伪谱最优控制方法

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最优控制问题中两种伪谱法的异同

０
（一１），另外ｘｉ是由（七＝０，ｌ …．， Ⅳ）和Ｕｔ（ｋ＝１，２ …．， Ⅳ）
ｆ — ｆ Ⅳ
通过Ｇａｕｓｓ求积分来定义
＝＋
厶
Ｙ￣ｏｋＦ（Ｘｋ，，；ｔｏ，ｔ１）
当Ｎ是偶数时：
１Ｗ０ＷⅣ 。
～
＝
南ｃｏｓ２ｚｊｓ， … ，Ｎ
１
（） ≈ （）＝ｘ（ｒ１）厶（），
ｉ＝０
当Ｎ是奇数时：ｗ０ｗⅣ
此外，控制变量用一个Ｎ次Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式
Ⅳ 兀
ｒ
【关键词】最优控制问题；Ｇ＆ｕｓｓ伪谱法；Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ伪谱法
（ＣＧＬ）点，在对性能指标逼近时用的是Ｃｉｅｎｓｈａｗ— Ｃｕｒｔｉｓ积分。类似一于Ｇａｕｓｓ伪谱法的过程，我们可以把该问题转化为一个ＮＬＰ问题『。
种形式，直接法和间接法。研究表明，伪谱法对于求解最优控制问题具有良好的收敛性和较低的初值敏感度。随着应用领域的一系列成功和多种新型伪谱法的提出。伪谱法成为最优控制数值求解领域最为活跃
的分支。目前较为通用的是伪谱法。Ｇａｕｓｓ伪谱法：Ｇａｕｓｓ伪谱法是对Ｌｅｇｅｎｄｒｅ伪谱法的改进，该方法也是基于Ｌｅｇｅｎｄｒｅ正交多项式，但Ｇａｕｓｓ伪谱优控制问题中两种伪谱法的异同

伪谱法求解非光滑最优控制问题的网格优化

ｐｓｅｕｄｏｓｐｅｃｔｒａｌｍｅｔｈｏｄｓｔＯｓｏｌｖｅｎｏｎ — ｓｍｏｏｔｈｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒｏｌｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｔｏｉｎｃｒｅａｓｅｔｈｅｒａｔｅｏｆｔｈｅｍｅｓｈｂｒｅａｋ — ｐｏｉｎｔｓｃｏｎｖｅｒｇｉｎｇｔｏｔｈｅｐｒａｃｔｉｃａｌｎｏｎ — ｓｍｏｏｔｈｐｏｉｎｔｓ，ａｎｏｐｔｉｍａｌｍｅｓｈｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｔｏｔｈｅ
理论上最佳的分段点位置即为不光滑点的所在位置借助非线性规划求解器强大的求解能力这种方式能用较少的迭代次数使分段点收敛至不光一般是含有较多设计变量的大规模非线性规划问题将少量的网格分段点作为设计变量纳入其中并不会对其求解速度有明显影响因此迭代次数的减少即意味着计算效率的提高
第３５卷
第１１期
中图分类号：Ｏ２３２
文献标志码：Ａ
ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１ — ５０６Ｘ．２０１３．１１．２７
ＯｐｔｉｍａｌｍｅｓｈｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｐｓｅｕｄＯｓｐｅｃｔｒａｌｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｎｏｎ。ｓｍｏｏｔｈｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒｏｌｐｒｏｂｌｅｍｓ

基于Gauss伪谱法的飞机最优目标瞄准控制

文章编号：１００１．９０８１（２０１３）１１ — ３２９１ — ０５
ＣＯＤＥＮＪＹＩＩＤＵ
ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｊｏｃａ．ａｎ
ｄｏｉ：１０．１１７７２／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１ — ９０８１．２０１３．１１．３２９１
ＪｏｕｎａｒｌｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ
ＩＳＳＮ１００１．９０８１
２０１３．１１．０ｌ
计算机应用，２０１３，３３（１１）：３２９１ —３２９５
ｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｉｒａｃｒｆｔａＷａＳｍｏｄｅｌｅｄ，ｔｈｅｔｗｏ－ｓｔａｇｅｔａｒｇｅｔｉｍｉａｎｇｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎＷａＳｄｅｄｕｃｅｄ，ａｎｄｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｉｎｄｅｘＷａＳ
２．９５３８８Ｕｎｉｔ，ＷｕｈａｎＨｕｂｅｉ４３０２２２，Ｃｈｉａ）ｎ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｒｅａｌｉｚｅａｉｒｃｒａｆｔｏｐｔｉｍａｌｔａｒｇｅｔａｉｍｉｎｇｉｎｔｈｅｓｉｔｕａｔｉｏｎｏｆｃｏｍｂａｔｄｕｅｌ，ａｃｏｎｔｒｏｌｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎ

采用伪谱法的再入飞行器最优反馈制导方法

采用伪谱法的再入飞行器最优反馈制导方法
崔锋
【期刊名称】《机械设计与制造工程》
【年(卷),期】2011(040)019
【摘要】将伪谱最优反馈控制理论应用于再入飞行器制导研究,使用伪谱法进行在线轨道重构,实时反馈更新当前轨道控制量迎角和倾斜角,达到实时最优反馈制导的目的,并采用无量纲化、弹性约束和自适应反馈更新等策略保证算法的实时性.再入飞行仿真表明,轨道重构可以满足实时性要求,阵风干扰下飞行器能达到所要求的终端约束条件,并且制导指令不会出现增加控制难度的抖动现象.
【总页数】5页(P42-45,56)
【作者】崔锋
【作者单位】上海飞机设计研究院,上海200232
【正文语种】中文
【中图分类】V412.4
【相关文献】
1.采用PWPF调节器的再入飞行器最优控制分配方法 [J], 王涛;曹晓瑞;张洪波;汤国建
2.基于伪谱法的固定采样实时最优制导方法研究 [J], 王丽英;张友安
3.基于Gauss伪谱法的制导炸弹最优弹道研究 [J], 庞威;谢晓方;孙涛;郑力会;孙海文
4.基于Legendre伪谱法的远程最优拦截初制导方法 [J], 谭丽芬;闫野;周英;唐国
金
5.采用伪谱法的再入飞行器最优反馈制导方法 [J], 崔锋
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采用伪谱法的再入飞行器最优反馈制导方法

・
智能控制技术・崔锋采用伪谱法的再人飞行器最优反馈制导方洼
Ｒ “ 并且，
ｋｔ（）＝Ｈｔ ∈ Ｕ（，ｔ）（，ｔ）（）ｔ（）
４３
旋转角速度、飞行器距地面高度以及速度，表示为
ｒ＝ＲＤＵ，＝（・ＴＵ，＝ｈ／Ｕ，＝／ＣＯＵｈＤＶ
率；依赖于加热模型的常数。ｋ是使用在线轨道重构并实时更新制导指令，不而
考虑传统意义上的终端能量管理，将飞行器从返回
初始点制导至进场着陆段起点。由于进场着陆段制导方案具有一定的自适应能力，回终端速度、返
目前再入飞行器制导方法【］卜多数采用降阶
的动力学模型，线设计参考剖面，离比如阻力加速度剖面，并在线进行跟踪。但这类方法需要根据任务目标，费大量的人力和时间进行参考轨道和跟耗
踪算法增益设计，对再人飞行中干扰和故障的处理不够灵活，不具备在线重规划能力。Ｓｈｒｎｃｉｍａｅ等Ｊ出了最优路径制导算法，算法具有一定提该的在线重规划能力，但需要离线生成可行轨道数据库。另外，研究发现，使用降阶的低精度动力学模型进行分析设计，低估飞行器的实际操控能会力［ｌ４。近年来，伪谱法被证明可以应用于飞行器再入
＋左）ｏｓ７ｏＡ—ｃｓｓ￣ｉＡ（）ｃｓ（ｉｃｓｎｏＴｉｅｎ）４ｎｓ

hp自适应伪谱法

hp自适应伪谱法HP自适应伪谱法(High Precision Adaptive Pseudospectral Method)是一种数值求解微分方程的方法，它可以在较短的时间内得到非常精确的数值解。

该方法已经被广泛地应用于许多领域，例如力学、物理、化学、工程等等。

HP自适应伪谱法是伪谱法的一种改进，它是经过二十多年的发展而来的。

所谓伪谱法，即利用Chebyshev的多项式作为基函数进行展开，然后用高阶差分格式得到微分方程的近似解。

这个方法的优点是可以利用快速傅里叶变换来实现快速计算，但是缺点是当解的振荡频率较高时会出现数值不稳定的问题。

HP自适应伪谱法通过对Chebyshev展开系数的误差进行多层次的自适应控制，从而在保持高精度的同时，提高了算法的稳定性。

具体来说，该方法将Chebyshev展开系数分为若干个有限区间，在每个区间内使用不同的展开多项式，从而在频率不同的局部区域内提高展开的精度。

同时，还通过自适应调整每个区间的展开多项式的阶数和节点位置来保持高精度。

这种方法的优点是在精度和稳定性之间找到了一个平衡，在计算繁琐的微分方程时可以取得非常优秀的效果。

HP自适应伪谱法广泛应用于各种方程的求解中，例如热传导方程、传热方程、波动方程、流体力学方程等等。

例如，在传热方程的计算中，HP自适应伪谱法可以快速地求解温度分布，并且在计算过程中自适应地调整展开多项式的阶数和节点位置，从而保持高精度。

在波动方程的计算中，HP自适应伪谱法可以非常准确地计算波动的传播过程，并且可以描述复杂的波动现象，例如激波和震荡等等。

在流体力学方程的计算中，HP自适应伪谱法可以非常准确地计算流体的速度和压力分布，并且可以描述复杂的流体现象，例如湍流和旋涡等等。

总之，HP自适应伪谱法是一种高效而稳定的数值计算方法，它已经被广泛地应用于物理、工程等领域中的各种微分方程的求解中。

随着计算能力的提高和算法技术的不断改进，HP自适应伪谱法在未来的应用前景非常广阔。

高斯伪谱法轨迹优化

高斯伪谱法轨迹优化高斯伪谱法轨迹优化是一种优化算法，它是基于高斯伪谱法和轨迹优化的结合。

这种算法的基本思想是使用数值积分来生成系统的轨迹，然后使用优化技术来确定这些轨迹上的最优解。

高斯伪谱法轨迹优化在多个领域都有应用，包括航天器控制、机器人控制、航空动力学、生物医学工程等。

高斯伪谱法是一种有效的数值积分方法。

它是在时间轴上采用伪谱法对动力学方程进行离散化和数值积分的一种方法。

这种方法利用伪谱法将时间轴分为多个区间，然后在每个区间内采用高斯积分公式来计算积分值。

伪谱法利用Chebyshev-Gauss-Lobatto插值点在时间轴上进行数值积分，它能够有效地保持守恒性、耐受性和可控制性。

这种方法使用高斯多项式来拟合系统的状态变量，从而产生一组节点，然后使用这些节点来计算系统的状态变量。

轨迹优化是一种在系统空间中搜索最优解的技术。

它使用优化算法来最小化或最大化系统的性能指标。

在轨迹优化中，目标是找到系统的最优控制策略，使其能够最大限度地满足预期的性能和性能指标。

优化算法可以是线性规划、非线性规划、演化算法、遗传算法等等，具体的算法选择取决于系统的复杂程度和性质。

高斯伪谱法轨迹优化的优势在于它结合了数值积分和优化技术，利用高斯多项式的快速收敛性和它能够追溯集中点的特性，可以有效地提高系统的控制精度、峰值响应和排除存在的饱和问题。

这种方法还允许在保持控制需要的最小数量移动变量的同时，进行多参数优化，以最小化系统性能的损失。

具体而言，高斯伪谱法轨迹优化的流程是：首先将动力学方程用伪谱法处理离散化和数值积分；然后，为每个控制节点选择动力学转移矩阵；接下来，通过优化方法（例如非线性规划或演化算法）寻找最优控制策略，以最大限度地满足系统的性能指标。

应用高斯伪谱法轨迹优化的实际案例包括控制一个机器人手臂、航天器轨道控制、飞机飞行控制、药物输送系统设计等。

例如，在机器人手臂控制中，这种优化方法可以产生更快、更精确的控制信号，使得机器人可以更快地完成任务。

求解最优控制问题的伪谱法

10
C.Canuto，M.Hussaini，A.Quateroni 和 T.zang，流体动力学中的谱方法。柏林，德国：Springer-Verlag， 1988 年，第 2 章 2006 年 5 月 10 日
2006 年春季 z
16.323 17-5
ˆk 的时候，可以知道采用高斯类积分11 是最优的当计算 u
2006 年 5 月 10 日
2006 年春季
16.323 17-4
谱方法
z DIDO 使用 Legendre 伪谱法，它常广泛用作流体流动建模。
z
DIDO 和直接配置法很像。主要的不同：传统的配置法使用固定阶多项式（例如，三阶）逼近节点间每一段的状态和控制，而 DIDO 使用 Legendre 多项式作为基础逼近多个节点上的变量（覆盖整个区间）现在看函数逼近的谱方法。
− + el ≤ e(x 0 , x e , xe , x f ,τ 0 ,τ e ,τ f ) ≤ eu
（1）
其中 x e
−
− = limε ↑0 x(τ e + ε ) ， x e = limε ↓0 x(τ e + ε )
z
广义问题是确定状态控制对，可能还有事件时间τ e 和τ f ，最小化代价泛函：
− + J (x(⋅), u(⋅),τ 0 ,τ e ,τ f ) = E (x 0 , x e , xe , x f ,τ 0 ,τ e ,τ f ) +
∫τ
受约束于动态约束：
τf
0
F (x(τ ), u(τ ),τ )dτ
（2）
x(τ ) = f (x(τ ), u(τ ),τ )
事件约束（1），以及混合状态控制路径约束：

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伪谱最优控制方法, 又称为正交配置法, 主要利用Lagrange 插值多项式近似离散最优控制问题中的状态变量和控制变量, 将连续型最优控制问题转化成离散形式的非线性规划(NLP) 问题, 然后利用相应的NLP 算法求解. 根据配置点的不同, 伪谱法主要分为Legendre 伪谱法[1]、Gauss 伪谱法[2-3] 和Radau 伪谱法[4-5] 3 种.
为了利用最优控制理论研究串联式混合动力的能量管理策略，需要建立动力总成和各个能量源的数学模型。

文中忽略动力系统传动部件的效率损失。

串联混合动力驱动系统的能量管理为复杂的非线性系统，其最优控制问题是寻找最优控制序列使得给定的性能指标能够达到最小，同时，也要满足一定的机械和电气约束。

本文研究重点在最优控制理论的应用，采用较简单的模型进行混合动力车辆能量管理的研究。

整车能量管理问题作为最优控制问题求解，需要形成通用形式表达的最优控制问题。

非线性最优控制问题(Optimal Control Problem, OCP)是指性能指标、状态方程或者约束条件中存在非线性函数项的最优控制问题，通用的表述形式为确定状态x (t)，控制u(t) 使性能泛函J 取得最小值：
从数学上看，混合动力汽车能量管理问题就是利用一系列离散控制使一定时间范围内车辆行驶的的性能指标达到最优，故可将能量管理问题抽象为最优控制问题，其核心任务就是获得最优的控制律。

直接法理论
优化问题一般分为参数优化(离散、静态)和过程优化(连续、动态)两大类。

最优控制问题本质上是一个连续、动态的过程优化问题，采用动态优化方法求解，比如变分法和极大值原理。

但现代计算技术的高速发展使得静态/动态、离散/连续的界限越来越模糊。

目前基于求解非线性规划问题的参数优化方法越来越多应用于求解类似于最优控制问题或者动态轨迹优化问题，这就是轨迹优化中的直接法。

直接法通过引入时间离散网格，将控制变量和/或状态变量离散，并将动态约束条件转化为代数约束条件，最终使原来的连续轨迹优化问题转化为一个离散参数优化问题即非线性规划问题(Nonlinear Programing, NLP)，结合非线性规划求解器即可获得最优解。

优化变量通常包含离散网格点上的控制变量序列和/或状态变量序列。

伪谱法
状态和控制变量离散化
微分矩阵与导数近似
NLP 问题的形成。