高一数学奇偶性
高一数学奇偶性知识点
高一数学奇偶性知识点高中数学中，奇偶性是一个重要的概念。
了解数的奇偶性可以在解题过程中提供便利，因此理解和掌握数的奇偶性知识点对于高一数学学习者来说至关重要。
本文将介绍高一数学中常见的奇偶性知识点，帮助学生更好地理解和应用这些知识。
一、奇数和偶数的基本概念在开始探讨更深入的奇偶性知识之前，我们先来回顾一下奇数和偶数的基本概念。
奇数是指不能被2整除的整数，偶数则恰好相反，是可以被2整除的整数。
我们可以用一个简单的公式来表示奇数和偶数：奇数：2n + 1 (n为整数)偶数：2n (n为整数)其中，n为任意整数，通过这个公式，我们可以得到所有的奇数和偶数。
二、整数性质与奇偶性的关系整数有一些特殊的性质与奇偶性密切相关。
下面介绍几个常见的性质：1. 两个奇数的和是偶数，两个偶数的和也是偶数；2. 一个奇数和一个偶数的和是奇数；3. 两个奇数的乘积是奇数，两个偶数的乘积是偶数；4. 一个奇数和一个偶数的乘积是偶数。
这些性质在解题过程中经常会被用到，同学们需要熟练掌握。
三、口诀“差奇和偶，乘偶和偶”在解题中的应用为了更好地应用奇偶性知识进行解题，我们可以借助一个简单的口诀：“差奇和偶，乘偶和偶”。
该口诀的含义是，两个数相减，若一个奇数一个偶数，则差为奇数；两个数相乘，若其中有一个数为偶数，则乘积为偶数。
通过使用这个口诀，我们可以在解答一些题目时迅速判断结果的奇偶性，从而节省时间和提高效率。
四、数列中的奇偶性在数列中，奇偶性也是一个重要的概念。
我们来看看一些常见的数列奇偶性规律：1. 交替数列：每一项与前一项的奇偶性相反。
比如：1，-2，3，-4，5，-6...2. 连续奇数数列：首项为奇数，公差为2。
3. 连续偶数数列：首项为偶数，公差为2。
通过了解数列中的奇偶性规律，我们可以更好地理解和分析数列，从而在解答与数列相关的问题时更加得心应手。
五、概率问题中的奇偶性在概率问题中，奇偶性也扮演着重要的角色。
考虑以下两个例子：1. 抛掷硬币：抛一枚公正的硬币，正面和反面的概率都是1/2。
高一数学奇偶性
高一奇偶性知识点总结
高一奇偶性知识点总结高一阶段，奇偶性是数学中一个重要的概念。
了解奇偶性有助于我们更好地解决数学问题，尤其是在代数和图形方面。
本文将就高一奇偶性知识点进行总结，希望可以对大家的学习有所帮助。
一、奇数与偶数的定义首先，我们要了解奇数和偶数的定义。
奇数是指除以2余1的自然数，例如1、3、5等；而偶数是指能够被2整除的自然数，例如2、4、6等。
二、奇偶性性质1. 偶数加偶数等于偶数：当我们将两个偶数相加，其结果仍然是偶数。
因为两个偶数可以表示为2的倍数，所以其和也可以表示为2的倍数。
2. 奇数加奇数等于偶数：当我们将两个奇数相加，其结果是偶数。
因为两个奇数可以表示为2的倍数加1，所以其和可以表示为2的倍数再加上1，即奇数加奇数的和是偶数。
3. 偶数加奇数等于奇数：当我们将一个偶数与一个奇数相加，其结果是奇数。
因为偶数可以表示为2的倍数，奇数可以表示为2的倍数加1，所以其和可以表示为2的倍数再加上1，即偶数加奇数的和是奇数。
4. 偶数乘以偶数等于偶数：当我们将两个偶数相乘，其结果是偶数。
因为两个偶数可以表示为2的倍数，所以其积也可以表示为2的倍数。
5. 奇数乘以奇数等于奇数：当我们将两个奇数相乘，其结果是奇数。
因为两个奇数可以表示为2的倍数加1，所以其积可以表示为2的倍数加1，即奇数乘以奇数的积是奇数。
6. 偶数乘以奇数等于偶数：当我们将一个偶数与一个奇数相乘，其结果是偶数。
因为偶数可以表示为2的倍数，奇数可以表示为2的倍数加1，所以其积可以表示为2的倍数再加上偶数，即偶数乘以奇数的积是偶数。
三、应用奇偶性解题奇偶性可以帮助我们解答一些数学问题。
例如，我们可以通过奇偶性来判断一个数的因数个数。
如果一个整数可以被其他整数整除，那么这个整数一定是偶数，因为偶数可以被2整除。
而如果一个整数不能被其他整数整除，那么这个整数一定是奇数，因为奇数只能被1和自身整除。
此外，奇偶性还可以用于证明一些数学定理。
在代数方面，我们可以利用奇偶性证明某些等式的成立性。
高一数学知识点奇偶性
高一数学知识点奇偶性数学中的奇偶性是指数的特性，即一个数是奇数还是偶数。
本文将介绍高一数学中涉及到的奇偶性相关的知识点，包括奇数、偶数、奇偶校验和函数的奇偶性。
1. 奇数与偶数奇数是能被2整除余1的整数，例如1、3、5等。
而偶数则是能被2整除的整数，例如2、4、6等。
由此可见，奇数与偶数在除以2的余数上有明显的差异。
在高一数学中，奇偶数的性质非常常见且重要。
奇数与奇数相加、相乘，结果仍为奇数。
偶数与偶数相加、相乘，结果同样为偶数。
而奇数与偶数相加，结果为奇数，相乘则为偶数。
这些性质在解题和证明中经常会用到，需要加以掌握。
2. 奇偶校验奇偶校验是一种常用的信息传输校验方式，用来检测在传输过程中是否存在错误。
它利用了奇偶性的特性来实现校验。
奇偶校验的基本原理是：给定一个二进制数，统计其中1的个数，如果结果为偶数，则在数的最高位添加一个1，构成一个奇数；如果结果为奇数，则在数的最高位添加一个0，构成一个偶数。
这样，接收端在接收到数据后，再次进行奇偶校验，若结果与发送端的奇偶校验位相同，则说明传输没有错误。
奇偶校验在计算机领域中广泛应用，特别是在数据传输和存储方面。
了解奇偶校验的原理及其应用，对理解计算机相关知识具有重要的帮助。
3. 函数的奇偶性在高一数学中，函数的奇偶性也是一个重要的概念。
函数的奇偶性描述了函数图像关于坐标轴的对称性。
对于一个函数f(x)，如果对于任意x，f(-x) = f(x)，则该函数称为偶函数。
换句话说，偶函数在x轴上对称。
例如，y = x^2就是一个典型的偶函数。
另一方面，如果对于任意x，f(-x) = -f(x)，则该函数称为奇函数。
奇函数关于坐标原点对称。
例如，y = x^3就是一个典型的奇函数。
通过判断函数的奇偶性，我们可以简化函数图像的绘制过程，更好地理解和分析函数的性质。
总结：奇偶性是高一数学中重要的知识点。
掌握奇数与偶数的性质，了解奇偶校验的原理和应用，以及函数的奇偶性对于解题和理解数学概念都具有重要的作用。
高一数学奇偶性
1.3.2函数的奇偶性
1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
2
2 例如，函数 f ( x) x 1, f ( x) x 2 1 都是偶 函数，
它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.
观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发 现两个函数图象有什么共同特征吗？
课堂练习
判断下列函数的奇偶性：
1 (1) f ( x) x x (3) f ( x) 5 (5) f ( x) x 1
(2) f ( x) x 1
2
(4) f ( x) 0 (6) f ( x) x , x [1,3]
2
3.奇偶函数图象的性质
1、奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原 点对称，那么就称这个函数为奇函数. 2、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称， 那么就称这个函数为偶函数.
例5、判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x ) x
4 5
(2) f ( x ) x
1 (3) f ( x ) x x 1 (4) f ( x) 2 x
3.用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；
(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
注意： 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性， 函数的奇偶性是函数的整体性质；
2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的 一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则 －x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关 于原点对称）．
高一数学函数的奇偶性(经典复习资料)
〖一方教育〗函数的奇偶性一、函数奇偶性的判断：1、定义域关于原点对称；2、奇函数()()x f x f -=-，偶函数()()x f x f =-；3、奇函数图像关于原点对称、偶函数图像关于y 轴对称。
1、奇偶性的判断①242)(x x x f +=; ②]1,1(,2)(3-∈+=x x x x f ; ③32)(2++=x x x f ;④24)(---=x x x f ;⑤2)(=x f ;⑥]2,1(,0)(-∈=x x f .⑦22)(34--=x x x x f ; ⑧|1||1|)(++-=x x x f ; ⑨xx x x f -+-=11)1()(; ⑩作出函数32)(2--=x x x f ;的图像.并判断函数)(x f 奇偶性（11）.求证：函数⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y 是奇函数。
二、奇偶性的性质2、求值①已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，求(0)f 的值．②已知函数2()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，求实数m 的值．③已知f(x)=x 5+2x 3+3x-8, f(-2)=10, f(2)=④若(),155,8)(57-=-+++=f cx bx ax x f 求)5(f . ⑤设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则()7.5f = 。
⑥已知函数y=()f x 是定义域为R 的偶函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2-4x,试求方程f(x)=-3的解集。
3、求解析式①已知函数)(x f y =在R 上是奇函数,且在),0(+∞x x x f 2)(2-=,求)(x f 解析式.②已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f(x)=x |x －2|，求x<0时，f(x)的解析式．③已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且当x>0时，f(x)=x 2-2x+1,试求函数y=f(x)的表达式，并画出y=f(x)的图象。
高一数学 函数的奇偶性
奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.知识点一函数奇偶性的几何特征思考下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？答案①②关于y轴对称，③④关于原点对称.梳理一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数.知识点二函数奇偶性的定义思考1为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？答案因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断.思考2利用点对称来刻画图象对称有什么好处？答案好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图象关于y轴(原点)对称，反之亦然.(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图象也能操作.梳理函数奇偶性的概念：(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上.(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)图象上.知识点三奇(偶)函数的定义域特征思考如果一个函数f(x)的定义域是(－1,1]，那么这个函数f(x)还具有奇偶性吗？答案 由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x ，其相反数－x 必须也在定义域内，才能进一步判断f (－x )与f (x )的关系.而本问题中，1∈(－1,1]，－1∉(－1,1]，f (－1)无定义，自然也谈不上是否与f (1)相等了.所以该函数既非奇函数，也非偶函数.梳理 一般地，判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称.类型一 证明函数的奇偶性命题角度1 已知函数解析式，证明奇偶性 例1 (1)证明f (x )＝x 3－x 2x －1既非奇函数又非偶函数；(2)证明f (x )＝(x ＋1)(x －1)是偶函数；(3)证明f (x )＝1－x 2＋x 2－1既是奇函数又是偶函数.证明 (1)因为它的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f (x )＝x 3－x 2x －1既非奇函数又非偶函数. (2)函数的定义域为R ，因函数f (x )＝(x ＋1)(x －1)＝x 2－1，又因f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝f (x )，所以函数为偶函数.(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为偶函数.又f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为奇函数.即该函数既是奇函数又是偶函数.反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定属于定义域. 跟踪训练1 (1)证明f (x )＝(x －2) 2＋x2－x既非奇函数又非偶函数； (2)证明f (x )＝x |x |是奇函数.证明 (1)由2＋x2－x ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数.(2)函数的定义域为R ，因f (－x )＝(－x )|－x |＝－x |x |＝－f (x )，所以函数为奇函数. 命题角度2 证明分段函数的奇偶性例2 判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋5)2－4，x ∈(－6，－1]，(x －5)2－4，x ∈[1，6)的奇偶性.解 由题意可知f (x )的定义域为(－6，－1]∪[1,6)， 关于原点对称，当x ∈(－6，－1]时，－x ∈[1,6)，所以f (－x )＝(－x －5)2－4＝(x ＋5)2－4＝f (x )； 当x ∈[1,6)时，－x ∈(－6，－1]，所以f (－x )＝(－x ＋5)2－4＝(x －5)2－4＝f (x ). 综上可知对于任意的x ∈(－6，－1]∪[1,6)， 都有f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋5)2－4，x ∈(－6，－1]，(x －5)2－4，x ∈[1，6)是偶函数.反思与感悟 分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点：(1)定义域是否关于原点对称；(2)对于定义域内的任意x ，是否都有f (－x )＝f (x )(或－f (x ))，只不过对于不同的x ，f (x )有不同的表达式，要逐段验证是否都有f (－x )＝f (x )(或－f (x )).跟踪训练2 证明f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x <0，x 2，x >0是奇函数.证明 定义域为{x |x ≠0}. 若x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝x 2，f (x )＝－x 2， ∴f (－x )＝－f (x )； 若x >0，则－x <0，∴f (－x )＝－(－x )2＝－x 2，f (x )＝x 2， ∴f (－x )＝－f (x )；即对任意x ≠0，都有f (－x )＝－f (x ). ∴f (x )为奇函数.命题角度3 证明抽象函数的奇偶性例3 f (x )，g (x )是定义在R 上的奇函数，试判断y ＝f (x )＋g (x )，y ＝f (x )g (x )，y ＝f [g (x )]的奇偶性. 解 ∵f (x )，g (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＋g (－x )＝－f (x )－g (x )＝－[f (x )＋g (x )]，y ＝f (x )＋g (x )是奇函数. f (－x )g (－x )＝[－f (x )][－g (x )]＝f (x )g (x )，y ＝f (x )g (x )是偶函数. f [g (－x )]＝f [－g (x )]＝－f [g (x )]，y ＝f [g (x )]是奇函数.反思与感悟 利用基本的奇(偶)函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数，判断这些新函数的奇偶性，主要是代入－x ，看总的结果.跟踪训练3 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A.f (x )g (x )是偶函数 B.|f (x )|g (x )是奇函数 C.f (x )|g (x )|是奇函数 D.|f (x )g (x )|是奇函数 答案 C解析 A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，A 错. B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错.C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确.D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错.类型二奇偶性的应用命题角度1奇(偶)函数图象的对称性的应用例4定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示.(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图.(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2).引申探究把例4中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题.解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2).反思与感悟鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性.跟踪训练4已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示.(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f (x )<0的x 的取值集合. 解 (1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O ，A ，B ，C ，D . 分别描出它们关于原点的对称点O ′，A ′，B ′，C ′，D ′， 再用光滑曲线连接即得.(2)由(1)图可知，当且仅当x ∈(－2,0)∪(2,5)时，f (x )<0. ∴使f (x )<0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5). 命题角度2 利用函数奇偶性的定义求值例5 若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________. 答案 13解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13，f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1.又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝13(－x )2＋b (－x )＋b ＋1＝f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1，对定义域内任意x 恒成立，即2bx ＝0对任意x ∈[－23，23]恒成立，∴b ＝0.综上，a ＝13，b ＝0.反思与感悟 函数奇偶性的定义有两处常用：①定义域关于原点对称；②对定义域内任意x ，恒有f (－x )＝f (x )(或－f (x ))成立，常用这一特点得一个恒成立的等式，或对其中的x 进行赋值.跟踪训练5 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.答案 0解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝－f (－2)，f (1)＝－f (－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＝－2，a ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. 当a ＝－1，b ＝1时，经检验知f (x )为奇函数，故a ＋b ＝0.1.下列函数为偶函数的是()A.f(x)＝x－1B.f(x)＝x2＋xC.f(x)＝2x－2－xD.f(x)＝2x＋2－x答案D解析D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数.2.函数f(x)＝x(－1<x≤1)的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数答案C3.已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)等于()A.－1B.1C.－5D.5答案D解析函数y＝f(x)＋x是偶函数，∴x＝±2时函数值相等.∴f(－2)－2＝f(2)＋2，∴f(－2)＝5，故选D.4.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是()A.1B.2C.3D.4答案B5.下列说法错误的个数是()①图象关于原点对称的函数是奇函数；②图象关于y轴对称的函数是偶函数；③奇函数的图象一定过原点；④偶函数的图象一定与y轴相交；⑤既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R).A.4B.3C.2D.0答案B1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数.2.两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.课时作业一、选择题1.已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a ，b }，则a ＋b 等于( ) A.－1 B.1 C.0 D.2 答案 A解析 因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a ，b }， 根据奇函数的定义域关于原点对称， 所以a 与b 有一个等于1，一个等于－2， 所以a ＋b ＝1＋(－2)＝－1， 故选A.2.设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3 答案 A解析 ∵f (x )是奇函数， 当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.3.设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A.f (x )＋|g (x )|是偶函数 B.f (x )－|g (x )|是奇函数 C.|f (x )|＋g (x )是偶函数 D.|f (x )|－g (x )是奇函数 答案 A解析 由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )， 由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )， 故|g (x )|为偶函数， ∴f (x )＋|g (x )|为偶函数.4.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A.－13B.13 C.12 D.－12答案 B解析 依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴a ＝13，则a ＋b ＝13.5.函数f (x )＝|x ＋1|－|x －1|为( ) A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数也是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数 答案 A解析 f (x )的定义域为R ，对于任意x ∈R ，f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数.又f (－1)＝－2，f (1)＝2，f (－1)≠f (1)， ∴f (x )不是偶函数.6.设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (3)＝0，则不等式f (x )－f (－x )2>0的解集为( )A.(－3,0)∪(3，＋∞)B.(－3,0)∪(0,3)C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)D.(－∞，－3)∪(0,3) 答案 A解析 ∵f (x )为奇函数，f (3)＝0， ∴f (－3)＝0.又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0)上也为增函数， ∴f (x )－f (－x )2＝f (x )>0， ①当x >0时，则f (x )>f (3)＝0，∴x >3； ②当x <0时，则f (x )>f (－3)＝0，∴－3<x <0， 综上可得，原不等式的解集为(－3,0)∪(3，＋∞). 二、填空题7.已知函数y ＝f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________. 答案 0解析 由于偶函数的图象关于y 轴对称，所以偶函数的图象与x 轴的交点也关于y 轴对称，因此，四个交点中，有两个在x 轴的负半轴上，另两个在x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为0. 8.若函数f (x )＝x 2－1＋a －x 2为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为________. 答案 a >1解析 ∵函数f (x )＝x 2－1＋a －x 2为偶函数且非奇函数， ∴f (－x )＝f (x )且f (－x )≠－f (x ).又∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，a －x 2≥0，∴a ≥1.当a ＝1时，函数f (x )＝x 2－1＋a －x 2为偶函数且为奇函数， 故a >1.9.已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________.答案 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.10.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x <0，x (1＋x )，x >0为________.(填“奇函数”或“偶函数”)答案 奇函数解析 定义域关于原点对称，且f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (1＋x )，－x <0，－x (1－x )，－x >0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (1＋x )，x >0，－x (1－x )，x <0 ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数. 三、解答题11.判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋x 5； (2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|； (3)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1.解 (1)函数的定义域为R .∵f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数. (2)f (x )的定义域是R .∵f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )是偶函数. (3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数. 12.若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，求实数a 的值. 解 ∵函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |， ∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，即|x －a |＝|x ＋a |， ∴a ＝0.13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 解 (1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，即1－m ＝－(－1＋2)， 解得m ＝2.经检验m ＝2时函数f (x )是奇函数. 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]. 四、探究与拓展14.设奇函数f (x )的定义域为[－6,6]，当x ∈[0,6]时，f (x )的图象如图所示，不等式f (x )<0的解集用区间表示为________.答案 [－6，－3)∪(0,3)解析 由f (x )在[0,6]上的图象知，满足f (x )<0的不等式的解集为(0,3).又f (x )为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3).综上可知，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)∪(0,3). 15.已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25，求函数f (x )的解析式. 解 ∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴f (0)＝0，即b1＋02＝0，∴b ＝0.又∵f ⎝⎛⎭⎫12＝12a 1＋14＝25， ∴a ＝1，∴f (x )＝x1＋x 2.第2课时 奇偶性的应用学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式.3.理解函数的奇偶性的推广——对称性.知识点一 用奇偶性求解析式思考 函数f (x )在区间[a ，b ]上的解析式与该区间函数图象上的点(x ，y )有什么关系？答案 点(x ，y )满足y ＝f (x ).梳理 一般地，求解析式的任务就是要找到一个含有自变量因变量的等式，该等式同时满足两个条件： ①定义域符合要求；②图象上任意一点均满足该式.特别地，如果知道函数的奇偶性和一个区间[a ，b ]上的解析式，想求对称区间[－b ，－a ]上的解析式，那么就可以设出关于原点对称区间[－b ，－a ]上任一点(x ，y )，通过关于原点(或y 轴)的对称点(－x ，－y )(或(－x ，y ))满足的关系式间接找到(x ，y )所满足的解析式.知识点二 奇偶性与单调性思考 观察偶函数y ＝x 2与奇函数y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？ 答案 偶函数y ＝x 2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；奇函数y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同.梳理 一般地，若函数f (x )为奇函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相同的单调性；若函数f (x )为偶函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相反的单调性. 知识点三 奇偶性的推广思考 对于定义域内任意x ，若f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )的图象关于(0,0)对称，那么若f (1－x )＝－f (1＋x )，函数f (x )的图象又有什么特点？答案 设1－x ＝x 1,1＋x ＝x 2，则有⎩⎨⎧x 1＋x 22＝1，f (x 1)＋f (x 2)2＝0， 即点(x 1，f (x 1))与点(x 2，f (x 2))关于点(1,0)对称. 梳理 一般地，对于定义域内任意x ， (1)若f (a －x )＝2b －f (a ＋x )，则f (x )图象关于点(a ，b )对称.当a ＝b ＝0时，即为奇函数定义. (2)若f (a －x )＝f (a ＋x )，则f (x )图象关于直线x ＝a 对称，当a ＝0时，即为偶函数定义.类型一 用奇偶性求解析式命题角度1 已知区间[a ，b ]上的解析式，求[－b ，－a ]上的解析式例1 函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求当x <0时，f (x )的解析式.解 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1，又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，f (x )＝－x －1.反思与感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x ，此时－x 成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式. 跟踪训练1 已知y ＝f (x )是定义在 R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －x 2.求y ＝f (x )的解析式. 解 设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－[2(－x )－(－x )2]＝2x ＋x 2.因为y ＝f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，2x －x 2，x >0. 命题角度2 已知一奇一偶两函数之和，求这两个函数的解析式例2 设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式. 解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，由f (x )＋g (x )＝1x －1. ① 用－x 代替x 得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1， ∴f (x )－g (x )＝1－x －1， ② (①＋②)÷2，得f (x )＝1x 2－1； (①－②)÷2，得g (x )＝x x 2－1. 反思与感悟 f (x )＋g (x )＝1x －1对定义域内任意x 都成立，所以可以对x 任意赋值，如x ＝－x . 因为f (x )，g (x )一奇一偶，才能把－x 的负号或提或消，最终得到关于f (x )，g (x )的二元方程组，从中解出f (x )和g (x ).跟踪训练2 设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋2x ，求函数f (x )，g (x )的解析式.解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，由f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2. ①用－x 代替x 得f (－x )＋g (－x )＝－2x ＋(－x )2，∴f (x )－g (x )＝－2x ＋x 2， ②(①＋②)÷2，得f (x )＝x 2；(①－②)÷2，得g (x )＝2x .类型二 奇偶性对单调性的影响命题角度1 由x 的取值情况推导f (x )的取值情况例3 设f (x )是偶函数，在区间[a ，b ]上是减函数，试证f (x )在区间[－b ，－a ]上是增函数.证明 设x 1，x 2是区间[－b ，－a ]上任意两个值，且有x 1＜x 2.∵－b ≤x 1＜x 2≤－a ，∴a ≤－x 2＜－x 1≤b .∵f (x )在[a ，b ]上是减函数，∴f (－x 2)＞f (－x 1).∵f (x )为偶函数，即f (－x )＝f (x )，∴f (－x 2)＝f (x 2)，f (－x 1)＝f (x 1).∴f (x 2)＞f (x 1)，即f (x 1)＜f (x 2).∴函数f (x )在区间[－b ，－a ]上是增函数.引申探究区间[a ，b ]和[－b ，－a ]关于原点对称.(1)若f (x )为奇函数，且在[a ，b ]上有最大值M ，则f (x )在[－b ，－a ]上有最________值________.(2)若f (x )为奇函数，f (x )＋2在[a ，b ]上有最大值M ，则f (x )＋2在[－b ，－a ]上有最________值________. 答案 (1)小 －M (2)小 －M ＋4解析 (1)设x ∈[－b ，－a ]，则－x ∈[a ，b ]，∴f (－x )≤M 且存在x 0∈[a ，b ]，使f (x 0)＝M .∵f (x )为奇函数，∴－f (x )≤M ，f (x )≥－M ，且存在－x 0∈[－b ，－a ]，使f (－x 0)＝－M .∴f (x )在[－b ，－a ]上有最小值－M .(2)由(1)知，f (x )在[a ，b ]上有最大值M －2时，f (x )在[－b ，－a ]上有最小值－M ＋2.∴f (x )＋2在[－b ，－a ]上有最小值－M ＋4.反思与感悟 与求解析式一样，证哪个区间上的单调性，设x 1，x 2属于哪个区间.同样，求哪个区间上的最值，也设x 属于哪个区间.跟踪训练3 已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，有f (x )＝x ＋1x ＋2，则当x ∈[－4，－1]时，求函数f (x )的值域.解 设1≤x 1<x 2≤4，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1＋2－x 2＋1x 2＋2＝(x 1＋1)(x 2＋2)－(x 1＋2)(x 2＋1)(x 1＋2)(x 2＋2) ＝x 1－x 2(x 1＋2)(x 2＋2). 因为1≤x 1<x 2≤4，所以x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，所以x 1－x 2(x 1＋2)(x 2＋2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0， 所以f (x 1)<f (x 2).故函数f (x )在[1,4]上是增函数，所以当x ∈[1,4]时，函数f (x )的值域是[23，56]. 因为y ＝f (x )是偶函数，所以当x ∈[－4，－1]时，函数f (x )的值域也是[23，56]. 命题角度2 由f (x )的取值情况推导x 的取值情况例4 已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________. 答案 (－1,3)解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (x －1)＝f (|x －1|)，又f (2)＝0，∴f (x －1)>0，即f (|x －1|)>f (2)，∵|x －1|,2∈[0，＋∞)，且f (x )在[0，＋∞)上单调递减.∴|x －1|<2，即－2<x －1<2，∴x 的取值范围为(－1,3).反思与感悟 若f (x )在[a ，b ]上单调递增，则x 1，x 2∈[a ，b ]时，可由f (x 1)<f (x 2)推知x 1<x 2.但是如果不知道x 1或x 2是否在[a ，b ]内呢？这时如果已知函数奇偶性，可以借助奇偶性把x 1，x 2转化为在已知区间[a ，b ]内，如本例中x －1是否属于[0，＋∞)不确定，但是|x －1|∈[0，＋∞).跟踪训练4 奇函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，解不等式f (x －1)＋f (2x ＋3)>0.解 ∵f (x )在[0，＋∞)上单调递减且为奇函数，∴f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴f (x －1)＋f (2x ＋3)>0⇔f (x －1)>－f (2x ＋3)＝f (－2x －3)⇔x －1<－2x －3，解得x <－23，∴原不等式解集为{x |x <－23}. 类型三 对称问题例5 定义在R 上的奇函数f (x )满足：f (x －4)＝－f (x )，且x ∈[0,2]时，f (x )＝x ，试画出f (x )的图象. 解 ∵f (x )是奇函数，∴f (x －4)＝－f (x )＝f (－x )，∴f(x)关于直线x＝－2对称.反复利用f(x)关于原点对称又关于直线x＝－2对称，可画出f(x)的图象如图：反思与感悟奇偶性推广到一般的对称性后，要善于抓住特征识别对称中心(或对称轴)，而应用对称性与应用奇偶性完全类似.跟踪训练5定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且x∈[0,2]时，f(x)＝x.试画出f(x)的图象.解∵f(x)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称.又∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x)关于点C(－2,0)对称.反复利用f(x)关于(－2,0)对称又关于y轴对称，可画出的图象如图：1.f(x)＝x2＋|x|()A.是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数B.是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数C.不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数D.是偶函数，且在(0，＋∞)是增函数答案D2.已知f(x)是奇函数，且x>0时，f(x)＝x－1，则x<0时f(x)等于()A.x＋1B.x－1C.－x－1D.－x＋1答案A3.若奇函数f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是()A.单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数C.单调递增的偶函数D.单调递增的奇函数答案B4.定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则一定可得()A.a<bB.a>bC.|a|<|b|D.0≤a<b或a>b≥0答案C5.已知对于函数f(x)＝x2＋ax定义域内任意x，有f(1－x)＝f(1＋x)，则实数a等于()A.1B.－1C.2D.－2答案D1.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称.2.(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论.3.具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性.(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.课时作业一、选择题1.已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是()A.(－∞，1)B.(－∞，－1)C.(0,1)D.[－1,1)答案A解析由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，f(x)<f(1)等价于x<1.故选A.2.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)等于()A.x2B.2x2C.2x2＋2D.x2＋1答案D解析∵f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，①∴f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.又f(x)是偶函数，且g(x)是奇函数，∴f (x )－g (x )＝x 2－3x ＋1.②由①②联立，得f (x )＝x 2＋1.3.若函数f (x )是R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是( )A.f (－3)>f (0)>f (1)B.f (－3)>f (1)>f (0)C.f (1)>f (0)>f (－3)D.f (1)>f (－3)>f (0)答案 B解析 ∵f (－3)＝f (3)，且f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f (－3)>f (1)>f (0).4.设f (x )是奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤m (m <0)，则f (x )的值域是( )A.[m ，－m ]B.(－∞，m ]C.[－m ，＋∞)D.(－∞，m ]∪[－m ，＋∞)答案 D解析 当x ≥0时，f (x )≤m ；当x ≤0时，－x ≥0，所以f (－x )≤m ，因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )≤m ，即f (x )≥－m .5.定义在R 上的函数f (x )在(－∞，2)上是增函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立，则( )A.f (－1)＜f (3)B.f (0)＞f (3)C.f (－1)＝f (3)D.f (0)＝f (3)答案 A解析 f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (3)＝f (1)，由于f (x )在(－∞，2)上是增函数，所以f (－1)＜f (1)＝f (3).6.设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x＜0的解集为( ) A.(－1,0)∪(1，＋∞)B.(－∞，－1)∪(0,1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－1,0)∪(0,1)答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，f (x )－f (－x )x ＜0，即f (x )x＜0， ∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数且f (1)＝0，∴当x ＞1时，f (x )＜0.∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f (x )为减函数且f (－1)＝0，即x ＜－1时，f (x )＞0.综上使f (x )x＜0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞). 二、填空题7.若函数f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的递减区间是________.答案 [0，＋∞)解析 利用函数f (x )是偶函数，得k －1＝0，k ＝1，所以f (x )＝－x 2＋3，其单调递减区间为[0，＋∞).8.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是________. 答案 (13，23) 解析 由于f (x )是偶函数，因此f (x )＝f (|x |)，∴f (|2x －1|)<f (13)，再根据f (x )的单调性， 得|2x －1|<13，解得13<x <23. 9.已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.答案 －1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，∴f (－x )＋(－x )2＝－[f (x )＋x 2]，∴f (x )＋f (－x )＋2x 2＝0，∴f (1)＋f (－1)＋2＝0.∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3.∵g (x )＝f (x )＋2，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1.10.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，g (x )，x ＜0为奇函数，则f [g (－1)]＝________. 答案 －15解析 当x ＜0时，则－x ＞0，由f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝(－x )2－2x ＝x 2－2x ，所以f (x )＝－x 2＋2x .即g (x )＝－x 2＋2x ，因此，f [g (－1)]＝f (－3)＝－9－6＝－15.三、解答题11.已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3.(1)试求f (x )在R 上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.解 (1)因为函数f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数，则f (0)＝0.设x <0，则－x >0，因为x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3.所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3.于是有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.(2)先画出函数在y 轴右侧的图象，再根据对称性画出y 轴左侧的图象，如图.由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1).12.设函数f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，求实数a 的取值范围.解 由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，可知f (x )在(0，＋∞)上单调递减.∵2a 2＋a ＋1＝2(a ＋14)2＋78>0， 2a 2－2a ＋3＝2(a －12)2＋52>0， 且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，∴2a 2＋a ＋1>2a 2－2a ＋3，即3a －2>0，解得a >23. ∴实数a 的取值范围是a ＞23. 13.已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174. (1)求a ，b ，c 的值；(2)试判断函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上的单调性并证明.解 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－ax －b x ＋c ＝－ax －b x－c ， ∴c ＝0，∴f (x )＝ax ＋b x. 又∵f (1)＝52，f (2)＝174， ∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174.∴a ＝2，b ＝12. 综上，a ＝2，b ＝12，c ＝0. (2)由(1)可知f (x )＝2x ＋12x. 函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数. 证明如下：任取0<x 1<x 2<12， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋12x 1－2x 2－12x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－12x 1x 2＝(x 1－x 2)4x 1x 2－12x 1x 2. ∵0<x 1<x 2<12， ∴x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2).∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数. 四、探究与拓展14.已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________. 答案 (－7,3)解析 因为f (x )为偶函数，所以f (|x ＋2|)＝f (x ＋2)，则f (x ＋2)<5可化为f (|x ＋2|)<5，则|x ＋2|2－4|x ＋2|<5，即(|x ＋2|＋1)(|x ＋2|－5)<0，所以|x ＋2|<5，解得－7<x <3，所以不等式f (x ＋2)的解集是(－7,3).15.已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋ax .(1)若a ＝－2，求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )为R 上的单调减函数，①求a 的取值范围；②若对任意实数m ，f (m －1)＋f (m 2＋t )<0恒成立，求实数t 的取值范围. 解 (1)当x <0时，－x >0，又∵f (x )为奇函数，且a ＝－2，∴f (x )＝－f (－x )＝x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x <0，－x 2－2x ，x ≥0. (2)①当a ≤0时，对称轴x ＝a 2≤0， ∴f (x )＝－x 2＋ax 在[0，＋∞)上单调递减，由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，又在(－∞，0)上f (x )>0，在(0，＋∞)上f (x )<0，∴当a ≤0时，f (x )为R 上的单调减函数.当a >0时，f (x )在(0，a 2)上单调递增，在(a 2，＋∞)上单调递减，不合题意. ∴函数f (x )为单调减函数时，a 的取值范围为a ≤0.②∵f (m －1)＋f (m 2＋t )<0，∴f (m －1)<－f (m 2＋t )，又∵f (x )是奇函数，∴f (m －1)<f (－t －m 2)，又∵f (x )为R 上的单调减函数，∴m －1>－t －m 2恒成立，∴t >－m 2－m ＋1＝－(m ＋12)2＋54恒成立， ∴t >54.。
高一数学函数奇偶性知识点归纳
高一数学函数奇偶性知识点归纳在高中数学学习中，函数是一个非常重要的内容，而其中奇偶性是函数的一个重要性质。
了解函数的奇偶性对于理解函数图像的对称性，解题以及应用等方面都有着至关重要的作用。
本文将围绕高一数学函数奇偶性的相关知识点展开归纳。
1. 函数的定义函数是一种关系，其中每个自变量的取值都唯一地确定了一个因变量的取值。
函数可以用数学符号表示为 f(x)，其中 x 表示自变量，而f(x) 表示因变量。
2. 奇函数的定义与性质奇函数是指满足 f(-x)=-f(x) 的函数。
具体来说，如果对于定义域内的任意 x，都有 f(-x)=-f(x)，那么函数 f(x) 就是一个奇函数。
奇函数具有如下性质：- 函数图像关于原点对称；- 如果函数在原点处定义，那么 f(0)=0；- 如果函数图像关于 y 轴对称，那么函数是奇函数。
3. 偶函数的定义与性质偶函数是指满足 f(-x)=f(x) 的函数。
具体来说，如果对于定义域内的任意 x，都有 f(-x)=f(x)，那么函数 f(x) 就是一个偶函数。
偶函数具有如下性质：- 函数图像关于 y 轴对称；- 如果函数在原点处定义，那么 f(0)=0；- 如果函数图像关于原点对称，那么函数是偶函数。
4. 奇偶性与对称性函数的奇偶性与其图像的对称性密切相关。
如果一个函数是奇函数，那么它的图像关于原点对称；如果一个函数是偶函数，那么它的图像关于 y 轴对称。
5. 奇偶性的判断方法判断一个函数的奇偶性可以通过以下方法：- 观察函数的解析式，如果 f(x) 中不包含任何偶数次幂的 x，那么该函数可能是奇函数；- 判断函数图像关于原点的对称性，如果图像关于原点对称，则函数可能是奇函数；- 检验函数的定义域和值域，如果函数在原点处满足 f(0)=0，那么函数可能是奇函数；- 利用函数的性质和性质的推论来判断奇偶性。
6. 奇偶函数的性质奇偶函数有一些特殊的性质：- 奇函数与奇函数的和（或差）是奇函数；- 偶函数与偶函数的和（或差）是偶函数；- 奇函数与偶函数的积是奇函数；- 奇函数在 0 点对称的点函数值相等；- 偶函数在 0 点对称的点函数值相等。
高一数学 函数奇偶性知识点归纳25
函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；3、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征 一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。
即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。
高中数学必修函数的基本性质——奇偶性
(3) h (x)＝x3＋1；
(非奇非偶)
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(偶)
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(7) h( x) x 3 x ；
(8) k( x)
1 x2 1.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
(3) h (x)＝x3＋1；
(非奇非偶)
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(偶)
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(非奇非偶)
(7) h( x) x 3 x ；
(奇)
(8) k( x)
1 x2 1.
(偶)
练习
2. 判断下列论断是否正确
1 x2 1
x [1, 2]；
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(7) h( x) x 3 x ；
(8) k( x)
1 x2 1.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；
(3) h (x)＝x3＋1；
1.奇函数、偶函数的定义分别是什么？
2.奇函数和偶函数的定义域、图象分别 有何特征？ 3.一个函数就奇偶性而言有哪几种可能 情形？
复习回顾
1. 在初中学习的轴对称图形和中心对称 图形的定义是什么？
复习回顾
1. 在初中学习的轴对称图形和中心对称 图形的定义是什么？
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