齿轮例题
直齿锥齿轮传动计算例题图文稿
直齿锥齿轮传动计算例题集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-例题10-3 试设计一减速器中的直齿锥齿轮传动。
已知输入功率P=10kw ，小齿轮转速n1=960r/min ，齿数比u=3.2，由电动机驱动，工作寿命15年（设每年工作300天），两班制，带式输送机工作平稳，转向不变。
[解] 1.选定齿轮类型、精度等级、材料及齿数（1）选用标准直齿锥齿轮齿轮传动，压力角取为20°。
（2）齿轮精度和材料与例题10-1同。
（3）选小齿轮齿数z1=24，大齿轮齿数z2=uz1=3.2×24=76.8，取z2=77。
2.按齿面接触疲劳强度设计（1）由式（10-29）试算小齿轮分度圆直径，即d 1d ≥√4d dd d 1d (1−0.5d )2d(d d d d [d d ])231) 确定公式中的各参数值。
① 试选d dd =1.3。
② 计算小齿轮传递的转矩。
d 1=9.55×106×10960d dd =9.948×104d ?dd③ 选取齿宽系数d =0.3。
④ 由图10-20查得区域系数d d =2.5。
⑤ 由表10-5查得材料的弹性影响系数d d =189.8MPa 1/2。
⑥ 计算接触疲劳许用应力[d d ]。
由图10-25d 查得小齿轮和大齿轮的接触疲劳极限分别为d ddddd =600ddd ，d dddd2=550ddd 。
由式（10-15）计算应力循环次数：d 1=60d 1dd d =60×960×1×(2×8×300×15)=4.147×109，N 2=d 1d =4.147×1093.2=1.296×109由图10-23查取接触疲劳寿命系数d HN1=0.90，d dd2=0.95。
取失效概率为1%，安全系数S=1，由式（10-14）得[d d ]1=d dd1d dddd1d =0.90×6001ddd =540ddd[d d ]2=d dd2d dddd2d =0.95×5501ddd =523ddd取[d d ]1和[d d ]2中的较小者作为该齿轮副的接触疲劳许用应力，即[d d ]=[d d ]2=523MPa2）试算小齿轮分度圆直径d 1d ≥√4d dd d 1d (1−0.5d )2d(d d d d [d d ])23=√4×1.3×9.948×1040.3×(1−0.5×0.3)2×(7724)×(2.5×189.8523)23dd =84.970mm(2)调整小齿轮分度圆直径1）计算实际载荷系数前的数据准备。
机械原理典型例题齿轮
⑴两齿轮的参数：分度圆r1，r2；基圆rb1，rb2；顶圆
ra1，ra2；标准中心距a；
r1
m 2
z1
1.5
20
30mm
m r2 2 z2 45mm
rb1 r1cos 28.19mm rb2 r2cos 42.29mm
ra1=r1 ham 33mm a r1 r2 75mm
ra2 r2 ham 48mm
r 分度圆
中线
节线
（2）如滚刀位置和齿条移动速度 不变，而轮坯的角速度 w=1/23.5rad/s，则此时被切齿 数为多少？它相当于哪种变位齿轮？ 变位系数x为多少？
1）切制标准齿轮 分度圆与中线相切
（齿条中线与节线重合） r=mZ/2=90mm L=r=90mm V 刀=ωr=4mm/s
2）V 刀=4mm/s=ωr’ r’=V刀/ ω =4×23.5=94mm Z’=2r’/m=94 X=（L实际-L标准）/m
r2I’=30.6mm
2-3啮合： r2Ⅱ’ a23’=r2Ⅱ’+ r3’=70.5 i23= r3’/r2Ⅱ’=Z3/Z2=40/30
r2Ⅱ’=30.21mm
例2：有3个正常齿制且压力角α=20°标准齿轮，
m1=2mm，Z1=20，m2=2，Z2=50，m3=5， Z3=20。这3个齿轮的齿形有何不同？可以用同一把 成形铣刀加工吗？可以用同一把滚刀加工吗？
（3）如滚刀位置及截面齿条移动速度不变，轮坯 w=1/22.1rad/s，则此时被切齿轮的变化系数x=多 少？齿数Z等于多少？最后的加工结果如何？
例3: 用滚刀范成法加工一个齿轮，已知齿数Z=90，m=2mm， (1)轮坯由滚齿机传动机构带动，以w=1/22.5rad/s的角速度转动。 在切制标准齿轮时，滚刀轴向截面的齿条中线相对于轮坯中心的距离 L应等于多少？这时滚刀轴向截面齿条移动速度V刀等于多少？
机械设计 齿轮例题
d1
KH F 2T1 , K 、K 查表10-3 H F t
KF K A Ft /b 100N/mm
设计内容 接触载荷系数 弯曲载荷系数 修正模数
设计依据
设计结果 3.39 3.32
K K A K V Kα Kβ
mn mnt 3 K/K t
3.06(3.5)
239.149 圆整为240 154424
§6 齿轮传动（gear drive）
解： 接触疲劳强度条件
2 KT1 u 1 [ H ] 2 bd1 u
H ZE ZH
6
P19932N mm n1 1470
将u=z2/z1=125/25=5，b =d1，ZEZH=475，K=1.6， [H]=[H]2=610 MPa 代入：
2 1.6 129932 5 1 H 475 610 3 d1 5
得 d1≥67.131mm
a=(d1+d2)/2=d1(1+i)/2=67.131(1+5)/2=201.393mm
设计冶金机械用闭式斜齿轮减速传动，单向运转，载荷有严重冲击， 工作寿命10000h, 小齿轮悬臂布置, P1=15kW, n1=730r/min, n2=130r/min, 结构要求紧凑。
弹性系数 Z E 区域系数 Z H 接触应力H
设计依据
设计结果
表10-6 图10-30
H ZH ZE
2 KT1 u 1 [ H ] 3 d d1 α u
189.8 MPa 2.42 1148MPa<[H]1 接触强度足够
设计结果
3. 设计计算 按弯曲强度 斜齿端面 重合度
YFaYSa 比较 [ ] F
齿轮受力分析例题
例题1
传动中，蜗杆(左旋)主动，转向如图所示。圆柱齿 轮为斜齿轮，为使Ⅱ、Ⅲ轴的轴向力平衡，试确定： (1)蜗轮2的螺旋线方向； (2)齿轮3、4螺旋线方向； (3)蜗轮2和齿轮3所受轴向力方向； (4) Ⅲ轴上圆锥齿轮6应放置在左边的位置1或是右边 的位置2？ (5)在图上画出5轮所受力的方向；
1
Ⅱ
2
Ⅰ
Ⅳ
4
5
6 位置1
Ⅲ
位置2
3
Ⅳ
1
Fr1 ⊙Fa1 Fa2 ○× Ft1
Ft2 Fr2
Ⅱ
Ⅰ
4
Ft4 Fa4
○×
⊙Ft3
Fa3
6 位置1
Fa5 5 ○⊙×FtF5 a6
Ft6 Ⅲ
位置2
3 2
1 F a2
Ⅱ
2
Ⅰ
Ⅳ
F a5
4
5
·
F r5 F t6
Ⅲ
6 F a3 位 置 1
位置2
3
解：（1）蜗轮的螺旋线方向为左旋； （2）齿轮3为左旋，齿轮4为右旋； （3）蜗轮2和齿轮3的轴向力如图所示；
Fr
Ft tgn cos
长方体对角面即轮齿法面
Fr c
Fa
Fn
αn Ft
β
T1 F’
ω1
d1 2
Fr Fn
β
αn
F’
Ft
Fr = F’ tgαn
β
长方体底面
Fa
F’ αn :法向压力角
β : 节圆螺旋角
F’=Ft /cosβ
Fr c
Fa1
Fn
αn Ft1
β
T1 F’ω1来自d1 2Fr Fnβ
齿轮设计例题分解
K K A K v K H K H 11.12 11.423 1.594
（6）校正分度圆直径
K＝1.594
d1 d1t 3 K / Kt 65.396 3 1.594 / 1.3mm 69.995mm
（7）计算模数 模数 m=d1/z1= 69.995/24mm= 2.92mm
（7）计算比较大、小齿轮的YFaYSa/[σF]
YFa 1YSa 1 2.65 1.58 0.01379 [ F ]1 303.57 YFa 2YSa 2 2.226 1.764 0.01644 [ F ]2 238.86 大齿轮的YFaYSa/[σF]比较大
2）设计计算
计算与说明
1.选齿轮类型、精度等级、材料及齿数 1）选用直齿圆柱齿轮 2）运输机属于一般机械，速度不高选择精度等级7级 3）选材料 表10-1 小齿轮：40Cr调质，平均取齿面硬度为280HBS 大齿轮：45钢调质，平均取齿面硬度为240HBS
主要结果
直齿轮 7级精度 小齿轮 280HBS 大齿轮 240HBS
数（即采用前者不会发生弯曲疲劳失效）。而齿面接触疲劳强度主要 决定于齿轮的直径，因此可在直径不变的情况下，增加齿数，降低模
数。采用由弯曲疲劳强度计算得出的模数2.05并圆整为标准值
m=2.5mm，按接触强度算得的分度圆直径 d1=69.995mm，算出小 齿轮齿数:
z1 = d1/m = 69.995/2.5 ≈28
Kt ＝1.3
φ
d
＝1
计算与说明
（3）计算小齿轮转矩T1 T1＝9.55×106×P/n1=9.55×106×10/960= 9.948×104 N· mm （4）弹性系数ZE 由表10-6，弹性系数
齿轮传动例题
a0
F
F
F
F
F
•
•
4.齿轮受力方向的判别 圆周力 F ：主动轮 与转动方向相反 从动轮 与转动方向相同 径向力F ：各自指向轮心 轴向力F ：圆锥齿轮 从小端指向大端 圆柱齿轮：主动轮 应用左（右）手定则，拇指方向即为轴向力方向 从动轮 与 主动轮的轴向力相反 5.根据给定工况，正确设计齿轮传动 熟悉不同工况下可能产生的主要失效形式（轮齿的折断、齿面疲劳点蚀、齿面磨损、 齿面胶合、轮齿塑性变形等，参见表4.1 ) ，正确确定设计准则，结合工况需求选择材 料、热处理方式及加工精度，在强度计算中，合理地选择各相关参数，掌握参数选择 原则，正确解释设计过程。 6.载荷系数引人的目的及主要影响因素 载荷系数K（K = K K K K ）综合考虑了齿轮由于工作特性、制造及安装误差、 齿轮及其支承变形等因素引起的外部及内部附加动载荷、偏载及载荷分配不均等因素 对轮齿受力及应力的影响，利用计算载荷对齿轮进行强度计算，可以使所设计的齿轮 更安全、更符合实际工况需求。关于各系数引人的意义、主要影响因素及改进措施等 可参见表4.2。 7.熟练分析齿轮主要参数的选择原则 1 a m z z d m z (1）模数m和齿数 z 的选择。因为 ， 2 当d 1 或a一定时，齿轮的接触 应力与m 和z的组合无关，因此软齿面闭式传动时，在满足齿根弯曲强度条件的基础上， m 尽可能取小值，而z尽可能取大值，常取 18-30 -2 z （但要注意传递动力时m 1.5 mm) ，因为齿数z多，可增大重合度 ，使传动平稳， m 小，可减小滑动速度，增加 z z 与z 应互质为好。在硬齿面闭式传动中，按齿根弯曲 耐磨和抗胶合性能。 z 且 z 17-20 ，以免传动尺寸过大。在开式传动中，由弯曲强度求得m 后应再 强度条件, =
齿轮例题
例1：某传动装置中有一对渐开线标准直齿圆柱齿轮（正常齿），大齿轮已损坏，小齿轮的齿数z1=24，齿顶圆直径da1=78mm, 中心距a=135mm, 试计算大齿轮的主要几何尺寸及这对齿轮的传动比。
78=m(24+2) m=3a=m/2(z1+z2) 135=3/2(24+z2) z2 =66 d a2=3×66+2×3=204d f2=3×66-2×1.25×3=190.5i=66/24=2.75例 2 一对按标准中心距安装的正常齿制的外啮合渐开线标准直齿圆柱齿轮 ,小齿轮已损坏,需配制。
今测得两轴中心距,大齿轮齿数，齿顶圆直径,压力角，试确定小齿轮的模数、齿数、压力角、分度圆直径、齿顶圆直径。
解由得小齿轮的模数由得小齿轮的齿数小齿轮为正常齿制渐开线标准齿轮 ,其压力角小齿轮的分度圆直径小齿轮的齿顶圆直径例3：已知一对标准安装外啮合标准直齿圆柱齿轮的参数为：z1=22, z2=33,a=20°, m=2.5,ha*=1,求重合度e。
若两轮中心距比标准值大1mm, 则其重合度又为多少？解：(1) r1=mz1/2=2.5x22/2=27.5r2=mz2/2=2.5x33/2=41.25r a1=r1+ha=27.5+2.5 x1=30r a2=r2+ha=41.25+2.5 x1=43.75r b1=r1cos a=27.5 xcos20°=25.84r b2=r2cos a=41.25 xcos20°=38.75a a1=arcos(r b1/r a1)=arccos(25.84/30)=30°32´a a2=arcos(r b2/r a2)=arccos(38.76/43.75)=27°38´e=[z1(tg a a1- tga)+ z2(tg a a2- tga)]/2π=1.629(2)标准中心距a=r1+r2=27.5+41.25=68.75a´=a+1=69.75cosαˊ=acosa/a´=68.75cos20°/69.75=0.92622αˊ=22°9´e=[z1(tg a a1- tga´)+ z2(tg a a2- tga´)]/2π=1.252例4：已知一对标准直齿圆柱齿轮的参数为：z1=19, z2=42, a=20°, m=5,ha*=1, 若中心距增大至刚好连续传动，求这时的αˊ，d1´, d2´,a´ ,分度圆分离距离Da，轮齿径向间隙c。
斜齿轮例题
Y Fa 1Y Sa 1
= =
270 2 ×1 .58
= 85 .44 = 55 .70
[σ F 2 ]
Y Fa 2Y Sa 2
220 2 .17 ×1 .82
由弯曲强度公式： 由弯曲强度公式：
F2 220 T ≤ bd m ε = × 115 × 76.67 × 3 × 2.79 1F 2 KY Y Y 1 n α 2 × 1.2 × 2.17 × 1.82 × 0.941 Fa 2 Sa 2 β = 1.8 × 106 N − mm
由接触强度公式， 由接触强度公式，
T1H ≤
(
[σ H ]
ZEZH
2 K (u +1)
) bd
2
2 1 uε α
=
(189.5752.48 )2 ×115×76.672 ×5×2.79 8×
2×1.2×(5+1)
= 9.8 × 10 N − mm
5
2、讨论弯曲强度 、 比较： 比较：
[σ F 1 ]
= 440 N
= 440 N
Fa 2 = − Fa 3 = Ft 3tgβ 3 =
tgβ 3 =
sin β 3 =
440×mn 3Z 3 2 T2
=
440×5×21 2×1.64×105
= 0.14085
β 3 = 8°5′50′′
（3）自行完成 ）
举例1 一斜齿圆柱齿轮减速器、已知： r/min， 举例1、一斜齿圆柱齿轮减速器、已知：n1=955 r/min， 25， =125， mm， mm， 11.98° Z1＝25，Z2=125，mn=3 mm，b=115 mm，β＝11.98°，
K=l.2 ，[σ H1] =600 MPa ，[σ H2] =550 MPa，[σ F1] =270 =2， =2.17， =1.58， MPa ，[σ H2] =220 MPa ， YFa1=2， YFa2=2.17， Ysa1=1.58， =1.82， Ysa2=1.82， ZE=189.8 (MPa)1/2 ，ZH=2.48, εα=2.79, =0.941， Yβ=0.941， 附公式： 附公式：
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例1：某传动装置中有一对渐开线标准直齿圆柱齿轮（正常齿），大齿轮已损坏，
小齿轮的齿数z
1=24，齿顶圆直径d
a1
=78mm, 中心距a=135mm, 试计算大齿轮的
主要几何尺寸及这对齿轮的传动比。
78=m(24+2) m=3
a=m/2(z1+z2) 135=3/2(24+z2) z2 =66 d a2=3×66+2×3=204
d f2=3×66-2×1.25×3=190.5
i=66/24=2.75
例 2 一对按标准中心距安装的正常齿制的外啮合渐开线标准直齿圆柱齿轮 ,小
齿轮已损坏,需配制。
今测得两轴中心距,大齿轮齿数，齿顶圆
直径,压力角，试确定小齿轮的模数、齿数、压力角、分度圆直径、齿顶圆直径。
解由得
小齿轮的模数
由得
小齿轮的齿数
小齿轮为正常齿制渐开线标准齿轮 ,其压力角
小齿轮的分度圆直径
小齿轮的齿顶圆直径
例3：已知一对标准安装外啮合标准直齿圆柱齿轮的参数为：z
1=22, z
2
=33,
a=20°, m=2.5,ha*=1,求重合度e。
若两轮中心距比标准值大1mm, 则其重合度又为多少？
解：(1) r1=mz1/2=2.5x22/2=27.5
r2=mz2/2=2.5x33/2=41.25
r a1=r1+ha=27.5+2.5 x1=30
r a2=r2+ha=41.25+2.5 x1=43.75
r b1=r1cos a=27.5 xcos20°=25.84
r b2=r2cos a=41.25 xcos20°=38.75
a a1=arcos(r b1/r a1)=arccos(25.84/30)=30°32´
a a2=arcos(r b2/r a2)=arccos(38.76/43.75)=27°38´
e=[z1(tg a a1- tga)+ z2(tg a a2- tga)]/2π=1.629
(2)标准中心距a=r1+r2=27.5+41.25=68.75
a´=a+1=69.75
cosαˊ=acosa/a´=68.75cos20°/69.75=0.92622
αˊ=22°9´
e=[z1(tg a a1- tga´)+ z2(tg a a2- tga´)]/2π=1.252
例4：已知一对标准直齿圆柱齿轮的参数为：z
1=19, z
2
=42, a=20°, m=5,
ha*=1, 若中心距增大至刚好连续传动，求这时的αˊ，d
1´, d
2
´,a´ ,分度
圆分离距离Da，轮齿径向间隙c。
解：a=m(z
1+z
2
)/2=5x(19+42)=152.5
a a1=arcos(r
b1
/r
a1
)=31.768°
a a2=arcos(r
b2
/r
a2
)=26.236°
e=[z
1(tg a
a1-
tga´)+ z
2
(tg a
a2-
tga´)]/2π=1
tga´=(19tg31.768°+42tg26.236°-2π)/61=0.4292 αˊ=23.23°
a´cosαˊ=acosa
a´=acosa/ cosαˊ=152.5x cos20°/ cos23.23°=155.95
d 1´=d
b1
/cosαˊ=89.27/cos23.23°=97.15
d 2´=d
b2
/cosαˊ=197.335/cos23.23°=214.74
Da= a´-a=155.95-152.5=3.45
C= a´-r
f1-r
a2
=155.95-41.25-110=4.7
例 4 采用齿条刀具加工正常制渐开线标准直齿圆柱齿轮。
已知刀具的齿形角,刀具上相邻两齿对应点的距离为,加工时范成运动的速度分别为齿条刀具的线速度,轮坯角速度试求被加工齿轮的模数、压力角、齿数、分度圆直径及基圆半径。
解刀具的齿距,所以刀具的模数
被加工齿轮的模数与刀具的模数相同，故
齿轮的压力角与刀具的压力角相同，故
范成运动时，刀具的线速度与齿轮的分度圆处线速度相同，所以
齿轮的分度圆半径及直径
齿轮的齿数
基圆半径
例 5 已知一对用模数，压力角，及, 的滚
刀加工的斜齿圆柱齿轮传动，其安装中心距，两齿轮的齿数
，试计算这对斜齿轮的螺旋角及小齿轮的分度圆半径、齿顶圆半径、齿根圆半径。
解 :用同一把刀具加工的两齿轮其法面模数、压力角、齿顶高系数、齿顶系数均分别与刀具的相应参
值相同。
由得
螺旋角
小齿轮的分度圆半径
小齿轮的齿顶圆半径
小齿轮的齿根圆半径
例 6 如图 4.4 所示的机构中，已知模数均为，齿轮 1 、 2 为一对
斜齿圆柱齿轮，齿数，，齿轮3、4为一对正常齿制直齿圆柱齿轮
，，齿轮1、4同轴线。
求：
（1）斜齿轮的螺旋角为多少？（2）当用范成法加工齿轮1时是否会发生根切？（3）齿轮1、2的当量
齿数是多少？
图 4.4
解（1）正常齿制直齿圆柱齿轮的中心距
因齿轮 1、4同轴线，
（ 2）当用范成法加工螺旋角为的斜齿轮不发生根切的最少齿数：
因，所以不会发生根切。
（ 3）两斜齿轮的当量齿数
【评注】因斜齿轮的当量齿轮为直齿轮，判别斜齿轮 1是否发生根切也可以用（3）小题求出的当量齿数直接判别。
例 7 作图题：如图 4.5 所示，已知一对渐开线齿轮的基圆、齿顶圆及主动轮的角速度的方向，试作出理论啮合线和实际啮合线。
解: 根据渐开线的性质，两齿轮的啮合线应与两齿轮的基圆相切，但由于主动轮逆时针方向转动，故啮合线应切于齿轮1基圆的左下方和齿轮2基圆的右上方，
则切点之间的线段就是理论啮合线。
两齿轮实际啮合时，应是开始于从动轮的齿顶，终止于主动轮的齿顶，故实际啮合线是两轮的齿顶圆与理论啮合线的
交点之间的线段。
如图4.6所示。
图 4.5 图 4.6。