高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.1.2 复数的有关概念课件3 北师大版选修2-2
K12课件
5
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说 这两个复数相等．
若a,b, c,
a bi
d R,
c
di
a
b
c， d.
K12课件
6
思考3:复数a+bi与c+di相等的充要条件是a=c,b=d，正 确吗？ 提示：不正确，a+bi=c+di⇔a=c,b=d，前提条件是 a,b,c,d都是实数. 思考4:如果两个复数能比较大小，那么这两个复数一 定是实数吗？ 提示：是.虚数不能比较大小，如果两个复数能比较大 小，那么这两个复数一定是实数.
N
Z
Q
R
C
为了解决实际问题，数集随着新数的概念的引入
而扩展，从而复数的概念应运而生.
K12课件
1
从18世纪起，复数在数学、力学中得到了应用， 现在的复数理论在数学、力学、电学等方面有着更加 广泛的应用.它已成为科技人员普遍熟悉的数学工具.
这就需要我们更进一步掌握好复数，下面我们继 续学习复数的有关概念.
K12课件
10
复平面的概念：
用直角坐标平面内的点来表示复数时,我们称这个
直角坐标平面为_复__平__面___, x轴称为_实__轴__， y轴称
为_虚__轴___.
这样，每一个复数在复平面内都有唯一的一个点与它 对应；反过来，复平面内的每一个点都有唯一的一个 复数与它对应，复数集C和复平面内所有的点构成的集 合是一一对应的， 即任一个复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)是对应的.
(4) 实数可以进行四则运算；
……
复数是否也有类似的性质呢？
K12课件
4
探究点1 复数相等的充要条件 思考1:复数z=a+bi=0,实数a,b应满足什么条件？
提示：a=b=0. 思考2:若复数a+bi=c+di（a,b,c,d是实数)，则 a,b,c,d应满足什么条件？ 提示：复数a+bi，c+di可以看成是关于i的一次二 项式，类比两个二项式相等的意义，我们规定：
(4) 1 3i (1)2 (3)2 10.
K12课件
16
【变式训练】 求下列复数的模：
（1）4. （2）2+i. （3）-i. （4）-1+3i.
（5）3-2i.
【解析】 (1) 4 4.
(2) 2 i 22 12 5.
(3) i 02 (1)2 1.
15
例2 求下列复数的模： （1）-2+3i. （2）1 3 i. （3）3-4i. （4）-1-3i.
22
【解析】 (1) 2 3i (2)2 32 13.
(2) 1 3 i ( 1 )2 ( 3 )2 1.
22
2
2
(3) 3 4i 32 (4)2 5.
K12课件
13
思考3:我们知道平面直角坐标系中的点Z与以原点O 为起点、Z为终点的向量 OZ 是一一对应的，那么复 数能用平面向量来表示吗？
提示:因为复平面内的点Z（a，b）与以原点O为起
点,Z为终点的向量 OZ 一一对应 ，所以我们也可
以用向量 OZ 来表示复数z=a+bi . y
z a bi
(4) 1 3i (1)2 32 10 .
(5) 3 2i 32 (2)2 13.
K12课件
17
例 3.设复数 z＝a＋3＋bi(a，b∈R)和复平面内的点 Z(a ＋3，b)对应，当 a，b 满足什么条件时，点 Z 位于
(1)实轴上.(2)虚轴上(原点除外). (3)实轴的下方(不包括实轴). (4)虚轴的右侧(不包括虚轴). 【思路探究】解题的关键是理解复数的几何意义
一一对应
Z (a,b)
b
复数z=a+bi
平面向OZ量
Hale Waihona Puke K12课件oax
14
思考4: 我们知道任何一个实数都有绝对值，它表示 数轴上与这个实数对应的点到原点的距离，任何一个 向量都有模（或绝对值），它表示向量的长度，相应 地，我们可以给出复数的模（或绝对值）的概念吗？ 它又有什么几何意义呢？
提示：定义：复数的模（或绝对值）
【解析】由复数相等的意义，得
2x＋8y＝14，
x＝－1，
x－6y＝－13， 所以y＝2.
K12课件
9
探究点2 复数的几何意义 思考1: 在几何上，我们用什么来表示实数?
分析: 实数可以用数轴上的点来表示，
一一对应
实数
数轴上的点
(数)
(形)
思考2：类比实数的表示，可以用什么来表示复数？
请往下看！
设复数z=a+bi在复平面内对应的点是Z（a，b），
点Z到原点的距离 oz 叫作_复__数__z_的__模__（__或__绝__对__值__）_，
记作_z__.显然， z __a_2 __b_2 _.
复数的模表示_复__平__面__内__该__点_到__原__点__的__距__离___.
K12课件
K12课件
11
复数的几何意义
有序实数对(a,b)
复数z=a+bi （数）
一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b) （形）
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
a
ox
实轴上的点表示实数,虚轴上的点(除原点)都表示纯虚数.
K12课件
12
【即时训练】
下列命题中的假命题是（ D ） A.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上 B.在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上 C.在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数 D.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数
K12课件
2
1.掌握复数相等的充要条件.（重点） 2.理解复数的模的有关概念. 3.理解复数与复平面内的点以及平面向量的一一对应 关系，并能熟练应用复数的几何意义解题. （难点）
K12课件
3
复数是由实数扩充得到的，那么实数集的性质 和特点能不能推广到复数集呢？
实数的部分性质和特点： (1) 实数可以判定相等或不相等； (2) 实数可以用数轴上的点表示； (3) 不相等的实数可以比较大小；
K12课件
7
例1 设x,y∈R,并且(x+2)-2xi=-3y+(y-1)i,求x,y 的值.
【解析】由复数相等的意义，得
x 23 y 2x y1
解这个方程组，得
x1 y 1
K12课件
8
【变式训练】
已知(2x＋8y)＋(x－6y)i＝14－13i 求实数 x， y 的值．
——复数 z＝a＋bi一一对应复平面内的点 Z(a，b)．
合集下载
高中数学数系的扩充与复数的引入PPT课件
考 情
O→Z＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
自
3．复数的运算
高 考
主 落 实
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R
体 验 ·
·
明
固
考
基
情
础
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
高
b i
为纯虚数的必要不充分条
件．”
典 例 探
(2)∵z＝－12＋i＝－1－i，
课 后
究
· 提
∴|z|＝ （－1）2＋（－1）2＝ 2，
作 业
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
新课标 ·文科数学（安徽专用）
第五节 数系的扩充与复数的引入
高
自
考
主
体
落
验
实
·
·
明
固
考
基
情
础
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
高
自
考
主
落
1．复数的有关概念
体 验
实
·
· 固
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中
明 考
基
2020版高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1复数的加法与减法课件北师大版选修2_2
【解析】(1)因为A，C对应的复数分别为3+2i，-2+4i， 由复数的几何意义，知 OA与OC 表示的复数分别为3+ 2i，-2+4i. ①因为 AO＝－OA，所以 AO 表示的复数为-3-2i.
②因为 CA＝OA－OC， 所以 CA表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. ③因为 OB＝OA＋所O以C， 表示O的B 复数为(3+2i)+ (-2+4i)=1+6i.
即(x，y)-(1，2)= (-1，-2)-(-2，1)， (x-1，y-2)=(1，-3)，
所以
x y
1 1解, 得
2 3,
x 2, y 1.
故点D对应的复数为2-i. 若BC为平行四边形的一条对角线，则AC B同D，理， 得点D对应的复数为-4-3i. 若AB为平行四边形的一条对角线，则CA B同D，理， 得点D对应的复数为5i.
所以|z|i+z= x2＋y2 i+x+yi= x＋( x2＋y2＋y)i
=1+3i，所以
x＝1，
x2 y
2＋y＝3
所以z=1+ 4 i.
3
答案：1+ 4 i
3
x＝1，
解得
y＝
4 3
,
2.原式=4i+(1-3i)=1+i.
【内化·悟】 1.若z1=a+bi，z2=c+di，则z1±z2如何计算？ 提示：根据复数运算法则：z1±z2=(a±c)+(b±d)i.
【思维·引】1.复数z=a+bi在复平面上对应的向量为 OZ =(a，b).
2.利用向量相等或对称性，求第四个顶点对应的复数.
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.1.1 数的概念的扩展 5.1.2 复数的有关概念学业
2016-2017学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1.1 数的概念的扩展5.1.2 复数的有关概念学业分层测评（含解析）北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1.1 数的概念的扩展5.1.2 复数的有关概念学业分层测评（含解析）北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1.1 数的概念的扩展5.1.2 复数的有关概念学业分层测评（含解析）北师大版选修2-2的全部内容。
5.1.1 数的概念的扩展5。
1。
2 复数的有关概念(建议用时：45分钟)［学业达标］一、选择题1.（2016·泰安高二检测)－(2－2i）的虚部是( )A.－2 B。
－错误!C. 2D.2【解析】∵－（2－错误!i)＝－2＋错误!i,∴其虚部是错误!。
【答案】C2.（2016·青岛高二检测）在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于（)A。
第一象限 B.第二象限C.第三象限D。
第四象限【解析】∵sin 2〉0,cos 2〈0，∴复数z对应的点（sin 2，cos 2）在第四象限。
故选D。
【答案】D3.（2016·肇庆高二检测)若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝( )A。
－2＋i B。
2＋iC。
1－2i D。
1＋2i【解析】由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1,故x＋y i＝2＋i。
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1数系的扩充与负数的引入5.1.1数的概念的扩展课件北师大版
1
2
3
4
5
6
3.若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为( A.-1 B.0 C.1 D.-1或1 ������ 2 -1 = 0, 解析:由题意知 故x=-1. ������-1 ≠ 0, 答案:A
)
1
2
3
4
5
6
4. 以- 5+2i 的虚部为实部, 以 5i+2i2 的实部为虚部的复数是( A. 2-2i B. 2+2i
1
2
3
4
5
6
1. 复数(1+ 5)i 的实部是(
) D.0
A.1 B. 5 C.1+ 5 解析:复数(1+ 5)i 的实部是 0, 故选 D. 答案:D
1
2
3
4
5
6
2.若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b的值为(
)
A.2
B.3
2
C.-3
2
D.-2
解析:复数2-bi的实部为2,虚部为-b,由题意知2=-(-b),所以b=2. 答案:A
2
������(������+2) + ������-1
(������2 + 2������ − 3)i,
������(������+2) +2m-3=0,且 有意义,即 ������-1 ������(������+2) 有意义,即 m-1≠0, ������-1
(2)要使 z 为虚数 ,需满足 m2+2m-3≠0, 且 解得 m≠1,且 m ≠-3. (3)要使 z 为纯虚数 ,需满足 或 m=-2.
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入本章整合课件2高二选修22数学课件
专题
(zhuān
tí)三
复数的有关概念
通过学习,主要学会怎样解决问题,学会探究创新,增强“发现问题,解决问题”
的能力,在学习知识的同时增强战胜困难的信心和技能.通过本章的学习,掌握数
系的发展过程,弄清复数的分类,弄清实部和虚部的概念及实数、虚数、纯
虚数、共轭复数的概念,注意分类讨论思想的应用.
应用1 若z∈C,且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值是(
∴|z1-z2|=1.
12/12/2021
第八页，共二十六页。
综合应用
专题
(zhuānt
í)一
专题
(zhuān
tí)二
专题
(zhuān
tí)三
解法二在复平面内设 z1 ,z2 分别对应向量1 , 2 ,则对角线
对应 z1 +z2 ,2 1 对应 z1 -z2 ,
由已知|1 |=1,|2 |=1,| |= 3,
答案:B
12/12/2021
第十四页，共二十六页。
)
真题放送
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4i
=(
-1
4.(2016·全国高考丙卷)若 z=1+2i,则
A.1
B.-1
解析:由题意知=1-2i,则
4i
4i
=
=
-1
(1+2i)(1-2i)-1
C.i
4i
=i,故选
5-1
13
)
D.-i
C.
答案(dá àn):C
转化为乘法运算,将分母变为实数.
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1.2复数的有关概念3222数学
z
z a2 b2
复平面内该点到原点的距离
12/9/2021
第十五页，共二十三页。
例2 求下列(xiàliè)复数的模：
（1）-2+3i. （2）
（3）3-4i. （4）-1-3i.
1 3 i. 22
【解析(jiě 】 xī) (1) 2 3i (2)2 32
13.
(2) 1 3 i ( 1 )2 ( 3 )2 1.
(1)实轴上.(2)虚轴上(原点除外). (3)实轴的下方(不包括实轴). (4)虚轴的右侧(不包括虚轴). 【思路探究】解题的关键是理解复数的几何意义
——复数 z＝a＋bi一一对应复平面内的点 Z(a，b)．
12/9/2021
第十八页，共二十三页。
【变式训练(xùnliàn)】
将上例的问题改为“第三象限”，结果如何？
提示(tíshì)：a=b=0. 思考2:若复数a+bi=c+di（a,b,c,d是实数)，则a,b,c,d应满足什么(shén me)条件？
提示：复数a+bi，c+di可以看成是关于i的一次二项式，类比两个二项式相等的 意义，我们规定：
12/9/2021
第五页，共二十三页。
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么(nà me)我们就说这两个复数相等．
为起点、Z为终点的向量 是一一对应的，那么(nà me)复。点,Z为终点的向量 一一对应 ，所以我们 也可
Image
12/9/2021
第二十三页，共二十三页。
【解析】复数 z＝a＋3＋bi 对应复平面内的点为 Z(a
a＋3<0， a<－3，
＋3，b)在第三象限，则b<0，
5.1 数系的扩充与复数的引入 课件(北师大选修2-2)
一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量 OZ ＝ (a，b) 是一一对应的．
2．复数的模 设复数 z＝a＋bi(a， b∈R)在复平面内对应的点是 Z(a， b)，点 Z 到 原点的距离 |OZ|叫作复数 z 的模或绝对值， 记
a2＋b2 . 作|z|，显然，|z|＝
1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，b∈R这一条
答案：0或2
1 9．求复数 z1＝6＋8i 及 z2＝－ － 2i 的模，并比较它们的 2 模的大小．
1 解：∵z1＝6＋8i，z2＝－ － 2i， 2 ∴|z1|＝ 62＋82＝10， |z2|＝
1 － 2＋－ 2
3 2 ＝ . 2
2
3 ∵10> ， 2 ∴|z1|>|z2|.
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明 确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚 数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0. 2．复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对
应，可知复数z＝a＋bi(a，b∈R)、复平面内的点Z(a，b)和
平面向量 OZ 之间的关系可用图表示．
解析： 复数 z1， 2 对应的点分别为 Z1(1， 3)， 2(1， 3)， z Z － 关于 x 轴对称． 答案：A
6．已知平面直角坐标系中O是原点，向量 OA ，OB 对应 的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量 BA 的坐标是
( A．(－5,5) C．(5,5) B．(5，－5) D．(－5，－5) )
OB 对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2 解析：向量 OA ，
＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向
量 OA ＝(2，－3)， OB ＝(－3,2)．
高中数学数系的扩充与,复数的概念(公开课)(共12张ppt)
数系的扩充与 复数的概念
自然数
充数 系 的 扩
图形表示
整数
N
有理数
Z Q
实数 ？
R
有理数系到实数系的扩充：x 2 2 0 思考
2 x 在实数系中， 1 0 无解，能否将实
数系进行扩展使其在新数系中有解？ 虚数单位
i 2 1 形如 a bi(a, b R) 的数叫做复数. 引入一个新数：
复数
纯虚数
b 0 虚数
a 0, b 0
非纯虚数
3.复数的几何意义
任何一个复数 z a bi 都可以由一个有序实数对（a,b) 唯一确定
y
b
Z : a bi
虚轴
这个a bi
一一对应
0
a
实轴
x
复平面内的点Z（a,b)
答案
(1) ( 2 3) ( 4i 4i ) 5 ( 2) 24i 21i 2 21 24i (3) 20 16i 15i 12i 2 32 i ( 4) a b
作业
必做 1.证明复数的除法满 足交换律、结合律、 分配律 2.计算
2 2 2 2 i
a, b, c, d R a bi c di a c, b d
练一练
判定下列各式是否为复数？若是，说出复数的实 部和虚部。
2 1 0, ,－2＋ i , 2 i , 3i , i 2 3
2.复数分类
z a bi ( a, b R )
b 0 实数
a 0, b 0
( z1 z 2 ) z3 [(a bi) (c di)] (e fi ) ( a c e) (b d f )i [ a (c e)] [b ( d f )]i ( a bi) [(c di) (e fi ) z1 ( z 2 z3 )
自然数
充数 系 的 扩
图形表示
整数
N
有理数
Z Q
实数 ？
R
有理数系到实数系的扩充：x 2 2 0 思考
2 x 在实数系中， 1 0 无解，能否将实
数系进行扩展使其在新数系中有解？ 虚数单位
i 2 1 形如 a bi(a, b R) 的数叫做复数. 引入一个新数：
复数
纯虚数
b 0 虚数
a 0, b 0
非纯虚数
3.复数的几何意义
任何一个复数 z a bi 都可以由一个有序实数对（a,b) 唯一确定
y
b
Z : a bi
虚轴
这个a bi
一一对应
0
a
实轴
x
复平面内的点Z（a,b)
答案
(1) ( 2 3) ( 4i 4i ) 5 ( 2) 24i 21i 2 21 24i (3) 20 16i 15i 12i 2 32 i ( 4) a b
作业
必做 1.证明复数的除法满 足交换律、结合律、 分配律 2.计算
2 2 2 2 i
a, b, c, d R a bi c di a c, b d
练一练
判定下列各式是否为复数？若是，说出复数的实 部和虚部。
2 1 0, ,－2＋ i , 2 i , 3i , i 2 3
2.复数分类
z a bi ( a, b R )
b 0 实数
a 0, b 0
( z1 z 2 ) z3 [(a bi) (c di)] (e fi ) ( a c e) (b d f )i [ a (c e)] [b ( d f )]i ( a bi) [(c di) (e fi ) z1 ( z 2 z3 )
高中数学一轮复习课件：数系的扩充与复数的引入
i1＋2 3i 2 21005 (2)原式＝ ＋ 1＋2 3i 1－i 2 1005 ＝i＋( ) ＝i＋i1005 －2i ＝i＋i4
×251＋1
＝i＋i＝2i.
(3)解法一：原式
1＋i2 6 ＝ ＋ 2
6
2＋ 3i 3＋ 2i 32＋ 22
－2＋2i z1 2i 解析：z＝ ＝ ＝ ＝－1＋i，共轭复数 z2 1－i 2 为 z ＝－1－i，则复数 z ＝－1－i 所对应的点是(－1， －1)，在第三象限，故选 C.
答案：C
1－i 3． 设复数 z＝ ＋(1＋i)2， 则(1＋z)7 展开式的第 1＋i 五项是 ( A．－21 C．－21i B．35 D．－35i )
(3)要使 z 是纯虚数，m 须满足： mm＋2 ＝0 且 m2＋2m－3≠0. m－1 解得 m＝0 或 m＝－2， ∴当 m＝0 或 m＝－2 时，z 为纯虚数．
• 此题是基础题，用到了复数的分类．在对 复数进行分类时要注意，使得虚部和实部 均有意义，如当z为实数时，应有虚部b＝ 0，还要保证实部a有意义；当z为虚数时， 应有虚部b≠0，还要保证实部a有意义； 当z为纯虚数时，应有实部a＝0，还要保 证虚部b≠0，否则容易发生错误，在做题 时要特别小心.
→ → 解析：如右图，OA与OB对应复数 z1、z2， → → ∴OC、BA分别对应复数 z1＋z2 和 z1－z2， ∵|z1＋z2|＝|z1－z2|， → → ∴|OC|＝|BA|， ∴平行四边形 OACB 为矩形， → → ∴OA⊥OB，即OA⊥OB.
答案：C
• 1．复数的代数运算 • (1)复数代数运算的实质是转化为实数运 算，在转化时常用的知识有复数相等，复 数的加、减、乘、除运算法则，模的性质， 共轭复数的性质．
(完整版)数系的扩充与复数的引入
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式:z a bi (a R,b R)
2 7 , 0.618, 2 i, 0
7
i i 2 , i 1 3 , 3 9 2i, 5 +8，
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
例1: 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
满足 i2 1
数系的扩充
复数的概念
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定：
（1）i21；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运
算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结 合律和分配律)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
数系的扩充
复数的概念
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0
R C
复数a+bi虚数b