浅析排列组合中的重复计算问题-无锡洛社高级中学
例析排列组合中的重复计算的产生及对策
无锡市洛社高级中学 戎钢
学生在解排列组合的题目时，往往容易出现考虑不周全，漏解的情况。另外有些类型的排列组合题目较容易出现重复计算的问题，而且此类问题较隐蔽，学生不容易发现。在解题时，应做到既不重复遗漏，又能判断解题的正误，并能加以剖析。这样对于学生解题能力的提高大有好处。
一、分步引起的重复计算
例1:从4台甲型机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型机各1台，则不同的取法有多少种？
【错解】先保证各1台，在从剩下的机子中任取一台。即分三步：第一步从甲型机中取一台，有14C 种取法；第二步从乙型机中取一台，有1
5C 种取法；第三步从剩下的七台机
子中取一台，有17C 种取法，根据乘法原理，共有111457140C C C ??=种取法。 【分析】设甲型机种有a 、b 两台机子 ，乙型机中有A 、B 两台机子，根据上述选法，其中有一种取法可以是“先选a ，再选A ，再选b ”,另外一种取法是“先选b ，再选A ，再选a ”。而很明显，上述两种取法是同一种结果，出现重复。
究其原因是本题使用的是分类计数原理（分步原理）。而分步必然有先有后，也就有顺序，跟排列有关。本题中无论是取两台甲型机还是两台乙型机，对于这两台机而言，只是一个组合，没有先后，因此重复了两遍。
【正解】根据结果分类，第一类：两台甲型机，有2145C C ?种取法；第二类：两台乙型
机，有1245C C ?种取法，根据分类计数原理，共有2112454570C C C C ?+?=种取法。
二、涉及到平均分组中的重复计算
例2:袋中有红、白、黄球各一个，每次任取一球，记下颜色后放回，当各种颜色均被取到时结束，则取球结束时，一共取了五次的不同取法有多少种？
【错解】由题意，第五次一定是第三种颜色的球。前四次取到其他两种颜色的球。先分步，第五次有13C 种颜色的可能，再分类讨论前四次的情况，第一类：剩下的两种颜色的球，一种颜色的取到三次，另外一种取到一次。分步完成，先选出一种颜色，被取到三次，有12C 种可能，然后这种颜色在前四次中被取到有34C 中情况，共有13
24C C ?种情况；第
二类，类似第一类，共有1224C C ?种情况，由分步原理共有1121332424()60C C C C C ??+?=种不同的取法。
【剖析】本题中在分类时涉及到平均分组的问题。在第二类中两种颜色各取到两次的
情况，计数重复。比如假设第五次取到白色，12C 选取的是红色，在四次取球中，24C 中前两次是红色，后两次是黄色，即红红黄黄白是其中一种情况；若1
2C 选取的是黄色，在四次取球中，后两次是黄色，前两次是黄色，对于该算法来讲是不同的两次，而结果是相同
的，应是11323244()42C C C C ??+=。 【正解】本题可以通过举例探究，分类讨论避开平均分组。不妨假设最后一次取的是白球（由分步原理应是13C 种可能）则前四次应只有红色和黄色。可进一步细分为三类：三红一黄，两红两黄，一红三黄，各有14C 、24C 、3
4C 种可能。由等可能性，共有11233444()42C C C C ?++=种可能。 平均分组高考没有明确要求，但06年江苏最后一道选择题却又涉及到。学生对平均分组计数时么除以组数的全排列难以理解，解题时也不容易想到。本题通过特殊化的思想，通过举例探究，找到相同点，弄清楚其中的关系，思路相对自然，容易接受和理解。
三、分类不清引起的重复
例3：定义非空集合A 的真子集的真子集为A 的“孙集”，则集合{1，3，5，7}的孙集的个数为________。
【解析】本题源于课本，又高于课本。根据真子集的定义，学生不难写出集合{1，3，
5，7}的真子集，应有24－1＝15个，然后在找出每个真子集的真子集即可。由于四元子集
的真子集可以分为三类即空集；一元真子集；二元真子集；三元真子集。空集没有真子集，一元集合的真子集有2个，其中一个为空集；二元集合的真子集有3个，其中一个为空集；三元集合的真子集有7个，其中一个为空集。除去空集重复，一共有123444126141C C C ?+?+?+=种。
上述解法是错的。仍以举例分析。一元真子集如{1}或{3}等等，其真子集只能是空集，仅算一个；二元子集如{1,3}或{1,5}等等，其真子集为空集和一元集合{1},{3},{5}，……，不难发现，一元真子集也有重复，三元集合的真子集也也有类似的重复。因此上述解法由于分类后并不清楚，仍有重复计算。
正确的解法：由分析不难看出，尽管每种分类都有重复，但可以发现，其孙集必为真子集，而且最多是二元真子集。所以分三类：空集；一元集合，有14C 个；二元集合，有2
4
C 个，共计01244411C C C ++=个。 对策：此类重复计算问题往往比较隐蔽，学生易犯错误，而且不易察觉。但仔细回顾这三道例题，我们还是有规律可寻，有方法可依的。
一、通过题组训练，强化模式识别。
对于易产生重复的题目有很多还是有相似之处的。可以通过题组的形式，让学生强化
对该类题目的辨析和认识。笔者列举如下一组问题，请读者仔细考虑。
（1）袋中装有大小相同、编号各不相同的五个红球、四个黑球，从中取出5个，红球，黑球各至少有2个的不同取法有多少种？
（2）某演出队有9名歌舞演员，其中7人会表演唱歌节目，5人会表演舞蹈节目，今从9人中选2人，1人表演唱歌，1人表演舞蹈，则不同的选法有多少种？
（3）有学生10人，其中团员4人，现平均分成2组，若每组都要分2名团员，那么不同的分组方法有多少种？
（4）某篮球队有11名队员，其中5人只能打前锋，4人只能打后卫，其余2人可打前锋可打后卫。①现从中选5人（3前锋2后卫）出场，有几种选法？②现从中选10 人组成2个队对抗，每队都是3前锋2后卫，有几种选法？
（5）∠A的一边有4个点，另一边有5个点，连同顶点一共10个点，可以作出多少个三角形？
（6）有红黄蓝三种颜色卡片各5张，每种卡片上分别写有1，2，3，4，5五个数字，如果每次提取4张卡片，要求颜色齐全，数字不同，那么取法种数共有多少种？
（7）从1，2，3…，10这10个数字种有放回地抽取3次，每次抽取1个数字，3次抽取中最小数为3的所有可能种数为多少？
（提示：1、2两题参考例1；3、4两题参考例2；5、6、7先考虑分组。）
二、由小见大，以点带面，逐步摸清规律，合理分解。
在剖析重复计算产生的原因的过程当中，我们不难发现错误的想法源于对整体情况的把握不够完整，问题考虑得不够清晰。对于这样的问题，学生的反映或者是无从下手，或者是惰于思考，想不周全。实际上以上三例的解析已经给出行之有效的一套方案。一方面，我们通过举例发现重复计算的问题，而另一方面，我们还是通过举例，先列举出一些特例，同时在举例的过程中，寻找共同点，逐步发现起本质规律。比如例3，我们通过列举发现集合的子集的子集出现很多重复，从而避免错解的简单化思维，而在列举一些有代表性的集合时，我们又发现归根到底还是原来集合的真子集，只不过条件是子集中最多有两个元素。于是，问题迎刃而解。
附：题组答案⑴100；⑵32；⑶60；⑷380，960；⑸90；⑹180；⑺169
排列组合中的区域涂色问题
排列组合中区域涂色问题 排列组合中的区域涂色问题技巧性强，方法灵活多变，一直是选修2-3中的教学难点问题。本文对部分常见区域涂色问题的解题规律做一下探讨。 区域涂色问题，应当从使用多少种颜色入手，分类讨论。再每一类中（若有必要），再根据两个不相邻区域是否同色分小类讨论。最后再根据分类加法计数原理求出所有方法种数。 例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜 分析：当使用4中颜色涂色时，方法种数为4 5A ；当使用3中颜色时，分两类：①④同色或者②④同色，方法种数为3 52A 。可以这样给学生解释：①④同色，相当于①④合并成了一个区域，这样的话原本的四个区域变成了3个区域，故涂色方法种数为35A 。根据分类分类加法原理，所有涂色方法总数为4355 2A A +。 例2、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意，可分为3种颜色或4中颜色两类。 ①当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，（相当于5个区 域合并成了4个区域）故有3 4A 种； ②当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有4 4A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有24 4A 种。最后，由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2?24=72
例3、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 分析：可把问题分为三类： ①涂四中颜色：四格涂不同的颜色，方法种数为45A ； ②涂三种颜色：有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色， 涂法种数为 12 542C A ； ③涂两种颜色：两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为2 5A ， 因此，所求的涂法种数为 2122 55452260A C A A ++= 例4、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。 分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有4 4A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ； （4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ； （5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ； 所以根据分类加法原理得涂色方法总数为544A =120 例5、将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？ 分析：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
排列组合常用方法总结
排列组合常用方法总结 排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是，请参考！ 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何
一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义 例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定。 又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。 例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入 （一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。
优秀中学校歌歌词
中学校歌歌词选辑 《放飞梦想》--珠海九南海之滨，凤凰山旁 菁菁的校园里飘满书香 知书明理、争做社会栋梁 厚德博学，肩负着我们民族的希望 啊！九中，九中，亲爱的九中 你用智慧引领我扬帆远航 啊！九中，九中，亲爱的九中 闪闪的星光大道上放飞梦想 闪闪的星光大道上放飞梦想…… 《金坛市尧塘中学校歌歌》 我们是快乐的尧塘少年尧塘中学是我们可爱的校园。 花木之乡金武路旁描绘我们锦绣的宏图 启智求真传承文明孕育尧中美好的未来 啊，尧塘中学，张开我们高飞的翅膀。 啊，尧塘中学，扬起我们远航的风帆。 啊，尧塘中学，张开我们高飞的翅膀。 啊，尧塘中学，扬起我们远航的风帆。 我们是新世纪的尧塘少年尧塘中学是我们可爱的校园。 团结诚信勤奋拼搏谱写我们灿烂的诗篇 遵纪守法开拓进取创建尧中辉煌的明天 啊，尧塘中学，放飞我们金色的理想。 啊，尧塘中学，哺育我们成长的摇篮。 啊，尧塘中学，放飞我们金色的理想。 啊，尧塘中学，哺育我们成长的摇篮。 《温馨校园》--唐山市第49中学校歌 作词：刘德剑、刘亦敏 这里是温馨的校园 这里是灿烂的春天 这里的风儿和煦 这里的花儿鲜艳 这里是温馨的校园 这里是灿烂的春天 这里的风儿和煦 这里的花儿鲜艳 每一个辛勤的园丁 都在默默的耕耘
每一个花季少年 都在快乐的享受温暖 智慧点燃了希望的火焰 友谊滋润着纯洁的心田 我们朝气蓬勃携手并肩 追逐美丽的阳光一路向前 这里是温馨的校园 这里是灿烂的春天 这里的风儿和煦 这里的花儿鲜艳 这里是温馨的校园 这里是灿烂的春天 这里的风儿和煦 这里的花儿鲜艳 每一个辛勤的园丁 都在默默的耕耘 每一个花季少年 都在快乐的享受温暖 勤奋严谨是争先的动力 开拓创新是前进的风帆 我们意气风发携手并肩 向着美好的明天一路向前 勤奋严谨是争先的动力 开拓创新是前进的风帆 我们意气风发携手并肩 向着美好的明天一路向前 《飞翔吧！太谷二中--太谷二中校歌》 青春的理想插上翅膀在这里远航， 人生的信念这般坚强，在这里谱写绚丽文章。 探究书山奥秘，遨游知识海洋， 良师点迷津，益友解惆怅。 啊！太谷二中撒满了爱的阳光， 哺育着我们健康成长，超越自我，我自强，我自强！ 青春的花蕾带着希望在这里绽放， 灿烂的人生这般坚强，在这里培养祖国的栋梁。 团结文明求实创新，勤奋虚心钻研求真，
高中数学《排列组合染色问题》典例讲解
高中数学《排列组合染色问题》典例讲解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
排列组合染色问题的探究 上饶县二中 徐 凯 在任教高二数学教学时，有许多同学被排列组合题的灵活性所困惑，甚至有学生向我询问有没有公式之类的解决途径，每道题都去分析似乎很累。其实就某些特殊的排列组合问题是可以抽象出数学模型来加以研究的，比如说下面我们所要提到的染色问题。 一、一个结论。 若把一个圆（除中间同心圆外的圆环部分）分成n 份( n > 1) , 每部分染一种颜色且相邻部分不能染同种颜色, 现有m (m > 1) 种不同颜色可供使用, 那么共有S )1()1()1(--+-=m m n n 种染色方法。 例：在一个圆形花坛种颜色花卉，现有4种颜色可供选 择，要求相邻两个区域不同色，则共有多少种方法？ 解：从图中可以发现除同心圆部分外的圆环部分被分成了 n=5份，因为有4种颜色可供选择，我们先给同心圆①染色有4 种方法，那么圆环部分有3种颜色可供选择，即m=3,所以圆环 部分共有S=()30232)13()1(1355 =-=--+-种染色方法，从而整个圆形花坛共有120304=?种染色方法。 用常规方法同学们是否也能做到那么快和准确呢？ 二、结论的证明。 把圆(除中间同心圆部分)分成n 份( n > 1) , 每部分 染一种颜色且相邻。部分不能染同种颜色, 现有m (m > 1) 种不同颜色可供使用, 求不同的染色方法总数。 (1) 当m = 2时, n 为偶数时有2种栽种法,n 为奇数时无 解。 1-1
(2) 当m > 2时 设把圆分成的n 部分为n n T T T T T 、、、、1321...-。开始时,1T 有m 种不同的染色 法;1T 染好后, 2T 有m - 1 种染色法;21T T 、染好后,3T 也有m - 1种染色法; 这 样依次下去, 染色的方法总数为1)1(--n m m 。但是在这些染色方法中, 包括1 -n T 与n T 染同种颜色的情况,若某种染色法使1-n T 与n T 同色, 拆去1-n T 与n T 的边界后, 就是分圆为n-1部分, 相邻部分染不同颜色的方法。因此, 把圆分成n 部分时, 设染色方法的总数为n a , 当n = 2时, m m m m a -=-=22)1( 当n = 3、4、5、?时, 有 11)1(---=+n n n m m a a 此时问题可转化为: 在数列{n a }中，已知11)1(---?=+n n n m m a a 得： 2 23)1(a m m a --?= )1()1(2---?=m m m m )]1()1[(2---=m m m 334)1(a m m a --?= )]1()1()1[(23-+---=m m m m )]1()1()1()1[(2345---+---=m m m m m a …… ])1)(1(...)1()1()1[(321n n n n n m m m m m a --+--+---=--- )11(1])11(1[)1(11----- --=--m m m m a n n n ])11(1[)1(1-----=n n m m )1()1()1(1----=-m m n n )1()1()1(--+-=m m n n （m>2） 2-1
排列组合方法归纳大全
排列组合方法归纳大全 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为
四.定序问题倍缩空位插入策略 例人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 练习题： 1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 七.多排问题直排策略 例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是
高中数学排列组合难题十一种方法
高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = C 14A 34C 13 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
(word完整版)高中数学《排列组合染色问题》典例讲解
排列组合染色问题的探究 上饶县二中 徐 凯 在任教高二数学教学时，有许多同学被排列组合题的灵活性所困惑，甚至有学生向我询问有没有公式之类的解决途径，每道题都去分析似乎很累。其实就某些特殊的排列组合问题是可以抽象出数学模型来加以研究的，比如说下面我们所要提到的染色问题。 一、一个结论。 若把一个圆（除中间同心圆外的圆环部分）分成n 份( n > 1) , 每部分染一种颜色且相邻部分不能染同种颜色, 现有m (m > 1) 种不同颜色可供使用, 那么 共有S )1()1()1(--+-=m m n n 种染色方法。 例：在一个圆形花坛种颜色花卉，现有4种颜色可供选择，要求相邻两个区域不同色，则共有多少种方法？ 解：从图中可以发现除同心圆部分外的圆环部分被分成了 n=5份，因为有4种颜色可供选择，我们先给同心圆①染色有4 种方法，那么圆环部分有3种颜色可供选择，即m=3,所以圆环部 分共有S=()30232)13()1(1355 =-=--+-种染色方法，从而整个圆形花坛共有120304=?种染色方法。 用常规方法同学们是否也能做到那么快和准确呢？ 二、结论的证明。 把圆(除中间同心圆部分)分成n 份( n > 1) , 每部分染 一种颜色且相邻。部分不能染同种颜色, 现有m (m > 1) 种 不同颜色可供使用, 求不同的染色方法总数。 (1) 当m = 2时, n 为偶数时有2种栽种法,n 为奇数时无 解。 (2) 当m > 2时 设把圆分成的n 部分为n n T T T T T 、、、、1321...-。开始 时,1T 有m 种不同的染色法;1T 染好后, 2T 有m - 1 种染色 法;21T T 、染好后,3T 也有m - 1种染色法; 这样依次下去, 染色的方法总数为 1)1(--n m m 。但是在这些染色方法中, 包括1-n T 与n T 染同种颜色的情况,若某种染 色法使1-n T 与n T 同色, 拆去1-n T 与n T 的边界后, 就是分圆为n-1部分, 相邻部分 染不同颜色的方法。因此, 把圆分成n 部分时, 设染色方法的总数为 n a , 当n = 2时,m m m m a -=-=22)1( 当n = 3、4、5、?时, 有11)1(---=+n n n m m a a 此时问题可转化为: 1-1 2-1
排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版)
种。故不同插法的种数为：26A + 22A 16A =42 ，故选A 。 例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区 不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答） 解：由题意，选用3种颜色时，C 43种颜色，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色 方法有C 43A 33=24种4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有 C 21A 44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为72 六、混合问题--先选后排法 对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略． 例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案共有（ ）种 A. B.3种 C. 种 D. 解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有 种方法,分配到三 个不同的路口的不同的分配方案共有： 种，故选A 。 例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出 3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共 有（） A ．24种 B ．18种 C ．12种 D ．6种
解：黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C32种，在不同土质的三块土地上种植的方法是A33， ∴种法共有C32A33=18，故选B． 七．相同元素分配--档板分隔法 例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？本题考查组合问题。 解一：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有2 C种插法，即有15种分 6 法。 2、解二：由于书相同，故可先按阅览室的编号分出6本，此时已保证各阅览室所分得的书不小于其编号，剩下的4本书有以下四种分配方案：①某一阅览室独得4本，有种分法；②某两个阅览室分别得1本和3本，有种分法；③某两个阅览室各得2本，有种分法；④某一阅览室得2本，其余两阅览室各得1本，有种分法.由加法原理，共有不同的分法3+=15种. 八．转化法: 对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解 。例11 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他
全国知名初高中办学理念
办学理念集锦 执信中学执德至弘信道至笃 柳州高中做人格健全、自主发展的现代人 郧阳中学传承文明，进而不已，明德博学，和谐发展 湖滨中学塑造健全人格，陶冶美的心灵 渝北中学为每一位学生的可持续发展奠定基础 通安中学让爱心和责任润泽孩子心灵让方法和激情开启智慧之门盐城市一中对学生一生的发展和幸福负责 陈家中学创造适合学生理想发展的教育 洛社高级中学人文人本生活生命 都江堰中学以人为本，拾阶而上 容山中学承华夏传统，纳四海文明，育创新人才 温州中学英奇匡国、作圣启蒙 十六里河中学以人为本内涵发展 仲元中学养浩然之气,扬君子之风 德才中学促进城乡学生主动健康发展 文锦中学为了孩子的明天 大足中学为学生和谐、可持续发展奠基
嘉川中学以人为本，以学生发展为本，实施素质教育，对全体学生终身学习和发展负责，为每位师生创设实现人生价值的广阔平台 重庆市十一中构建学生健全人格，奠定学生发展基础 横山桥高级中学个别化教育，多元化发展 光华高级中学人人是才 夷陵中学以人为本，为学生的一生发展作准备 沙井中学以科研为先导，以改革为动力，不畏艰难、不懈努力、不断超越，培养科学与人文并重、能力和素质同在的身心健康、德智健全的合格公民 塘厦初级中学创造适合学生的教育，搭建教师发展的平台 邯郸市一中以师为本，励志博学，持续发展，追求卓越 零陵中学以人为本，全面发展 暨华中学开发潜能,发展个性 长山镇中学以学生发展为本、为民族复兴奠基 人民中学以人为本，和谐发展 潼南中学以人为本，开拓创新，突出特色，全面发展 华蓥中学面向高校，面向社会，面对现实，争创一流 常平中学以师生发展为根本，以知识管理为核心 七宝实验中学积聚我们的热情和智慧，实现为学生一生幸福和一生生命质量负责的教育服务 盛桥中学为学生终身发展奠基，对学生一生幸福负责
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略 与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。 一、区域涂色问题 1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。 例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜 色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？ 分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240???= 2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求 出不同的涂色方法种数。 例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。 分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；l （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ； （4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ； 所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120 例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色 1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有34A 种； 3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色， 4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色， 有44A 种，故用四种颜色时共有24 4A 种。由加法原理可知满足题意的着色方法② ① ③ ④ 2 4 3 1 5 ① ②③ ④ ⑤ ⑥
排列组合知识点与方法归纳 (1)
排列组合知识点与方法归纳 一、知识要点 （1）分类计数原理与分步计算原理 （1）分类计算原理（加法原理）： 完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m 1 种不同的方法，在第二类办法 中有m 2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这 件事共有N= m 1+ m 2 +…+ m n 种不同的方法。 （2）分步计数原理（乘法原理）： 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2 种不同的方法，……，做第n步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N= m 1 × m 2×…× m n 种不同的方法。 （2）排列 a)定义 从n个不同元素中取出m（）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的排列数，记为 . b)排列数的公式与性质 a)排列数的公式： =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）=
特例：当m=n时， =n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1规定：0！=1 b)排列数的性质： （Ⅰ） =（Ⅱ）（Ⅲ） （3）组合 a)定义 a)从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合 b)从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的组合数，用符号表示。 b)组合数的公式与性质 a)组合数公式：（乘积表示） （阶乘表示） 特例： b)组合数的主要性质： （Ⅰ）（Ⅱ）
（4）排列组合的区别与联系 （1）排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。 （2）注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系： 二、经典例题 例1、某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式是（） A .5种种 C. 7种 D. 8种 解：注意到购买3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，这里只讨论剩下的180元如何使用，可从购买软件的情形入手分类讨论：第一类，再买3片软件，不买磁盘，只有1种方法；第二类，再买2片软件，不买磁盘，只有1种方法； 第三类，再买1片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有2种方法；第四类，不买软件，再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘，有3种方法；于是由分类计数原理可知，共有N=1+1+2+3=7种不同购买方法，应选C。 例2、在中有4个编号为1，2，3，4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂法？
优秀中学校歌歌词
中学校歌歌词选辑 歌曲目录 《放飞梦想》--珠海九中 《金坛市尧塘中学校歌》 《温馨校园》--唐山市第49中学校歌《飞翔吧！》太谷二中--太谷二中校歌《高邮中学校歌》 《一路争辉》杭州建兰中学校歌 《你是多彩的花园》--东桥中学校歌《北京八一中学校歌》 《南京第九中学校歌》 《江西师大附中校歌》 《内蒙古师大附中校歌》 《射阳中学的校歌》 《夏湾中学校歌》 《明天太阳更辉煌》--舞阳一高校歌《昌江矿区中学校歌》 《再创辉煌的明天》—南阳市二十二中学校歌 《勇于实验，创造辉煌》--焦作市实验中学校歌 《奋进吧陕柴中学》—陕柴中学校歌歌词《龙港一中校歌》 《芦渎中学新校歌》 《八路中学校歌》（征求意见稿）《托起中华的明天》—浙江省余姚中学校歌 《东南宋中学校歌》 《洛社高级中学校歌》 《托起祖国的明天》--宝安高级中学校歌 《杜桥中学校歌》 《放飞共同的梦想》浙江省平湖中学校歌 《崭新的梦》—新北川中学校歌 《广东实验中学校歌》 《感恩安中》--安徽安丰中学校歌《飞翔》--满洲里远方中学校歌 《五指山农垦中学校歌》 《我的中学时光》—四川省隆昌县第三中学校歌 《中山市华侨中学校歌》 《苏州中学校歌》 《北京六十六中学校歌》 《朝气蓬勃》--葫芦岛市第一高级中学
高中校歌 《我们的明天》―郜营中学校歌 《蓝翔之歌》―蓝翔职校校歌 《放飞我们金色希望》—襄阳三中校歌 《青岛二中校歌》 《黄州区一中校歌》 《有雄心就有英雄》—圻春益才高中校歌 《晋梅颂》—黄枚县晋梅中学校歌《金陵大学附属中学校歌》 《腾飞职中》—云南绿春职业中学校歌 《丰城中学校歌》 《携手奋进向远方》—白马镇中学校歌 《树业之歌》—张家港沙洲中学校歌《走进四中放飞梦想》—从化四中校歌歌 《杜桥中学校歌》 《希望的晨曦》—上海市七宝中学校歌 《我们从这里起航》--淮北市第四中学校歌 《梦开始的地方》—广州市第四十七中学校歌 《台湾省建国中学校歌》 《托起中华的明天》—浙江省余姚中学校歌 《我们的乐园》—后宅中学校歌 《句容二中校歌》 《放飞我们金色希望》—襄阳三中校歌 《苏州市星海学校校歌》 《二技校之歌》--福州第二高级技工学校校歌 《乐在七中》—上饶县第七中学校歌《勇于实验，创造辉煌》--焦作市实验中学校歌 《湖北黄冈中学校歌》 《放飞理想》—高邮市三垛中学新版校歌歌词 《北海中学校歌》 《理想从这里起航》--天玉中学校歌《厦门一中校歌》 《四十中校歌》）
完整版排列组合的二十种解法最全的排列组合方法总结
教学目标 1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2. 掌握解决排列组合问题的常用策略 ；能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分 析问题的能力 3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题 复习巩固 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有 m i 种不同的方法，在第 2类办法中有m 2种不同的方 法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有： N m i m 2 L m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有叶种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，… 做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有: N mi m 2 L m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 ： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事 ，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少 类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题 （有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素 . 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置 . 先排末位共有C ； 然后排首位共有C 1 最后排其它位置共有 A 3 由分步计数原理得C 4C ；A ； 288 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 ，若以元素分析为主，需 先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位 置。若 有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里 多少不同的种法？ 二. 相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排 A 3 ,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，冋有 A 5 A 2 A 2 480种不同的
高中数学排列组合专题
排列组合 一．选择题（共5小题） 1．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有（） A．36种B．42种C．50种D．72种 2．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有（） A．8种 B．10种C．12种D．32种 3．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（） A．72 B．120 C．144 D．168 4．现将甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中，要求每个盒子至少放1个小球，且小球甲不能放在A盒中，则不同的放法有（） A．12种B．24种C．36种D．72种 5．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（） A．300种B．240种C．144种D．96种 二．填空题（共3小题） 6．某排有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，则不同的坐法有种． 7．四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）． 8．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的
插法共有种． 三．解答题（共8小题） 9．一批零件有9个合格品，3个不合格品，组装机器时，从中任取一个零件，若取出不合格品不再放回，求在取得合格品前已取出的不合格品数的分布列10．已知展开式的前三项系数成等差数列． （1）求n的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项． 11．设f（x）=（x2+x﹣1）9（2x+1）6，试求f（x）的展开式中： （1）所有项的系数和； （2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和． 12．求（x2+﹣2）5的展开式中的常数项． 13．求值C n5﹣n+C n+19﹣n． 14．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的种数．（1）选5名同学排成一行； （2）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端； （3）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端； （4）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端； （5）全体站成一排，男、女各站在一起； （6）全体站成一排，男生必须排在一起； （7）全体站成一排，男生不能排在一起； （8）全体站成一排，男、女生各不相邻； （9）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人； （10）全体站成一排，甲必须在乙的右边； （11）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变； （12）排成前后两排，前排3人，后排4人． 15．用1、2、3、4、5、6共6个数字，按要求组成无重复数字的自然数（用排列数表示）．
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略 江苏省阜宁中学 刘 佐 与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。 一、区域涂色问题 1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。 例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种 颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？ 分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240???= 2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理 求出不同的涂色方法种数。 例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。 分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ； （4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ； 所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120 例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色 1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有3A 种； ① ②③ ④ ⑤ ⑥
高中数学排列组合经典题型全面总结版
高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种
江苏省三星级以上高中学校
三星级高中的学校（198所） 南京市（18所） 南京市第五中学、南京市第三中学、南京市第四中学、南京市第二中学、南京市第六中学 南京市第十二中学、南京市第二十七中学、南京市人民中学、南京航空航天大学附属中学 南化公司第一中学、南京市大厂中学、南京市秦淮中学、南京市雨花台中学、江苏省江浦高级中学、江苏省溧水高级中学、南京大学附属中学南京市梅园中学、南京市燕子矶中学无锡市 (12所) 无锡市市北高级中学、无锡市青山高级中学、无锡市第三高级中学、无锡市东林中学、无锡市玉祁中学、无锡市洛社高级中学、江阴市祝塘中学、江阴市成化高级中学、宜兴市官林中学、宜兴市张渚高级中学、宜兴市和桥高级中学、宜兴市丁蜀高级中学 徐州市（19所） 徐州市第三中学、徐州市第七中学、徐州市高级中学、铜山县夹河中学、新沂市第一中学、新沂市第三中学、睢宁县中学、江苏省运河中学、徐州市第二中学、徐州市第五中学、铜山县棠张中学、铜山县茅村中学、睢宁县李集中学、沛县湖西中学、邳州市八义集中学、邳州市官湖中学、邳州市宿羊山高级中学、沛县中学、铜山县大许中学 常州市（17所） 常州市第二中学、常州市第三中学、常州市第五中学、常州市田家炳实验中学、常州市武进区湟里高级中学、常州市北郊中学、常州市武进区洛阳中学、常州市武进区横林中学、常州市武进区横山桥中学、溧阳市光华中学、溧阳市戴埠高级中学、溧阳市南渡高级中学、溧阳市埭头中学、金坛市第一中学、常州市武进区三河口中学、金坛市第四中学、金坛市直溪高级中学 苏州市（30所） 苏州市第三中学、苏州新区第一中学、苏州市相城区陆慕高级中学、苏州市吴中区苏苑中学、苏州市吴中区甪直中学、苏州大学附属中学、苏州工业园区唯亭中学、江苏省黄埭中学、吴县中学、吴江市中学、吴江市高级中学、吴江市盛泽中学、江苏省震泽中学、常熟市练塘中、常熟市王淦昌中学、常熟市莫城中学、常熟市梅李中学、常熟市浒浦中学、常熟市大义中学、太仓市实验高级中学、太仓市明德高级中学、昆山市震川高级中学、昆山市第一中学、张家港市塘桥高级中学、张家港市沙洲中学、张家港市乐余高级中学、张家港市暨阳高级中学、张家港市后塍高级中学、张家港市高级中学、昆山市陆家中学 南通市（17所） 江苏省南通中学、如东县栟茶中学、如东县马塘中学、如皋市搬经中学、如皋市江安中学 如皋市石庄中学、海门市包场中学、海门市三厂中学、海门市麒麟中学、海门市四甲中学、海安县曲塘中学、海安县李堡中学、启东市东南中学、启东市大江中学、启东市汇龙中学 如皋市第一中学、南通市西藏民族中学 连云港市（15所） 灌云县板浦中学、赣榆县厉庄中学、赣榆县赣马中、江苏省东海高级中学、东海县第二中学、灌南县中学、连云港市东方中学、赣榆县海头中学、赣榆县城头中学、赣榆县青口第一中学、灌云县伊山中学、灌云县扬集中学、东海县石榴中学、东海县房山中学、东海县白塔中学 淮安市（10所） 盱眙县中学、盱眙县马坝中学、江苏省金湖中学、淮安市淮州中学、淮安市清浦中学、洪泽县中学、涟水县郑梁梅中学、淮阴师范学院附属中学、淮安市淮海中学、洪泽县第二中学盐城市（16所）
排列组合中染色问题(教师用)
排列组合中的染色问题 辅导教师：朱屿 电话： 染色问题的基本要求：每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色 注意问题：颜色的种类，是否有颜色限制。必要时可对颜色进行分类。 1.将A 、B 、C 三种不同的颜色，填到如图所示区域中，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，颜色不能有剩余，则不同的涂法种数为（90） 解：9061 21212121213=-C C C C C C （详解:先从三种不同的颜色中选出一种填到第一个小格 中,后面每小格都有两种不同的选法,所以共有1 21212121213C C C C C C 种,但由于每种颜色都用到且不能有剩余有以下重复的现象出现共六种,所以总计有:90种,） 如果方格数有变化，应该怎样解？ 2.如图所示的花圃分成六个区域，现要栽四种不同的花，每一部分栽一种花色且相邻部分颜色不同，则不同的栽法种数为（120） 5 6 23 4 1 解：先安排1、2、3有243 4=A 种，不妨已分别栽A 、B 、C ，则4、5、6的栽法有 B-C-D B-D-C D-B-C D-B-D D-C-D 共计五种。所以共计有24*5=120种。 3.用五种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的填法种数为（260） 解：①.如果用4种颜色，有1204 5=A 种
1 43 2 ②.如果用3种颜色，选色的103 5=C ，填色方案有2*2*3=12种，共计10*12=120种， B B B C C C A A A B C A ③.用2色图，2022 5=?C ，综上共计120+120+20=260种。 4.用五种颜色涂如图所示的区域，有多少种不同的涂法？（180） 解： 1 4 3 2 ①.如果用3种颜色，603 335=?A C ； ②. .如果用4种颜色，有1204 5=A 种。所以共计180种。 5.用六种广告色着色图中区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色。（480） 14 3 2 解：4804456=??? 6.用n 种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，不同的图法种数为120种，则n=（120）。