专题五 培优点17 概率与统计的创新题型
18版：[专题探究课六] 高考中概率与统计问题的热点题型（创新设计）
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解 依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去 参加乙游戏的概率为23. 设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i＝0，1，2， 3，4).则 P(Ai)＝Ci413i234－i. (1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P(A2)＝C24132232＝287.
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝881.10 分
故 X 的分布列为
X2
3
4
5
P
5 9
2 9
10
8
81 81
11分
E(X)＝2×59＋3×29＋4×1801＋5×881＝28214.12 分
❶得步骤分：这是得分点的步骤，有则给分，无则没分，步步 为“赢”，求得满分. 如第(1)问，引进字母表示事件，用文字叙述正确，得2分； 把事件拆分成A＝A1A2＋B1A2A3＋A1B2A3A4，就得2分，计算 概率值正确，得1分.第(2)问求出X的四个值的概率，每对一 个得1分；列出随机变量X的分布列得1分.
满分解答 解 用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”， Ak 表示“第 k 局甲获胜”，Bk 表示“第 k 局乙获胜”，则 P(Ak) ＝23，P(Bk)＝13，k＝1，2，3，4，5.2 分 (1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)· P(A3)P(A4) ＝232＋13×232＋23×13×232＝5861.5 分
【例 2】 (满分 12 分)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两 局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜 局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概 率为13，各局比赛结果相互独立. (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率； (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求 X 的分布列和均值 (数学期望).
统计与概率的题型特点与命题规律《奇招制胜》数学(文)热点+题型全突破
统计与概率的题型特点与命题规律统计与概率是高考必考重点内容之一，文科高考考查的主要内容有：抽样方法、统计图表，统计数据的数字特征，变量间的相关关系、随机事件的概率、古典概型、几何概型，以及回归分析与独立性检验.【考纲解读】一、考点及要求说明: A.了解 B.理解C。
掌握【五年高考考题分析表】2012—2016年全国高考统计与概率试题分布表（文数）【高频考点展示】1。
古典概型2.几何概型3.相关关系与线性回归方程4。
茎叶图与样本数据特征及概率5.频率分布直方图与样本数据特征及概率6.函数与概率结合问题【命题预测】通过研究近几年全国高考试卷，不难发现新课标对概率与统计模块的考查强调知识的应用性，考题为“一小一大”,即一道小题，一道大题，占17分，小题通常考查统计图的读取或概率计算，大题在解答题对统计和概率综合考查,难度不大.试题背景与日常生活贴近，联系也最为紧密，体现统计思想与概率思想，考查学生处理数据的能力，对概率事件的识别及概率的计算能力,以及考查学生的阅读与理解能力、分析问题与解决问题的能力．试题朝着“重基础、重能力、探究与创新”的方向发展．【典例1】【2016高考新课标3文（4）】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15C︒，B点表示四月的平均最低气温约为5C︒．下面叙述不正确的是（)A。
各月的平均最低气温都在0C︒以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D。
平均气温高于20C︒的月份有5个【答案】D【考点】1、平均数；2、统计图．【思路点拨】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，找不到解决问题的方法；（2)估计平均温差时易出现错误。
【命题规律】试题的形式和难度都比较稳定，以给出统计图表，能够通过统计图表读出数据信息为常见形式。
预计2017年的全国高考命题中，对统计图表的考查必有一道，命题的重点不变.【典例2】【2016高考新课标1文（3）】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．13B.12C.23D.56【答案】A考点：古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题，一般难度不大，解答常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏，避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举。
高考数学科学复习创新方案：概率与随机变量及其分布列的热点题型
命题动向：在高考的解答题中，对概率与随机变量及其分布相结合的综合问题的考查既是热点又是重点，是高考必考的内容，并且常与统计相结合，设计成包含概率计算、概率分布列、随机变量的数学期望与方差、统计图表的识别等知识的综合题．以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，考查学生应用基础知识和基本方法分析问题和解决问题的能力．题型1求离散型随机变量的均值与方差例1(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．解(1)随机变量X的所有可能取值为0，20，100.P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.故随机变量X的分布列如下：X020100P0.20.320.48(2)设小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则随机变量Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48.故E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.由(1)知E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.因为E(Y)>E(X)，故应先回答B类问题．离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随变式训练1(2024·保定开学考试)2015年5月，国务院印发《中国制造2025》，是我国由制造业大国转向制造业强国战略的行动纲领．经过多年的发展，我国制造业的水平有了很大的提高，出现了一批在国际上有影响的制造企业．我国的造船业、光伏产业、5G等已经在国际上处于领先地位，我国的精密制造也有了长足发展．已知某精密设备制造企业生产某种零件，根据长期检测结果，得知生产该零件的生产线的产品质量指标值X服从正态分布N(64，100)，且质量指标值在[54，84]内的零件称为优等品．(1)求该企业生产的零件为优等品的概率(结果精确到0.01)；(2)从该生产线生产的零件中随机抽取5件，随机变量Y表示抽取的5件中优等品的个数，求Y的分布列、数学期望和方差．附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)由题意知，X～N(64，100)，则μ＝64，σ＝10，54＝μ－σ，84＝μ＋2σ，由P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，得P(54≤X≤84)＝P(54≤X≤64)＋P(64≤X≤84)＝12×0.6827＋12×0.9545≈0.82.故该企业生产的零件为优等品的概率为0.82.(2)Y的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，P(Y＝0)＝(1－0.82)5，P(Y＝1)＝C15×0.82×(1－0.82)4，P(Y＝2)＝C25×0.822×(1－0.82)3，P(Y＝3)＝C35×0.823×(1－0.82)2，P(Y＝4)＝C45×0.824×(1－0.82)，P(Y＝5)＝0.825，则Y的分布列为Y012P(1－0.82)5C15×0.82×(1－0.82)4C25×0.822×(1－0.82)3Y345P C35×0.823×(1－0.82)2C45×0.824×(1－0.82)0.825由Y～B(5，0.82)，则E(Y)＝5×0.82＝4.1，D(Y)＝5×0.82×(1－0.82)＝0.738.题型2概率与统计的综合问题例2(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001)解(1)平均年龄x－＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁)．(2)由于患者的年龄位于区间[20，70)是由患者的年龄位于区间[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)组成的，所以所求概率P＝(0.012＋0.017×2＋0.023＋0.020)×10＝0.89.(3)设从该地区任选一人，年龄位于区间[40，50)为事件A，患这种疾病为事件B，则P(A)＝16%，由频率分布直方图知，这种疾病患者的年龄位于区间[40，50)的概率为0.023×10＝0.23，结合该地区这种疾病的患病率为0.1%，可得P(AB)＝0.1%×0.23＝0.00023，所以从该地区任选一人，若年龄位于区间[40，50)，则此人患这种疾病的概率为P(B|A)＝P（AB）P（A）＝0.0002316%≈0.0014.概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为高考的一大亮点和热知识竞赛包含预赛和决赛．(1)下表为某10位同学的预赛成绩：得分939495969798人数223111求该10位同学预赛成绩的上四分位数(第75百分位数)和平均数；(2)决赛共有编号为A，B，C，D，E的5道题，学生甲按照A，B，C，D，E的顺序依次作答，答对的概率依次为23，12，12，13，13，各题作答互不影响，若累计答错两道题或五道题全部答完则比赛结束，记X为比赛结束时学生甲已作答的题数，求X的分布列和数学期望．解(1)因为10×0.75＝7.5，所以上四分位数为第8个成绩，为96；平均数为93×2＋94×2＋95×3＋96＋97＋9810＝95.(2)由题意可知，X的所有可能取值为2，3，4，5，所以P(X＝2)＝13×12＝16，P(X＝3)＝13×12×12＋23×12×12＝312＝14，P(X＝4)＝13×12×12×23＋23×12×12×23＋23×12×12×23＝1036＝518，P(X＝5)＝23×12×12×13＋13×12×12×13＋23×12×12×13＋23×12×12×13＋23×12×12×23＝1136，所以X的分布列为X2345P16145181136E(X)＝2×16＋3×14＋4×518＋5×1136＝13436＝6718.题型3概率与线性回归的综合问题例3某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X(百斤)都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有24期，超过60百斤的有8期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y(百斤)与使用某种饵料的质量x(百斤)之间的关系如图所示．(1)根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立y关于x的经验回归方程y^＝b^x＋a^；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由；(2)养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的增氧冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X 有如下关系：鱼的重量(单位：百斤)20<X <4040≤X ≤60X >60增氧冲水机运行台数123若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台增氧冲水机未运行，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期增氧冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其经验回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝解（1）依题意，得所以y ^＝313x ＋3713，当x ＝10时，y ^＝6713>5，故此方案可行．(2)设盈利为Y ，提供1台，盈利Y ＝5000.提供2台，当20<X <40时，Y ＝3000，P ＝15，当X ≥40时，Y ＝10000，P ＝45.所以E (Y )＝15×3000＋45×10000＝8600.提供3台，当20<X <40时，Y ＝1000，P ＝15，当40≤X ≤60时，Y ＝8000，P ＝35，当X >60时，Y ＝15000，P ＝15.所以E (Y )＝1000×15＋8000×35＋15000×15＝8000.因为8600>8000，故应提供2台增氧冲水机．本题主要考查概率与回归方程等知识，体药物的摄入量与体内抗体数量的关系成为研究抗体药物的一个重要方面．某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并对这些数据做了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为x (单位：mg)，体内抗体数量为y (单位：AU/mL)．∑10i ＝1t i s i∑10i ＝1t i ∑10i ＝1s i ∑10i ＝1t 2i 29.2121634.4表中t i ＝ln x i ，s i ＝ln y i .(1)根据经验，我们选择y ＝cx d 作为体内抗体数量y 关于抗体药物摄入量x 的经验回归方程，将y ＝cx d 两边取对数，得ln y ＝ln c ＋d ln x ，可以看出ln x 与ln y 具有线性相关关系，试根据参考数据建立y 关于x 的经验回归方程，并预测抗体药物摄入量为25mg 时，体内抗体数量y 的值；(2)经技术改造后，该抗体药物的有效率z 大幅提高，经试验统计得z 服从正态分布N (0.48，0.032)，那这种抗体药物的有效率z 超过0.54的概率约为多少？附：①对于一组数据(u i，v i)(i＝1，2，…，n)，其经验回归直线v^＝β^u＋α^的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni＝1u i v i－n u－v－∑ni＝1u2i－n u－2，α^＝v－－β^u－；②若随机变量Z～N(μ，σ2)，则有P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9974；③取e≈2.7.解(1)将y＝cx d两边取对数，得ln y＝ln c＋d ln x，由题知，s＝ln y，t＝ln x，则经验回归方程变为s＝ln c＋dt，由表中数据可知，s－＝110∑10i＝1s i＝1.6，t－＝110∑10i＝1t i＝1.2，所以d^＝∑10i＝1t i s i－10t－s－∑10i＝1t2i－10t－2＝29.2－10×1.2×1.634.4－10×1.22＝0.5，ln c^＝s－－d^t－＝1.6－0.5×1.2＝1，所以s^＝1＋0.5t，即ln y^＝1＋0.5ln x＝ln e＋ln x0.5＝ln e x0.5，故y关于x的经验回归方程为y^＝e x0.5，当x＝25mg时，y^＝e·250.5≈2.7×5＝13.5AU/mL.(2)因为z服从正态分布N(0.48，0.032)，其中μ＝0.48，σ＝0.03，所以P(μ－2σ≤z≤μ＋2σ)＝P(0.42≤z≤0.54)≈0.9545，所以P(z>0.54)＝1－P（0.42≤z≤0.54）2≈1－0.95452＝0.02275.故这种抗体药物的有效率z超过0.54的概率约为0.02275.题型4概率与独立性检验的综合问题例4(2022·新高考Ⅰ卷改编)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：组别生活习惯不够良好良好病例组4060对照组1090(1)依据小概率值α＝0.010的独立性检验，能否认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”.P（B|A）P（B－|A）与P（B|A－）P（B－|A－）的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.(ⅰ)证明：R＝P（A|B）P（A－|B）·P（A－|B－）P（A|B－）；(ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B－)的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值．附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），α0.0500.0100.001xα 3.841 6.63510.828解(1)零假设H0：患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯无差异．χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）＝200×（40×90－60×10）2100×100×50×150＝24＞6.635＝x0.010，依据小概率值α＝0.010的独立性检验，推断H0不成立，即认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．(2)(ⅰ)证明：因为R ＝P （B |A ）P （B －|A ）·P （B －|A －）P （B |A －）＝P （AB ）P （A ）·P （A ）P （A B －）·P （A －B －）P （A －）·P （A －）P （A －B ）＝P （AB ）P （A B －）·P （A －B －）P （A －B ），而P （A |B ）P （A －|B ）·P （A －|B －）P （A |B －）＝P （AB ）P （B ）·P （B ）P （A －B ）·P （A －B －）P （B －）·P （B －）P （A B －）＝P （AB ）P （A －B ）·P （A －B －）P （A B －），所以R ＝P （A |B ）P （A －|B ）·P （A －|B －）P （A |B －）.(ⅱ)由已知P (A |B )＝40100＝25，P (A |B －)＝10100＝110，又P (A －|B )＝60100＝35，P (A －|B －)＝90100＝910，所以R ＝P （A |B ）P （A －|B ）·P （A －|B －）P （A |B －）＝6.此类题目虽然涉及的知识点较多，但每个知识点考查程度相对较浅，考查深小鼠均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物)．(1)设指定的两只小鼠中对照组小鼠数目为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)对照组：17．318.420.120.421.523.224.624.825.025.426．126.326.426.526.827.027.427.527.628.3实验组：5．4 6.6 6.86.97.88.29.410.010.411.214．417.319.220.223.623.824.525.125.226.0(ⅰ)求40只小鼠体重的中位数m ，并完成下面2×2列联表：＜m≥m对照组实验组(ⅱ)根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用？参考数据：P (K 2≥k 0)0.100.050.010k 02.7063.8416.635解(1)依题意，X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 020C 220C 240＝1978，P (X ＝1)＝C 120C 120C 240＝2039，P (X ＝2)＝C 220C 020C 240＝1978，所以X 的分布列为X 012P197820391978故E (X )＝0×1978＋1×2039＋2×1978＝1.(2)(ⅰ)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排好后第20位与第21位数据的平均数，由于原数据已经按从小到大排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3，17.3，18.4，19.2，20.1，20.2，20.4，21.5，23.2，23.6，…，故第20位数据为23.2，第21位数据为23.6，所以m＝23.2＋23.62＝23.4，故列联表为＜m≥m对照组614实验组146(ⅱ)由(ⅰ)可得，K2＝40×（6×6－14×14）220×20×20×20＝6.4＞3.841，所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．。
高考数学二轮复习讲义(新高考版)专题5培优点17概率与统计的创新题型(学生版+解析)
培优点17 概率与统计的创新题型概率统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，掌握此类问题的解题策略在高考中就显得非常重要．【典例】 (2020·青岛模拟)某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱．(1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如表所示：求成交额y (百亿元)与时间变量x (记2016年为x ＝1,2017年为x ＝2，…依次类推)的线性回归方程，并预测2021年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元)；(2)在2021年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加A ，B 两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A ，B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为p ，q ，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X . ①求X 的分布列及E (X )；②已知每个订单由k (k ≥2，k ∈N *)件商品W 构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到商品W 的总数量为Y ，假设p ＝7sin πk 4k －πk 2，q ＝sinπk4k，求E (Y )取最大值时正整数k 的值．【拓展训练】一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站…第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为P n，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)．(1)求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n－2和P n－1表示P n；(2)求证：{P n－P n－1}(n＝1,2，…，99)为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率．培优点17 概率与统计的创新题型概率统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，掌握此类问题的解题策略在高考中就显得非常重要．【典例】 (2020·青岛模拟)某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱．(1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如表所示：求成交额y (百亿元)与时间变量x (记2016年为x ＝1,2017年为x ＝2，…依次类推)的线性回归方程，并预测2021年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元)；(2)在2021年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加A ，B 两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A ，B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为p ，q ，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X . ①求X 的分布列及E (X )；②已知每个订单由k (k ≥2，k ∈N *)件商品W 构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到商品W 的总数量为Y ，假设p ＝7sin πk 4k －πk 2，q ＝sinπk4k ，求E (Y )取最大值时正整数k 的值．【解析】解 (1)由已知可得 x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y ＝9＋12＋17＋21＋275＝17.2，i y i ＝1×9＋2×12＋3×17＋4×21＋5×27＝303， 2i＝12＋22＋32＋42＋52＝55. 所以b ^＝303－5×3×17.255－5×32＝4510＝4.5，所以a ^＝y －b ^x ＝17.2－4.5×3＝3.7， 所以y ^＝4.5x ＋3.7.当x ＝6时，y ^＝4.5×6＋3.7＝30.7(百亿元)，所以预测2021年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7百亿元．(2)①由题意知，X 的所有可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝(1－p )(1－q )， P (X ＝1)＝(1－p )q ＋(1－q )p ， P (X ＝2)＝pq . 所以X 的分布列为E (X )＝0×(1－p )(1－q )＋(p ＋q －2pq )＋2pq ＝p ＋q . ②因为Y ＝kX ，所以E (Y )＝kE (X )＝k (p ＋q ) ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫7sin πk 4k －πk 2＋sin πk 4k ＝2sin πk －πk . 令t ＝1k ∈⎝⎛⎦⎤0，12， 设f (t )＝2sin πt －πt ，则E (Y )＝f (t )．因为f ′(t )＝2πcos πt －π＝2π⎝⎛⎭⎫cos πt －12，且πt ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，所以，当t ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，f ′(t )>0， 所以f (t )在区间⎝⎛⎭⎫0，13上单调递增； 当t ∈⎝⎛⎭⎫13，12时，f ′(t )<0， 所以f (t )在区间⎝⎛⎭⎫13，12上单调递减， 所以，当t ＝13时，f (t )max ＝3－π3，即E (Y )取最大值时，正整数k 的值为3.【方法总结】概率统计问题考查学生的数据分析能力，要从已知数表中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系，建立适当的数学模型．【拓展训练】一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站…第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为P n ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)．(1)求P 0，P 1，P 2，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用P n －2和P n －1表示P n ； (2)求证：{P n －P n －1}(n ＝1,2，…，99)为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率．【解析】(1)解 棋子开始在第0站是必然事件，所以P 0＝1.棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为12，所以P 1＝12.棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为12；②前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为14，所以P 2＝12＋14＝34.棋子跳到第n (2≤n ≤99)站，包括两种情形，①棋子先跳到第n －2站，又掷骰子出现偶数点，其概率为12P n －2；②棋子先跳到第n －1站，又掷骰子出现奇数点，其概率为12P n －1.故P n ＝12P n －2＋12P n －1(2≤n ≤99，n ∈N *)．棋子跳到100站只有一种情况，棋子先跳到第98站，又掷骰子出现偶数点，其概率为12P 98，所以P 100＝12P 98.(2)证明 由(1)知，当2≤n ≤99时， P n ＝12P n －2＋12P n －1，所以P n －P n －1＝－12(P n －1－P n －2)．又因为P 1－P 0＝－12，所以{P n －P n －1}(n ＝1,2，…，99)是首项为－12，公比为－12的等比数列．(3)解 由(2)知，P n －P n －1＝－12⎝⎛⎭⎫－12n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n. 所以P 99＝(P 99－P 98)＋(P 98－P 97)＋…＋(P 1－P 0)＋P 0 ＝⎝⎛⎭⎫－1299＋⎝⎛⎭⎫－1298＋…＋⎝⎛⎭⎫－12＋1 ＝⎝⎛⎭⎫－12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12991－⎝⎛⎭⎫－12＋1＝23⎝⎛⎭⎫1－12100. 所以玩该游戏获胜的概率为23⎝⎛⎭⎫1－12100.。
高考概率与统计常见题型与解法
高考概率与统计常见题型与解法题型一几类基本概型之间的综合在高考解答题中，常常是将等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在一起进行考查，主要考查综合计算方法和能力.此类问题一般都同时涉及几类事件，它们相互交织在一起，难度较大，因此在解答此类题时，在透彻理解各类事件的基础上，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所包含的所属的事件类型.特别是要注意挖掘题目中的隐含条件.1、等可能事件的概率在一次实验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都m。
这就是等相等。
如果事件A包含的结果有m 个，那么P（A）=n可能事件的判断方法及其概率的计算公式。
高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。
例题1（2010湖南）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）(Ⅰ)求x,y ; （Ⅱ）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。
解 (Ⅰ)由题意可得2183654x y ==所以1,3x y ==， （Ⅱ）记从高校B 中抽取的2人为12,b b ，从高校C 中抽取的3人为123,,C C C 则从高校B 、C 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有（12,b b ），（11,b c ），（12,b c ），（23,b c ），（21,b c ），（22,b c ），（23,b c ），12(,)C C ，13(,)C C ，23(,)C C 共10种，设选中的2人都来自高校C 的事件为X ，则X 包含的基本事件有12(,)C C ，13(,)C C ，23(,)C C 共3种，因此3()10p X =故选中的2人都来自高校C 的概率为310变式1（2010江苏）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。
概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结
概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结一、解题思路（一）解题思路思维导图（二）常见题型及解题思路1.正确读取统计图表的信息典例1：（2017全国3卷理科3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（）.A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，选A.2．古典概型概率问题 典例：（全国卷理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A.B.C.D.解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.典例3： (2014全国2卷理科5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6D. 0.45解：设某天空气质量优良,则随后一天空气质量也优良的概率为p,则据条件概率公式得p =0.60.75=0.8，故选A.3．几何概型问题典例4：(2016全国1卷理科4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 ( ) A.13 B.12C.23 D.34解：如图所示,画出时间轴:小明到达的时间会随机地落在图中线段AB 中,而当他到达时间落在线段AC 或DB 时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型,所求概率P=101040+=12.选B.4．类似超几何分布的离散型随机变量分布列问题（古典概型求概率）5．类似二项分布的离散型随机变量分布列问题（频率估计概率，相互独立事件概率计算）典例5（超几何分布与二项分布辨析）：某工厂为检验其所生产的产品的质量，从所生产的产品中随机抽取10件进行抽样检验，检测出有两件次品.（1）从这10件产品中随机抽取3件，其中次品件数为X ，求X 分布列和期望；（2）用频率估计概率，若所生产的产品按每箱100件装箱，从一箱产品中随机抽取3件，其中次品件数为Y ，求Y 分布列和期望;（3）用频率估计概率，从所生产的产品中随机抽取3件，其中次品件数为Z ，求Z 分布列和期望.分析：第（1）问中，抽取产品的总体N=10，所含次品件数M=2，都是明确的，所以该随机变量的分布为超几何分布。
概率统计创新题型解析
概率统计创新题型解析作者：胡德军来源：《中学生数理化·高考使用》2019年第02期编者的话：“创新题追根溯源”栏目里的例、习题都非常新颖，有的是原创题，有的是改编题，每一道题都非常注重多解多变。
当然，在注重数学阅读的高考大背景下，同学们还要把握核心考点，扩大知识视野，用扎实的基本功应对数学试题的万千变化。
本期特约河南省项城市第一高级中学的胡德军、王璞两位老师为同学们解读相关知识。
愿同学们通过阅读，能从中感悟知识的结构与拓展，把握第19题、第20题的命题特点与趋势。
概率统计是实施新课标之后高考变化较大的一个模块，经过对近几年高考试题的观察分析，不难发现概率统计试题一般在新颖化、生活化的情境中，结合数学文化、社会热点，选取一些贴近生活的素材，考查学生提取信息、分析数据、解决问题的能力，以体现概率统计的应用价值。
下面选取近年来各类数学考试中与概率统计相关的创新试题进行分析。
一、概率与数学文化结合例l 古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。
”如图1，已知直线x=2交抛物线y2 =4x于A，B两点，点A，B在y轴上的射影分别为D，C。
从长方形ABCD中任取一点，根据阿基米德这一理论，则该点位于阴影部分的概率为（）。
A.1/2B.1/3C.2/3D.2/5点评：以数学文化为问题背景，考查几何概型是本题的一大亮点，整道题目打破以往常见的几何概型模式思维，借助于古代数学知识直接解题，显得新颖别致。
二、概率与社会热点交叉例2 PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物。
根据现行国家标准GB3095-2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下，空气质量为一级;在35微克/立方米～75微克/立方米之间，空气质量为二级;在75微克/立方米以上，空气质量为超标。
从某自然保护区2017年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如表1所示：（l）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有1天空气质量达到一级的概率;（2）从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列;（3）以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，求一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级（精确到整数）。
高中数学拓展训练【概率与统计的综合创新】
高中数学拓展训练【概率与统计的综合创新】随着新课程的推进改革，概率与统计命题情境新颖、综合性强，综合考查学生数学建模、数据分析与数学运算等数学素养，掌握该类问题的解题策略愈加重要.【典例1】2020年10月16日是第40个世界粮食日.与此同时，中国工程院院士袁隆平海水稻团队完成了10万亩海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地编号为YC-801的水稻亩产超过648.5千克.推广种植海水稻，能实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为m(m∈[70，100])，其质量指标等级划分如下表：质量指[70，75)[75，80)[80，85)[85，90)[90，100] 标值m质量指良好优秀良好合格废品标等级为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1 000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图.(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；(2)若从质量指标值m不低于85的样本中利用分层随机抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90，95)的件数X的分布列及数学期望；(3)若每件产品的质量指标值m与利润Y(单位：元)的关系如下表(1<t<4)：试分析生产该产品能否盈利.若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大(参考数据：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6).解(1)设事件A发生的概率为P(A)，则由频率分布直方图可得随机抽取的1件产品为废品的概率为P＝(0.04＋0.02)×5＝0.3，则P(A)＝1－C33(0.3)3＝1－0.027＝0.973.(2)由频率分布直方图可知，质量指标值不低于85的产品中，m∈[85，90)的频率为0.08×5＝0.4；m∈[90，95)的频率为0.04×5＝0.2；m∈[95，100]的频率为0.02×5＝0.1.故利用分层抽样的方法抽取的7件产品中，m∈[85，90)的有4件，m∈[90，95)的有2件，m∈[95，100]的有1件.从这7件产品中任取3件产品，质量指标值m∈[90，95)的件数X的所有可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝C35C37＝27，P(X＝1)＝C12C25C37＝47，P(X＝2)＝C22C15C37＝17，所以X的分布列为所以E(X)＝0×27＋1×47＋2×17＝67.(3)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润Y的关系如下表所示(1<t<4)：故每件产品的平均利润y ＝0.3t ＋0.8t ＋0.6t ＋0.8t －0.5e t ＝2.5t －0.5e t (1<t <4). 则y ′＝2.5－0.5e t (1<t <4)， 令y ′＝0，得t ＝ln 5.故t ∈(1，ln 5)时，y ′>0，函数y ＝2.5t －0.5e t 单调递增； t ∈(ln 5，4)时，y ′<0，函数y ＝2.5t －0.5e t 单调递减.所以当t ＝ln 5时，y 取得最大值，为2.5×ln 5－0.5e ln 5≈1.5>0.所以生产该产品能够盈利，当t ＝ln 5≈1.6时，每件产品的平均利润取得最大值1.5元.点津突破 1.本题以“粮食安全”为背景考查统计与概率、随机变量及概率分布、函数与导数等知识，意在考查数学建模、数据分析与数学运算等核心素养. 2.解题的突破口是读懂题意，提炼图表信息，盯住题眼，构建概率分布及函数模型.【典例2】 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n . (1)求p 1，q 1和p 2，q 2；(2)求2p n ＋q n 与2p n －1＋q n －1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示).解 (1)p 1＝C 11C 13·C 13C 13＝13，q 1＝C 12C 13·C 13C 13＝23， p 2＝C 11C 13·C 13C 13·p 1＋C 12C 13·C 11C 13·q 1＋0·(1－p 1－q 1) ＝13p 1＋29q 1＝727，q 2＝C 12C 13·C 13C 13·p 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫C 12C 13·C 12C 13＋C 11C 13·C 11C 13·q 1＋C 13C 13·C 12C 13·(1－p 1－q 1)＝－19q 1＋23＝1627. (2)当n ≥2时，p n ＝C 11C 13·C 13C 13·p n －1＋C 12C 13·C 11C 13·q n －1＋0·(1－p n －1－q n －1)＝13p n －1＋29q n －1，① q n ＝C 12C 13·C 13C 13·p n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫C 12C 13·C 12C 13＋C 11C 13·C 11C 13·q n －1＋C 13C 13·C 12C 13·(1－p n －1－q n －1)＝－19q n －1＋23，② 2×①＋②，得2p n ＋q n ＝23p n －1＋49q n －1－19q n －1＋23＝13(2p n －1＋q n －1)＋23.从而2p n ＋q n －1＝13(2p n －1＋q n －1－1)，又2p 1＋q 1－1＝13，所以2p n ＋q n ＝1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，n ∈N *.③由②，有q n －35＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫q n －1－35，又q 1－35＝115，所以q n ＝115⎝ ⎛⎭⎪⎫－19n －1＋35，n ∈N *.由③，有p n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －q n＝310⎝ ⎛⎭⎪⎫－19n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋15，n ∈N *.故1－p n －q n ＝310⎝ ⎛⎭⎪⎫－19n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋15，n ∈N *.X n 的概率分布为则E (X n )＝0×(1－p n －q n )＋1×q n ＋2×p n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，n ∈N *.[跟踪演练]一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站，…，第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为P n ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次.若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6).(1)求P 0，P 1，P 2，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用P n －2和P n －1表示P n ； (2)求证：{P n －P n －1}(n ＝1，2，…，99)为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率.(1)解 棋子开始在第0站是必然事件，所以P 0＝1.棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为12，所以P 1＝12.棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为12； ②前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为14，所以P 2＝12＋14＝34.棋子跳到第n (2≤n ≤99)站，包括两种情形，①棋子先跳到第n －2站，又掷骰子出现偶数点，其概率为12P n －2；②棋子先跳到第n －1站，又掷骰子出现奇数点，其概率为12P n －1. 故P n ＝12P n －2＋12P n －1(2≤n ≤99，n ∈N *). (2)证明 由(1)知，P n ＝12P n －2＋12P n －1， 所以P n －P n －1＝－12(P n －1－P n －2). 又因为P 1－P 0＝－12，所以{P n －P n －1}(n ＝1，2，…，99)是首项为－12，公比为－12的等比数列. (3)解 由(2)知，P n －P n －1＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n.所以P 99＝(P 99－P 98)＋(P 98－P 97)＋…＋(P 1－P 0)＋P 0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1299＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1298＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12991－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12100. 所以玩该游戏获胜的概率为23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12100.。
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解 棋子开始在第0站是必然事件，所以P0＝1.
棋子跳到第 1 站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为12， 所以 P1＝12. 棋子跳到第 2 站，包括两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为21； ②前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为14，所以 P2＝12＋14＝34.
棋子跳到第 n(2≤n≤99)站，包括两种情形，①棋子先跳到第 n－2 站， 又掷骰子出现偶数点，其概率为12Pn－2； ②棋子先跳到第 n－1 站，又掷骰子出现奇数点，其概率为12Pn－1.
所以a^＝ y －b^ x ＝17.2－4.5×3＝3.7， 所以y^ ＝4.5x＋3.7. 当 x＝6 时，y^＝4.5×6＋3.7＝30.7(百亿元)， 所以预测2021年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7百亿元.
(2)在2021年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购 物平台上分别参加A，B两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸 爸、妈妈在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为p，q，记该同学的 爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X. ①求X的分布列及E(X)；
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能力 提升
概率统计问题考查学生的数据分析能力，要从已知数表中经 过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关 系，建立适当的数学模型.
跟踪演练
一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站…第100站， 共101站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第0站，棋手 每掷一次骰子，棋子向前跳动一次.若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若 掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站 (失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩 具，它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6). (1)求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用Pn－2和Pn－1表 示Pn；
专题五 概率与统计
概率统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合 性增强，难度加深，掌握此类问题的解题策略在高考中就显得非常重要.
例 (2020·青岛模拟)某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物 节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱. (1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如表所示：
年份
2016 2017 2018 2019 2020
成交额(百亿元) 9 12 17 21 27
求成交额y(百亿元)与时间变量x(记2016年为x＝1,2017年为x＝2，…依次 类推)的线性回归方程，并预测2021年该平台“双十一”购物节当天的成 交额(百亿元)；
解 由已知可得
x ＝1＋2＋35＋4＋5＝3，
y ＝9＋12＋175＋21＋27＝17.2，
5
xiyi＝1×9＋2×12＋3×17＋4×21＋5×27＝303，
i＝1
5
x2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55.
i＝1
5
xiyi－5 x ·y
i＝1
所以b^ ＝
5
ห้องสมุดไป่ตู้
＝3035－5－5×5×3×3217.2＝1405＝4.5，
x2i －5 x 2
i＝1
i＝1
b^ ＝
i＝1
＝
，a^ ＝ y －b^ x .
n
x2i －n x 2
n
xi－ x 2
i＝1
i＝1
解 因为Y＝kX，所以E(Y)＝kE(X)＝k(p＋q)
π
π
＝k7sin 4k
k－kπ2＋si4nkk＝2sin
πk－πk.
令 t＝1k∈0，12，
设f(t)＝2sin πt－πt，则E(Y)＝f(t).
故 Pn＝12Pn－2＋12Pn－1(2≤n≤99，n∈N*). 棋子跳到 100 站只有一种情况，棋子先跳到第 98 站，又掷骰子出现偶 数点，其概率为12P98，所以 P100＝12P98.
(2)求证：{Pn－Pn－1}(n＝1,2，…，99)为等比数列；
证明 由(1)知，当2≤n≤99时， Pn＝12Pn－2＋12Pn－1， 所以 Pn－Pn－1＝－12(Pn－1－Pn－2). 又因为 P1－P0＝－12， 所以{Pn－Pn－1}(n＝1,2，…，99)是首项为－12，公比为－12的等比数列.
因为
f′(t)＝2πcos
πt－π＝2πcos
πt－12，且
πt∈0，π2，
所以，当 t∈0，13时，f′(t)>0，
所以 f(t)在区间0，13上单调递增； 当 t∈13，12时，f′(t)<0， 所以 f(t)在区间13，21上单调递减， 所以，当 t＝13时，f(t)max＝ 3－π3， 即E(Y)取最大值时，正整数k的值为3.
②已知每个订单由 k(k≥2，k∈N*)件商品 W 构成，记该同学的爸爸和妈
π
π
妈抢购到商品
W
的总数量为
Y，假设
7sin p＝ 4k
k－kπ2，q＝si4nkk，求
E(Y)
取最大值时正整数 k 的值.
附：回归方程y^＝b^ x＋a^ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
n
n
xiyi－n x y xi－ x yi－ y
解 由题意知，X的所有可能取值为0,1,2. P(X＝0)＝(1－p)(1－q)， P(X＝1)＝(1－p)q＋(1－q)p， P(X＝2)＝pq. 所以X的分布列为
X
0
P (1－p)(1－q)
1
2
(1－p)q＋(1－q)p pq
E(X)＝0×(1－p)(1－q)＋(p＋q－2pq)＋2pq＝p＋q.
(3)求玩该游戏获胜的概率.
解 由(2)知， Pn－Pn－1＝－12－12n－1＝－12n. 所以P99＝(P99－P98)＋(P98－P97)＋…＋(P1－P0)＋P0 ＝－1299＋－1298＋…＋－12＋1＝－121－1－－－121299＋1＝231－21100. 所以玩该游戏获胜的概率为231－21100.