无界域上三维波动方程求解
第七章 行波法(一)
第七章 行波法
利用初值条件确定函数 F，G
u( x,0) ( x)
ut ( x,0) ( x)
F ( x) G ( x) ( x)
a[ F ( x) G( x)] ( x)
x
a[F ( x) G( x)] C ( )d
x0
其中
x
x1
x2
内，因此该三角区域称为
决定区域。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速 为a波的叠加，故称为行波法。
第七章 行波法
影响区域、依赖区间、决定区域
波动是以一定的速度 a 向两个方向传播的。
如果在初始时刻 t＝0，扰动仅仅在有限区间 [ x1 , x2 ] 上存在，则经过时间 t 后，扰动传到的范围为
x1 at x x2 at
第七章 行波法
无界弦振动的初值问题
2 2u 2 u x 2 a 2 x t u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x) t
第七章 行波法
2. 行波法的基本思想
这种方法是针对波动方程提出的。由于波动现象的普
1 过 x1 作斜率为 的直线 x x1 at a 1 过 x2 作斜率为 的直线 x x2 at a t 则 它们与区间 [ x1 , x2 ]
一起围成的三角形区域 中的任意一点 ( x, t ) 的 依赖区间都落在区间 [ x1 , x2 ]
x x1 at
x x2 at
遍性，对如何认识和解决波动问题，一直是物理学家和数 学家们长期探索的课题。 （1）波函数可写成位置和时间函数的分离形式，且波函数
是由无穷多个谐波分量叠加而成的，由此提出了分离变量
第七章 波动方程初值问题
x1 x0 at
即, f1(x - at) 表示波速为 a 的右行波
同理可知, f2(x + at) 表示波速为 a 的左行波. 因此，行波解为左行波与右行波的叠加. 三. 半无界弦的自由振动
utt a 2 uxx 0 u x0 0 u t 0 ( x ), ut
二. 行波解的物理意义 行波法的通解为：
u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
对 f1(x - at)，在 t0 时刻，x0 位置的波动位移为：
f1 ( x0 at0 )
若在t0+Δt 时刻, x1位置的波动位移也为 f1 ( x0 at0 ) 则：
t 0
a f1 ( x at ) x
f 2 ( x at ) t 0 a x
t 0
a f1 '( x ) a f 2 '( x ) y ( x )
对上式积分：
1 x x0 y ( )d [ f1 ( x ) f1 ( x0 )] [ f2 ( x ) f2 ( x0 )] (2) a
(1)
t 0
y ( x ) a f1 '( x ) a f 2 '( x )
1 x x0 y ( )d f1 ( x ) f 2 ( x ) c a
(2)
1 1 x c f1 ( x ) 2 [ ( x ) a x0 y ( )d ] 2 由 (1) (2) (x > 0) 解得： x f ( x ) 1 [ ( x ) 1 y ( )d ] c 2 2 a x0 2
三维波动方程
三维波动方程
近年来，随着莫比乌斯旅行器技术的发展，三维波动方程在科学界和互联网领域中越来越受到重视。
三维波动方程（3D Wave Equation）又称三维Kirchhoff波动方程，是一种基于原点的数学模型，一般用于研究被称为波动的物理现象，比如声音、光等。
这种方程是用来描述一维、二维或三维电磁学波在介质中传播的高级模型，被应用到声学、电磁学、地震学和热力学等多个学科领域中。
三维波动方程在互联网行业发挥着越来越重要的作用，如在图像传输方面，3D Wave Equation可以把原本静态的图片转化为动态的响应帧，使图片显示更加生动活泼，增强用户体验。
此外，三维波动方程也被应用到音频行业，帮助实现更加生动的立体声。
而且，三维波动方程技术可以在全息图像、游戏开发、空间导航等方面实现进一步扩展。
三维波动方程在保证内容质量的同时还保证了高精度度和高稳定性，以更加精确准确的方式模拟物理世界，因此不仅仅在互联网领域具有重要意义，而且在更多领域有着广泛的应用前景。
根据技术发展趋势，三维波动方程将在互联网行业越来越受人关注，并开始发挥更大的作用。
波动方程的解析求解
波动方程的解析求解波动方程是描述波动现象的一种数学模型，广泛应用于物理学、工程学和地球科学等领域。
它描述了波的传播和变化规律，并可以通过解析方法得到具体的解。
波动方程可以写作:∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u表示波动的物理量，t表示时间，c为波的传播速度，∇²表示Laplace算子。
解析求解波动方程是指通过代数运算、微积分工具等数学方法，直接得到方程的解析解。
相对于数值方法，解析求解具有精确性和通用性的优势。
下面将从几个方面介绍波动方程的解析求解方法。
一、分离变量法：对于边界条件和初值条件满足特定形式的波动方程，可以通过分离变量法求解。
具体步骤为将未知函数拆分成时间和空间两个变量的乘积形式，代入方程后将时间和空间两部分分别等于一个常数，得到一组关于常数和变量的常微分方程。
通过求解这组方程并考虑边界条件，可以得到波动方程的解析解。
二、傅里叶变换法：傅里叶变换是一种将函数分解成频域分量的方法，对于满足一定条件的波动方程，可以通过傅里叶变换得到解析解。
具体步骤为将波动方程进行傅里叶变换，得到频域的代数方程，再将其反变换回时域，即可得到原方程的解析解。
三、格林函数法：格林函数是波动方程的特殊解，可以用来表示波在某一点的传播规律。
通过构造波源函数和格林函数的卷积，可以得到波动方程的解析解。
这种方法常用于求解具有一定边界条件的波动方程，可以得到空间中任意一点的解析解。
四、变量替换方法：对于一些特殊形式的波动方程，如球坐标系或柱坐标系下的波动方程，可以通过将自变量进行适当的变换，得到新的形式，进而求解原方程。
这种方法可以简化方程的形式，使求解变得更加方便。
综上所述，波动方程的解析求解方法主要包括分离变量法、傅里叶变换法、格林函数法和变量替换方法等。
这些方法对于特定形式的波动方程都有适用性，能够得到精确的解析解。
在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法进行求解，将有助于深入理解波动现象的特性和规律。
求解波动方程的关键步骤
求解波动方程的关键步骤波动现象在我们日常生活中随处可见，如光的传播、声音的传递以及水波的起伏等。
为了更好地理解和描述这些波动现象，我们需要掌握求解波动方程的关键步骤。
本文将介绍波动方程的求解过程，并以声波传播为例进行具体说明。
首先，要求解波动方程，我们首先需要明确波动方程的形式。
波动方程可以用数学模型进行描述，一般形式为：∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u代表介质的波动量，t代表时间，c代表波速，∇²代表拉普拉斯算子。
这个方程是一个偏微分方程，其中包含了关于时间和空间的导数。
因此，求解波动方程需要使用偏微分方程的求解方法。
其次，我们需要确定边界条件和初始条件。
边界条件是指在介质的边界上，波动量u要满足的条件。
初始条件是指在初始时刻，波动量u的分布情况。
边界条件和初始条件的确定对于波动方程的求解至关重要，它们将影响到波动方程解的形式和性质。
以声波传播为例，假设我们要求解声波在一维空间中的传播情况。
我们可以设定一个弦，弦上的波动量u代表声波的振动情况。
边界条件可以是弦的两端固定或自由。
初始条件可以是弦上某点接受到一个初始的电信号，使弦开始振动。
接下来，我们需要应用适当的数值方法来求解波动方程。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
这些数值方法将波动方程转化为离散的差分方程或代数方程，从而可以通过计算机进行求解。
以声波传播为例，我们可以使用有限差分法来求解波动方程。
将空间划分为离散的节点，时间划分为离散的时间步长。
根据波动方程的差分形式，我们可以通过节点之间的关系，逐步更新波动量u的数值。
通过迭代计算，最终得到时间和空间上波动量u的数值解。
最后，我们应该对数值解进行验证和分析。
验证数值解的正确性，可以比较数值解和解析解之间的差异。
当然，在实际情况下，解析解并不一定存在或很难求得。
因此，我们还可以通过调整边界条件和参数，观察数值解的变化规律，进一步分析波动方程的性质和特点。
7.3-7.4三维波动问题
Methods of Mathematical Physics第七章 行波法 travelling wave method武汉大学 物理科学与技术学院Wuhan University问题的引入：设大气中有一个半径为1的球形薄膜，薄膜内的 压强超过大气压的数值为 p0，假定薄膜突然消 失，试求球外任意位置的附加压强 p 。
定解问题：⎧ ptt − a 2 Δp = 0⎪ ⎧ p0 , R < 1 ⎪ ⎨ p t =0 = ⎨ ⎩ 0, R > 1 ⎪ ⎪ pt t =0 = 0 ⎩p0rM•θ01at§7.4-§7.5：三维无界波动问题 3-D non-bounded wave problemsWuhan University一、定解问题：§7.3-§7.4：三 维无界波动问题⎧u tt = a 2 Δu (1) M = M ( x, y, z ) ⎪ ⎨u | t = 0 = ϕ ( M ) ( 2 ) − ∞ < x , y , z < ∞ ⎪u | = ϕ ( M ) (3) ⎩ t t =0二、求解1、思路： 化三维问题为一维问题，利用§7.1的方法和结 果求解。
Wuhan University二、求解2、平均值方法： （1）定义：§7.3-§7.4：三 维无界波动问题1 u (r , t ) = 4πr 21 ∫∫S rM 0 uds = 4π∫∫S rM 0ud ΩM0 r称为函数u ( M , t )在以M 0为中心, r为半径的球面S上的平均值.其中, dΩ = ds r 2 = sin θdθdϕ为立体角元. （2）由定义可知： u ( M 0 , t0 ) = lim u (r , t )r → 0 ,t →t 0∴ 要求u ( M 0 , t0 )，只需求u (r , t )即可-平均值方法Wuhan University二、求解2、平均值方法：Z§7.3-§7.4：三 维无界波动问题Z′•θM ( x, y , z )M ′( x′, y′, z ′)rY⎧ x ′ = x + r sin θ cos ϕ ⎪ ⎨ y ′ = y + r sin θ sin ϕ ⎪ z ′ = z + r cos θ ⎩Y′ϕXX′r=( x′ − x) 2 + ( y′ − y ) 2 + ( z ′ − z ) 2Wuhan University二、求解3、求波动方程的通解： 1 a u tt d Ω = ∫∫ 4π S 4π∂2 1 ∂ t 2 4π2§7.3-§7.4：三 维无界波动问题∫∫ Δ ud ΩS1 ∫∫S ud Ω = a Δ ( 4π∫∫ ud Ω )Su ( r , t ) tt = a 2 Δ u ( r , t )∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 在直角坐标系中：Δ u = + 2 + 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u → Δu = + + 2 2 2 ∂x ∂y ∂zWuhan University二、求解§7.3-§7.4：三 维无界波动问题3、求波动方程的通解： ∂u ∂u ∂r ∂u x − x0 = = ∂x ∂r ∂x ∂r r ∂ 2u ∂u r 2 − ( x − x0 ) 2 ∂ 2u x − x0 2 ) + 2( = 2 3 r r ∂r ∂r ∂x∂ 2u ∂u r 2 − ( y − y0 ) 2 ∂ 2u y − y0 2 ) = + 2( 2 3 r r ∂y ∂r ∂r∂ 2u ∂u r 2 − ( z − z0 ) 2 ∂ 2u z − z0 2 ) + 2( = 2 3 r r ∂r ∂r ∂zWuhan University2 ∂u ∂ 2u 1 ∂ 2 → Δu = + 2 = ( ru ) 2 r ∂r ∂r r ∂r二、求解§7.3-§7.4：三 维无界波动问题3、求波动方程的通解： 令（ ru ) = v ( r , t ), 则 u tt = a 2 Δ u → vtt = a 2 vrr→ v ( r , t ) = f1 ( r + at ) + f 2 ( r − at ) 由 v(r , t ) 有v ( 0, t ) = 0 →f1 ( at ) + f 2 ( − at ) = 0 → f1′( at ) = f 2′( − at )v(r , t ) = 2 f ′(at0 ) u ( M 0 , t0 ) = lim u (r , t0 ) = lim r →0 r →0 rWuhan University二、求解§7.3-§7.4：三 维无界波动问题4、三维波动问题的解－泊松（Poisson)公式∂ ( ru ) = f1′( r + at ) + f 2′( r − at ) ∂r 1 ∂ ( ru ) = f1′( r + at ) − f 2′( r − at ) a ∂t 取r = at0 , t = 0代入初始条件得 1 ∂ ϕ ( M ′) ψ ( M ′) 2 f ′(at0 ) = [ ∫∫ ds + ∫∫ ds ] s 4πa ∂t s at at ϕ ( M ′) ψ ( M ′) 1 ∂ u(M , t ) = [ ∫∫ ds + ∫∫ ds ] s 4πa ∂t s at atM at M atM atM atM sat − 以M为中心at为半径的球面； M 上的点； M ′ = M ′( x′, y′, z ′) − 球面sat-泊松公式Wuhan University三、泊松公式物理意义§7.3-§7.4：三 维无界波动问题设初始扰动限于空间某区域T0 ,d 1. t < , u ( M , t ) = 0, 扰动前锋未传到。
(优选)三维波动方程初值问题
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
2.1 三维齐次波动方程的球对称解
考虑初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3,t 0
u
t0
(x,
y,
z), ut
t0
(x,
y,
z), ( x,
y,
z) R3
其中 , 满足一定的光滑性条件。
(2.1)
x r sin cos,
引入球坐标系 (r,,),
2ar atr
2.2 三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法
(1) 主要结果
一维齐次波动方程的达朗贝尔解
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] + 1
xat
( )d
2
2a xat
可改写成
u(x,t)
t
t
1 2at
xat
(
xat
)d
+t
1 2at
xat
( )d
xat
1
其中 2at
则类似于半界弦的振动情况，可得初值问题(2.3)-(2.4)的解
1 2r
[(r
at
) (r
at)
(r
at)
(r
at)]
u(r, t )
1
关于三维波动方程柯西问题的求解方法
关于三维波动方程柯西问题的求解方法三维波动方程柯西问题(Cauchy problem for 3D wave equation)是非常重要的物理理论模型，可以用来描述许多实际物理现象，如声波传播、热传递、电磁场传播等等。
在当今计算物理专业，求解三维波动方程柯西问题的研究仍然是一大热门话题。
接下来，将着重介绍三维波动方程柯西问题的求解方法。
首先，在求解三维波动方程柯西问题时，我们要充分理解其基本物理模型，这是一个非常重要的环节。
根据模型，三维波动方程可以表示为：a∇^2u＝h，其中a为方程的系数，∇^2u为二阶偏微分算子，h为外加场。
而柯西问题则要求从u（x，y，z）求出特定时刻的解u(x,y,z,t)，以及初始边界和最终的边界条件。
其次，就是采用适当的数值计算方法来求解三维波动方程柯西问题，常用的有有限差分法、有限体积法、有限元法等。
有限差分法是最常见的数值模拟方法之一，它将时空连续性描述为离散性，利用差分格式来近似被解函数，最后可以求出三维波动方程柯西问题的模拟解。
有限体积法也是常用的一种求解方法，它将物理区域分为多个体积单元，由这些单元构成一个离散的物理模型，最后可以求解三维波动方程柯西问题的模拟解。
此外，有限元法也是一种较为常用的求解方法，它将要求解的三维波动方程柯西问题划分为多个位置节点（即有限元），把各位置节点上满足外加本性物理场的一组方程及其边界条件全部集成，最后可以求得三维波动方程柯西问题的模拟解。
总的来说，求解三维波动方程柯西问题应该包括对其物理模型的充分理解、采用适当的数值计算技术等步骤。
只有彻底掌握这些方法，才可以求解出三维波动方程柯西问题的微观模拟解。
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a2
2 (ru ) r 2
于是得到：
ru r,t f1 r at f2 r at ***
(3)、u (0, t) 的表达式
由***式得：
f1 at f2 at 0
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
将上式两端对t求导数得：
f1 at f2 at (1)
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
本次课主要内容
无界域上三维波动方程求解
(一)、三维波动方程定解问题的泊松公式
(二)、泊松公式的物理意义
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(一)、三维波动方程定解问题的泊松公式
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
情形2、r+at≥R,即at≥R-r时，
(r at) 0
而当|r-at|<R时， (r at ) u0
由此得到：当R-r≦at≦R+r时有：
u(r, t ) (r at )u0 2r
情形3、|r-at|≥R,即at≥R-r时，即当at>R+r时有：
2ar rat
6
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
分析：从初始条件看出，问题是球对称的，因 此，可将其化为一维问题来处理。
证明：在球对称情况下有：
2 (ru) 1 2 ru
r 2
a2 t 2
其通解为：u(r,t) f1(r at) f2 (r at) r
u(r,t) 0
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
对于不具有球对称解的波动方程定解问题，如何求 其定解？
方法是通过讨论波函数的球面平均值具有的性质， 得到自由振动的三维波动方程的定解公式—泊松公式.
2、泊松公式的推导 (1)、波函数的球面平均值 定义：称
解；定解问题为：
utt a2u, t 0, r 0
u
t 0
u0,0
,r R rR
ut t 0 0
这里，r是扰动区域中心到球外任意一点的距离。 这是球对称问题。由例1可以求解。
9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(1)、若M点在球外，因r≥ R,有 r+at≥R,但r-at就不一 定大于、小于或等于0了。由例1的公式得：
在(6)中令t=0 得：
2
f1
(r)
ru (r,0)
r
1 a
rut (r, 0)
r
r
r
4
r
2
SrM
u(r,0)dS
4 ar2
SrM
ut (r, 0)dS
由初始条件得：
2 f1 (r)
1 (M ) 1 (M )
dS
dS
r 4 SrM r
4 a SrM r
20
1
14
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
a2
对于
u dS
4
SrM
a2
u dS a2
u dS
4
SrM
4 SrM n
a2
u dS a2r 2
u d
4 SrM r
4 SrM r
a2r 2
1
ud
a2r 2 u (r, t)
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
于是得到球对称通解为：
ru f1(r at) f2 (r at)
即： u(r,t) f1(r at) f2 (r at)
r
这说明，对于具有球对称解的三维无界域上波
动方程定解问题，可以采用先求通解，再求定解的 方法求解。
将初始条件代入得：
f1(r) r
f2 (r)
(r)
af1(r
)
r
af 2(r )
(r)
7
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
求出其解：
r(r) 1
f1(r)
2
2a
r ( )d C
0
2
f2
(r)
r(r)
2
1 2a
r
( )d
C
0
r 4 SrM
r
*
对于 1
2u dV
4 VrM t 2
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
1
4
VrM
2u t 2
dV
2 t 2
1
4
.r
d u(M ,t)dS
.0 S..M
**
于是由*与**得到等式：
2 1
t2 4
.r
d u(M , t)dS
1 (M )
(M )
u(M ,t)
dS
dS
4 a2 t S..aMt t
S..aMt
t
球坐标变换为：
x x (at) sin cos
y
y
(at)
sin
sin
z z (at) cos
(0 2 , 0 )
dS (at)2 sin d d
23
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
解：由泊松公式
u(x, y, z,t) 1
4 a
.2 . x y z at sin cos sin sin cos at 2 sin dd
t .0 .0
at
1
[at(x y z)
.2
d
.
sind
4a t
t
ru r,t
f1
r at
f2
r at
(4)
将***两端对r求导得：
r
ru r,t
f1
r at
f2
r at
(5)
由(4)+(5)得：
r
ru (r,t)
1 a
rut
(r,
t
)
2
f1
(r
at)
(6)
19
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
在上式中令r=at 得：
2 f1 (r)
1 (M ) 1 (M )
dS
dS
4 a2 t SaMt t
4 a2 SaMt
t
所以得到：
u(M ,t) u (0,t) 2)
dS
u (r,t) 1 u(M ,t)dS 1 u(M ,t)d
4 r 2 SrM
4 SrM
为以M (x, y, z)为心，r为半径的球面上的平均值。
12
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
M´ (x´, y´, z´)是球面上的点。在球坐标下有：
三维空间的自由振动的波动方程定解问题为：
2u
t
2
a2
2u x2
2 y2
2u z 2
,
x,
y,
z
, t
0
u t0 (x, y, z)
u
t
t0
(x, y, z)
求解方法：行波法
2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
1、球对称解的求法
又对***两端对r求导并令r=0得：
u 0,t f1 (at) f2 at (2)
由(1)与(2)得：
u (0,t) 2 f1 (at) (3)
(4)、泊松公式
18
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
将***两端对t求导并除以a 得：
1 a
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例3、求定解问题：
uutt
x,
a2u
y, z,0
f
(x, y, z,t),t (x, y, z),
0,
x, x, y, z