(优选)三维波动方程初值问题
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3.2 三维波动方程初值问题
表达的 u(x,y,z,t) 在 R3 (0, ) 内二阶连续可微，且为三
维齐次波动方程初值问题的古典解。
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u3 0, 因此 u xzt yz.
2.3 泊松公式的物理意义
由泊松公式可见，定解问题(2.1)的解在M(x,y,z)点 t 时刻
的值，由以 M 为中心，at 为半径的球面 SaMt 上的初始值而
确定。
这是由于初值的影响是以速度 a 在时间 t 内从球面 SaMt 上
传播到 M 点的缘故。
设初始扰动限于空间某区域 内，(即在 外 0, 0 ),
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
z r cos
0 r ,0 ,0 2 ,
则方程(2.1)可化为
utt
a2
1 r2
r
r
2
u r
1
r2 sin
sin
u
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。
维齐次波动方程初值问题的古典解。
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u3 0, 因此 u xzt yz.
2.3 泊松公式的物理意义
由泊松公式可见，定解问题(2.1)的解在M(x,y,z)点 t 时刻
的值，由以 M 为中心，at 为半径的球面 SaMt 上的初始值而
确定。
这是由于初值的影响是以速度 a 在时间 t 内从球面 SaMt 上
传播到 M 点的缘故。
设初始扰动限于空间某区域 内，(即在 外 0, 0 ),
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
z r cos
0 r ,0 ,0 2 ,
则方程(2.1)可化为
utt
a2
1 r2
r
r
2
u r
1
r2 sin
sin
u
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。
第二章波动方程
第二章 波动方程一、小结本章主要提供了波动方程初值问题与混合问题的求解方法。
对于不同的方程或同一类方程，由于维数的不同，定解条件的不同，它的定解问题的求解方法往往也是不同的。
1．波动方程的初值问题20(0,)(I)(,0)(),(,0)()tt xx t u a u t x u x x u x x ϕψ⎧-=>-∞<<∞⎪⎨==⎪⎩可用达朗贝尔方法求解，得到解的表达式为11(,)[()()]()22x atx atu x t x at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰当21(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞，利用上面公式可直接验证问题（I ）是适定的。
（2）半无弦自由振动的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t u a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作奇延拓，把问题（II ）化为问题（I ）。
对于第二边值的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t xu a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪'==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作偶延拓，也可把问题化为问题（I ）。
（3）三维齐次波动方程的初值问题2312312312300(0,(,,))(III)(,,),(,,),tt t t t u a u t x x x R u x x x u x x x ϕψ==⎧=∆>∈⎪⎨==⎪⎩用球平均法求解，得到解的表达式（泊松公式）为：1232211(,,,)[]44x xatatat at S S u x x x t dS dS t a t a t ϕψππ∂=+∂⎰⎰⎰⎰ 当32(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞,由上式确定的123(,,,)u x x x t 是问题(III)的解。
波动方程初值问题与行波法
1 x at 1 u d 2 2a x at 1
1 arctan( x at ) arctan( x at ) 2a
例4： 求二阶线性偏微分方程初值问题的解
uxx 2uxy 3u yy 0 2 u | 3 x , u y | y 0 0 y0
2 F 3 x G x 3 x F ' 3 x G ' x 0
1 F 3x G x C 3
9 2 F 3x x C ' 4 G x 3 x 2 C ' 4
P( x, t )
依赖区间
x at
x at
x
区间 [ x at , x at ] 为解的依赖区间。
2.决定区域 该区域中任一点(x, t )的依 赖区间都落在区间[c, d]内 部，因此解在此该区域中的 数值完全由区间[c, d]上的 初始条件决定。
t
x c at
x d at
例5 求二阶线性偏微分方程的通解
uxx 2sin xuxy cos xuyy 0.
2
解：特征方程为
dy
2
2sin xdxdy cos x dx 0
2 2
dy dy 1 sin x 1 sin x 0 dx dx
G(x-at)=G(x0+at-at)=G(x0)
u2 G ( x ) ( t 0)
O
at
u2 G ( x at ) ( t t0 )
x0
x x0 at
x
u1 F ( x at )
第七章 波动方程初值问题
x1 a(t0 t ) x0 at0
x1 x0 at
即, f1(x - at) 表示波速为 a 的右行波
同理可知, f2(x + at) 表示波速为 a 的左行波. 因此，行波解为左行波与右行波的叠加. 三. 半无界弦的自由振动
utt a 2 uxx 0 u x0 0 u t 0 ( x ), ut
二. 行波解的物理意义 行波法的通解为：
u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
对 f1(x - at)，在 t0 时刻，x0 位置的波动位移为：
f1 ( x0 at0 )
若在t0+Δt 时刻, x1位置的波动位移也为 f1 ( x0 at0 ) 则：
t 0
a f1 ( x at ) x
f 2 ( x at ) t 0 a x
t 0
a f1 '( x ) a f 2 '( x ) y ( x )
对上式积分：
1 x x0 y ( )d [ f1 ( x ) f1 ( x0 )] [ f2 ( x ) f2 ( x0 )] (2) a
(1)
t 0
y ( x ) a f1 '( x ) a f 2 '( x )
1 x x0 y ( )d f1 ( x ) f 2 ( x ) c a
(2)
1 1 x c f1 ( x ) 2 [ ( x ) a x0 y ( )d ] 2 由 (1) (2) (x > 0) 解得： x f ( x ) 1 [ ( x ) 1 y ( )d ] c 2 2 a x0 2
x1 x0 at
即, f1(x - at) 表示波速为 a 的右行波
同理可知, f2(x + at) 表示波速为 a 的左行波. 因此，行波解为左行波与右行波的叠加. 三. 半无界弦的自由振动
utt a 2 uxx 0 u x0 0 u t 0 ( x ), ut
二. 行波解的物理意义 行波法的通解为：
u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
对 f1(x - at)，在 t0 时刻，x0 位置的波动位移为：
f1 ( x0 at0 )
若在t0+Δt 时刻, x1位置的波动位移也为 f1 ( x0 at0 ) 则：
t 0
a f1 ( x at ) x
f 2 ( x at ) t 0 a x
t 0
a f1 '( x ) a f 2 '( x ) y ( x )
对上式积分：
1 x x0 y ( )d [ f1 ( x ) f1 ( x0 )] [ f2 ( x ) f2 ( x0 )] (2) a
(1)
t 0
y ( x ) a f1 '( x ) a f 2 '( x )
1 x x0 y ( )d f1 ( x ) f 2 ( x ) c a
(2)
1 1 x c f1 ( x ) 2 [ ( x ) a x0 y ( )d ] 2 由 (1) (2) (x > 0) 解得： x f ( x ) 1 [ ( x ) 1 y ( )d ] c 2 2 a x0 2
7.3-7.4三维波动问题
球体 T 中的影响的累加得到，
r 间要比 t 早的时间 (t − ) 发出，即 M 点受到的影 a r r 响比 源发出 的时刻 (t − ) 晚了 ，故此解被称为 a a 推迟势。
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五、推迟势
§7.3-§7.4：三 维无界波动问题
4、例题：求解 ⎧ u tt − a 2 Δ u = 2 ( y − t ) ⎪ ⎨ u |t = 0 = 0 ⎪u | = 0 ⎩ t t =0
Y′
ϕ
X
X′
r=
( x′ − x) 2 + ( y′ − y ) 2 + ( z ′ − z ) 2
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二、求解
3、求波动方程的通解： 1 a ∫∫S u tt d Ω = 4π 4π
∂2 1 ∂ t 2 4π
2
§7.3-§7.4：三 维无界波动问题
∫∫ Δ ud Ω
S
∂ 2u ∂u r 2 − ( y − y0 ) 2 ∂ 2u y − y0 2 ) + 2( = 2 3 r r ∂r ∂r ∂y
∂ 2u ∂u r 2 − ( z − z0 ) 2 ∂ 2u z − z0 2 = + 2( ) 2 3 ∂z ∂r r ∂r r
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2 ∂u ∂ 2u 1 ∂ 2 → Δu = + 2 = ( ru ) 2 r ∂r ∂r r ∂r
M at M at
M at
M at
M sat − 以M为中心at为半径的球面； M M ′ = M ′( x′, y′, z ′) − 球面sat 上的点；
-泊松公式
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第二章波动方程资料
注意：对于混合问题，情况类似。叠加原理只对线性问题成立。
定理 2.1
定解问题（2.2）和（2.4）的解可表示为
注：利用变上限积分求导公式：
证明:
2.2 解的表达式(行波法)
求解定解问题（2.3）：
利用特征线法求得：
利用定理2.1可得定解问题（2.1）的解为：
——一维非齐次波动方程初值问题解的Kirchhoff 公式
( )d
at x
1 2a
t
x a
0
xa(t )
f (s, )dsd
a(t ) x
t
t
x a
xa (t ) xa(t )
f
(s, )dsd
.
(2) 非齐次端点条件 考虑定解问题
例4. 求解初值问题
utt
a2uxx
1 2
(x t),
0 x ,t 0
u(x, 0) sin x,ut (x, 0) 1 cos x, 0 x ,
因此, 对于非齐次波动方程的初值问题
由定理2.1得 ——三维非齐次波动方程初值问题的Kirchhoff 公式
于是
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u(0,t) 0,
t 0.
解.
把 (x) sin x, (x)
1 cos x,
f
( x, t )
1 2
(
x
t
)
关于 x 奇延拓到 (, 0),
(x) sin x,
(
x)
数学物理方程-3
其中ϕ(x, y, z) 和 ψ (x, y, z) 均为已知函数。
u
3-3 高维波动方程的初值问题
平均值法：不考虑函数 平均值法：不考虑函数 u(x, y, z, t) 本 身，而是研究u(x, y, z, t)在以点 M(x, y, z) 为球心，以r 为球心，以r为半径的球面上的平 均值 u ，当暂时选定 M(x, y, z) 后， u 就是关于r 就是关于r，t的函数。当我们很方 便地求出 u (r, t) 后，令 r →0 则 u(r, t) →u(x, y, z, t) ，问题就得到了 解决。
第3章 行波法与积分变换法
原柯西问题的通解为 u = f1 (x + at) + f2 (x − at) 初始条件代入其中，有 ϕ(x) = f1 (x) + f 2 (x) ′ ψ (x) = af1′(x) − af 2 (x) 无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 ） 1 1 x+at 为： u(x, t) = [ϕ(x + at) +ϕ(x − at)] + ∫ ψ (ξ )dξ
3-2 延拓法求解半无限长振动问题
延拓后的定解问题：
2 ∂2v 2 ∂ v + F(x, t) (−∞ < x < +∞, t > 0) 2 =a 2 ∂x ∂t ∂v v(x,0) = Φ(x), |t=0 = Ψ(x) ∂t v(0, t) = 0
x >0 ϕ(x), Φ(x) = −ϕ(−x), x < 0
x >0 ψ (x), Ψ(x) = −ψ (−x), x < 0
x >0 f (x, t), F(x, t) = − f (−x, t), x < 0
第七章 7.2节 球面平均法和泊松公式
1 x at ' 由达朗贝尔公式 ( x, t ', ) x at ' f ( , )d 2a 1 x a (t ) 作代换 ( x, t , ) x a (t ) f ( , )d 2a
因此，一维无界弦的纯受迫振动问题的解为： t 1 t x a (t ) u ( x, t ) ( x, t , )d 0 xa (t ) f ( , ) d d 0 2a
1 ( , , ) 1 ( , , ) [ M dS M dS ] 4 r Sr r a Sr r
f 1 f 将 r 代换为 at ，并注意到 得： r a t
u ( x, y, z, t ) 2 f '(at )
( , , ) 1 ( , , ) [ M dS M dS ] 4 a t Sat at a Sat at 1
tt a 2 xx 0 ( x , t ) 求解 方程 t 0, t t f ( x, ) ( x )
解：令 t ' t ，则 t 't ' a 2 xx 0 ( x , t ) t '0 0, t ' t '0 f ( x, ) ( x )
面积微分元：
dS r d r sin d d 体积微分元：
2 2
dV d d d r sin dr d d dr dS r dr d dS 立体角微分元： d 2 sin d d r
2 2
三.球面平均 球面平均的定义： 1 1 u (r , t ) u ( , , )dS 2 S 4 r 4
因此，一维无界弦的纯受迫振动问题的解为： t 1 t x a (t ) u ( x, t ) ( x, t , )d 0 xa (t ) f ( , ) d d 0 2a
1 ( , , ) 1 ( , , ) [ M dS M dS ] 4 r Sr r a Sr r
f 1 f 将 r 代换为 at ，并注意到 得： r a t
u ( x, y, z, t ) 2 f '(at )
( , , ) 1 ( , , ) [ M dS M dS ] 4 a t Sat at a Sat at 1
tt a 2 xx 0 ( x , t ) 求解 方程 t 0, t t f ( x, ) ( x )
解：令 t ' t ，则 t 't ' a 2 xx 0 ( x , t ) t '0 0, t ' t '0 f ( x, ) ( x )
面积微分元：
dS r d r sin d d 体积微分元：
2 2
dV d d d r sin dr d d dr dS r dr d dS 立体角微分元： d 2 sin d d r
2 2
三.球面平均 球面平均的定义： 1 1 u (r , t ) u ( , , )dS 2 S 4 r 4
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xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
2.1 三维齐次波动方程的球对称解
考虑初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3,t 0
u
t0
(x,
y,
z), ut
t0
(x,
y,
z), ( x,
y,
z) R3
其中 , 满足一定的光滑性条件。
(2.1)
x r sin cos,
引入球坐标系 (r,,),
2ar atr
2.2 三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法
(1) 主要结果
一维齐次波动方程的达朗贝尔解
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] + 1
xat
( )d
2
2a xat
可改写成
u(x,t)
t
t
1 2at
xat
(
xat
)d
+t
1 2at
xat
( )d
xat
1
其中 2at
则类似于半界弦的振动情况，可得初值问题(2.3)-(2.4)的解
1 2r
[(r
at
) (r
at)
(r
at)
(r
at)]
u(r, t )
1
[(r
1
r at
( )d,
2ar rat
at)(r at) (at r)(at
r at r)]
0;
2r
1
r at
( )d,
r at 0.
t
4
2 0
(x at sin cos, y at sin sin,
0
z at cos )sindd t
2
(x at sin cos,
4 0 0
y at sin sin, z at cos )sin d d. (2.6)
(2) Poisson公式(5)的推导
推导思路——球平均法
t
4 a2 SaMt
t
——三维齐次波动方程初值问题的Poisson公式
其中 SaMt 为M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面。 为简化计算，将公式(2.5)在球坐标下化为累次积分，球面 SaMt
的方程为 ( x)2 ( y)2 ( z)2 (at)2.
设 P(, , ) 为球面上的点，则
4 a2t 2 SaMt
4 a2t 2 SaMt
则问题(2.1)的解应该是(待证)
u(x, y, z,t)
t
1
(, , )dS +t
1
(, , )dS
t 4 a2t2 SaMt
4 a2t 2 SaMt
1 (, , ) dS+ 1 (, , ) dS, (2.5)
4 a2 t SaMt
x at sin cos, y at sin sin, dS a2t2 sin d d z at cos ,
于是
u(x,
y,
z,t)
t
t
4
1 a 2t 2
2 0
0
(
,
,
)a
2t
2
sin
d
d
+t
4
1 a2t
2
2 0
(, , )a2t2 sin d d
0
t
z r cos ,
是球面 SrM 上的点的坐标， d 是单位球面上的面积元，且 有 dS r2 sin d d r2d ，则
u(M ,t) u(x, y, z,t) limu(r,t) u(0,t) ——球平均法 r 0
下面证明 ru 满足一维波动方程
[ru (r,t)]tt a2[ru (r,t)]rr (2.8) 设 BrM 表示中心在 M 的半径为r的球域。对方程(2.1)的两 边在 BrM 上积分，并利用高斯公式及(2.7)，有
三维波动方程初值问题
§3.2 三维波动方程初值问题
三维齐次波动方程的球对称解 三维齐次波动方程的泊松公式和
球平均法 泊松公式的物理意义 三维非齐次波动方程的初值问题
和推迟势
2. 三维波动方程初值问题
三维波动方程可描述声波、电磁波和光波等在空间中的传播， 称为球面波。 基本思路：将三维问题转化为一维问题
0 SM
2 r u 2dd 4 2 r 2ud ,
t 2 0 S1M
uttdxdydz a2 [(ux )x (uy )y (uz )z ]dxdydz
BrM
BrMபைடு நூலகம்
a2 SrM
(ux ,uy ,uz )
ndS
a2
SrM
u dS n
a2 u r2d 4 a2r2 u .
S1M r
r
另一方面，由于
2
BrM uttdxdydz t2
r
udSd
其中F(r + at)是沿 r 负方向传播，为收敛波，G(r -at)是沿 r 正方向传播的行波，为发散波。
从而，
u(r,t) F(r at) G(r at) , r 0,t 0, r
其中 F,G 是任意两个二阶连续可微函数。 若考虑初始条件
u(r, 0) (r),ut (r, 0) (r), r 0, (2.4)
一般情况下，ru 未必满足一维波动方程。设法找一个与u有
关的球对称函数 u , 通过 u 把 u 求出来。
考虑 u 在球面 SrM 上的平均值，即
u(r,t) 1 udS 1 u(, , ,t)d, (2.7)
4 r2 SrM
4 S1M
x r sin cos, 其中 y r sin sin, r 0, 0 , 0 2 ,
故当 u 是球对称函数时，方程(2.2)可化为
utt
a2
urr
2 r
u r
,
或者等价地写成
r 0,t 0
(2.3)
(ru)tt rutt a2 (rurr 2ur ) a2 (ru)rr , 令 ru = v,则有 vtt a2vrr , 其通解可表示为
v F(r at) G(r at), r 0,t 0,
即
y
r
sin
sin ,
z r cos
0 r ,0 ,0 2 ,
则方程(2.1)可化为
utt
a2
1 r2
r
r
2
u r
1
r2 sin
sin
u
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。