和差积商的导数
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函数的和、差、积、商的求导法则
即
(tan x ) sec 2 x .
同理可得 (cot x ) csc 2 x .
例5 求 y sec x 的导数 .
解
1 y (sec x ) ( ) cos x (cos x ) sin x sec x tan x . 2 2 cos x cos x
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1
( x 3 4 cos x sin 1) x ( 3 x 2 4 sin x )
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例4 求 y tan x 的导数 . 解
sin x y (tan x ) ( ) cos x
(sin x ) cos x sin x(cos x ) cos 2 x 1 cos 2 x sin2 x sec2 x cos 2 x cos 2 x
( 3) [
i 1
n
f1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x ) f i ( x )] f1 ( x ) f 2 ( x ) f n( x )
f i( x ) f k ( x );
i 1 k 1 k i
n
n
二、高阶导数的概念
问题: 变速直线运动的加速度.
y 2 cos x cos x ln x 2 sin x ( sin x ) ln x 1 2 sin x cos x x 1 2 cos 2 x ln x sin 2 x . x
1 例3. y (1 x ) (3 ) , x3
2
解:
x x0
x x0
二阶导函数记作
d 2 y d 2 f ( x) f ( x ), y , 2 或 . 2 dx dx
导数的四则运算法则
x
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地， 有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ． 区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）； （log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在 且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地， 有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ． 区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）； （log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在 且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx
3-2 导数的运算法则
2x 1. y sin 1 x2 2. y 3 1 2 x 2 3. y sin x cos nx
n
3.用复合函数求导法则求隐函数的导数
定义: 由方程F ( x, y ) 0所确定的y对于
x的函数关系称为隐函数 .
y f ( x ) 形式称为显函数.
F ( x, y) 0
[u( x ) v( x )] u( x )v( x ) u( x )v( x )
1. y 6 x 2 10 x 3;
2. y 3x 2 4sin x;
求下列函数的导数:
1 练习题 3. y (sin x cos x ) ln x(cos x sin x ) x
第二节 导数的运算法则
一、求导法则
二、基本初等函数的求导公式 三、小结
一、求导法则
1. 函数和、差、积、商的求导法则：
如果函数u( x )、v ( x )在点x处可导，则它们 的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也 可导，并且
(1) [u( x ) v( x )] u( x ) v( x ).
上式两边对x求导得 1 1 y cos x ln x sin x x y
(2) [u( x ) v( x )] u( x )v( x ) u( x )v( x ).
当u C C为常量）时， C v ) C v . （ (
常数因子可提到导数符号外面.
例2 已知y x 2 ln x 2 x cos x ,,,, 求y. π
dy d y d u d v . dx du d v d x
例8 y sin x , 求y.
解 令y sin u, u x ,
n
3.用复合函数求导法则求隐函数的导数
定义: 由方程F ( x, y ) 0所确定的y对于
x的函数关系称为隐函数 .
y f ( x ) 形式称为显函数.
F ( x, y) 0
[u( x ) v( x )] u( x )v( x ) u( x )v( x )
1. y 6 x 2 10 x 3;
2. y 3x 2 4sin x;
求下列函数的导数:
1 练习题 3. y (sin x cos x ) ln x(cos x sin x ) x
第二节 导数的运算法则
一、求导法则
二、基本初等函数的求导公式 三、小结
一、求导法则
1. 函数和、差、积、商的求导法则：
如果函数u( x )、v ( x )在点x处可导，则它们 的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也 可导，并且
(1) [u( x ) v( x )] u( x ) v( x ).
上式两边对x求导得 1 1 y cos x ln x sin x x y
(2) [u( x ) v( x )] u( x )v( x ) u( x )v( x ).
当u C C为常量）时， C v ) C v . （ (
常数因子可提到导数符号外面.
例2 已知y x 2 ln x 2 x cos x ,,,, 求y. π
dy d y d u d v . dx du d v d x
例8 y sin x , 求y.
解 令y sin u, u x ,
和、差、积、商的求导法则
且 (ay) ayln a 0 , 在 Ix (0,) 内,有
(loga x) (a1y)
1 a y ln a
1. x ln a
特别地 (lnx) 1 .
x
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三、复合函数的求导法则
定理 如果函 u数 (x)在点 x0可导 , 而yf(u)
同理可得 (cx o) tcs2x c.
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例4 求ysexc的导. 数
解 y(sex)c( 1 )
coxs
(cosx) cos2 x
sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
2sinxcoxs1 x
2co2xsln x1si2n x. x
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例3 求ytaxn的导. 数 解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s co2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx 即(tx a ) n se 2x.c
n3xn1co xns fn1[ n(sx in)n] n1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
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五、双曲函数与反双曲函数的导数
(six n ) hcoxsh(cox)sh sin xh tanxhsinxh
高中数学同步教学课件 函数的和差积商求导法则
√
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
∵f(x)＝14x2＋sinπ2＋x＝14x2＋cos x， ∴f′(x)＝12x－sin x. 易知 f′(x)＝12x－sin x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除 B，D. 由 f′π6＝1π2－12<0，排除 C，故选 A.
A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；
B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
C
项中，sixn2
x′＝sin
x′x2－sin x22
xx2′ ，故错误；
D项中，(cos xsin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x·(sin x)′，故正确.
四
随堂演练
1.已知 f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则 a 的值为
19
16
A. 3
B. 3
13 C. 3
√D.130
∵f′(x)＝3ax2＋6x， ∴f′(－1)＝3a－6＝4， ∴a＝130.
1234
2.设函数y＝－2exsin x，则y′等于
A.－2excos x
B.－2exsin x
推广式：(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))′ ＝f′1 (x)±f′2 (x)±…±f′n (x). 注意点：
对
于
(logax)′
＝
1 xln
a
，
我
们可
以
先
换
底
再
求
导：
(logax)′
＝
ln ln
ax ′
＝
1 ln a·(ln
x)′＝xln1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
∵f(x)＝14x2＋sinπ2＋x＝14x2＋cos x， ∴f′(x)＝12x－sin x. 易知 f′(x)＝12x－sin x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除 B，D. 由 f′π6＝1π2－12<0，排除 C，故选 A.
A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；
B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
C
项中，sixn2
x′＝sin
x′x2－sin x22
xx2′ ，故错误；
D项中，(cos xsin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x·(sin x)′，故正确.
四
随堂演练
1.已知 f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则 a 的值为
19
16
A. 3
B. 3
13 C. 3
√D.130
∵f′(x)＝3ax2＋6x， ∴f′(－1)＝3a－6＝4， ∴a＝130.
1234
2.设函数y＝－2exsin x，则y′等于
A.－2excos x
B.－2exsin x
推广式：(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))′ ＝f′1 (x)±f′2 (x)±…±f′n (x). 注意点：
对
于
(logax)′
＝
1 xln
a
，
我
们可
以
先
换
底
再
求
导：
(logax)′
＝
ln ln
ax ′
＝
1 ln a·(ln
x)′＝xln1
和、差、积、商的求导法则
注 1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则
是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握
2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分 学的理论基础和精神支柱，要深刻理解 ，熟 练应用——注意不要漏层
3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部 分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理， 在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别 求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导 数是否存在。
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例6 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
2
2
a
1 a2 x2 1 x2
a2
2
2 a2 x2 2 a2 x2
a2 x2.
例11 求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2 12x
先看一个例子
例8 y (1 x2 )2，求y
y (1 x2 )2 1 2x2 x4 y 4x 4x3 4x(1 x2 ) 这里我们是先展开，再求导，若像 y (1 x2 )1000 求导数，展开就不是办法，再像 y 5 1 x2 求导数，根本无法展开，又该怎么办？
一、和、差、积、商的求导法则
二节基本的导数公式与运算法则-精选
n22xx1n12x1(2(x2)x()22x1)(2x)
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n2 2x x1n1(2 5x)25n ((22 xx )1 n)1 n1
作业： P5813(2)(3)(8),14(2)(4)15(4)(8)(13)(14)216
(5) (sxi)ncoxs
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(6) (cxo )s sixn (7) (tax)nse2xcc1o2xs
(8) (cxo)tcs2xcs1i2nx
(9 ) (sx)e s ce xtcaxn (1)0 (c x )s c cx sc cx ot
(sixn)coxssinx(cox)s
(cox)2s
coxcs oxssixn(sixn) co2xs
1 sec2 x co2sx
类似地可求得 (co x)ts1 i2nxcs2xc
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例
设
f
(x)
ln x x2
,
求f
(e)
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可导，且有
(arcsixn) (si1ny)
1 cos
y
1
1 sin2 y
1 1 x2
即(arcsx)in 1 1x2
类似地可得
(arccx)os 1 1x2
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三、复合函数的求导法则
定理2.6 设函数 yf(u)与 u(x)构成了复合函数
(1)1 (arcxs)in 1 1x2
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(1)2(arc)cox 1 1x2
(1)3(arcx)ta1n1x2
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n2 2x x1n1(2 5x)25n ((22 xx )1 n)1 n1
作业： P5813(2)(3)(8),14(2)(4)15(4)(8)(13)(14)216
(5) (sxi)ncoxs
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(6) (cxo )s sixn (7) (tax)nse2xcc1o2xs
(8) (cxo)tcs2xcs1i2nx
(9 ) (sx)e s ce xtcaxn (1)0 (c x )s c cx sc cx ot
(sixn)coxssinx(cox)s
(cox)2s
coxcs oxssixn(sixn) co2xs
1 sec2 x co2sx
类似地可求得 (co x)ts1 i2nxcs2xc
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例
设
f
(x)
ln x x2
,
求f
(e)
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可导，且有
(arcsixn) (si1ny)
1 cos
y
1
1 sin2 y
1 1 x2
即(arcsx)in 1 1x2
类似地可得
(arccx)os 1 1x2
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三、复合函数的求导法则
定理2.6 设函数 yf(u)与 u(x)构成了复合函数
(1)1 (arcxs)in 1 1x2
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(1)2(arc)cox 1 1x2
(1)3(arcx)ta1n1x2
3.2求导法则
(v( x) 0)
下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 .
主讲：欧阳苗 Email：mouyang@
(1) (u v) u v
证: 设 f ( x ) u ( x ) v( x) , 则
f ( x h) f ( x ) f ( x) lim h 0 h [ u ( x h) v ( x h) ] [ u ( x ) v ( x ) ] lim h0 h u ( x h) u ( x ) v ( x h) v ( x ) lim lim h 0 h 0 h h u( x) v( x) 故结论成立.
பைடு நூலகம்
a x .
2 2
P83例9
主讲：欧阳苗 Email：mouyang@
例 求下列导数:
解: (1) ( x ) (e ln x )
( ln x)
x
幂指函数
x 1
(2) ( x x ) (e x ln x )
( xln x)
u ( x)v( x) u ( x)v( x)
故结论成立. 推论: 1) ( C u ) C u ( C为常数 )
2) ( uvw ) u vw uvw uvw
主讲：欧阳苗 Email：mouyang@
3 2 求 y x 2 x sin x 的导数 . 例
2x 2 x2 1 2 x x 1 y 解: 2 1 x (2 x) 1 y 1 2 2 2 x 1 x 1
变态例8. 设 y x
aa
a
xa
a
xa ax
ax
(a 0), 求 y.
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(uv) uv uv
3、商的导数
【法则 3】两个函数商的导数，等
于分子的导数与分母的积，减去分
母的导数与分子的积，再除以分母
的平方，即 (u ) uv uv (v 0)
v
v2
怎么证明？
例、求下列函数的导数： （1） y x3 3sin x 1
（2） 3 x5 2 x7 9 x9 y x
函数的和、差、积、商的导数
问题：求下列函数的导数： （1）y＝2x＋x2－x3
（2） y tan x
（3） y x 2 cos x
1、和（或差）的导数 【法则 1】两个函数的和（或差） 的导数，等于这两个函数的导数 的和（或差），即
(u v) u v
怎么证明？
2、积的导数
问： (uv) uv 成立吗？为什么？ 【法则 2】两个函数的积的导数， 等于第一个函数的导数乘第二个 函数，加上第一个函数乘第二个函 数的导数，即
（3）
y
(
5 x
1)
cos
x
（4）
y
x 2 sin x x cos x
练习： 1、 如果 y＝x 是曲线 y x3 3x2 ax 的切线，求常数 a
2、 1）求函数 y＝secx 的导数
2）求函数
y
x
cot
x
在x
4
处
的导数
例、写出曲线
y
x
1 xБайду номын сангаас
与
x
轴交点
处的切线方程。
练习：确定 a,b 的值，使得曲线 y x2 ax b 与 直 线 y 2x 相 切 于 点（1，2）。
练习：抛物线 y x2 在哪一点处的 切 线 和 直 线 2x y 1 0 构 成 45 夹 角。
练 习 ： 已 知 直 线 y kx 1 与 曲 线 y x3 ax b 切于点（1，3），求 b 的值
3、商的导数
【法则 3】两个函数商的导数，等
于分子的导数与分母的积，减去分
母的导数与分子的积，再除以分母
的平方，即 (u ) uv uv (v 0)
v
v2
怎么证明？
例、求下列函数的导数： （1） y x3 3sin x 1
（2） 3 x5 2 x7 9 x9 y x
函数的和、差、积、商的导数
问题：求下列函数的导数： （1）y＝2x＋x2－x3
（2） y tan x
（3） y x 2 cos x
1、和（或差）的导数 【法则 1】两个函数的和（或差） 的导数，等于这两个函数的导数 的和（或差），即
(u v) u v
怎么证明？
2、积的导数
问： (uv) uv 成立吗？为什么？ 【法则 2】两个函数的积的导数， 等于第一个函数的导数乘第二个 函数，加上第一个函数乘第二个函 数的导数，即
（3）
y
(
5 x
1)
cos
x
（4）
y
x 2 sin x x cos x
练习： 1、 如果 y＝x 是曲线 y x3 3x2 ax 的切线，求常数 a
2、 1）求函数 y＝secx 的导数
2）求函数
y
x
cot
x
在x
4
处
的导数
例、写出曲线
y
x
1 xБайду номын сангаас
与
x
轴交点
处的切线方程。
练习：确定 a,b 的值，使得曲线 y x2 ax b 与 直 线 y 2x 相 切 于 点（1，2）。
练习：抛物线 y x2 在哪一点处的 切 线 和 直 线 2x y 1 0 构 成 45 夹 角。
练 习 ： 已 知 直 线 y kx 1 与 曲 线 y x3 ax b 切于点（1，3），求 b 的值