概率统计2007补考卷
2007级理工科概率统计期末考试试题B机答案
B 卷 第 1页 共2页华侨大学07～08学年第一学期《概率统计》期末考试试卷(B 卷) 考试日期：2008年 月 日上午8：30－10：30一、填空题（每空3分，共30分）1. 已知随机事件A ，B 有概率7.0)(=A P ，8.0)(=B P ，条件概率6.0)|(=A B P ，则=⋃)(B A P ．2. 社会上定期发行某中奖劵，中奖率为p .某人每次购买一张，若没有中奖，接着再买一张，直到中奖为止，X 为总共购买的奖券张数，则对1,2,k = ，==)(k X P ，EX = .3. 已知随机变量),(Y X 的联合分布密度函数如下, 则常数=K=),(y x f ⎩⎨⎧≤≤≤≤-其它。
,0;0,10),1(x y x x y K 4. 设随机变量Y X ,满足 ()4,()1,D X D Y ==28)23(=-Y X D ，则XY ρ= ． 5. 设X 为总体)4,3(~N X 中抽取的样本(4321,,,X X X X )的均值, 则)51(<<-X P ＝ .6. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本，3211)22(3ˆX k X kX -++=μ是μ的无偏 估计量，则常数=k .7. 设随机变量()~0,2X U ，则2X Y =的概率密度函数为 . 8. 设某种保险丝熔化时间),(~2σμN X （单位：秒），取16=n 的样本，得 样本均值和方差分别为36.0,152==S X ，则μ的置信度为95%的单侧 置信区间上限为 .9. 原假设0H 为真时，作出拒绝0H 的决策，称为犯第 类错误.B 卷 第 2页 共2页二、(10分) 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一件合格品被误认为是次品的概率是0.02；一件次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.三、(10分) 学校某课程的考试，成绩分优秀，合格，不合格三种，优秀者得3分，合格者得2分，不合格者得1分.根据以往的统计，每批参加考试的学生中考得优秀、合格、不合格的，各占10％、70％、20％.现有100位学生参加考试，试用中心极限定理估计100位学生考试的总分在180至200分之间的概率.四、(15分) 设二维随机变量( X , Y )的联合密度函数为：⎩⎨⎧+∞<<<<=+-.,0,0,10,),()(他其y x be y x f y x试求(1)常数b ； (2) X 和Y 各自的边缘密度函数；(3)函数),max(Y X U =的分布函数.五、(15分) 设总体X 的概率密度为(1),(0,1),(,)0,(0,1),x x f x x θθθ⎧+∈=⎨∉⎩ 其中1θ>-为未知参数.已知12,,,n X X X 是取自总体X 的一个样本.求：(1)未知参数θ的矩估计量；(2)未知参数θ的最大似然估计量；(3))(X E 的最大似然估计量.六、(10分)国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X 是一个随机变量，它在区间[2000,4000]（单位：吨）上服从均匀分布，若每出售一吨，可得外汇3万美元，如销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元，问应组织多少货源，才能使平均收益最大？七、(10分) 某电子产品的一个指标服从正态分布，从某天生产的产品中抽取15个产品，测得该指标的样本均值为2.60，样本标准差为1.20．(1) 取显著性水平α =0.05，问是否可以认为该指标的平均值显著地不等于2？ (2) 求该指标的方差的置信水平为0.95的置信区间．附常用分布的分布表值：(2)0.9772Φ= 9680.0)856.1(=Φ 0.0250.05 1.96, 1.645z z ==1448.2)14(025.0=t , ()0.0515 1.7531t = 629.5)14(,119.26)14(2975.02025.0==χχB 卷 第 3页 共2页华侨大学07-08第一学期 概率统计期末考试（B 卷）答案一、填空题：（每空3分，共30分）1．62.0； 2．()11k p p --⋅，1p； 3．24； 4．0.5； 5．0.9544； 6．4；7．⎩⎨⎧<<=；他其)(0,)40(/25.0)(y yy f 8．上限为 15.2630； 9．一．二、【10分】设A 为被查后认为是合格品的事件，B 为抽查的产品为合格品的事件. …………… 2分9428.005.004.098.096.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P ，…………… 4分.998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P…………… 4分三、【10分】 设i X 为第i 位学生的得分)100,2,1( =i ，则总得分∑==1001i i X X ，且9.1)(=i X E29.0)(=i X D 199.1100)(=⨯=X E29.0100)(⨯=X D …………… 6分由中心极限定理，)29190180()29190200()200180(-Φ--Φ=<<X P 936.01)856.1(2=-Φ= ……… 4分四、【15分】（本大题(1)-(2)小题各6分，(3)小题3分）(1)()()101,x y f x y dxdy dx bedy+∞+∞-+-∞==⎰⎰⎰()1101x y b e dx e dy b e +∞---==-⎰⎰,故111b e-=-(2)()()10,01,10,xx y X e be dy x f x e-+∞-+-⎧= <<⎪=-⎨⎪ ⎩⎰其它，B 卷 第 4页 共2页()()10,0,0,x y y Y bedx e y f y -+-⎧= <⎪=⎨⎪ ⎩⎰其它.(3) 由于()()(),X Y f x y f x f y =⋅，因此X 和Y 相互独立，故()()()()()()(),U X Y F u P U u P X u Y u P X u P Y u f u f u =≤=≤≤=≤≤=⋅从而当u <时，()0U F u =.当01u ≤<时，()()()()211.1u uuU X Y e F u f x dx f y dy e---==-⎰⎰当1u ≥时，()()()101uuU X Y F u f x dx f y dy e -==-⎰⎰，综上()()210,0,1,1,11,.u U u u e F u u e e u --- <⎧⎪-⎪= 0≤<⎨-⎪⎪- 1≤⎩X 与Y相互独立，因为)()(),(y f x f y x f Y X =. …………… 本大题每小题各5分五、【15分】（1） 矩估计量12ˆ1XX θ-=- …………… 6分 （2）极大似然估计量11ˆ11ln ni i X n θ==--∑…………… 6分 （3）)(X E 的极大似然估计量∑=-=++=ni in X X E 11ln 112ˆ1ˆ)(ˆθθ …………… 3分六、【10分】B 卷 第 5页 共2页设组织t 吨货源时，收益为()()3,,3,,3,4,.t t X t t X t W X X t X X t X t X t >⎧ >⎧⎪==⎨⎨-- ≤- ≤⎪⎩⎩又()~2000,4000X U ，则()1,20020000,.X x f x ⎧ <<⎪=⎨⎪ ⎩其它 …………… 4分从而()()()()2400020004374000200020001000tt t X t x t t t E W X W x f x dx dx dx t +∞-∞-==+=-+-⎰⎰⎰，易知当()()70500t dE W X tdt=-=即3500t =时，平均收益最大.故应组织3500吨货源. ……… 6分七、【10分】(1)设2:,2:10≠=μμH H，则(14)X Y t =，且拒绝域D 为:1448.2)14(15/2025.0=>-=t S X T1.93652.1448X =≈<， 因此不能拒绝0H ，不可以认为该指标的平均值显著地不等于2； …………… 5分 (2)因为222(1)(14)n S χσ- ，令2220.9750.0252(1)(14)(14)n S χχσ-<<则该指标的方差的置信水平为0.95 的置信区间为22220.0250.975(1)(1),(0.7719,3.5815)(14)(14)n S n S χχ⎛⎫--= ⎪⎝⎭． …………… 5分。
贵州大学07概率统计(A-含答案)
贵州大学2006-2007学年第二学期考试试卷(A)《概率论与数理统计》一、选择题（10个小题，每小题2分，共20分）1. 设A 、B 为两个事件，P(A)=0.6，P(B)=0.7。
假定A ∪B=S ，则P(AB)= ______ 。
① 0.6 ② 0.7 ③ 0.42 ④ 0.32． 设有m 个球，随机地放在n 个盒子中（m ≤n），则某指定的m 个盒子中各有一球的概率为 。
①!m m n ② !m n m m C n ③ !nn m④ !n m n n C m 3．设随机变量X 的概率密度为||()()x f x ce x -=-∞<<+∞，则c ＝ 。
① －21 ② 0 ③ 21④ 1 4．设()x Φ为标准正态分布函数，则(1)(1)Φ-+Φ＝_______。
① 2(1)Φ- ② 1 ③ 0 ④ 2(1)Φ5．设连续型随机变量X 、Y 独立，其概率密度函数分别为f X (x )和f Y (y )，则随机变量 Z ＝X ＋Y 的概率密度函数f Z (z )= 。
① )()(y f x f Y X + ② f X (x )f Y (y ) ③ )()(2y f x f Y X -- ④⎰∞∞--dt t z f t f Y X )()(6．设随机变量X 、Y 独立，均服从正态分布，其中211(,)X N μσ ，222(,)Y N μσ ，则Z =X -Y服从正态分布 。
① 221212(,)N μμσσ-- ② 221212(,)N μμσσ-+ ③ 221212(,)N μμσσ+- ④ 1212(,)N μμσσ-+ 7．设随机变量X 服从泊松分布，即()(0)X πλλ> ，(),()E X D λ分别表示X 的数学期望和方差，则 。
① ()2()E X D λ= ② ()E X ③ ()()E X D λ= ④ 12()()E X D λ= 8．设随机变量X 服从标准正态分布，即(0,1)X N ，则4()E X = 。
2007-08概率统计A卷试题及答案
2007 – 2008学年第一学期《概率论与数理统计A 》试卷答案一、填空题（每小题3分，满分21分，把答案填在题中横线上）1．设()()P A P B p ==，且,A B 至少有一个发生的概率为0.2，,A B 至少有一个不发生的概率为0.6，则p = 0.3 ． 解 已知()0.2,()0.6P A B P A B == ，0.2()()()()2()P A B P A P B P AB p P AB ==+-=- ，0.6()1()1()P A B P A B P AB ==-=- ，()0.4P AB =， 0.3p =2．11个人随机地围一圆桌而坐，则甲乙两人相邻而坐的概率为 0.2 ．解 设A 表示事件“甲乙相邻而坐”。
样本空间所包含的基本事件数为11！，事件A 包含的基本事件数为1129!⨯⨯11292()0.21110P A ⨯⨯===！！ 3．设随机变量~(,)X B n p ，则对任意实数x ，有limn x P →∞⎫≤=⎬⎭()x Φ或22t xdt -⎰． 4．设随机变量X Y 与的方差和相关系数分别为XY ()3,()4,0D X D Y ρ===，则(21)D X Y -+= 16 ．解 (21)(2)D X Y D X Y -+=-(2)()2cov(2,)D X D Y X Y =+- 4()()4cov(,)D X D Y X Y =+-4()()4XY D X D Y ρ=+-=165．设~(0,1)X N ，1.96是标准正态分布的上0.025分位点，则{}1.96P X =≤ 0．975 ．解 1.96是标准正态分布的上0.025分位点，即{}0.0251.96P X =≥{}1.96P X =≤{}110.0250.9751.96P X -=-=>6．设12(,,,)n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，则当常数k =11n -时， 221()ni i k X X σ==-∑ 是参数2σ的无偏估计量．7．设总体2~(,)X N μσ，12(,,,)n X X X 是来自总体X 的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，2σ未知，若检验假设0010:,:H H μμμμ=≠~ t (n-1).二、选择题（每小题3分，满分18分）X Y 与满足条件()()()D X Y D X D Y +=+， 则下面结论不成立的是（ C ）（A ）X Y 与不相关．（B ）()()()E XY E X E Y =．（C ）X Y 与相互独立． （D ）cov(,)0X Y =．2．设随机变量X 的概率密度为cos ,||,2()0,||.2k x x f x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ 则k 等于（ B ）（A ）14． （B ）12． （C ）0． （D ）1．3．某班12名战士各有一支归自己使用的枪，枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了一支枪，则拿到是自己枪的人数的数学期望是（ D ） （A ）112． （B ）0． （C ）12． （D ）1． 解 设1,i 0,i i X ⎧=⎨⎩第个战士拿到自己的枪，第个战士没拿到自己的枪，1,2,,12i = ，则1(),12i E X = 设X 表示拿到自己枪的人数.则121i i X X ==∑1212111()()12112i i i i E X E X E X ==⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭∑∑4．设X Y 与为相互独立的随机变量，其分布函数分别为()X F x 和()Y F y ，则随机变量max(,)Z X Y =的分布函数为（ A ） （A ）()()()Z X Y F z F z F z =．（B ）[][]()1()1()Z X Y F z F z F z =--．（C ）()1()()Z X Y F z F z F z =-．（D ）()()()Z X Y F z F z F z =+．5．设1210(,,,)X X X 是来自总体2(0,)N σ的样本，则下面结论正确的是（ C ）（A ）1022211~(9)kk Xχσ=∑．（B ）1021~(9)k k X t =∑．（C ）1022211~(10)k k X χσ=∑． （D ）1021~(10)k k X t =∑．6．设总体2~(,)X N μσ，μ为未知参数，样本12,,,n X X X 的方差为2S ，对给定的显著水平α，检验假设2201:2,:2H H σσ=<的拒绝域是（ B ） （A ）221/2(1)a n χχ-≤-． （B ）221(1)a n χχ-≤-． （C ）221/2()a n χχ-≤．（D ）221()a n χχ-≤．三、计算题（每小题10分，满分50分）1．一个系统中有三个相互独立的元件，元件损坏的概率都是0.2．当一个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.25; 当两个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.6; 当三个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.95; 当三个元件都不损坏时，系统不发生故障. 求系统发生故障的概率． 解 设A 表示“系统发生故障”的事件，i B 表示“有i 个元件发生故障”的事件，1,2,3i =；由全概率公式 112233()()()()()()()P A P B P A B P B P A B P B P A B =++ 由已知，1()0.25P A B =，2()0.6P A B =，3()0.95P A B =1213()0.20.80.384P B C =⨯⨯= ，2223()0.20.80.096P B C =⨯⨯= ，3333()0.20.008P B C ==所以1612.095.0008.06.0096.025.0384.0)(=⨯+⨯+⨯=A P 2．设随机变量X 的分布律为X -1 0 1 2P 0.1 2.0 a b若()1E X =，(1)求常数a , b ; (2)求Y=X 2 的分布律.解 (1)由 0.10.21a b +++=,()E X =10.100.212a b -⨯+⨯+⨯+⨯=1,解得a =0.3, b =0.4. (2) Y=X 2的可取值为0,1,4.{}0P Y =={}0P X ==0.2,{}1P Y =={}1P X =-+{}1P X ==0.1+0.3=0.4, {}4P Y =={}==2X P 0.4, 因此Y=X 2 的分布律为Y 0 1 4 P 2.0 0.4 0.43．设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为,0<1,(,)0,Ax x y f x y <<⎧=⎨⎩其他.（1）求常数A ； （2）求关于,X Y 的边缘概率密度函数；（3）判断X Y 与是否相互独立；（4）求{1}P X Y +≤． 解（1）由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，有 1001d d 6yAy Ax x ==⎰⎰，得6A =； （2）()X f x =(,)d f x y y +∞-∞⎰, 当0x ≤或1x ≥时，()X f x =0,当01x <<时，1()6d 6(1)X x f x x y x x ==-⎰， 所以6(1),01;()0.X x x x f x -<<⎧=⎨⎩其它同理 23,01;()0.Y y y f y ⎧<<=⎨⎩其它（3）由(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以X Y 与不相互独立 （4）11201(1)6d d 4xx P X Y x x y -+≤==⎰⎰.4．设随机变量X Y 与相互独立，其概率密度分别为0;e ,()0,0.xX x f x x ->⎧=⎨≤⎩ 20;1e ,()20,0.yY y f y y ->⎧⎪=⎨⎪≤⎩求Z X Y =+的概率密度．解法1 由卷积公式 ()()()d Z X Y f z f x f z x x +∞-∞=-⎰因为e >0;()00.xX x f x x -⎧=⎨≤⎩ 21e>0;()200.yY y f y y -⎧⎪=⎨⎪≤⎩所以 0()()()d e ()d xZ X Y Y f z f x f z x x f z x x -+∞+∞-∞=-=-⎰⎰e ()d t zY z t z x f t t --∞=--⎰令e()d t zzY f t t --∞=⎰当0z ≤时 ()e ()d 0t zzZ Y f z f t t --∞==⎰ 当0z >时 201()e ()d ee d 2tt zt zzzZ Y f z f t t t ----∞==⎰⎰2e (e 1),z z -=- ()()()d Z X Yf z f x f z x x +∞-∞=-⎰2e (e 1),0,0,0.zz z z -⎧⎪->=⎨⎪≤⎩解法2 先求Z 的分布函数()Z F z . 联合密度函数为21,0,0,(,)()()20,,y x X Y e e x y f x y f x f y --⎧>>⎪==⎨⎪⎩其它(){}{}(,)Z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰当0z ≤时, ()(,)0,Z x y zF z f x y dxdy +≤==⎰⎰当0z >时, 21()(,)2yx Z x y zDF z f x y dxdy e e dxdy --+≤==⎰⎰⎰⎰20012yzz x x e dx e dy ---=⎰⎰221z ze e --=-+分布函数为 221,0()0,0z z Z e e z F z z --⎧⎪-+>=⎨⎪≤⎩再求导,得概率密度 2e (e 1),0,()()0,0.zz Z Z z f z F z z -⎧⎪->'==⎨⎪≤⎩5．设12(,,,)n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，求μ和2σ的最大似然估计量． 解 设12,,,n x x x ，相应的样本观测值，则似然函数为2()22122221L(,)11exp ()22i x ni nni i x μσμσμπσσ--===⎛⎫⎧⎫=--⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭∑取对数，得222211ln L(,)(ln 2ln )()22n i i n x μσπσμσ==-+--∑将2ln L(,)μσ分别对μ与2σ求偏导数，并令其等于零， 得方程组2122241ln 1()0ln 1()022ni i ni i L x L n x μμσμσσσ==∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+-=⎪∂⎩∑∑ 解此方程组，得到参数μ和2σ的最大似然估计值是12211ˆ;1().n i i ni i x x n x x n μσ==⎧==⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑ 因此,μ和2σ的最大似然估计量是12211ˆ;1().n i i ni i X X n X X n μσ==⎧==⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑四、证明题（共2道小题，满分11分）1．（6分）若(|)(|)P A B P A B >，试证(|)(|)P B A P B A >． 证明 因为()(|)()()()()()(|)()1()1()P AB P A B P B P AB P A AB P A P AB P A B P B P B P B =--===--由 (|)(|)P A B P A B >， 所以得()()()()1()P AB P A P AB P B P B ->- ()()()()()()()P AB P B P AB P A P B P B P AB ->- ()()()P AB P A P B ∴>从而 ()()()()()()()P AB P A P AB P A P B P A P AB ->-即()()()()P AB P A P A P BA > ()()()()P AB P BA P A P A > 所以(|)(|)P B A P B A >．2．（5分）设12(,,,)n X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，证明{}21202ni i n P X n n=-<<≥∑． 证明 根据2221~()ni X n χχ=∑，且22(),()2E n D n χχ==，由切比雪夫不等式，有{}{}2221|()|02ni P P E nX n χχ=-<<<∑22()21D n n nχ-≥-=．。
概率论与数理统计（经管类）试题答案2007年07月
概率论与数理统计（经管类）试题答案2007年07⽉07年7⽉⾼等教育⾃学考试概率论与数理统计（经管类）试题答案⼀、单项选择题（本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分）cg1．从标号为101,,2,1 的101个灯泡中任取⼀个，则取得标号为偶数的灯泡的概率为（ A ）A ．10150B ．10151C ．10050D ．100512．设事件A 、B 满⾜2.0)(=B A P ，6.0)(=A P ，则=)(AB P （ B ） A ．0.12B ．0.4C ．0.6D ．0.8A ．)4,3(NB ．)8,3(NC ．)16,3(ND ．)17,3(N率为（ A ） A ．3)1(1p --B ．2)1(p p -C ．213)1(p p C -D ．32p p p ++5．设⼆维随机变量),(Y X 的分布律为设},{j Y i X P p ij ===，1,0,=j i ．．A ．0100p p <B ．1110p p <C ．1100p p <D ．0110p p <6．设随机变量X ～)2(2χ，Y ～)3(2χ，且X ，Y 相互独⽴，则Y23所服从的分布为（ B ） A ．)2,2(FB ．)3,2(FC ．)2,3(FD ．)3,3(FA ．)()()(Y D X D Y X D +=+B ．C XD C X D +=+)()( C ．)()()(Y D X D Y X D -=-D ．)()(X D C X D =-8．设随机变量X 的分布函数为≥<≤-<=4,142,122,0)(x x x x x F ，则=)(X E （ D ）A ．1B ．1 C ．3 D ．39．设随机变量X 与Y 相互独⽴，且X ～??? ??61,36B ，Y ～??31,12B ，则=+-)1(Y X D （ C ）A ．4 B ．7C ．23D ．26n 21样本⽅差，对假设检验问题：00:µµ=H ?01:µµ≠H ，在2σ未知的情况下，应该选⽤的检验统计量为（ C ）A ．n X σµ0- B ．--n X σµ C ．n S X 0µ- D ．10--n SX µ⼆、填空题（本⼤题共15⼩题，每⼩题2分，共30分）11．设事件A 与B 互不相容，且4.0)(=A P ，7.0)(=B A P ，则=)(B P ___________．颜⾊的球，若连取两次，则第⼀次取得红球且第⼆次取得⽩球的概率等于___________．15．已知随机变量X ～??21,n B ，且321}5{==X P ，则=n ___________．16．设随机变量X 的分布函数为≤>-=-0,00,)(2x x e a x F x ，则常数=a ___________．17．设⼆维随机变量),(Y X 的概率密度为=其他,0),(y x f ，则常数18．设⼆维随机变量),(Y X 的联合分布列为则==+}0{Y X P ___________．19．已知随机变量X 满⾜1)(-=X E ，2)(=X E ，则=)(X D ___________．，且X ，Y ．率近似为___________．（附：9772.0)2(=Φ）22．设总体X 的概率密度为≤>=-0,00,)(x x e x f x αα，n x x x ,,,21 为总体X 的⼀个样本，则未23．设总体X 服从正态分布),(2σµN ，n X X X ,,,21 为来⾃该总体的⼀个样本，令µ)(-=X n U ，则=)(U D ___________．n 21的⼀个样本，则参数λ的矩估计量为___________．25．设总体X ～),(σµN ，n X X X ,,,21 为来⾃该总体的⼀个样本．对假设检验问题20212020::σσσσ≠?=H H ，在µ未知的情况下，应该选⽤的检验统计量为___________．26．某⽤户从两⼚家进了⼀批同类型的产品，其中甲⼚⽣产的占60%，若甲、⼄两⼚产品的次品率分别为5%、10%，今从这批产品中任取⼀个，求其为次品的概率．解：设A 表⽰“取到甲⼚产品”，B 表⽰“取到次品”，则6.0)(=A P ，4.0)(=A P ，05.0)|(=A B P ，1.0)|(=A B P ，所求概率为07.004.003.01.04.005.06.0)|()()|()()(=+=?+?=+=A B P A P A B P A P B P ． 27．设随机变量X 服从参数为3的指数分布．试求：（1）X e Y =的概率密度；（2）}21{≤≤Y P ．解：（1）X 的概率密度为≤>=-0,00,3)(3x x e x f x X ，X e Y =的分布函数为}{}{)(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=．0≤y 时，0)()(=?=P y F Y ，0)()(='=y F y f Y Y ， 0>y 时，=)(y F Y )(ln }ln (y F y X P X =≤，≤>=?=''='=-0ln ,00ln ,31)(ln ))(ln (ln )()(ln 3y y y e y y f y y F y F y f y X XY Y ，即≤<>=10,01,3)(4y y y y f Y ，总之，??≤>=1,01,3)(4y y y y f Y ；（2）8713)(}21{21321421=-===≤≤?y dy y dy y f Y P Y ．四、综合题（本⼤题共2⼩题，每⼩题12分，共24分）28．设⼆维随机向量),(Y X 的的联合分布列为试求：（1）a 的值；（2）),(Y X 分别关于X 和什么?（4）Y X +的分布列．解：（1）由分布列性质可知12.01.01.02.01.0=+++++a ，3.0=a ；（2）),(Y X 关于X 的边缘分布列为4.01.02.01.0}2,1{}1,1{}0,1{}1{=++===+==+====Y X P Y X P Y X P X P ， 6.02.01.03.0}2,2{}1,2{}0,2{}2{=++===+==+====Y X P Y X P Y X P X P ，),(Y X 关于Y 的边缘分布列为4.03.01.0}0,2{}0,1{}0{=+===+====Y X P Y X P Y P ， 3.01.02.0}1,2{}1,1{}1{=+===+====Y X P Y X P Y P ，3.02.01.0}2,2{}2,1{}2{=+===+====Y X P Y X P Y P ；（3）1.0}0,1{===Y X P ，16.04.04.0}0{}1{=?===Y P X P ，≠==}0,1{Y X P }0{}1{=?=Y P X P ，所以X 与Y 不独⽴．（4）Y X +的可能取值为4,3,2,1，分布列为1.0}0,1{}1{=====+Y X P Y X P ，5.03.02.0}0,2{}1,1{}2{=+===+====+Y X P Y X P Y X P ， 2.01.01.0}1,2{}2,1{}3{=+===+====+Y X P Y X P Y X P ，2.0}2,2{}4{=====+Y X P Y X P ，即29．设⼆维随机向量),(Y X 的概率密度为=其他,0),(y x f ，试求：（1）)(X E ，)(Y E ；（2）)(X D ，)(Y D ；（3）XY ρ．解：<<==?+∞∞-其他,010,2),()(x x dy y x f x f X ，??<<==?∞+∞-其他,020,2),()(y y dx y x f y f Y ．（1）32322)()(1312====??∞+∞-x dx x dx x xf X E X ， 3 4621)()(23202====??∞+∞-y dy y dy y yf Y E T ；（2）2122)()(141322====??∞+∞-x dx x dx x f x X E X ， 1813221)]([)()(222=??? ??-=-=X E X E X D ，2821)()(2420322====??∞+∞-y dy y dy y f y Y E T ，92342)]([)()(222=-=-=Y E Y E Y D ；（3）9833),()(231310222====∞+∞-∞+∞-y x dy y dx x dxdy y x xyf XY E ， 0343298)()()(),cov(=?-=-=Y E X E XY E Y X ，0)()(),cov(==Y D X D Y X XY ρ．五、应⽤题（本⼤题10分）30．设⼯⼚⽣产的螺钉长度（单位：毫⽶）X ～),(2σµN ，现从⼀⼤批螺钉中任取6个，测得长度分别为54,54,53,54,54,55．试求⽅差2σ的置信度90%的置信区间．（附：07.11)5(205.0=χ，15.1)5(295.0=χ）解：已知6=n ，1.0=α，查得=-)1(22/n αχ07.11)5(205.0=χ，=--)1(22/1n αχ15.1)5(295.0=χ，算得546161==∑=i i x x ，2)()1(6122=-=-∑=i i x x s n ，2σ的置信度90%的置信区间为（单位：平⽅毫⽶）-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n s n n s n ααχχ[]7391.1,1807.015.12,07.112==．。
2007级概率统计(理工类)考试试卷A答案
暨 南 大 学 考 试 试 卷上分位数（除填空题外，其它题用到的分位数请详细列明）0025002582306, 92262..().().,t t == 00500581859, 91833..().().t t ==20.025(8)17.532χ=， 20.025(9)19.022=χ， 20.975(8) 2.18=χ， 20.975(9) 2.7=χ 108413().Φ= ，1645095(.).Φ=，1960975(.).Φ=， 2509938(.).Φ=得分 评阅人二、选择题（共8小题，每小题2分，共16分）答案填写在右表1. 设随机变量X 服从正态分布2(,) N μσ，则随着标准差σ的增大，概率{}P X μσ-<如何变化（ C ）(A) 单调增大; (B) 单调减少; (C) 保持不变; (D) 增减不定。
2. 离散型随机变量X 的概率分布为()kP X k A λ== (1,2,k =)的充要条教 师 填写 2008 - 2009 学年度第__二_ 学期课程名称：__概率论与数理统计（理工类）_ 授课教师姓名：_____刘中学______考试时间:____2009__年 7_月__15__日课程类别必修[√ ] 选修[ ]考试方式开卷[ ] 闭卷[√ ] 试卷类别(A ，B,…) [ A ] 共 7 页考 生 填 写学院(校) 专业 班(级)姓名 学号 内招[ ] 外招[ ]题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分得 分题 号1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 C A D A C B B A 得 分件是（ A ）。
（A ）1(1)A λ-=+且0A >； （B ）1A λ=-且01λ<<； （C ）1A λ=-且1λ<； （D ）0A >且01λ<<. 3. 已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P AB =，则()P A B =（D ）(A) 0.2 ； (B) 0.45； (C) 0.6 ； (D) 0.75。
2007年高考“概率与统计”题
2007年高考“概率与统计”题1．(全国Ⅰ) 从某自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的 袋装食盐质量在497.5g~501.5g 之间的概率约为__________。
解：袋装食盐质量在497.5g~501.5g 之间的概率约为P=520=0.25。
某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买。
根据以往资料统计， 顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款， 商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元。
(12分) （Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率。
解：（Ⅰ）记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．3()(10.6)0.064P A =-=，()1()10.0640.936P A P A =-=-=．（Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，1213()0.60.40.432P B C =⨯⨯=．01()()P B P B B =+01()()P B P B =+0.2160.432=+0.648=．2．(全国II)一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．解：一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为49951005110020C C ==．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ： “取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ； （2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ． 解：（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”． 则01A A ，互斥，且01A A A =+，故01()()P A P A A =+ 212012()()(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=-于是20.961p =-．解得120.20.2p p ==-，（舍去）．（2）记0B 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 则0B B =．若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有1000.220⨯=件，故28002100C 316()C 495P B ==．00316179()()1()1495495P B P B P B ==-=-=3．（北京卷）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：（I ）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率； （II ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；解：（I ）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为：610661512.15121010A P ==0≥． （II ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为：33666914580.014581010C P ⨯===．则这堆苹果中，质量不小于．．．120克的苹果数约占苹果总数的 ％． 解：由表中可知这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数为:2012314---= 故约占苹果总数的00140.707020==.【分析】1031142020++⇒==70%已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球． 现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识， 考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且2327C 1()C 7P A ==，2329C 5()C 18P B ==，故取出的4个球均为红球的概率是155()()()718126P A B P A P B ==⨯=．（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内 取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D ． 由于事件C D ，互斥，且1123442279C C C 2()C C 21P C ==，1125242275C C C 10()C C 63P D ==． 故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为21016()()()216363P C D P C P D +=+=+=．5．(上海卷) 在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个 数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． 解： 剩下两个数字都是奇数，取出的三个数为两偶一奇，所以剩下两个数字都是奇数的概率是21233530.310C C P C ===。
人大2007年概率统计试题真题
试题：（请将答案做再答题纸上，再试题上做题无效）一、（20分）两个不能分辨的盒子里都有9个球，其中一个是5红4白，另一个是4红5白。
从两个盒子中随机抽一个，希望通过无放回抽样来猜测抽到的是哪个盒子。
其规则是：无放回抽取三次，如果抽到的红球多，则认为盒子是5红4白；反之认为是4红5白。
问这样猜错的概率有多大？如果用有放回抽样，猜测的概率又有多少？二、（20分）相互独立的随机变量X 和Y 分别服从参数为1λ和2λ的泊松分布，证明随机变量X+Y 服从参数为1λ+2λ的泊松分布。
要求用两种方法证明，其中一种是特征函数。
三、（10分）二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为0<x<2,1<y<2(,)0 cxy f x y otherwise ⎧=⎨⎩求min(,)Z X Y =的概率密度函数。
四、（15分）设随机变量序列{}n ξ及{}n η分别以概率收敛于随机变量ξ和η，证明：{}n n ξη+以概率收敛于ξη+。
五、（15分）二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律求[|]E Y X 和[|]Var X Y 的分布律。
六、（20分）设12,,X X …，n X 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，证明（1） 21σ21()(1);n X X n ιιχ=--∑（2） X 与2n S 相互独立。
七、（15分）设总体X 的分布函数为F ()x ，概率密度函数为()f x ，12,,X X …，n X 是总体X 的简单随机样本，证明第k 个次序统计量()k X 的概率密度函数为()()k f x =1![()][1()](),1,2,(1)!()!k n k n F x F x f x k k n k ---=--…，n八、（20分）设总体X 服从正态总体2(,)N θσ，其中2σ已知。
参数θ的先验分布为正态总体2(,)N μτ，其中μ和2σ已知。
12,,X X …，n X 是总体X 的简单随机样本，求：（1）参数θ的后验分布；（2）在平方损失函数下求θ的贝叶斯估计；（3）求θ的置信水平为1α-的区间估计。
2007各地概率与统计高考真题---习题
2007年各地概率与统计试题汇编 山东理1．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ）A ．0.9，35B ．0.9，45C ．0.1，35D ．0.1，452．位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位`于点(23)，的概率是（） A ．512⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5251C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3351C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．523551C C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3． 设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．（Ⅰ）求方程20x bx c ++=有实根的概率；（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率． 山东文秒4．设集合{12}{123}A B ==，，，，，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点()P a b ，，记“点()P a b ，落在直线x y n +=上”为事件(25)n C n n ∈N ≤≤，，若事件n C 的概率最大，则n 的所有可能值为（ ）A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4全国II 文5．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．1206．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．7．某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．江西理8．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ） Ａ．19 Ｂ．112 Ｃ．115 Ｄ．1189． 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．江西文10．一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回．．．地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的概率为（ ） Ａ．132 Ｂ．164 Ｃ．332 Ｄ．36411．栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗．．，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗．．的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活．．的概率分别为0.7，0.9． （1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗．．的概率； （2）求恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．的概率． 江苏理12．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4分）湖南理 13．设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.025Φ-=，则(||1.96)P ξ<=（ ）A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.97514．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II）任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列和期望．15．甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．。
07年4月概率论与数理统计(经管类)试题答案
6．设二维随机变量
）
A． 1 4
由
f
(x,
y)dxdy
(X
1
c
,Y)
的概率密度为
B． 1 2
1 1
1
dxdy
4c
，得 4c
f
7．设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，则下列结论中正确的是（ D ）
A． E( X ) 0.5 ， D( X ) 0.5
C． E( X ) 2 ， D( X ) 4
17．设 ( X ,Y ) ～ N (0,0;1,1;0) ，则 ( X ,Y ) 关于 X 的边缘概率密度 f X (x) ___________．f Nhomakorabea (x)
1
2
x2
e 2．
18．设 X～ B 4, 1 ，则 E( X 2 ) ___________． 2
n 4, p 1 ， E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 np(1 p) n 2 p 2 5 ． 2
y
1 ，则常数
D．4
D．6
D．4
c
D． n 1(x 0 )
（ A
2
P( A B) P( A) P(B) P( A)P(B) 0.2 0.4 0.2 0.4 0.52 ． 12．从 0,1,2,3,4 五个数中任意取三个数，则这三个数中不含 0 的概率为___________．
07 年 4 月概率论与数理统计（经管类）试题答案
B． P( AB) P( A)P(B)
D． P( A B) 1
C． P(B)
考研数学概率真题解析(2007年)
考研数学概率真题解析（2007年）一、数一、三、四（9）：（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为)10(<<p p ，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 （A ）2)1(3p p - （B ）2)1(6p p -（C ）22)1(3p p -（D ）22)1(6p p -解答：C 解：第4次命中，前3次中1次命中，2次没有命中，对前3次使用伯努列概型：213)1(p p C -，加上第4次命中，概率为p p p C ⋅-213)1(＝22)1(3p p -。
选C 。
点评：考察考生对于伯努列概型（或者二项分布）中的基本特征：“只知次数，不知位置”。
类似题：例1．31：进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p ，则在成功2次之前已经失败3次的概率为： A ．32)1(4p p - B ．3)1(4p p - C ．32)1(10p p -D ．32)1(p p - E ．3)1(p -二、数一、三、四（10）：设随机变量),(Y X 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关)(),(y f x f y x 分别表示X ，Y 的概率密度，则在y Y =的条件下，X 的条件概率密度为)|(/y x f Y X（A ）)(x f x（B ）)(y f y（C ）)()(y f x f y x（D ）)()(y f x f y x 解答：A 解：在）（Y X ,服从二维正态分布时，若）（Y X ,不相关，则独立。
所以)()()()()(),()/(/x f y f y f x f y f y x f y x f X Y Y X Y Y X ===，与条件概率的简化类似。
选A 。
点评：考察考生两点：不相关与独立在二维正态分布时的互推关系；独立时联合密度等于边缘密度的乘积。
类似题：在新东方考研数学辅导班上和年底的全国串讲中详细强调过这两个考点。
已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （1，32）和N （0，42），且X 与Y 的相关系数21-=XY ρ，设.23Y X Z +=（1）求Z 的数学期望E （Z ）和方差D （Z ）；（2）求X 与Z 的相关系数XZ ρ；（3）问X 与Z 是否相互独立？为什么？三、数一、三、四（16）：在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于21的概率为。
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1.(15分)某仪器有三个灯泡，烧坏第一、第二、第三个灯泡的概率相应地为0.1，0.2及0.3。
当烧坏一个灯泡时，仪器发生故障的概率为0.25，当烧坏两个灯泡时为0.6，而当烧坏三个灯泡时为0.9。
求仪器发生故障的概率。
2.(20分)从某大学到火车站途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1/3．(1)令Y 表示汽车行驶过程中在停止前所经过的路口数，求Y 的分布律；(2) 求从该大学到火车站途中至少遇到一次红灯的概率．
3.(15分)设X 的密度函数为
,0()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩
求2Y X =的密度函数。
4.(15分)随机变量X 的概率密度为
||()x f x ce x -=-∞<<∞
求：(1)常数C ；(2)X 落在区间(0，1)内的概率。
5.(15分)若X ～U （0，1），Y ～U （1，3），且X 、Y 相互独立，求X ·Y 的均值和方差。
6．（10分）为了估计灯泡使用时数的标准差，检验10个灯泡得到1500=x 小时，20=s 小时，设灯泡服从正态分布),(2σμN ，求在置信度0.95下求（1）μ的置信区间；（2）2
σ的置信区间。
7．（10分）设某种零件的尺寸服从正态分布，方差21.12=σ，对一批这类零件检查9件，得尺寸数据均值046.31=x mm ，当显著性水平05.0=α时，问这些批零件的平均尺寸能否认为是32.50mm (零件尺寸)？
相关数据： 645.105.0=z ，96.1025.0=z ，
()8331.1905.0=t ，()8125.11005.0=t ()2622.29025.0=t ，()2821.210025.0=t ，
325.3)9(,919.16)9(295.0205.0==χχ，700.2)9(,023.19)9(2975.02025.0==χχ，
940.3)10(,307.18)10(295.0205.0==χχ，247.3)10(,483.20)10(2975.02025.0==χχ。