和差积商的导数
导数的运算(二)
例2 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
解 方程两边对x求导,
y cos(x y) (1 y)
y cos(x y) ycos(x y)
解得 y cos(x y) 1 cos(x y)
例5 设曲线 C 的方程为 x3 y 3 3 xy , 求过 C上
点
3 (
2
,
3 2
)
的切线方程和法线方程
3
33
例4
设参数方程
x y
a b
cos t，(椭圆方程)确 sint
定了函数 y = y(x)，求 dy .
dx
解 dx a sin t dy b cost
dt
dt
所以 dy b cost b cott. dx a sin t a
例 5 求摆线
x
dx 1 cos t dx tπ
点 P 处的切线方程为
3
y1a 2
3
x
3
a
3 2
a
§2-2 导数的运算(二）
高阶导数的定义
我们把函数 yf(x) 的导数 yf (x) 的导数(如果 可导)叫做函数 yf(x) 的二阶导数 记作
y、f
(x)或
d2y dx2
导数的加法与减法法则-精品
导数的加法与减法法则【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C'=0(。
为常数)②(/)'(HER)③(sirtr)'=cosx(4)(cosx)'=-siar⑤(/)'=/⑥(/)'=(/)*妨。
(〃>0且〃#1)⑦[k)gd)]'=2*(log心)(〃>0且4羊1)⑧[/以]'X=1 ■X2、和差积商的导数①1/(x)+g(x)]'=/(x)+g'(x)②[/'(x)-g(x)]'=f(x)-g'(x)③[f(x)g(x)]'=f(x)g(x)+f(x)g'(x)④[f(x)(x)g(x)-f(x)g'(x)]g(x)[g(x)2]3、复合函数的导数设y=u(r),t=v(x),则y'(x)=u'(f)v'(x)=u'[v(x)]v f(x)【典型例题分析】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数/(x)=asinx+历14(/R,灰R)"(%)为/(x)的导函数，则了(2014) +f(-2014)+f f(2015)-f(-2015)=( )A・0B.2014C.2015D.8解：f(x)=QCOSX+3Z?/,:.f(-x)=6zcos(-x)+3b(-x)2：.f(x)为偶函数；f(2015)-f(-2015)=0：.f(2014)+f(-2014)=〃sin(2014)+Z?*20143+4+^sin(-2014)+b(-2014)3+4=8；：.f(2014) +f ( -2014) +f(2015)-/( -2015) =8题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是( )A.(3/+cosx)'=6x-siarB.(.Inx-2X)'=2”加2xC.(2sin2x)'=2cosZvD.(皂些)'=xcosx-sinxX X2解：由复合函数的求导法则对于选项A，(3/+cosx)'=6x-sinx成立，故A正确；对于选项8,(lnx-2X)二4-2"ln2成立，故8正确；x对于选项C,(2sin2x)'=4cos2rW2cos2匕故。
(完整版)函数的和差积商的导数
问题：请猜想积的导数的形式.
已知 u(x) 和 v(x) 为可导函数，若函数 y= u(x) ·v(x) ，它的导数是什么？
2、积的导数：
若 y = u(x) ·v(x)，则 y 是 x 的可导函数， 则
2xsinx+x2cosx -9x2+12x 12x3 -27x2+12x
例1、y x sin x，求y '.
练习：
求下列函数的导数：
1、y = 2x3 + 3x2 - 5x + 4； 2、y =(5 - 4x3 )(1+ x)； 3、y =(1- 2x)(1+ sinx).
若u(x)、v(x)是可导函数，v(x) 0, 则 u(x) 的导数是什么？如何推导？
v(x)
如：y = 3x2 ,怎样求y'？ (2 - x)
3、若商的y导数u：(x) ，u(x)、v(x)可导且v(x) 0， v(x)
则y是x的可导函数，且
y
'
u(x) v(x)
u
'(x)v(x) u(x)v v2 ( x)
'( x)
特别地，当 u(x) c（c为常数）时，
y (u(x) v(x)) u(x) v(x)
注意： 1)导数的加减法则可以推广到有限个函数:
若u1(x)、 u2(x)、… un(x)为可导函数， 则[u1(x)± u2(x)± …±un(x)]’= u1’(x) ± u2’(x) ± …±un’(x)
(1)若y x3 sin x ,则y
和、差、积、商的求导法则
且 (ay) ayln a 0 , 在 Ix (0,) 内,有
(loga x) (a1y)
1 a y ln a
1. x ln a
特别地 (lnx) 1 .
x
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三、复合函数的求导法则
定理 如果函 u数 (x)在点 x0可导 , 而yf(u)
同理可得 (cx o) tcs2x c.
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例4 求ysexc的导. 数
解 y(sex)c( 1 )
coxs
(cosx) cos2 x
sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
2sinxcoxs1 x
2co2xsln x1si2n x. x
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例3 求ytaxn的导. 数 解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s co2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx 即(tx a ) n se 2x.c
n3xn1co xns fn1[ n(sx in)n] n1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
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五、双曲函数与反双曲函数的导数
(six n ) hcoxsh(cox)sh sin xh tanxhsinxh
第二章 导数与微分 第二节 函数的和、差、积、商的求导法则
y ′ = (2 x sin x ) ′
= 2( x )′ sin x + 2 x (sin x)′
sin x = + 2 x cos x x
例3：求 y = tan x 的导数 . 解
y ′ = (tan x )′ = ( sin x )′ cos x
(sin x )′ cos x − sin x (cos x )′ = cos 2 x 1 cos 2 x + sin 2 x = = sec 2 x = cos 2 x cos 2 x
u u′v − uv′ (3) ( )′ = . 2 v v
证明（略）
二、例题分析
求y = x 4 − cos x + 3 x + ln 5的导数 例1:
解:
y′ = ( x 4 )′ − (cos x)′ + (3 x )′ + (ln 5)′
= 4 x + sin x + 3 ln 3
3 x
例2: 求 y = 2 x sin x 的导数 . 解:
u(x + h) −u(x) v(x + h) + u(x) v(x + h) − v(x) = lim h→0 h h
= u′(x)v(x) + u(x)v′(x)
故结论成立.
推论: 推论 1) (Cu )′ = Cu′ ( C为常数 )
2) ( uvw)′ = u′vw+ uv′w+ uvw′
同理可得
(csc x)′ = − csc x cot x.
内容小结 1、和、差、积、商的求导法则
(1) [u( x) ± v( x)]′ = u′( x) ± v′( x); (2) [u( x) ⋅ v( x)]′ = u′( x)v( x) + u( x)v′( x); u( x) u′( x)v( x) − u( x)v′( x) (3) [ ]′ = (v( x) ≠ 0). 2 v( x) v ( x)
高等数学上册第二章第二节 函数的和、差、积、商的求导法则
arshx' ln x 1 x2 '
1
x 1 x2 '
x 1 x2
1
1 1 1 x2 '
x 1 x2 2 1 x2
1
1 x
x 1 x2 1 x2
19
arshx 1 .
1 x2
由archx ln x x2 1 ,可得
archx 1 .
x2 1
x）'
1 x lna
.
（a
0, a
1）
解： log a
x' ln x '
lna
1 (ln x)' ln a
1 x lna
例5： y
1 tan x tan x
2loga
x
x
x,
求 ：dy dx
解： 由于：1 tan x cot x 1 tan x
先化简第一项，大 大方便了计算。
所以：dy csc2 x 2 3 x
5
tan x sec2 x 1 ,
cos2 x
6
cot x csc2 x 1 ,
sin2 x
7 secx secx tan x, 8 csc x csc x cot x,
9 a x a x ln a,
10 ex e x ,
11
log a
x
1 x ln a
,
12 ln x 1 , x
7
求：f '( x)；f '(1)
解：f '( x) 4x 3,
f '(1) 41 3 1.
例2： y (sin x 2cos x)ln x 求：y '
各种导数的求导公式
各种导数的求导公式求导公式是用来求函数导数的工具，它可以帮助我们快速准确地计算函数的导数。
在微积分中，导数是函数变化率的度量，它描述了函数在不同点上的斜率或变化率。
下面是常见的导数求导公式:1.常数函数的导数公式:如果f(x)=c，其中c是常数,则f'(x)=0。
2.幂函数的导数公式:如果 f(x) = x^n，其中 n 是实数, 则 f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式:如果 f(x) = a^x，其中 a 是指数底数, 则 f'(x) = ln(a) * a^x。
4.对数函数的导数公式:如果 f(x) = ln(x)，则 f'(x) = 1/ x。
5.三角函数的导数公式:- sin函数的导数公式：f(x) = sin(x)，则 f'(x) = cos(x)。
- cos函数的导数公式：f(x) = cos(x)，则 f'(x) = -sin(x)。
- tan函数的导数公式：f(x) = tan(x)，则 f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式:- arcsin函数的导数公式：f(x) = arcsin(x)，则 f'(x) =1/√(1-x^2)。
- arccos函数的导数公式：f(x) = arccos(x)，则 f'(x) = -1/√(1-x^2)。
- arctan函数的导数公式：f(x) = arctan(x)，则 f'(x) =1/(1+x^2)。
7.双曲函数的导数公式:- sinh函数的导数公式：f(x) = sinh(x)，则 f'(x) = cosh(x)。
- cosh函数的导数公式：f(x) = cosh(x)，则 f'(x) = sinh(x)。
- tanh函数的导数公式：f(x) = tanh(x)，则 f'(x) = sech^2(x)。
和、差、积、商的求导法则
注 1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则
是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握
2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分 学的理论基础和精神支柱，要深刻理解 ，熟 练应用——注意不要漏层
3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部 分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理， 在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别 求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导 数是否存在。
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例6 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
2
2
a
1 a2 x2 1 x2
a2
2
2 a2 x2 2 a2 x2
a2 x2.
例11 求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2 12x
先看一个例子
例8 y (1 x2 )2，求y
y (1 x2 )2 1 2x2 x4 y 4x 4x3 4x(1 x2 ) 这里我们是先展开，再求导，若像 y (1 x2 )1000 求导数，展开就不是办法，再像 y 5 1 x2 求导数，根本无法展开，又该怎么办？
一、和、差、积、商的求导法则
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2．回顾导数的定义．f
( x)
y
lim
x0 x
lim
x0
f
(x
x) x
f
(x)
3．利用导数定义求 g( x) x2 ，h( x) x ，f (x) x2 x
的导数．
4．探究上述三个函数及导数之间的关系．
结论： f (x) g(x) h(x).
f (x) g(x) h(x). 即：( x2 x) ( x2 ) ( x).
5．猜想一般函数的结论
u( x) v( x) u( x) v( x) u( x) v( x) u( x) v( x)
函数的和、差、积、商的导数
证明猜想
u( x) v( x) u( x) v( x).
证明：令 y f ( x) u( x) v( x).
y u(x x) v(x x) u(x) v(x)
3处的导数
解：y'
1
(x2
3) (x2
(x 3)2
3)
2x
x2 6x 3 (x2 3)2
y'
|x3
9 18 (9 3)2
3
24 144
1 6
函数的和、差、积、商的导数
课堂小结 1、和、差、积、商的导数运算法则； 2、和、差、积、商的导数运算法则的运用； 3、多项式函数的导数的求法。
推论：若C为常数，(Cu) Cu.
常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数．
例3：求函数h( x) x sin x的导数.
函数的和、差、积、商的导数
法则3 两个函数的商的导数，等于分子的 导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积， 再除以分母的平方,即：
u
'
v
u'v v2
uv'
(v 0)
例4：求函数s(t ) t 2 1 的导数. t
练习
1.求 y 2x2 3x2 5x 4的导数
2. 求 y (2x2 3)(3x 2) 的导数
解： y (2x2 3)(3x 2) (2x2 3)(3x 2) 4x(3x 2) (2x2 3) 3 18x2 8x 9
法二： y (2x2 3)(3x 2) 6x3 4x2 9x 6 ∴ y 18x2 8x 9.
3. y x2 的导数 sin x
解：y'
(x2 )'
sin x x2 sin 2 x
(sin
x)'
2x sin x x2 cos x
sin 2 x
4. 求
y
x x2
3 3
在点x
作业：
u(x x) u( x) v( x x) v( x) u v.
∴
y u v . x x x
lim
x0
y x
lim x0
u x
v x
lim
x0
u x
lim
x0
v x
.
即 u( x) v( x) u( x) v( x).
函数的和、差、积、商的导数
法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于 这两个函数的导数的和（或差），即：
洪泽外国语中学 程怀宏
知识回顾：
基本初等函数求导公式:
(1)(x )' x1(为常数）
(2)(ax )' axlna(a 0,且a 1)
(3)(log a x)'
1 x
Байду номын сангаас
log ae
1 xlna
(a
0, 且a
1)
(4)(ex )' ex
(5)(lnx) ' 1 x
(6)(sinx)' cosx (7)(cosx)' sinx
(u v) u v.
例1. 求函数f ( x) x2 sin x的导数. 例2.求函数g( x) x3 3 x2 6x 2的导数.
2
函数的和、差、积、商的导数 法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函 数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第 二个函数的导数，即：
(uv) uv uv.