3.2-三维波动方程初值问题
数理方程题1
波动方程初值问题的解法（数学物理方程答卷）姓名学号纪尚军 0803044108王雅琳 0803044109 郭潇潇 0803044117韩海梅 0803044118高璇 0803044119刘莉莉 0803044125郭贵芳 0803044126龙艳丽 0803044134曹琼 0803044135王蕾蕾 0803044136刘菁 0803044145波动方程初值问题的解法摘要：求解波动方程初值问题的常用方法—达朗贝尔公式法，行波法，齐次化原理，叠加原理以及泊松公式法，先从一维波动方程入手，继而运用降维法，叠加原理等来解二维三维波动方程，掌握其基本思路及求解过程。
波动方程初值问题的解法1. 预备知识 1.1达朗贝尔公式考虑两端为无限长的弦振动方程的初值问题⎩⎨⎧>+∞<<∞=+∞<<-∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛,0,-,.,0,,0,2tt t x u a u x x x u x x u xx t ψφ （1） 其中()()x x ψφ,分别表示初始位移和初始速度.则该方程的特征线是.,21c at x c at x =-=+引入特征线坐标方法，得到利用复合函数求导数的.,at x at x -=+=ηξ.2,ηηξηξξηξηξηξu u u u u u u u u xx x x x ++=+=+=类似可以得到()().2,2ηηξηξξηξu u u a u u u a u tt t +-=-=把上述各式代入到（1）中的弦振动方程，得到 .0=ξηu （2）把方程（2）关于η 积分，得(),f ξξ=u然后再关于ξ积分，得()()()()(),,ξξηξξηξG F G d f u +=+=⎰其中F 和G 是任意二阶连续可微方程，代回原自变量x 和t ，得到（1）中弦振动方程的通解()()().,at x G at x F t x u -++= （3） 直接验证可知，只要F 和G 是二阶连续可微的，它就满足（1）中的方程。
第七章 7.2节 球面平均法和泊松公式
因此，一维无界弦的纯受迫振动问题的解为： t 1 t x a (t ) u ( x, t ) ( x, t , )d 0 xa (t ) f ( , ) d d 0 2a
1 ( , , ) 1 ( , , ) [ M dS M dS ] 4 r Sr r a Sr r
f 1 f 将 r 代换为 at ，并注意到 得： r a t
u ( x, y, z, t ) 2 f '(at )
( , , ) 1 ( , , ) [ M dS M dS ] 4 a t Sat at a Sat at 1
tt a 2 xx 0 ( x , t ) 求解 方程 t 0, t t f ( x, ) ( x )
解：令 t ' t ，则 t 't ' a 2 xx 0 ( x , t ) t '0 0, t ' t '0 f ( x, ) ( x )
面积微分元：
dS r d r sin d d 体积微分元：
2 2
dV d d d r sin dr d d dr dS r dr d dS 立体角微分元： d 2 sin d d r
2 2
三.球面平均 球面平均的定义： 1 1 u (r , t ) u ( , , )dS 2 S 4 r 4
数学物理方程chpt3_行波法
由达朗贝尔公式（11）可见，解在( x, t )这一点的数值仅仅依赖于 x轴上的区间[x-at,x at]内的初始条件，而与其它点上的初始条件 无关。这个区间[x-at,x at]称为点(x,t)的依赖区间。它是由过(x,t) 的两条斜率分别为 1 的直线在x轴上所围成的区间。如图3所示。
a
t
(x,t)
1
x at
( )d
⑾
2
2a xat
问题：定解问题(Ⅰ)的解在点(x,t)上的值跟初始条件在x轴上哪些点有关？
§3.2 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
三、依赖区间与影响区域
u(x, t) 1 [(x at) (x at)]
1
x at
( )d
2
2a xat
⑾
问题：定解问题(Ⅰ)的解在点(x,t)上的值跟初始条件在x轴上哪些点有关？
在此区域之外的波动不受区间[x1, x2 ]上初始扰动的影响(仍为静止状态)，称这个不等式 确定的区域为区间[x1, x2 ]的影响区域。如图4所示。 在上面的讨论中，平面上的直线x at c(常数)对波动方程的研究起着重要的作用，称
它们为波动方程(Ⅰ)的特征线。 t
影响区域
x=x0-at
x=x0+at x
• 齐次波动方程反映了介质经过扰动后，激 发的波一直向前传播，形成行波，故使用
这种原理的方法称为行波法。 • 本章将要介绍的行波法（Travelling wave
method）是求解波动方程初值问题的一种 有效方法，它只能够求解无界区域波动方 程的定解问题。
本章主要内容
• 能够导出并且记住一维波动方程的通解 （达朗贝尔公式）；
§3.2 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
波动方程的达朗贝尔解
简单方式
1 x 2 x at x at t 1 2a
2.波动方程的通解
2 u0
对 积分
u C1 f
对 积分
u f1 C2 f1 f 2
2）除了少数简单的例子，多数偏微分方程很 难求出通解。
3）即使能求出通解，对于具体的问题，要确定 其中的待定函数往往也并不容易。以达朗贝尔公 式为例，处理边界条件时就不是很方便。一些简 单情况下还可采用延拓的方法进行处理，对一般 的情况处理起来较繁琐。
4.半无界弦问题
utt a 2uxx u |t 0 u ( x, 0) x , ut |t 0 ut ( x, 0) x u 0, t 0
a b
1 f1 x f 2 x x dx f1 x0 f 2 x0 a x0
x
1 1 1 f1 x x d f1 x0 f 2 x0 2 2a x0 2
x
1 1 1 f2 x x d 2 f1 x0 f 2 x0 2 2a x0
1 1 u x, t x at x at 2a 2
1 1 x at x at 2a 2
sin( x at ) sin( x at ) 1 x at xat e d 2 2a sin( x at ) sin( x at ) 1 x at [e e x at ] 2 2a
通解法的缺点 1）以上解法类似于通常常微分方程的求解方法。 但是，对于通常的定解问题我们往往并不采用 求通解的方法来处理。
波动方程的达朗贝尔公式
在上面的讨论中,我们看到了( x,t )平面上的直线 x ± at = c
(常数)对波动方程的研究起着重要的作用,它们称为波动 方程的特征线.
最后我们指出,在求解二阶方程线性常微分方程时,通 解中包含两个任意常数,因此,只须两个定解条件,就能完全 从中确定一个特解.
而今对于线性偏微分方程,比如对弦振动方程,在求得 达氏解,只用了两个定解条件,即两个初始条件,而在求的付 氏解时则又添了两个边界条件,一共用了四个边界条件.
那末,对于一个偏微分方程究竟要多少个定解条件,就 恰好(不多不少)能够从中确定一个特解呢?这一个问题没有 固定的答案.
这个事实,说明偏微分方程的定解问题比常微分方程要 复杂的多.
2.三维波动方程Cauchy问题的 Poisson公式
现在考察三维波动方程的初值问题
( ) ⎧⎪⎪⎨uut(t
= x,
a2Δu = a2
=
x+at)
+ϕ(
x-at)
2
给出.
为了简单起见,假设
⎧0
⎪
ϕ
(
x)
=
⎪⎪2 ⎨ ⎪⎪2
+ −
2x
α
2x
α
⎪⎩0
( x < −α ) (−α ≤ x ≤ 0)
(0 ≤ x ≤α) (x >α)
也就是说,初始位移是区间 [−α,α ] 上的一个等腰三角形.
图1给出了这个弦每经过时间
α
后的相对位移.
4a
0
y
x
u(M,t)
=
u ( x,
y, z,t)
=
∂ ∂t
⎡t
⎢⎣ 4π a2t2
第一章_波动方程
假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则 弦段(x, x+Δx)上的外力为：
x x
x
F ( x ,t) dx
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：
t x
t t x x
F ( x , t ) dx dt
数学物理方程
第一章 波动方程
于是有：
2 2 u ( x , t ) u ( x , t ) [ 2 T F ( x , t )] dx dt 0 2 t x t x t t x x
数学物理方程
第一章 波动方程
回 答 下 列 方 程 是 线 性、 的非 线 性 的 ？ 齐 次 非次 齐？ 阶 数 ？
(1)
4u
4
x x y y u u ( 2)u xy 0 x x
2u
2
2
4u
2 2
4u
4
0
四阶线性齐次 一阶非线性，拟线性的 二阶线性齐次的 二阶线性非齐次的 三阶非线性
要在区域 ( 0 x l ,t 0 )上（见右上图）求上述定解问题的解，就是
要求这样的连续函数u(x, t) ，它在区域0<x<l,t>0中满足波动方程(2.1)；在x 轴上的区间[0,l]上满足初始条件(2.2)；并在边界x=0和x=l上满足边界条件 (2.3)和 (2.4)。 一般称形如(2.3)和(2.4)的边界条件为第一类边界条件，也叫狄利克雷 （Dirichlet）边界条件。
非均匀弦的强迫横振动方程
一维波动方程不仅可以描述弦的振动，还可以描述： 弹性杆的纵向振动 管道中气体小扰动的传播 ………等等 因此，一个方程反应的不止是一个物理现象， 而是一类问题。
数理方程
x
x
x x
时刻的波形。
t5
x
南京邮电大学、数理学院
2、三维波动方程的初值问题（平均值法）
uut|tt
0
a
2
(
2u 0 x,y,z)
ut |t0 (x, y, z)
- x,y,z ,t 0
数理方程
达朗贝尔公式:
u(x,t)
f1(x at)
f2
(x
at)
1 2
[ ( x
at)
(x
数理方程 南京邮电大学、数理学院
数理方程
数学物理方程
Equations of Mathematical Physics
主讲：王 正 斌
南京邮电大学 、 数理学院、应用物理系
: wangzb@ BBS: 科技教育/物理研究 答疑： 周二中午11：30～1：30，教2＃426
南京邮电大学、数理学院
例、求下列初值问题的解
uutt|t
0
a22u 0
0
ut |t0 2xy
- x, y,z , t 0
南京邮电大学、数理学院
数理方程
3、二维波动方程的初值问题（降维法）
uutt|t
0
a22u
(x,
0 y)
ut |t0 (x, y)
- x, y , t 0
u(x,
y,
z,t)
t
[
t
4a2t 2
SaMt
(
,,
)ds]
t
4a2t
2
(,, )ds
SaMt
d dxdy cos ds
(at)2 ( x)2 ( y)2 cos
at
3.1 一维波动方程初值问题
1.1 无界弦的自由振动
在弦的微小横振动问题中，如果弦未受到任何外力作用，而 且只研究其中的一小段，那么在不太长的时间里，两端的影 响都来不及传到，不妨认为两端都不存在，弦是“无限长”， 则可提出如下定解问题
utt u(
a2uxx ,
x, 0) (
x),
ut
(
x,
0)
x ,t 0
at;
(3) 当 at 1 时，有
0,
x 1 at;
1 2
(1
x
at),
1
at
x
at;
1 2
(1
x
at),
at
x
1
at;
u(x,t) 0,
1 at x 1 at;
1 2
(1
x
at
),
1 at x at;
0,
x 1 at;
1 2
(1
x
at),
1
at
x
at;
1 2
(1
x
),
at
x
1
at;
u(x,t) 1 at,
1 at x 1 at;
1 2
(1
x
at),
1
at
x
at;
012 ,(1
x
at
),
at x 1 x 1 at.
66
三维波动方程的解
ｌ ｆ ， ＝０ （ ｚ ＋王 ， ¨＋ ） ， ｔ ＞ ０
方程 （ ４ ） 是亥 姆 霍兹 程 ，（ ４ ） 中 的 ｕ可 以代表 电场强
； ， Ｙ ， ｚ ， ０ ） ＝０ ， 一 ∞＜ ， ｙ ， ＜ ∞
｛ ， ， Ｙ ， 。 ， ０ ） ＝ （ — ， ｙ 一 叼 ，
Ｃ
Ｚ Ｃ 一，
ｎ
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ １ — １ ５
作者简介： 张子珍０９ ６ ５ 一 ） ， 女 ，Ｉ Ｊ Ｊ 西大 同人 ，敦授 ， 研究力‘ ： 论物理 。
“ 西大 Ｍ大学学报（ 自然科学 版 ） Ｅ一： Ｃｓ ｉ ｎ
ａ
Ｘ Ｓ ｉ １ ３
【 “ ， Ｙ ， ， ０ ） ＝ ， Ｙ ， ）
（ ３ ）
ｆ ４ １
先 求 出点 源 引 起 的基 本 解 ，再 利 用 叠 加 原 理
求 出连续 源的解 。点源 引起 的基 本解１ ｌ 所 满足 的
方 程 是 ｌ
方程 ｆ ３ １ 的解是
Ｔ （ ｔ ） Ｏ Ｃ ． ｅ － ｉ ｋ ＝ｅ ，
Ｍ ， Ｙ ， ， ｆ ） ＝ Ｍ ， Ｙ ， ｚ ） Ｔ （ ｔ ） ，
得
ｆ ｆ ） ＋ｋ ２ ａ ７ ＝０ ，
Ｍ＋七 “ ＝ ０。
ｉ “ ｆ ， ＝ａ ２ （ ｔ ｉ ＋ｕ ”＋“ ） ， ｔ ＞ Ｏ
｛ ｔ Ｉ （ ｘ ， Ｙ ， ， ０ ） ＝ ， Ｙ ， ｚ ） ， － ｏ ￣ ＜ ｘ ， Ｙ ， ｚ ＜ ｏ ｏ （ １ ）
标系下， 分别求解波动方程 ，并将各种情形赋予相 应的物 理 意义 ，以求 对 该 问题有 一个 整体 的认 识 。
鲁Ｊ 一 Ｊ 一 Ｊ 一 （ 州） ， 叼 ， ） ｄ 叼 ＝ 鲁
数学物理方程复习
数学物理方程复习一．三类方程及定解问题（一）方程1.波动方程（双曲型）Utt = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）;Ut (x,0)=Ψ2（x）。
2.热传导方程（抛物型）Ut = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）.3.稳态方程（椭圆型）Uxx +Uyy=f; 0<x<a;0<y<b;t>0.U(0,x)= Φ1（x）;U(b,x)= Φ2（x）;U(y,0)= Ψ1（y）;Ut (y,a)=Ψ2（y）。
（二）解题的步骤1.建立数学模型，写出方程及定解条件2.解方程3.解的实定性问题（检验）（三）写方程的定解条件1.微元法：物理定理2.定解条件：初始条件及边界条件（四）解方程的方法1.分离变量法（有界区域内）2.行波法（针对波动方程，无界区域内）3.积分变换法（Fourier变换Laplace变换）Fourier变换:针对整个空间奇：正弦变换偶：余弦变换Laplace变换：针对半空间4.Green函数及基本解法5.Bessel函数及Legendre函数法例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。
解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b U t（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b U t(x+n△x））(0<n<1). T2,T1为△x弦两端所受的张力，又因为弦做横振动而无纵振动，由牛顿定律有T2COSa2-T1COSa1=0，T2SINa2-T1SINa1-b(x+n△x)U t=p U tt(x+n△x)△x在小的振动下SINa1≈TANa1=Ux(x,t), SINa2≈TANa2=Ux(x+△x,t),COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)即(T/ρ)[ Ux (x+△x,t)- Ux(x,t)]/ △x-(b/ρ) U t(x+n△x，t)即令△x→0时有：U tt+ aU t=a2U xx例二：设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为F （x,y,z,t），试导出扩散方程。