电场强度和梯度
电偶极子电场强度的推导求梯度方程
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电场和电势能的单位和量纲
电场和电势能的单位和量纲电场和电势能是电学中常用的概念，它们具有特定的单位和量纲。
本文将详细介绍电场和电势能的单位和量纲，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、电场单位和量纲电场是描述电荷间相互作用的物理量，其单位和量纲分别为“牛顿/库仑”（N/C）和“V/m”。
在国际单位制（SI制）中，电场的单位为牛顿/库仑，即单位正电荷在单位断面积上所受到的力。
它可以用以下公式表示：E =F / q其中，E表示电场强度，F表示电荷受到的力，q表示电荷。
电场强度的量纲可以通过上述公式推导得到。
由牛顿定律得知力的量纲为“千克·米/秒^2”，而电荷的量纲为“库仑”。
将力和电荷的量纲代入上述公式，可以得到电场强度的量纲为“千克·米/（库仑·秒^2）”。
换算成国际单位，可以得到电场强度的量纲为“V/m”。
二、电势能单位和量纲电势能是描述带电体所具有的能量状态的物理量，其单位和量纲分别为“焦耳”（J）和“J”。
在国际单位制中，电势能的单位为焦耳，即带电体所具有的能量。
它可以用以下公式表示：PE = qV其中，PE表示电势能，q表示电荷，V表示电势差。
电势能的量纲可以通过上述公式推导得到。
由电势能的定义可知，其量纲为“比力乘以长度”。
根据电势差的单位为“伏特”（V），比力的量纲为“牛顿/库仑”，长度的量纲为“米”，将这三者的量纲相乘，可以得到电势能的量纲为“焦耳”。
三、电场和电势能的关系电场和电势能是密切相关的物理概念。
电场是电荷所受到的力场，而电势能则是由电场力所产生的电势差。
它们之间的关系由以下公式给出：E = -∇V其中，E表示电场强度，V表示电势，∇表示梯度运算符。
根据上述公式，可以看出电场强度与电势的导数成反比。
这意味着电场强度的大小和方向可以通过电势的梯度来表示。
四、应用实例电场和电势能的概念在电学中有着广泛的应用，例如电容器和电磁感应等领域。
电场和电势能的单位和量纲的理解对于解决各种电学问题具有重要意义。
8.5电场强度与电势梯度的关系
E
ds
等势面——规定、性质、梯度
gradU
U n
n
三、 q、E、U 三者关系网
1、 q E
E
1
4 0
dq r3
r
sE
ds
1
0
vdv
2、 q U
U
1
4 0
dq r
U LE dl
3 E U
U LE dl
势面2，电场力做功
dA qE dl
qEdl cos
en
1
2
P1
en P2
P3
qEdn
V V+dV
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电场力做功等于电势能的减少量 dA q dU
E dU dn
场强也与等势面垂直，但指向电势降低的方向。
E Een 写成矢量形式
E
第一章 真空中静电场小结
一、理论体系：
出发点
：叠 库加 仑原 定理 律
高斯定理 环路定理
电场为有源场 电场是有势场
二、内容：
1、一个定律 ： 2、两个定理 ：
F
q1q2
4 0
r r3
E
ds
1
dv
s
0 v
l E dl 0
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则 dn dl cos
dU dU cos
dl dn
2
P1
en P2
P3
U U+dU
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定义电势梯度
1.6 电场强度与电势的微分关系
V E n
V E en n
V
V+dV
E与 V 的关系
V E 大小: n 方向：沿V 减小方向
V 大小:
V n
dln
e n
Q
q
dl
P
方向：沿V增大方向
E
V E e n gradV V n
E V
V V lim n n 0 n
U E
两方向微商的关系：
V V cos l n
P n l
Q R
U U
V V V V V lim lim lim cos cos l l 0 l n0 n / cos n0 n n
V Q 4 0 R 2 x 2
小
计算电势的方法
1、点电荷场的电势及叠加原理
结
计算场强的方法
1、点电荷场的场强及叠加原理
V
i
4 0 ri （分立）
qi
E
i
V
dq 4 0 r
Q
（连续）
E
2、可有
r dq （连续） Q 4 r 3 0
qi r 4 0 ri3 （分立）
§1.6 电场强度和电势梯度的关系 1.6.1 等势面
空间电势相等的点连接起来所形成的面称为等势面. 为了 描述空间电势的分布，规定任意两相邻等势面间的电势差相等. (等势面的疏密反映了场的强弱)
点 电 荷 的 等 势 面
V12 V23
V El
dl2 dl1
E2 E1
两平行带电平板的电场线和等势面
三.同一问题中能否选取不同的电势零点 例：均匀外电场 E0 中置入一点电荷 q 求空间任意一点的电势 .p 解：把坐标原点选取在点电荷所
电场强度知识点总结
电场强度知识点总结电场是物理学中的一个重要概念，它描述了电荷之间相互作用的力。
而电场强度则是描述这种相互作用力的大小和方向的量。
本篇文章将以电场强度为主题，结合相关理论和实例，总结电场强度的知识点。
一、电场强度的概念电场强度（Electric Field Intensity）表示在某一点单位正电荷所受到的力的大小和方向。
它是一个矢量量，通常用E表示。
电场强度的方向指向力所作用的方向，大小与力的大小成正比。
二、电场强度的计算公式电场强度的计算公式为E=F/q，其中F表示受力的大小，q表示单位正电荷的电荷量。
该公式表明，电场强度和受力的比值是恒定的，即电场强度与单位电荷受到的力成正比。
三、电场强度的单位电场强度的单位通常有N/C或V/m，其中N代表牛顿，C代表库仑，V代表伏特，m代表米。
这些单位可以互相转换，具体转换方式可以根据公式进行计算。
四、电场强度的叠加原理当有多个电荷同时存在时，每个电荷产生的电场强度可以叠加。
根据叠加原理，可以通过将每个电荷产生的电场强度向量相加，得到整个系统的总电场强度。
五、均匀带点直线上的电场强度考虑一个长度为L的均匀带电直线，电荷线密度为λ，那么该直线在距离直线上一点的电场强度可由公式E=λ/2πε0r计算得出，其中r表示距离直线的垂直距离，ε0为真空中的介电常数。
六、均匀带点圆环上的电场强度考虑一个半径为R的均匀带电圆环，电荷线密度为λ，那么该圆环在距离圆环垂直中轴线的一点的电场强度可由公式E=λR/4πε0(r²+R²)^(3/2)计算得出，其中r表示距离圆环中心的距离。
七、电偶极子产生的电场强度电偶极子是由两个电荷大小相等但符号相反的点电荷组成。
电偶极子在与两点电荷连线垂直的轴线上的电场强度可由公式E=kp/r³计算得出，其中p为电偶极矩的大小，k为库仑常数，r为距离两点电荷连线的垂直距离。
八、电场强度与电势的关系电势是电场能量在单位电荷处的分布情况。
电场强度与电势能的关系
电场强度与电势能的关系1.电场强度的定义电场强度是指单位正电荷所受到的力的大小。
它是描述电场中电荷受力情况的物理量。
电场强度的方向与电荷正负性相反，即正电荷会沿着电场强度的方向受力，而负电荷则沿相反方向受力。
2.电势能的定义电势能是指单位电荷在电场中具有的能量。
它是描述电荷在电场中的位置和状态的物理量。
电势能的大小取决于电荷的量和电场的性质，包括电荷之间的距离和电场的强度等因素。
3.电场强度与电势能的关系电场强度和电势能之间存在一种基本的数学关系，即电场强度是电势能的负梯度。
换句话说，电场强度是电势能对位置的梯度的相反数。
4.电场强度的梯度电场强度的梯度表示了电势能随位置变化的快慢程度。
梯度的方向是电势能增加最快的方向，梯度的大小表示了电势能的变化率。
在数学上，电场强度的梯度可以用矢量微分算符（∇）表示。
5.电场强度和电势能的数学关系数学上，电场强度（E）和电势能（V）之间的关系可以通过以下公式表示： E = -∇V 其中，E是电场强度矢量，V是电势能。
公式中的负号表示电场强度是电势能梯度的相反数。
6.解释关系的意义这个公式的意义在于，电场强度可以通过电势能的梯度来确定。
如果我们知道电势能在不同位置的分布情况，我们就可以利用该公式计算出电场强度在这些位置的数值。
反过来，如果我们知道电场强度的分布情况，我们也可以通过积分计算出电势能在不同位置的数值。
总结：电场强度与电势能之间存在着紧密的数学关系，即电场强度是电势能的负梯度。
这个关系的意义在于，我们可以通过电势能的梯度确定电场强度的数值，或者通过电场强度的分布来计算电势能的数值。
这种关系在电场的研究和应用中具有重要的意义。
9-5 电场强度与电势梯度的关系
qE dl q[U (U dU)] qdU 即： E dl dU
ˆ) (dxi ˆ) ˆ Ey ˆ ˆ dyˆ E dl ( Exi j Ez k j dzk
Ex dx Ey dy Ez dz
又因电势是空间坐标的函数U=U(x,y,z)，因此，对 电势的微分可表示为：
课堂练习：利用场强与电势梯度的关系，计 算均匀带电圆盘中心轴线上的场强。
dr
R
r
o
x
P
x
Up
R
2rdr
4 0
0
2 2 [ R x x] 2 2 2 0 r x
U Ex x
U Ey y
U Ez z
U x Ex [1 ] 2 2 x 2 0 R x
例、在x－y平面上，各点的电势满足下 面的式子：
ax b U 2 2 2 2 x y (x y )
式中的x、y为任一点的坐标，a、b为常 数。求任一点电场强度的Ex和Ey分量。
U Ex x
U Ey y
2
U Ez z
U a 2ax bx Ex 2 2 2 2 2 2 2 3/ 2 x x y (x y ) (x y )
U ˆ U ˆ U ˆ 在数学上，我们将 ( i j k) x y z
定义为电势U的梯度，用gradU或U表示，即：
U ˆ U ˆ U ˆ gradU U i j k x y z
“梯度”是指一个物理量的空间变化率，电 势梯度当然就是指电势的空间变化率。注意： 电势梯度是矢量,其大小等于电势变化最快 的方向上的电势变化率，方向与等势面正交 且指向电势升高的方向。
5-5 电场强度与电势梯度的关系
2
2
P 2 2 4 x y 4 0 ( x 2 y 2 ) 2
P(0,y) y E -q
-L/2
讨论：
1. 在X轴上，y=0，则
Ex P 20 x 3 P 40 y
Ey 0
3
2. 在Y轴上，x=0，则
Ex
+q
O
L/2
P(x,0)
Ey 0
E
x
与用叠加原理得到的结果一致。
1 1
E
en
P2
P1
P3
V
V+dV
例1 试由电偶极子的电势分布求其的电场强度。 解： 在直角坐标系中先写出电势的表达式，
1 q 1 q q r r V 40 r 40 r 40 r r
L cos P cos 2 2 40 r 4 0 r Px 40 ( x 2 y 2 ) 3 / 2 q
P3
V
则 dn dl cos
V+dV
定义电势梯度
dV grad V en dn
单位:V/m
其量值为该点电势增加率的最大值。 方向与等势面垂直，并指向电势升高的方向。 电势梯度与电场强度的关系 2
en
电荷q从等势面1移动到等 势面2，电场力做功
1
en P1
dA qE dl qE dl cos qE den
例2 将半径为R2 的圆盘在盘心处挖去半径为R1的小孔,并 使盘均匀带电.试通过用电势梯度求电场强度的方法,计算这 个中空带电圆盘轴线上任一点P处的电场强度.
解：设圆盘上的电荷 面密度为 轴线上任一点p 到中空圆盘的 距离为x，在圆 盘上取半径为r 宽为dr的圆环 ，环上所带电 z 荷为
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r 化率的负值。
e r 电场强度的单位也用V/m。 V e 2 电势梯度
显然电势沿不同方向 V V
的单位长度增量是不同的，
rt
dl A
r
r dln
n
现讨论两个特殊方向上的
E低高
情况：切向和法向。
电电 势势
⑴
沿切向
Et
dV dlt
Q dV 0 Et 0
⑵ 沿法向
En
dV dln
V
Q
dV dln
电子在分子电偶极子电场中所受的力为
F
eE
2e
4 0
p x3
2 1.60 1019 6.2 1030 1.431010 N
4 8.851012 (51010 )3
a
F m
1.431010 9.111031
m s2
1.57 1020 m s2
vat 1.57 1020 1014 m s-1 1.57 106 m s-1
r E
（V
r i
V
r j
V
r k ) gradV
x y z
电场强度与电势梯度关系的物理意义
① 空间某点电场强度的大小取决于该点领域内
电势V的空间变化率。
② 电场强度的方向恒指向电势降落的方向。
讨论
⑴ 电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？
r
⑵ V=0地方， E 0 吗？
r
r
⑶ E 相等的地方，V一定相等吗？等势面上 E一定
(4x2 (x2
y )2 1/ 2 y2 )2
A点在电偶极矩的延长线上时：
2p 1 y0 E
4 0 x3
A点在电偶极矩的中垂线上时：
p1 x0 E
4 0 y3
y
A
r r r
q o rr0 q x
例3 如图所示，水分子可以近似看作为电偶极矩
p=6.2×10-30C·m 的电偶极子。有一电子放在电 偶极矩的延长线、距电偶极矩中心O为5×10-10m
r En
dV dln
r en
可见：电场强度大小等于电势梯度的负值，
方向由高电势指向第电势处。
⑴
电场强度沿任r意r方向的分量：El
dV dl
El E cos(E,l ) E cos
(gradV )l
dV dln
cos
Q dl dln En El
⑵ 直角坐标系中
Ex
V x
Ey
V y
Ez
V z
0
时E
0
V V
r E
的方向总是由高r 电
势ern指反向向低。电则势有，：即Er n
E与
dV dln
r en
r ret
dl
A ern
r
r dln
E低高
电电
势势
式中
dV dln
r en
称为电势在该电的电势梯度，记作
gradV
dV dln
ern
3
电场强度与电势梯度的关系
rr r
r
Q E En Et Et 0 E
4 0 r 2
r r r
q o r q x
r0
V 0
2
用A点的坐标x,y写成：
p
x
பைடு நூலகம்
V
4 0 (x2 y2 )3/ 2
yA
V
p y2 2x2
Ex
x
4 0
(x2
y )2 5/ 2
r r r
x Ey
V y
p
4 0
(x2
3xy y )2 5/ 2
q o r r0
q
E
E2 x
E2 y
p
4 0
8-8 电场强度与电势梯度
一 等势面(电势图示法) 电场中由电势相等的点组成的面叫等势面。 为了描述空间电势的分布，规定任意两相邻等 势面间的电势差相等。 则等势面越密的地方， 电场强度越大。
1 等势面基本性质 ① 在静电场中，电场强度与等势面处出正交，且
指向电势降落的方向。
静电场中电荷沿等势面移动时，电场力作功
的点A上。求电子的势能和作用在电子上的力。
解 电子在A点的电势能为
ep
Ep
eV
4 0
r2
o H pr A
e 1.601019 C
H
Ep
1.60 1019
4 8.851012
6.2 1030 (51010 )2
3.57 1020 J
与气体分子热运动能量比较
T Ep 3.57 1020 K 2.59103 K k 1.381023
V V V
q r r
4 0 rr
Q r0 r
yA
r r r
q o r q x
r0
r r r0 cos rr r2
V q r r q r0 cos
4 0 rr 4 0 r 2
y
A
1 p cos
4 0 r 2
即 V 1 p cos 4 0 r2
0
V 1 p
4 0 r 2
V 1 p
相等吗？
例1 求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度。
解 QV
q
r 40 (x2 R2 )1 2
E V
y
qR
r
P
E
Ex
V x
ox
x
z
x
1
4 0
(x2
q R2 )1
2
1
qx
40 (x2 R2 )3 2
例2 求电偶极子电场中任意一点V的电势和电场强度。
解
V
1
4 0
q r
V
1
4 0
q r
二 电场强度与电势梯度 1 电势沿任意方向的增加率
r
r B l A
rr
UAB （VB VA） E l
El
r
El cos
E
Q E cos El V VB VA V V V
V Ell
即 El
V l
△l→0时有
V dV
El
lim l 0
l
dl
电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量，
等于这一点的电势沿该方向单位长度上电势变
Wab
q0
(Va
r
Vb
)r ab
q0
rr Edl
0
r
r
q0 0 E0 dl 0
Edl
② 等势面密集的地方电场强度大，稀疏的地方电
场强度小。
2 几种电荷分布的电场线
与等势面
⑴ 点电荷的电场线与等势面
q
⑵ 一对等量异号点电荷的电场线和等势面
q
q
⑶ 两平行带电平板的电场线和等势面
++++++++++++++++