双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x5．（3分）已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（3分）已知向量=（2，4，5），=（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=15 C．x=，y=D．x=6，y=7．（3分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=08．（3分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）若双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p=．10．（6分）已知斜率为2 的直线经过椭圆的右焦点F2，与椭圆相交于A、B 两点，则AB 的长为．11．（6分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=．12．（6分）如图所示，已知空间四边形OABC中，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为．13．（6分）设椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于．14．（6分）已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．17．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN||平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面A1B1C．18．已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且=，求直线AB 的斜率．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1（1）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值；（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．2017-2018学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m=1”是“双曲线的离心率为2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据双曲线离心率的定义求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由双曲线的方程得a2=m，（m＞0），b2=3，则c2=3+m，∵双曲线的离心率e=2，∴e2===4，即3+m=4m，即3m=3，m=1，则“m=1”是“双曲线的离心率为2”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的离心率公式是解决本题的关键．2．（3分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|=（）A． B． C． D．【分析】利用空间直角坐标系中两点间的距离公式，计算即可．【解答】解：空间直角坐标系中，A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|==．故选：B．【点评】本题考查了空间中两点间的距离应用问题，是基础题．3．（3分）已知双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣x2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=1【分析】设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），利用双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），建立方程组，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），∵双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），∴，∴a=，b=1，∴双曲线的标准方程为﹣y2=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的方程，正确运用待定系数法是关键．4．（3分）若双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x【分析】求出双曲线的c，由离心率公式，解方程求得a，再由双曲线的渐近线方程即可得到．【解答】解：双曲线﹣y2=1（a＞0）的c=，则离心率e===2，解得，a=．则双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=x．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法和离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题．5．（3分）已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意，抛物线y2=x的焦点为（，0），从而求椭圆的离心率．【解答】解：抛物线y2=x的焦点为（，0）；抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，故c=，b=，a==；故e===；故该椭圆的离心率为：；故选：D．【点评】本题考查了抛物线及椭圆的性质以及应用，属于基础题．6．（3分）已知向量=（2，4，5），=（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=15 C．x=，y=D．x=6，y=【分析】由l1∥l2，可得存在实数使得=k，【解答】解：∵l1∥l2，∴存在实数使得=k，∴，解得x=6，y=．故选：D．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（3分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=0【分析】若设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；作差①﹣②，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程，得：9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①﹣②得：9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；由中点坐标=4，=2，代入上式，得72（x1﹣x2）+144（y1﹣y2）=0，∴直线斜率为k==﹣，所求弦的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故选：C．【点评】本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于基础题目．8．（3分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】设H（x0，y0），则=．可得k MH k NH==∈，即可得出．【解答】解：M（﹣a，0），N（a，0）．设H（x0，y0），则=．∴k MH k NH====∈，可得：=e2﹣1∈，∴e∈．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）若双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p=4．【分析】求出双曲线的左焦点坐标，代入抛物线的准线方程，求出P即可．【解答】解：双曲线（p＞0）的左焦点（﹣，0），双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，可得：﹣=，解得p=4．故答案为：4．【点评】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．10．（6分）已知斜率为2 的直线经过椭圆的右焦点F2，与椭圆相交于A、B 两点，则AB 的长为．【分析】求得椭圆的a，b，c，可得右焦点，求得直线AB的方程，代入椭圆方程，可得交点A，B的坐标，由两点的距离公式计算即可得到所求弦长．【解答】解：椭圆的a=，b=2，c==1，右焦点为（1，0），直线的方程为y=2（x﹣1），代入椭圆方程，可得6x2﹣10x=0，解得x=0或x=，即有交点为A（0，﹣2），B（，），则弦长为|AB|==．故答案为：．【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点和弦长，考查运算能力，属于基本知识的考查．11．（6分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=．【分析】由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．由直线EF的倾斜角为150°，可得k l=．进而得到直线EF的方程为：，与抛物线方程联立，可得解得y E．由于PE⊥l于E，可得y P=y E，代入抛物线的方程可解得x P．再利用|PF|=|PE|=x P+1即可得出．【解答】解：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．∵直线EF的倾斜角为150°，∴k l=tan150°=．∴直线EF的方程为：y=﹣（x﹣1），联立，解得y=．∴E．∵PE⊥l于E，∴y P=，代入抛物线的方程可得，解得x P=．∴|PF|=|PE|=x P+1=．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．12．（6分）如图所示，已知空间四边形OABC中，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为0．【分析】利用向量三角形法则、数量积运算性质即可得出．【解答】解：∵，OB=OC，∴===﹣=0，故答案为：0．【点评】本题考查了向量三角形法则、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题．13．（6分）设椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于．【分析】先求出公共焦点分别为F1，F2，再联立方程组求出P，由此可以求出和，利用向量的数量积求解cos∠F1PF2．【解答】解：由题意知F1（﹣2，0），F2（2，0），解方程组，得取P点坐标为（，），=（﹣2﹣，﹣），=（2﹣，﹣）cos∠F1PF2==．故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．14．（6分）已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为．【分析】由PQ⊥PF1，|PQ|与|PF1|的关系，可得|QF1|于|PF1|的关系，由双曲线的定义可得2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，解得|PF1|，然后利用直角三角形，推出a，c的关系，可得双曲线的离心率．【解答】解：设P，Q为双曲线右支上一点，由PQ⊥PF1，|PQ|=|PF1|，在直角三角形PF1Q中，|QF1|==|PF1|，由双曲线的定义可得：2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，由|PQ|=|PF1|，即有|PF2|+|QF2|=|PF1|，即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a=|PF1|，∴（1﹣+）|PF1|=4a，解得|PF1|=．∴|PF2|=|PF1|﹣2a=，由勾股定理可得：2c=|F1F2|==，则e=．故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的定义、方程及其性质，考查勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，求出a，b．最后写出椭圆标准方程．（Ⅱ）根据三个已知点的坐标，求出关于直线y=x的对称点分别为点，设出所求双曲线标准方程，代入求解即可．【解答】解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为（a＞b＞0），其半焦距c=6∴，b2=a2﹣c2=9．所以所求椭圆的标准方程为（2）点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）．设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6，，b12=c12﹣a12=36﹣20=16．所以所求双曲线的标准方程为．【点评】本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力．属于中档题．16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．【分析】（1）根据题意，由抛物线的定义，可得，解可得p=2，代入标准方程，即可得答案；（2）联立直线与抛物线的方程，消去y得x2﹣6x+1=0，进而设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=6，结合抛物线的几何性质，可得|AB|的长，由点到直线距离公式可得O到直线y=x﹣1，进而由三角形面积公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，D（2，y0）在抛物线y2=2px，上且|DF|=3由抛物线定义得，∴p=2故抛物线的方程为y2=4x；（2）由方程组，消去y得x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6；∵直线y=x﹣1过抛物线y2=4x的焦点F，∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8又O到直线y=x﹣1的距离，∴△ABO的面积．【点评】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，关键是利用抛物线的几何性质求出其标准方程．17．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN||平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面A1B1C．【分析】（Ⅰ）连接BC1，AC1，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（Ⅱ）连接A1M，CM，运用面面垂直的判定定理，证得MN⊥平面A1B1C，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）连接BC1，AC1，在△ABC1中，由AM=MB，AN=NC1，可得MN∥BC1，MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，则MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB=BC=BB1=2，可得四边形BCC1B1为正方形，即有BC1⊥B1C，MN⊥B1C，连接A1M，CM，由AM=BM，AA1=BC，∠A1AM=∠MBC=90°，可得△AMA1≌△BMC，可得A1M=CM，又N是A1C的中点，则MN⊥A1C，B1C∩A1C=C，MN⊥平面A1B1C，MN⊂平面AMN，则平面AMN⊥平面A1B1C．【点评】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题．18．已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且=，求直线AB 的斜率．【分析】（1）利用抛物线的离心率求得=，将（2，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值；（2）方法一：设直线OC的斜率，代入椭圆方程，求得C的纵坐标，则直线直线AB的方程为x=my﹣a，代入椭圆方程，求得B的纵坐标，由=，则直线直线AB的斜率k；方法二：由=，y2=2y1，将B和C代入椭圆方程，即可求得C点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB的斜率．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e===，则=，①由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，+=1，②解得：a2=9，b2=5，∴椭圆E的标准方程为+=1；（2）方法一：由（1）可知：=，则椭圆方程：5x2+9y2=5a2，设直线OC的方程为x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），，消去x整理得：5m2y2+9y2=5a2，∴y2=，由y2＞0，则y2=，由=，则AB∥OC，设直线AB的方程为x=my﹣a，则，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy=0，由y=0，或y1=，由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，则=2×，（m＞0），解得：m=，则直线AB的斜率=；方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2=5a2，则A（﹣a，0），B（x1，y1），C（x2，y2），由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，由B ，C 在椭圆上，∴，解得：x 2=，y 2=则直线直线AB 的斜率k==；直线AB 的斜率=【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，向量共线定理，考查计算能力，属于中档题．19．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1 （1）求二面角S ﹣BC ﹣A 的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE 与平面SAD 所成角的正弦值为，求线段CP 的长．【分析】以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz ，则D （0，0，0），B （2，2，0），C （0，1，0），S （0，0，2），利用空间向量求解． 【解答】解：（1）以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz ， 则D （0，0，0），B （2，2，0），C （0，1，0），S （0，0，2） ∴，，设面SBC 的法向量为由可取∵SD⊥面ABC，∴取面ABC的法向量为|cos|=，∵二面角S﹣BC﹣A为锐角．二面角S﹣BC﹣A的余弦值为（2）由（1）知E（1，0，1），则，，设，（0≤λ≤1）．则，易知CD⊥面SAD，∴面SAD的法向量可取|cos|=，解得λ=或λ=（舍去）．此时，∴||=，∴线段CP的长为【点评】本题考查了空间向量求解面面角，线面角，解题时要仔细运算，合理转化，属于中档题．。
天津市和平区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共40分，在四个选项中只有一项是正确的．1．已知集合M={x|＜0}，N={x|x≤﹣1}，则集合{x|x≥2}等于（）A．M∩N B．M∪N C．∁R（M∩N）D．∁R（M∪N）2．从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是（）A．B．C．D．3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．8 B．32 C．48 D．3844．设x∈R，则“﹣1＜x＜6”是“2x2﹣5x﹣3＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为（）A．B．C．D．6．若双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=2px的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．3 D．27．记实数x1，x2，…，x n中最小数为min{x1，x2，…，x n}，则定义在区间[0，+∞）上的函数f（x）=min{x2+1，x+3，13﹣x}的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．108．已知函数f（x）=x|x|﹣mx+1有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．C．（﹣∞，﹣2）D．[2，+∞）二、填空题：每小题5分，共30分．9．i是虚数单位，计算的结果为．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则几何体的体积为cm3．11．（5分）（2011新余二模）在区间上随机取一个数x，则cosx的值介于0到的概率为．12．已知x＞0，y＞0，+=1，则2x+y的最小值为．13．已知函数f（x）=3sin（ωx﹣）+1（ω＞0）和g（x）=cos（2x+φ）﹣2的图象的对称轴完全相同，当x∈[0，]时，函数f（x）的值域是．14．（5分）（2018济宁二模）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，D是BC边上的一点（含端点），则的取值范围是．三、解答题：共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（2018秋和平区期末）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinA+csinC﹣asinC=bsinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若C=，b=2，求a和c．16．（13分）（2018秋和平区期末）某企业生产A、B两种产品，现有资源如下：煤360吨，水300吨，电200千瓦．每生产1吨A产品需消耗煤9吨，水3吨，电4千瓦，利润7万元；每生产1吨B产品需消耗煤4吨，水10吨，电5千瓦，利润12万元．（Ⅰ）根据题目信息填写下表：每吨产品煤（吨）水（吨）电（千瓦）AB（Ⅱ）设分别生产A、B两种产品x吨、y吨，总产值为z万元，请列出x、y满足的不等式组及目标函数．（Ⅲ）试问该企业利用现有资源，生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？17．（13分）（2018秋和平区期末）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，D为A1C1的中点，B1C⊥A1B．（Ⅰ）求证：平面AB1C垂直平面A1BC1；（Ⅱ）求证：A1B∥平面B1CD；（Ⅲ）若AB=AC=BC=AB1=B1C=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积．18．（13分）（2013山东）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．19．（14分）（2018秋和平区期末）已知椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆C的另一个交点的坐标．20．（14分）（2018秋和平区期末）设函数f（x）=x3﹣x2+6x+m．（Ⅰ）对于x∈R，f′（x）≥a恒成立，求a的最大值；（Ⅱ）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求m的取值范围；（Ⅲ）若g（x）=mx﹣6x2﹣2f（x）在（1，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范围．2017-2018学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共40分，在四个选项中只有一项是正确的．1．已知集合M={x|＜0}，N={x|x≤﹣1}，则集合{x|x≥2}等于（）A．M∩N B．M∪N C．∁R（M∩N）D．∁R（M∪N）【分析】先化简集合M，再根据集合的并集运算求出M∪N={x|x＜2}，这时发现{x|x＜2}∪{x|x≥2}=R，问题得以解决．【解答】解：∵M={x|＜0}={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x≤﹣1}，∴M∪N={x|x＜2}，∴∁R（M∪N）={x|x≥2}，故选：D．【点评】此题考查的分式不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．2．从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是（）A．B．C．D．【分析】从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中，任取2个数字相加，先求出基本事件总数，再求出其和为偶数包含的基本事件个数，由此能求出其和为偶数的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中，任取2个数字相加，基本事件总数n==21，其和为偶数包含的基本事件个数m==9，∴其和为偶数的概率p===．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．8 B．32 C．48 D．384【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知当满足n＜8时，用s×n的值代替s得到新的s值，进入下一步判断，直到条件不满足时输出最后的S值，由此即可得到本题答案．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=2满足条件n＜8，S=2，n=4满足条件n＜8，S=8，n=6满足条件n＜8，S=48，n=8不满足条件n＜8，退出循环，输出S的值为48．故选：C．【点评】本题给出程序框图，求最后输出的结果值，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．4．设x∈R，则“﹣1＜x＜6”是“2x2﹣5x﹣3＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由2x2﹣5x﹣3＜0，解得，即可判断出结论．【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＜0，解得，∴“﹣1＜x＜6”是“2x2﹣5x﹣3＜0”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为（）A．B．C．D．【分析】延长BO交⊙O于点C，我们根据已知中⊙O的半径为2，∠AOB=90°，D为OB的中点，我们易得，代入相交弦定理，我们即可求出线段DE的长．【解答】解：延长BO交⊙O于点C，由题设知：，又由相交弦定理知ADDE=BDDC，得故选C【点评】本题考查的知识是与圆有关的比例线段，其中延长B0交圆于另一点C，从而构造相交弦的模型是解答本题的关键．6．若双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=2px的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．3 D．2【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的a，b，c，解方程可得p2=36，即有c=2，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=2px的焦点为（，0），由双曲线﹣=1的a=，b=||，可得c=，即有=||，解得p2=36，可得c=3，则离心率e===．故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用抛物线的焦点坐标，以及双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，考查运算能力，属于基础题．7．记实数x1，x2，…，x n中最小数为min{x1，x2，…，x n}，则定义在区间[0，+∞）上的函数f（x）=min{x2+1，x+3，13﹣x}的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．10【分析】在同一坐标系中作出三个函数y=x+3，y=x2+1与y=﹣x+13的图象，依题意，由图象即可求得max{min{x2+1，x+3，13﹣x}}．【解答】解：在同一坐标系中作出三个函数y=x2+1，y=x+3，y=13﹣x的图象如图：由图可知，min{x2+1，x+3，13﹣x}为y=x+3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线y=13﹣x点C下方的部分的组合体，显然，在C点时，y=min{x2+1，x+3，13﹣x}取得最大值．解方程组得，C（5，8），∴max{min{x2+1，x+3，13﹣x}}=8．故选：C．【点评】本题考查函数的最值的求法，在同一坐标系中作出三个函数y=x+3，y=x2+1与y=﹣x+13的图象是关键，考查数形结合的思想方法，属于中档题．8．已知函数f（x）=x|x|﹣mx+1有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．C．（﹣∞，﹣2）D．[2，+∞）【分析】f（x）=x|x|﹣mx+1得x|x|+1=mx利用参数分离法得m=|x|+，构造函数g（x）=|x|+，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．【解答】解：由f（x）=x|x|﹣mx+1得x|x|+1=mx，当x=0时，方程不成立，即x≠0，则方程等价为m=|x|+设g（x）=|x|+，当x＜0时，g（x）=﹣x+为减函数，当x＞0时，g（x）=x+，则g（x）在（0，1）上为减函数，则（1，+∞）上为增函数，即当x=1时，函数取得极小值同时也是最小值g（1）=1+1=2，作出函数g（x）的图象如图：要使f（x）=x|x|﹣mx+1有三个零点，则等价为m=|x|+有三个不同的根，即y=m与g（x）有三个不同的交点，则由图象知m＞2，故实数m的取值范围是（2，+∞），故选：B．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法以及数形结合是解决本题的关键．二、填空题：每小题5分，共30分．9．i是虚数单位，计算的结果为2﹣．【分析】直接利用复数代数形式乘除运算化简得答案．【解答】解：=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则几何体的体积为12πcm3．【分析】由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，根据圆锥和圆柱的体积公式进行求解即可．【解答】解：由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，圆锥的高为3cm，底面半径r=2cm，则圆锥的体积为=4π（cm3），圆柱的高为2cm，底面半径r=2cm，则圆柱的体积为π×22×2=8π（cm3），则该几何体的体积为4π+8π=12π（cm3），故答案为：12π【点评】本题主要考查三视图的应用以及空间几何体的体积计算，根据三视图判断几何体的结构是解决本题的关键．11．（5分）（2011新余二模）在区间上随机取一个数x，则cosx的值介于0到的概率为．【分析】解出关于三角函数的不等式，使得cosx的值介于0到之间，在所给的范围中，求出符合条件的角的范围，根据几何概型公式用角度之比求解概率．【解答】解：∵0＜cosx，∴x∈（2kπ+，2kπ+）当x∈[﹣，]时，x∈（﹣，﹣）∪（，）∴在区间上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率P==，故答案为：．【点评】本题是一个几何概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，在解题过程中不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．12．已知x＞0，y＞0，+=1，则2x+y的最小值为18．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，+=1，则2x+y=（2x+y）=10++≥10+2=18，当且仅当y=2x=2+8时取等号．故答案为：18．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．已知函数f（x）=3sin（ωx﹣）+1（ω＞0）和g（x）=cos（2x+φ）﹣2的图象的对称轴完全相同，当x∈[0，]时，函数f（x）的值域是[﹣，4]．【分析】由条件利用三角函数的周期性求得ω的值，可得函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．【解答】解：函数f（x）=3sin（ωx﹣）+1（ω＞0）和g（x）=cos（2x+φ）﹣2的图象的对称轴完全相同，故它们的周期相同，即=，∴ω=2，f（x）=3sin（2x﹣）+1．当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，∴函数f（x）的值域为[﹣+1，4]，即函数f（x）的值域是[﹣，4]，故答案为：[﹣，4]．【点评】本题主要考查三角函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．14．（5分）（2018济宁二模）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，D是BC边上的一点（含端点），则的取值范围是[﹣3，0]．【分析】由条件可以求出，而根据B，D，C三点共线，便可得到，从而得到，进行数量积的运算便可得出，【解答】解：根据条件，；∵B，D，C三点共线，∴存在实数λ使，0≤λ≤1；∴；∴；∴==1﹣2λ﹣4（1﹣λ）+λ=3λ﹣3；∵0≤λ≤1；∴﹣3≤3λ﹣3≤0；∴的取值范围为[﹣3，0]．故答案为：[﹣3，0]．【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，共线向量基本定理，向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及不等式的性质．三、解答题：共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（2018秋和平区期末）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinA+csinC﹣asinC=bsinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若C=，b=2，求a和c．【分析】（I）由asinA+csinC﹣asinC=bsinB，利用正弦定理可得：=b2，再利用余弦定理可得：cosB．（II ）A=π﹣B ﹣C=，由正弦定理可得：a=，而sinC=．可得c=．【解答】解：（I ）由asinA+csinC ﹣asinC=bsinB ，利用正弦定理可得：=b 2，由余弦定理可得：cosB==，∵B ∈（0，π），∴B=．（II ）A=π﹣B ﹣C=，由正弦定理可得：a===，而sinC==+=．∴c==1+．【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（13分）（2018秋和平区期末）某企业生产A 、B 两种产品，现有资源如下：煤360吨，水300吨，电200千瓦．每生产1吨A 产品需消耗煤9吨，水3吨，电4千瓦，利润7万元；每生产1吨B 产品需消耗煤4吨，水10吨，电5千瓦，利润12万元．（Ⅰ）根据题目信息填写下表：每吨产品 煤（吨） 水（吨） 电（千瓦） A B（Ⅱ）设分别生产A 、B 两种产品x 吨、y 吨，总产值为z 万元，请列出x 、y 满足的不等式组及目标函数．（Ⅲ）试问该企业利用现有资源，生产A 、B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？【分析】（Ⅰ）根据题意，即可填写表格；（Ⅱ）由题意可得组，目标函数z=7x+12y；（Ⅲ）作出不等式组表示的可行域，以及直线l0：7x+12y=0，平移直线l0：，由图象观察可得经过直线3x+10y=300和直线4x+5y=200的交点时，取得最大值．【解答】解：（Ⅰ）每吨产品煤（吨）水（吨）电（千瓦）A 9 3 4B 4 10 5（Ⅱ）x，y满足的不等式组，目标函数z=7x+12y；（Ⅲ）作出不等式组表示的可行域，以及直线l0：7x+12y=0，由，解得M（20，24），平移直线l0，当经过点M（20，24），取得最大值，且为z=7×20+12×24=428．则生产A种产品20吨，B种产品24吨，才能获得最大利润428万元．【点评】本题考查线性规划的运用，考查数形结合的思想方法，以及平移法，考查运算能力，属于中档题．17．（13分）（2018秋和平区期末）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，D为A1C1的中点，B1C⊥A1B．（Ⅰ）求证：平面AB1C垂直平面A1BC1；（Ⅱ）求证：A1B∥平面B1CD；（Ⅲ）若AB=AC=BC=AB1=B1C=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积．【分析】（Ⅰ）推导出B1C⊥BC1，B1C⊥A1B，从而B1C⊥平面A1BC1，由此能证明平面AB1C垂直平面A1BC1．（Ⅱ）设BC1∩B1C于点E，连DE，推导出DE∥A1B，由此能证明A1B∥平面B1CD．（Ⅲ）侧面BAA1B1和侧面BCC1B1是两个全等的菱形，侧面ACC1A1是一个正方形，由此能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积．【解答】证明：（Ⅰ）∵侧面BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1，∵B1C⊥A1B，且A1B∩BC1=B，∴B1C⊥平面A1BC1，∵B1C⊂平面AB1C，∴平面AB1C垂直平面A1BC1．（Ⅱ）设BC1∩B1C于点E，连DE，∵在△A1BC1中，D为A1C1的中点，E为BC1的中点，∴DE∥A1B，∵DE⊂平面B1CD，A1B⊄平面B1CD，∴A1B∥平面B1CD．解：（Ⅲ）依题意，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，两底面是边长为2的正三角形，面积均为，侧面BAA1B1和侧面BCC1B1是两个全等的菱形，面积均为2，侧面ACC1A1是一个正方形，面积为4，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查三棱柱的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（13分）（2013山东）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得到关于a1与d的方程组，解之即可求得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，继而可求得b n=，n∈N*，于是T n=+++…+，利用错位相减法即可求得T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得：，解得a1=1，d=2．∴a n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，得：当n=1时，=，当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，显然，n=1时符合．∴=，n∈N*由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，∴T n=++…++，两式相减得：T n=+（++…+）﹣=﹣﹣∴T n=3﹣．【点评】本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题．19．（14分）（2018秋和平区期末）已知椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆C的另一个交点的坐标．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的方程为=1，a＞b＞0，利用待定系数法能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）直线AF1的方程为3x﹣4y+6=0，求出直线l的方程为2x﹣y﹣x=0，与椭圆联立，得19x2﹣16x﹣44=0，由此利用韦达定理能求出直线l与椭圆C的另一个交点坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上，∴设椭圆C的方程为=1，a＞b＞0，则，解得a2=16，b2=12，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）∵椭圆C的方程为，∴F1（﹣2，0），F2（2，0），则直线AF1的方程为y=，即3x﹣4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由点A在椭圆C上的位置得直线l的斜率为正数，设P（x，y）为直线l上一点，则=|x﹣2|，解得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0（斜率为负，舍），∴直线l的方程为2x﹣y﹣x=0，由，整理，得19x2﹣16x﹣44=0，设直线l与椭圆C的另一个交点为M（x0，y0），则有，解得，，∴直线l与椭圆C的另一个交点坐标为（﹣，﹣）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的另一个交点坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理的合理运用．20．（14分）（2018秋和平区期末）设函数f （x ）=x 3﹣x 2+6x+m ．（Ⅰ）对于x ∈R ，f ′（x ）≥a 恒成立，求a 的最大值；（Ⅱ）若方程f （x ）=0有且仅有一个实根，求m 的取值范围；（Ⅲ）若g （x ）=mx ﹣6x 2﹣2f （x ）在（1，+∞）上存在单调递增区间，求m 的取值范围．【分析】（1）求出f （x ）的导数，得到3x 2﹣9x+（6﹣a ）≥0恒成立，根据判别式△≤0，求出a 的范围即可；（2）求出f （x ）的极大值和极小值，从而求出m 的范围即可；（3）求出g （x ）的导数，得到函数的单调性，求出函数的g ′（x ）的最大值，从而求出m 的范围即可．【解答】解：（1）f ′（x ）=3x 2﹣9x+6，x ∈R ，f ′（x ）≥a 恒成立，即3x 2﹣9x+（6﹣a ）≥0恒成立，∴△=81﹣12（6﹣a ）≤0，解得：a ≤﹣，∴a 的最大值是﹣；（2）由f ′（x ）=3（x ﹣1）（x ﹣2），令f ′（x ）＞0，解得：x ＞2或x ＜1，令f ′（x ）＜0，解得：1＜x ＜2，∴f （x ）极大值=f （1）=+m ，f （x ）极小值=f （2）=2+m ，故f （2）＞0或f （1）＜0时，方程f （x ）=0仅有1个实数根，∴m 的范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣2，+∞）； （3）∵g （x ）=﹣2x 3+3x 2+（m ﹣12）x ﹣2m ，∴g ′（x ）=﹣6+（m ﹣），当x ∈[1，+∞）时，g ′（x ）的最大值是g ′（1）=m ﹣12， 令g ′（1）＞0，解得：m ＞12， ∴m 的范围是（12，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．。
2017-2018年天津市和平区高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2017-2018学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m=1”是“双曲线的离心率为2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（3分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|=（）A． B． C． D．3．（3分）已知双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣x2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=14．（3分）若双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x5．（3分）已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（3分）已知向量=（2，4，5），=（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=15 C．x=，y=D．x=6，y=7．（3分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=08．（3分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）若双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p=．10．（6分）已知斜率为2 的直线经过椭圆的右焦点F2，与椭圆相交于A、B 两点，则AB 的长为．11．（6分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=．12．（6分）如图所示，已知空间四边形OABC中，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为．13．（6分）设椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于．14．（6分）已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．17．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN||平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面A1B1C．18．已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且=，求直线AB 的斜率．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1（1）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值；（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．2017-2018学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m=1”是“双曲线的离心率为2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由双曲线的方程得a2=m，（m＞0），b2=3，则c2=3+m，∵双曲线的离心率e=2，∴e2===4，即3+m=4m，即3m=3，m=1，则“m=1”是“双曲线的离心率为2”的充要条件，故选：C．2．（3分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|=（）A． B． C． D．【解答】解：空间直角坐标系中，A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|==．故选：B．3．（3分）已知双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣x2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=1【解答】解：设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），∵双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），∴，∴a=，b=1，∴双曲线的标准方程为﹣y2=1．故选：A．4．（3分）若双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x【解答】解：双曲线﹣y2=1（a＞0）的c=，则离心率e===2，解得，a=．则双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=x．故选：D．5．（3分）已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线y2=x的焦点为（，0）；抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，故c=，b=，a==；故e===；故该椭圆的离心率为：；故选：D．6．（3分）已知向量=（2，4，5），=（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=15 C．x=，y=D．x=6，y=【解答】解：∵l1∥l2，∴存在实数使得=k，∴，解得x=6，y=．故选：D．7．（3分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=0【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程，得：9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①﹣②得：9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；由中点坐标=4，=2，代入上式，得72（x1﹣x2）+144（y1﹣y2）=0，∴直线斜率为k==﹣，所求弦的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故选：C．8．（3分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：M（﹣a，0），N（a，0）．设H（x0，y0），则=．∴k MH k NH====∈，可得：=e2﹣1∈，∴e∈．故选：A．二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）若双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p=4．【解答】解：双曲线（p＞0）的左焦点（﹣，0），双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，可得：﹣=，解得p=4．故答案为：4．10．（6分）已知斜率为2 的直线经过椭圆的右焦点F2，与椭圆相交于A、B 两点，则AB 的长为．【解答】解：椭圆的a=，b=2，c==1，右焦点为（1，0），直线的方程为y=2（x﹣1），代入椭圆方程，可得6x2﹣10x=0，解得x=0或x=，即有交点为A（0，﹣2），B（，），则弦长为|AB|==．故答案为：．11．（6分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=．【解答】解：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．∵直线EF的倾斜角为150°，∴k l=tan150°=．∴直线EF的方程为：y=﹣（x﹣1），联立，解得y=．∴E．∵PE⊥l于E，∴y P=，代入抛物线的方程可得，解得x P=．∴|PF|=|PE|=x P+1=．故答案为：．12．（6分）如图所示，已知空间四边形OABC中，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为0．【解答】解：∵，OB=OC，∴===﹣=0，故答案为：0．13．（6分）设椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于．【解答】解：由题意知F1（﹣2，0），F2（2，0），解方程组，得取P点坐标为（，），=（﹣2﹣，﹣），=（2﹣，﹣）cos∠F1PF2==．故答案为：．14．（6分）已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为．【解答】解：设P，Q为双曲线右支上一点，由PQ⊥PF1，|PQ|=|PF1|，在直角三角形PF1Q中，|QF1|==|PF1|，由双曲线的定义可得：2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，由|PQ|=|PF1|，即有|PF2|+|QF2|=|PF1|，即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a=|PF1|，∴（1﹣+）|PF1|=4a，解得|PF1|=．∴|PF2|=|PF1|﹣2a=，由勾股定理可得：2c=|F1F2|==，则e=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．【解答】解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为（a＞b＞0），其半焦距c=6∴，b2=a2﹣c2=9．所以所求椭圆的标准方程为（2）点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）．设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6，，b12=c12﹣a12=36﹣20=16．所以所求双曲线的标准方程为．16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．【解答】解：（1）根据题意，D（2，y 0）在抛物线y2=2px，上且|DF|=3由抛物线定义得，∴p=2故抛物线的方程为y2=4x；（2）由方程组，消去y得x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6；∵直线y=x﹣1过抛物线y2=4x的焦点F，∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8又O到直线y=x﹣1的距离，∴△ABO的面积．17．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN||平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面A1B1C．【解答】证明：（Ⅰ）连接BC1，AC1，在△ABC1中，由AM=MB，AN=NC1，可得MN∥BC1，MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，则MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB=BC=BB1=2，可得四边形BCC1B1为正方形，即有BC1⊥B1C，MN⊥B1C，连接A1M，CM，由AM=BM，AA 1=BC，∠A1AM=∠MBC=90°，可得△AMA1≌△BMC，可得A1M=CM，又N是A1C的中点，则MN⊥A1C，B1C∩A1C=C，MN⊥平面A1B1C，MN⊂平面AMN，则平面AMN⊥平面A1B1C．18．已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且=，求直线AB 的斜率．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e===，则=，①由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，+=1，②解得：a2=9，b2=5，∴椭圆E的标准方程为+=1；（2）方法一：由（1）可知：=，则椭圆方程：5x2+9y2=5a2，设直线OC的方程为x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），，消去x整理得：5m2y2+9y2=5a2，∴y2=，由y2＞0，则y2=，由=，则AB∥OC，设直线AB的方程为x=my﹣a，则，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy=0，由y=0，或y1=，由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，则=2×，（m＞0），解得：m=，则直线AB的斜率=；方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2=5a2，则A（﹣a，0），B（x1，y1），C（x2，y2），由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，由B，C在椭圆上，∴，解得：x2=，y2=则直线直线AB的斜率k==；直线AB的斜率=19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1（1）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值；（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．【解答】解：（1）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2）∴，，设面SBC的法向量为由可取∵SD⊥面ABC，∴取面ABC的法向量为|cos|=，∵二面角S﹣BC﹣A为锐角．二面角S﹣BC﹣A的余弦值为（2）由（1）知E（1，0，1），则，，设，（0≤λ≤1）．则，易知CD⊥面SAD，∴面SAD的法向量可取|cos|=，解得λ=或λ=（舍去）．此时，∴||=，∴线段CP的长为赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x=为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2017学年天津市和平区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2016-2017学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（3分）已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．不存在3．（3分）在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4．（3分）已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（）A．6 B．C．D．5．（3分）抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=6．（3分）焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．7．（3分）直线l1、l2的方向向量分别为，，则（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1与l2相交不平行D．l1与l2重合8．（3分）已知在空间四边形ABCD中，，，，则=（）A．B．C．D．9．（3分）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．10．（3分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．（5分）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是．12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是．13．（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．14．（5分）（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，；（2）经过点（2，0），．16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．（Ⅰ）证明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．18．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．19．（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．2016-2017学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当“m＞n＞0”时”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”成立，即“m＞n＞0”⇒”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”为真命题，当“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”时“m＞n＞0”也成立，即“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”也为真命题，故“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C．2．（3分）已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．不存在【解答】解：F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，因为|F1F2|=6＞4，则点P的轨迹满足双曲线定义，是双曲线的一支．故选：B．3．（3分）在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．【解答】解：∵点P（﹣1，﹣2，﹣3），∴点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是2，故选B．4．（3分）已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（）A．6 B．C．D．【解答】解：空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为|AB|==6．故选：A．5．（3分）抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=【解答】解：抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，∴=∴抛物线y2=﹣x的准线方程是x=故选D．6．（3分）焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，可得a+b=10，2c=4，c=2，即a2﹣b2=20，解得a2=36，b2=16，所求椭圆方程为：．故选：C．7．（3分）直线l1、l2的方向向量分别为，，则（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1与l2相交不平行D．l1与l2重合【解答】解：∵直线l1、l2的方向向量分别为，，∴1×8﹣3×2﹣1×2=0，8．（3分）已知在空间四边形ABCD中，，，，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵在空间四边形ABCD中，，，，∴==（）﹣=（）﹣=．故选：B．9．（3分）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：∵PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，∴|PF1|=|F1F2|∴=2c，∴e2﹣2e﹣1=0，∵e＞1，10．（3分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．（5分）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是x2=±24y．【解答】解：顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6，可得抛物线方程p=12，所求抛物线方程为：x2=±24y．故答案为：x2=±24y．12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是．【解答】解：双曲线与椭圆有相同的焦点（，0），焦点坐标在x轴，双曲线的一条渐近线为，可得=，a2+b2=13，可得a2=4，b2=9．所求双曲线方程为：．故答案为：．13．（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．【解答】解：椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F （c，0），且B1F⊥AB2，可得：=0，即b2=ac，即a2﹣c2﹣ac=0，可得e2+e﹣1=0，e∈（0，1），解得e=．故答案为：．14．（5分）（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=．【解答】解：+λ=（1，0，0）+λ（0，﹣1，1）=（1，﹣λ，λ）．∵+λ与的夹角为120°，∴cos120°==，化为，∵λ＜0，∴λ=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，；（2）经过点（2，0），．【解答】（1）解：由得，，解得，a=9，∵a2=b2+c2，∴b2=a2﹣c2=81﹣36=45，∵焦点在y轴上，∴椭圆的标准方程为；（2）解：由e=，设a=2k，c=（k＞0），则b=，由于椭圆经过点为（2，0），即为椭圆的顶点，且在x轴上，若点（2，0）为长轴的顶点，则a=2，此时2k=2，∴k=1，得b=1，则椭圆的标准方程为．若点（2，0）为短轴的顶点，则b=2，此时k=2，得a=4，则椭圆的标准方程为．16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）令抛物线E的方程：y2=2px（p＞0）∵抛物线E的焦点为（1，0），∴p=2∴抛物线E的方程：y2=4x（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，得（y2﹣y1）/（y1+y2）=4（x2﹣x1）∵线段AB恰被M（2，1）所平分∴y1+y2=2∴=2∴AB的方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0．17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．（Ⅰ）证明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．【解答】（本题满分12分）解：如图，以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A ﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），M（1，2，1），N （2，1，0），…（3分）（Ⅰ）∵=（2，1，0），=（﹣1，2，1），…（4分）∴•=0…（5分）∴⊥，即AN⊥BM…（6分）（Ⅱ）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），…（7分）∵=（2，4，﹣2），=（0，4，﹣2），由，可得，…（9分）解得：，取y=1得平面MBD的一个法向量为=（0，1，2），…（10分）设直线MN与平面PCD所成的角为θ，则由=（﹣1，1，1），…（11分）可得：sinθ=|cos＜，＞|=||==…（12分）18．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为，∴，，解得a=，b=1，∴椭圆方程是．（2）将y=kx+2代入，得（3k2+1）x2+12kx+9=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过D（1，0）则PD⊥QD，即（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，又y1=kx1+2，y2=kx2+2，得（k2+x）x1x2+（2k﹣1）（x1+x2）+5=0，又，，代上式，得k=，∵此方程中，△=144k2﹣36（3k2+1）＞0，∴k＞1，或k＜﹣1．∴存在k=﹣满足题意．19．（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．【解答】（本题满分10分）（1）证明：如图，以B1为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．…（1分）依题意，，因为，…（3分）所以，所以，又OC⊄平面A1B1C1，所以OC∥平面A1B1C1．…（4分）（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），A1（0，1，0），则，…（5分）设为平面ABC的一个法向量，由得解得不妨设z1=1，则x1=﹣1，y1=﹣2，所以．…（7分）设为平面ACA1的一个法向量，由得解得不妨设y2=1，则x2=1，所以．…（9分）因为，，于是，所以，二面角B﹣AC﹣A1的正弦值为．…（10分）。
2017-2018学年天津市和平区高二上学期期末数学试题(理科)(解析版)
2017-2018学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m=1”是“双曲线的离心率为2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（3分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|=（）A． B． C． D．3．（3分）已知双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣x2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=14．（3分）若双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x5．（3分）已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（3分）已知向量=（2，4，5），=（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=15 C．x=，y=D．x=6，y=7．（3分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=08．（3分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）若双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p=．10．（6分）已知斜率为2 的直线经过椭圆的右焦点F2，与椭圆相交于A、B 两点，则AB 的长为．11．（6分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=．12．（6分）如图所示，已知空间四边形OABC中，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为．13．（6分）设椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于．14．（6分）已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右志于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．17．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN||平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面A1B1C．18．已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且=，求直线AB 的斜率．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1（1）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值；（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．2017-2018学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m=1”是“双曲线的离心率为2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据双曲线离心率的定义求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由双曲线的方程得a2=m，（m＞0），b2=3，则c2=3+m，∵双曲线的离心率e=2，∴e2===4，即3+m=4m，即3m=3，m=1，则“m=1”是“双曲线的离心率为2”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的离心率公式是解决本题的关键．2．（3分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|=（）A． B． C． D．【分析】利用空间直角坐标系中两点间的距离公式，计算即可．【解答】解：空间直角坐标系中，A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|==．故选：B．【点评】本题考查了空间中两点间的距离应用问题，是基础题．3．（3分）已知双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣x2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=1【分析】设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），利用双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），建立方程组，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），∵双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），∴，∴a=，b=1，∴双曲线的标准方程为﹣y2=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的方程，正确运用待定系数法是关键．4．（3分）若双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x【分析】求出双曲线的c，由离心率公式，解方程求得a，再由双曲线的渐近线方程即可得到．【解答】解：双曲线﹣y2=1（a＞0）的c=，则离心率e===2，解得，a=．则双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=x．故选D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法和离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题．5．（3分）已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意，抛物线y2=x的焦点为（，0），从而求椭圆的离心率．【解答】解：抛物线y2=x的焦点为（，0）；抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，故c=，b=，a==；故e===；故该椭圆的离心率为：；故选D．【点评】本题考查了抛物线及椭圆的性质以及应用，属于基础题．6．（3分）已知向量=（2，4，5），=（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=15 C．x=，y=D．x=6，y=【分析】由l1∥l2，可得存在实数使得=k，【解答】解：∵l1∥l2，∴存在实数使得=k，∴，解得x=6，y=．故选：D．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（3分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=0【分析】若设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；作差①﹣②，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程，得：9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①﹣②得：9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；由中点坐标=4，=2，代入上式，得36（x1﹣x2）+72（y1﹣y2）=0，∴直线斜率为k==﹣，所求弦的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故选：C．【点评】本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于基础题目．8．（3分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】设H（x0，y0），则=．可得k MH k NH==∈，即可得出．【解答】解：M（﹣a，0），N（a，0）．设H（x0，y0），则=．∴k MH k NH====∈，可得：=e2﹣1∈，∴e∈．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）若双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p=4．【分析】求出双曲线的左焦点坐标，代入抛物线的准线方程，求出P即可．【解答】解：双曲线（p＞0）的左焦点（﹣，0），双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，可得：﹣=，解得p=4．故答案为：4．【点评】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．10．（6分）已知斜率为2 的直线经过椭圆的右焦点F2，与椭圆相交于A、B 两点，则AB 的长为．【分析】求得椭圆的a，b，c，可得右焦点，求得直线AB的方程，代入椭圆方程，可得交点A，B的坐标，由两点的距离公式计算即可得到所求弦长．【解答】解：椭圆的a=，b=2，c==1，右焦点为（1，0），直线的方程为y=2（x﹣1），代入椭圆方程，可得6x2﹣10x=0，解得x=0或x=，即有交点为A（0，﹣2），B（，），则弦长为|AB|==．故答案为：．【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点和弦长，考查运算能力，属于基本知识的考查．11．（6分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=．【分析】由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．由直线EF的倾斜角为150°，可得k l=．进而得到直线EF的方程为：，与抛物线方程联立，可得解得y E．由于PE⊥l于E，可得y P=y E，代入抛物线的方程可解得x P．再利用|PF|=|PE|=x P+1即可得出．【解答】解：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．∵直线EF的倾斜角为150°，∴k l=tan150°=．∴直线EF的方程为：y=﹣（x﹣1），联立，解得y=．∴E．∵PE⊥l于E，∴y P=，代入抛物线的方程可得，解得x P=．∴|PF|=|PE|=x P+1=．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．12．（6分）如图所示，已知空间四边形OABC中，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为0．【分析】利用向量三角形法则、数量积运算性质即可得出．【解答】解：∵，OB=OC，∴===﹣=0，故答案为：0．【点评】本题考查了向量三角形法则、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题．13．（6分）设椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于．【分析】先求出公共焦点分别为F1，F2，再联立方程组求出P，由此可以求出和，利用向量的数量积求解cos∠F1PF2．【解答】解：由题意知F1（﹣2，0），F2（2，0），解方程组，得取P点坐标为（，），=（﹣2﹣，﹣），=（2﹣，﹣）cos∠F1PF2==．故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．14．（6分）已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右志于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为．【分析】由PQ⊥PF1，|PQ|与|PF1|的关系，可得|QF1|于|PF1|的关系，由双曲线的定义可得2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，解得|PF1|，然后利用直角三角形，推出a，c的关系，可得双曲线的离心率．【解答】解：设P，Q为双曲线右支上一点，由PQ⊥PF1，|PQ|=|PF1|，在直角三角形PF1Q中，|QF1|==|PF1|，由双曲线的定义可得：2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，由|PQ|=|PF1|，即有|PF2|+|QF2|=|PF1|，即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a=|PF1|，∴（1﹣+）|PF1|=4a，解得|PF1|=．∴|PF2|=|PF1|﹣2a=，由勾股定理可得：2c=|F1F2|==，则e=．故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的定义、方程及其性质，考查勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，求出a，b．最后写出椭圆标准方程．（Ⅱ）根据三个已知点的坐标，求出关于直线y=x的对称点分别为点，设出所求双曲线标准方程，代入求解即可．【解答】解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为（a＞b＞0），其半焦距c=6∴，b2=a2﹣c2=9．所以所求椭圆的标准方程为（2）点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）．设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6，，b12=c12﹣a12=36﹣20=16．所以所求双曲线的标准方程为．【点评】本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力．属于中档题．16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．【分析】（1）根据题意，由抛物线的定义，可得，解可得p=2，代入标准方程，即可得答案；（2）联立直线与抛物线的方程，消去y得x2﹣6x+1=0，进而设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=6，结合抛物线的几何性质，可得|AB|的长，由点到直线距离公式可得O到直线y=x﹣1，进而由三角形面积公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，D（2，y0）在抛物线y2=2px，上且|DF|=3由抛物线定义得，∴p=2故抛物线的方程为y2=4x；（2）由方程组，消去y得x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6；∵直线y=x﹣1过抛物线y2=4x的焦点F，∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8又O到直线y=x﹣1的距离，∴△ABO的面积．【点评】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，关键是利用抛物线的几何性质求出其标准方程．17．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN||平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面A1B1C．【分析】（Ⅰ）连接BC1，AC1，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（Ⅱ）连接A1M，CM，运用面面垂直的判定定理，证得MN⊥平面A1B1C，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）连接BC1，AC1，在△ABC1中，由AM=MB，AN=NC1，可得MN∥BC1，MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，则MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB=BC=BB1=2，可得四边形BCC1B1为正方形，即有BC1⊥B1C，MN⊥B1C，连接A1M，CM，由AM=BM，AA1=BC，∠A1AM=∠MBC=90°，可得△AMA1≌△BMC，可得A1M=CM，又N是A1C的中点，则MN⊥A1C，B1C∩A1C=C，MN⊥平面A1B1C，MN⊂平面AMN，则平面AMN⊥平面A1B1C．【点评】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题．18．已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且=，求直线AB 的斜率．【分析】（1）利用抛物线的离心率求得=，将（2，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值；（2）方法一：设直线OC的斜率，代入椭圆方程，求得C的纵坐标，则直线直线AB的方程为x=my﹣a，代入椭圆方程，求得B的纵坐标，由=，则直线直线AB的斜率k；方法二：由=，y2=2y1，将B和C代入椭圆方程，即可求得C点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB的斜率．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e===，则=，①由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，+=1，②解得：a2=9，b2=5，∴椭圆E的标准方程为+=1；（2）方法一：由（1）可知：=，则椭圆方程：5x2+9y2=5a2，设直线OC的方程为x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），，消去x整理得：5m2y2+9y2=5a2，∴y2=，由y2＞0，则y2=，由=，则AB∥OC，设直线AB的方程为x=my﹣a，则，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy=0，由y=0，或y1=，由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，则=2×，（m＞0），解得：m=，则直线AB的斜率=；方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2=5a2，则A（﹣a，0），B（x1，y1），C（x2，y2），由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，由B，C在椭圆上，∴，解得：x2=，y2=则直线直线AB的斜率k==；直线AB的斜率=【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，向量共线定理，考查计算能力，属于中档题．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1（1）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值；（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．【分析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2），利用空间向量求解．【解答】解：（1）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2）∴，，设面SBC的法向量为由可取∵SD⊥面ABC，∴取面ABC的法向量为|cos|=，∵二面角S﹣BC﹣A为锐角．二面角S﹣BC﹣A的余弦值为（2）由（1）知E（1，0，1），则，，设，（0≤λ≤1）．则，易知CD⊥面SAD，∴面SAD的法向量可取|cos|=，解得λ=或λ=（舍去）．此时，∴||=，∴线段CP的长为【点评】本题考查了空间向量求解面面角，线面角，解题时要仔细运算，合理转化，属于中档题．。
2017-2018学年天津市和平区高二数学上期末考试(文)试题
和平区2017-2018 学年度第一学期高二年级数学（文）学科期末质量调查试卷第I卷选择题（共24分）8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.1D. y =—32V37D.372八X 2A . y 二15若△ M F2N 的周长为，则椭圆的标准方程为（2 2x yA. 14 32 2y xB. 14 32 2x yC. 11 6 1 52 2y xD. 11 6 1 5D，丄31•若命题“-1 ”的否定是A. x。
三R -1 B . -.|x0三R , x2 C. 一x 三R , x =1-12•已知抛物线 1二一一y8 ，则它的准线方程是（3•已知抛物线的焦点是椭圆2x2 1 a 3的一个焦点，则椭圆的离心率为（4•已知双曲线的一个焦点坐标为-.6 , 0),且经点（-5 , 2），则双曲线的标准方程为5.已知F, _1 , 0) , F 0）是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M , N两点,2x6.若双曲线~ - ya=1 （a 0 ）的离心力为2 ，则该双曲线的渐近线方程为（27.如果椭圆--36 9 =1 的弦被点（4 , 2）平分，则这条弦所在的直线方程是（、选择题：本大题共1y七-—32、.13C.-1 32c x 2C. y=1252x D .—4B. y = 3xC.y2。
天津市耀华中学2017_2018学年高二数学上学期期末考试试题文(含解析)
天津市耀华中学2017— 2018 学年度第一学期期末考试高二年级数学学科试卷（文科）Ⅰ卷（ 40 分）一、选择题：将选择题答案填在题中括号里（每小题 4 分，共计 40分）1. 设命题p : x R ， 2x2012 ，则P 为（）．A.x R ， 2 x≤ 2012B.x R ， 2x2012C.x R ， 2x≤ 2012D.x R ， 2x2012【答案】A【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.【详解】解：P 表示对命题P 的否定，“ x R ，x x22012 ”的否定是“x R ， 2 ≤ 2012” ．故选 A．【点睛】本题主要考查命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型.2. 命题“若a，b都是奇数，则a b 是偶数”的逆否命题是（）．A.若两个整数 a 与b的和a b 是偶数，则 a ，b都是奇数B.若两个整数 a ，b不都是奇数，则a b 不是偶数C.若两个整数 a 与D.若两个整数 a 与bb的和的和a b 不是偶数，则 a ，b都不是奇数a b 不是偶数，则 a ，b不都是奇数【答案】D【解析】【分析】根据逆否命题的概念，即可写出结果.【详解】解：由逆否命题定义可知：命题“ a ，b都是奇数，则 a b 是偶数”的逆否命题是：“若 a b 不是偶数，则 a ，b不都是奇数”．故选D【点睛】本题主要考查逆否命题，熟记四种命题间的关系即可，属于基础题型.23 x 1≤ 0 ，q : x 2p 是q的必要不充分条件，3.设p : 2 x(2a 1) x a( a 1) ≤ 0 ，若则实数 a 的取值范围是（）．11 A. 0, B. 0,22C.,01D. (,0)1 ,, 22【答案】A【解析】【分析】先由题意分别得到p, q 对应的集合 A 与集合 B ，再由p 是q 的必要不充分条件，得到A B ，进而可求出结果.【详解】由题意可得：p对应集合 A x 1x 1，2q 对应集合B x | a x a 1 ，∵p 是 q 的必要不充分条件，∴p是 q的充分不必要条件，∴A B，1∴ a 1 1且a，21∴ 0 a．2故选A【点睛】本题主要考查由必要不充分条件求参数的问题，熟记充分条件与必要条件概念，以及集合间的关系即可，属于常考题型.4. 已知椭圆的中点在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12 ，离心率为1，则椭圆的方程为3（）．222222A.xyxyxyD.361 B.1 C.124 36 20 32 3622xy13632【答案】 D【解析】【分析】根据长轴长以及离心率，可求出a 6 ， c2 ，再由b 2a 2c 2，进而可求出结果 .【详解】解：由题意知，2 a 12 ，c 1 a，3所以 a6 ， c2，22232 ，∴ bac 又因为焦点在 x 轴上，22∴椭圆方程：xy36 1 ．32故选 D ．【点睛】本题主要考查根据a ,b ,c 求椭圆方程，熟记椭圆的标准方程即可，属于基础题型.5. 设抛物线y 2 12 x 的焦点为F ，点 P 在此抛物线上且横坐标为5 ，则 | PF | 等于（）．A.4B.6C.8D. 10【答案】 C【解析】【分析】先由抛物线方程得到P 6 ，再由抛物线定义，即可求出结果.【详解】解：因为抛物线方程y212 x ，所以P 6 ，由抛物线定义可得：P56| PF | x P8 ．22故选C．【点睛】本题主要考查求抛物线上的点到焦点距离，熟记抛物线的定义即可，属于基础题型.。
天津市和平区高二上学期期末质量调查数学(文 )试题 Word版含答案
数学（文）第Ⅰ卷（共30分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“0m n >>”是“方程321mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A ．充而分不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.已知1(3,0)F -，2(3,0)F ，动点P 满足12||||4PF PF -=，则点P 的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．一条射线 D ．不存在3.已知函数2y x=，当x 由2变为1.5时，函数的增量为（ ） A ．1 B ．2 C ．13 D ．32 4.设曲线2y ax =在点(1,)a 处的切线与直线260x y --=平行，则a 的值为（ ）A ．1B ．12 C. 12- D ．-1 5.抛物线212y x =-的准线方程是（ ） A ．12y = B ．18y = C.14x = D ．18x = 6.双曲线221102x y -=的焦距为（ ）A.7.焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为 ）A ．22164x y +=B ．2211636x y += C. 2213616x y += D ．221499x y += 8.下列函数中，导函数是奇函数的是（ ）A ．cos y x =B ．x y e = C. ln y x = D ．x y a =9.已知函数()f x x ，则'()f π=（ ）A ．2π D ．2π10.已知椭圆2215x y k +=的离心率e =，则实数k 的值为（ ）A ．3B 或253 D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.顶点在原点，对称轴是y 轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是__________.12.与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(的双曲线的标准方程是__________.13.曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是__________.14.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的三个顶点1(0,)B b -，2(0,)B b ，(,0)A a ，焦点(,0)F c ，且12B F AB ⊥，则椭圆的离心率为__________.三、解答题 （本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本题满分10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程.（1）焦点在y 轴上，6c =，23e =； （2）短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3.16. （本题满分10分）已知,A B 为抛物线E 上不同的两点，若抛物线E 的焦点为(1,0)，线段AB 恰被点(2,1)M 所平分.（1）求抛物线E 的方程；（2）求直线AB 的方程.17. （本题满分10分） 已知函数2()ax f x x b=+. （1）求'()f x ；（2）设()f x 的图象在1x =处与直线2y =相切，求函数()f x 的解析式.18. （本题满分10分） 已知曲线1y x=. （1）求满足斜率为13-的曲线的切线方程； （2）求曲线过点(1,0)P 的切线方程.19. （本题满分10分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且曲线过点(1,2. （1）求椭圆的方程；（2）已知直线y x m =+与椭圆交于不同的两点A B 、，且线段AB 的中点不在圆2259x y +=内，求m 的取值范围.和平区2016-2017学年度第一学期高二年级数学（文）学科期末质量调查试卷参考答案及评分标准一、选择题1-5: CBCAD 6-10:DCABC二、填空题11. 224x y =± 12.22194x y -= 13.34 14.e = 三、解答题15. （本题满分10分）2218145y x +=.……5分（2）解：由题意知，5a =，3c =，所以22225916b a c =-=-=，………………6分若焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为2212516x y +=，………………8分若焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程为2212516y x +=.………………10分16. （本题满分10分）（1）解：因为抛物线E 的焦点为()1,0， 所以12P=，所以2P =，……2分于是，所求抛物线E 的方程为24y x =.……4分（2）解：设()()1122,,,A x y B x y ，则2114y x =，①2224y x =，②……4分因为点()2,1M 是线段AB 的中点，……7分所以12124,2x x y y +=+=，……7分由②-①得，()()()2121214y y y y x x +-=-， 所以21212y y x x -=-，即2AB k =，……9分 所以所求直线AB 的方程为()122y x -=-，即230x y --=.……10分17.解：（1）2222'()()''()()ax x b ax x b f x x b +-+=+………………2分 222()2()a xb ax x x b +-=+• 222()ab ax x b -=+.………………4分 （2）依题意有'(1)0,(1)2,f f =⎧⎨=⎩………………6分 所以20,()10,2,1ab a a b b a b-⎧=⎪+⎪⎪+≠⎨⎪⎪=+⎪⎩解得4a =，1b =，………………9分 所以24()1x f x x =+.………………10分 18.解：（1）设切点为1(,)A a a， 则切线斜率为21'|c a k y a ===-，………………1分所以2113a -=-，解得a =，………………2分所以，切点坐标为或(，………………3分于是，切线方程为1(33y x -=-或1(33y x +=-+，整理得，30x y +-=或30x y ++=.………………5分（2）解：显然点(1,0)P 不在曲线1y x=上，………………6分 则可设过该点的切线切点为1(,)B b b， 而斜率21'|k b k y b ===-，………………7分 于是，切线方程为211()y x b b b -=--，①………………8分 将(1,0)P 坐标代入方程①得211(1)b b b -=--，解得12b =，………………9分 把12b =代入方程①，并整理得切线方程为440x y +-=.………………10分 19.解：（1）由已知得，222111,2a b =⎪+=⎪⎩解得a =1b =，………………2分 所以椭圆方程为2212x y +=.………………3分 （2）解：将y x m =+代入2212x y +=并整理得， 2234220x mx m ++-=（*），………………4分由222(4)43(22)8240m m m ∆=-⨯⨯-=-+>得，m <<………………5分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则线段AB 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++，因为线段AB 的中点不在圆2259x y +=内，≥， 所以22121220()()9x x y y +++≥，……………………7分 对于方程（*）有，1243x x m +=-， 又11y x m =+，22y x m =+， 所以224429()(2)339m m m -+-+≥，………………8分 化简得，21m ≥，解得1m ≥或1m ≤-，………………9分综上可得，m 的取值范围是1m ≤-或1m ≤<………………10分。