2016中考复习第1讲实数(含二次根式)
第一讲 实数(含二次根式)(原卷版)
第一讲实数（含二次根式）命题1 实数的分类级正负数意义1．（2020•河池）如果收入10元记作+10元，那么支出10元记作（ ）A．+20 元B．+10元C．﹣10元D．﹣20元2．（2021•凉山州）在实数，，0，，，﹣1.414，有理数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2021•河池）下列4个实数中，为无理数的是（ ）A．﹣2B．0C．D．3.14命题点2 相反数、倒数、绝对值4．（2021•沈阳）9的相反数是（ ）A．B．﹣C．9D．﹣9 5．（2021•内江）﹣2021的绝对值是（ ）A．2021B．C．﹣2021D．﹣6．（2021•宜昌）﹣2021的倒数是（ ）A．2021B．﹣2021C．D．﹣命题点3 数轴7．（2021•广州）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，则点A 表示的数为（ ）A．﹣3B．0C．3D．﹣6 8．（2021•凉山州）下列数轴表示正确的是（ ）A．B．C．D．9．（2021•威海）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A．a+b＞0B．a﹣b＞0C．a•b＞0D．＞0命题点4 科学计数法10．（2021•黔西南州）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京隆重举行．从2012年开始，经过七年多的精准扶贫，特别是四年多的脱贫攻坚战，全国现行标准下的9899万农村贫困人口全部脱贫，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，数9899万用科学记数法表示为（ ）A．0.9899×108B．98.99×106C．9.899×107D．9.899×108 11．（2021•巴中）据中央电视台新闻联播报道：今年4月我国国际收支口径的国际货物和服务贸易顺差337亿美元．用科学记数法表示337亿正确的是（ ）A．337×108B．3.37×1010C．3.37×1011D．0.337×1011 12．（2021•桂林）细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大．某种细菌的直径是0.0000025米，用科学记数法表示这种细菌的直径是（ ）A．25×10﹣5米B．25×10﹣6米C．2.5×10﹣5米D．2.5×10﹣6米命题点5 实数的大小比较13．（2021•朝阳）在有理数2，﹣3，，0中，最小的数是（ ）A．2B．﹣3C．D．0 14．（2021•常州）已知a＝，b＝，c＝，则下列大小关系正确的是（ ）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b命题点6 平方根、算术平方根、立方根15．（2021•通辽）的平方根是（ ）A．±4B．4C．±2D．+2 16．（2021•济南）9的算术平方根是（ ）A．3B．﹣3C．±3D．17．（2021•抚顺）27的立方根为 ．18．（2018•广东）一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝ ．命题点7 二次根式及其运算类型一二次根式的有关概念及性质19．（2021•桂林）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A．B．C．D．20．（2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）A．与B．与C．与D．与21．（2021•襄阳）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≥﹣3B．x≥3C．x≤﹣3D．x＞﹣3 22．（2021•日照）若分式有意义，则实数x的取值范围为 ．类型二二次根式的运算23．（2021•苏州）计算（）2的结果是（ ）A．B．3C．2D．9 24．（2021•益阳）将化为最简二次根式，其结果是（ ）A．B．C．D．25．（2021•柳州）下列计算正确的是（ ）A．＝B．3＝3C．＝D．2 26．（2021•天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于 ．27．（2021•山西）计算：+＝ ．类型三二次根式的估值28．（2021•营口）估计的值在（ ）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间29．（2021•台州）大小在和之间的整数有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个30．（2020•黔南州）已知a＝﹣1，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）A．1＜a＜2B．2＜a＜3C．3＜a＜4D．4＜a＜5命题点8 实数的运算类型一有理数的运算31．（2021•阜新）计算：3+（﹣1），其结果等于（ ）A．2B．﹣2C．4D．﹣432．（2021•聊城）计算：（﹣﹣）÷＝ ．33．（2021•雅安）若规定运算：a⊕b＝2ab，aΘb＝，a⊗b＝a﹣b2，则（1⊕2）⊗（6Θ3）＝ ．类型二实数的运算34．（2021•河池）计算：+4﹣1﹣（）2+|﹣|．35．（2021•百色）计算：（π﹣1）0+|﹣2|﹣（）﹣1+tan60°．36．（2021•常州）计算：﹣（﹣1）2﹣（π﹣1）0+2﹣1．。
九年级数学复习——实数
初中数学知识复习 第一讲：实数 一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=0，a=-b 2、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。
（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。
（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。
三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。
实数和数轴上的点是一一对应的关系。
四、实数大小的比较 1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。
2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。
五、实数的运算1、加法：（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
可使用加法交换律、结合律。
中考复习 第1讲__实数的有关概念
C．支出80元
D．收入80元
4．(2016自贡)将0.000 25用科学记数法表示为( C ) A．2.5×104 C．2.5×10－4 B．0.25×10－4 D．25×10－5
真题再现
5．(2016福州)A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示 的数中，有互为相反数的是如下图中的( B )
2 ． 6．(2016河北)8的立方根为________ 5 ． 7．(2016乐山)计算：|－5|＝_____ - 0.3 ． 8．(2016巴中)|－0.3|的相反数等于________
1．(2016宁波)6的相反数是( A )
A．－6
B．6
1 C．－ 6 1 C. 6
1 D. 6 1 D．－ 6
2．(2016河北二模)－6的绝对值是( A )
A．6
B．－6
题型训练
题型二 实数的有关概念
3．(2016深圳模拟)若|x|＝2，则x的值为( C ) A．2 B．－2 C．±2
1 D. 2
a(a＞0)， |a|＝ 0(a 0)， a(a＜0).
知识清单
考点三
科学计数法及近似数
1．科学记数法
a×10n 的形 把一个绝对值大于0且小于1或大于10的实数记为_________
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这样的记数方法叫做科学记数
法． 2．近似数
(1)近似数：一个与实际数值很接近的数．
2．(2016长沙模拟)陆地上最高处是珠穆朗玛峰峰顶，
高出海平面8 844 m，记为＋8 844 m；陆地上最低
处是地处亚洲西部的死海，低于海平面约415 m， 记为( B )
A．＋415 m
C．±415 m
中考数学复习第一单元数与式数的开方与二次根式课件
4.把分母中的根号化去的方法
(1) 1??= ??·????= ????;
(2)
1 ??-
??= (
??-
??+ ?? ??)( ??+
=
??)
???+?-????.
考点四 二次根式的估算 1.一般先对根式进行平方 ,如( 7)2=7; 2.找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数,如4< 7< 9; 3.对以上两个整数开方 ,如 4=2, 9= 3; 4.这个根式的值在这两个相邻整数之间 ,如 2< 7<3.
第 5 课时
数的开方与二次根式
考点一 平方根、算术平方根与立方根 1.平方根、算术平方根 :实数 a(a≥0)的平方根为± ??,其中 ??为 a 的算术平方根, 正数的平方根有两个 ,互为① 相反数 ,算术平方根只有一个且为 ② 正数 ,0 的平方根是 0. 2.立方根:实数 a 的立方根为 3 ??(a 为任意实数),立方根只有一个,符号与被开方 数③ 相同 ,立方根等于本身的数为 ±1,0.
A.4
B.8
C.±4
D.±8
2.3 8的算术平方根是 ( C )
A.2 C. 2
B.±2 D.± 2
3.[2019·大庆]有理数-8的立方根为 ( A )
A.-2
B.2
C.±2
D.±4
4. (1)化简:- 9=
-3
,-
2
1
4=
-???? , (-2)2 =
2
.
(2)25 的平方根是 ±5 ,(-4)2 的算术平方根是 4 , 16 的算术平方根
图5-1
而 0<a< 2,则 a-2<0,所以原式=a +2-a= 2.
(中考复习)第1讲 实数的有关概念 公开课获奖课件
对接点一：有理数与无理数
常考角度：1.实数的分类，无理数的定义； 2．算术平方根、零指数、负整数指数的直接计算； 3．特殊角的三角函数值．
【例题 1】 (2013·湖州)实数π ，15，0，－1 中，无理数
是
()
A．π
1 B.5
Hale Waihona Puke C．0D．－1解析 根据常见的无理数的三种形式判断，只有π
是无理数．
－1，∴a2 013＝(－1)2 013＝－1.
答案 B
对接点三：科学记数法、近似数与有效数字
常考角度：1.用科学记数法表示一个数及单位换算；
2．根据要求取近似数和保留有效数字；
3．近似数精确到的位数．
【例题3】 (2013·嘉兴)据统计，1959年南湖革命纪念馆成
立以来，约有2 500万人次参观了南湖红船(中共一大会
－1 在 3 和 4 之间．
答案 C
【名师课堂】
1．两边逼近法：用能开的尽方的两个正数的算术平方根逼 近：如(1) 9＜ 13＜ 16，即 3＜ 13＜4；(2) 2.42＜ 6＜
2.52，2.4＜ 6＜2.5. 2．要特别注意算术平方根和平方根的区别和联系．
【预测4】 实数－27的立方根是____________． 解析 ∵(－3)3＝－27，∴－27的立方根是－3. 答案 －3
第一板块 基础知识梳理
第一部分 数与式 第一讲 实数的有关概念
考纲要求
1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数； b 2.理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数、 b
倒数和绝对值(绝对值符号内不含字母)； 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的 a
一一对应关系； 4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念；知道开方 a
2016年初中数学知识点中考总复习串讲
第一章 实数考点一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
3、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33a a -=-，这说明三次根号的负号可以移到根号外面。
考点四、科学记数法和近似数 （3—6分）1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
九年级数学上册 第01讲 实数与二次根式素材 人教新课标版
第1讲 实数与二次根式音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。
——克莱因知识方法扫描1. 有理数和无理数统称为实数。
有理数包括整数和分数，无限不循环小数是无理数。
两个有理数的和差积商都是有理数，一个无理数与一个非零有理数的积是无理数。
有理数能够写成两个整数之商的形式，而无理数不能够写成两个整数之商的形式。
2. 一个实数a 的整数部分n 是指不超过a 的最大整数，a 的小数部分是b=a-n, (0≤b<1)。
3. 要掌握二次根式的四则运算法则，特别是分母有理化的方法及复合二次根式b a ±的化简；4．要注意运用整式，分式的恒等变形技巧，如因式分解，运用公式，通分和约分，拆项，换元，配方等。
经典例题解析例1．（1997年某某省初中数学竞赛试题）。
解 原式==。
例2．（2004年某某省八年级北师大版数学竞赛试题）计算：211++321++431++…+200420031+.解 原式=1）+-++ …+1=1例3．(1991年市初中数学竞赛试题)若a,b,c 为两两不等的有理数，求证为有理数。
证明 因222111()()()a b b c c a ++---=2111a b b c c a ⎡⎤++⎢⎥---⎣⎦- 2111()()()()()()a b b c b c c a c a a b ⎡⎤++⎢⎥------⎣⎦=2111a b b c c a ⎡⎤++⎢⎥---⎣⎦-2•()()()()()()c a a b b c a b b c c a -+-+---- =2111a b b c c a ⎡⎤++⎢⎥---⎣⎦=111a b b c c a ++---是一个有理数。
例4．(1994年某某市初中数学竞赛试题)若x =， 求4322621823815x x x x x x --++-+的值。
解 因为x =， 于是,(x-4)2=3,x 2-8x+13=0。
专题01 实数(含二次根式)(8大考点)-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练(解析版)
1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
2．有理数：有限小数或无限循环小数叫做有理数。
3．无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如
等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 +8 等； （3）有特定结构的数，如 0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如 sin60o 等。
第一部分 数与式
专题 01 实数（含二次根式）（8 大考点）
核心考点一 实数的分类 核心考点二 相反数、倒数、绝对值 核心考点三 数轴 核心考点四 科学记数法
核心考点
核心考点五 实数的大小比较 核心考点六 平方根、立方根 核心考点七 二次根式及其运算 核心考点八 实数的运算 新题速递
核心考点一 实数的分类
【变式 1】（2022·广西桂林·一模）实数 ， ，2，-6 中，为负整数的是（ ）
A．
B．
C．2
D．- 6
【答案】D
【分析】根据实数的分类即可做出判断．
【详解】解：A 选项是负分数，不符合题意；
Байду номын сангаас
B 选项是无理数，不符合题意；
C 选项是正整数，不符合题意；
D 选项是负整数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了实数的分类，属于简单题，注意整数包括正整数，负整数和 0．
是无理数； 故答案为： ． 【点睛】此题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，解题的关键是知道初中范围 内常见的无理数有三类：①π 类，如 2π，π3 等；②开方开不尽的数，如 等；③虽有规 律但却是无限不循环的小数，如 0．1010010001…（两个 1 之间依次增加 1 个 0）， 0．2121121112…（两个 2 之间依次增加 1 个 1）等．
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幻灯片1
数学
陕西省
第一章数与式
第1讲实数及其运算幻灯片2
幻灯片3
幻灯片4
幻灯片5
幻灯片6
幻灯片7
幻灯片8
1．(2014·陕西)4的算术平方根是( ) A ．－2 B ．2 C ．±2 D ．16
2．(2013·陕西)下列四个数中最小的数是( ) A ．－2 B ．0 C ．－1
3
D ．5
3．(2012·陕西)如果零上5℃记作＋5℃，那么零下7℃可记作( )
A ．－7℃
B ．＋7℃
C ．＋12℃
D ．－12℃
B A A
幻灯片9
4．(2015·陕西)计算：(－23)0
＝( )
A ．1
B ．－3
2
C ．0
D .2
3
5．(2011·陕西)－2
3的倒数为( )
A ．－32
B .32
C .23
D ．－23
A
A
幻灯片10
6．(2011·陕西)我国第六次人口普查显示，全国人口为1370536875人，将这个总人口数(保留三个有效数字)用科学记数法表示为()
A．1.37×109B．1.37×107
C．1.37×108D．1.37×1010
7．(2014·陕西)计算：(－1
3)
－2＝__ __．
8．(2011·陕西)计算：|3－2|＝__________．(结果保留根号)
A
9
2－3
幻灯片11
9．(2014·陕西)用科学计算器计算：31＋3tan 56°≈
________.(结果精确到0.01)
10．(2013·陕西)计算：(－2)3＋(3－1)0＝____． 11．(2013·陕西)比较大小：8cos 31°____35.(填“>”
“＝”“<”)
12．(2012·陕西)计算：2cos 45°－38＋(1－
2)0＝
_________.
13．(2012·陕西)用科学计算器计算：7sin 69°≈
____．(精确到0.01)
1
0.02 －7 ＞
－52＋1
2.47
幻灯片12
14．(2015·陕西)将实数5，π，0，－6由小到大用
“＜”号连起来，可表示为_______________．
15．(2015·陕西)计算：3×(－6)＋|－22|＋(12)－3
.
解：原式＝8－ 2
－6＜0＜5＜π
幻灯片13
【例1】(2015·黔西南州)下列各数是无理数的是()
A.4B．－1 3
C．πD．－1
【例2】(2015·绥化)在实数0，π，22
7，2，－9中，
无理数的个数有()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
C
B
幻灯片14
【点评】判断一个数是不是无理数，关键就看它能否写成无限不循环小数，初中常见的无理数共分三种类型：(1)化简后含π(圆周率)的式子；(2)含根号且开不尽方的数；(3)有规律但不循环的无限小数．掌握常见无理数类型有助于识别无理数．
幻灯片15
[对应训练]
1．(2015·益阳)下列实数中，是无理数的为( ) A . 3 B .1
3
C ．0
D ．－3
2．(2015·长沙)下列实数中，为无理数的是( ) A ．0.2 B .1
2
C . 2
D ．－5
A C
幻灯片16
3．下列各数3.14159，－
3
8，0.131131113…，－π，25，
－1
7
中，无理数的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
B
幻灯片17
【例3】 (2015·重庆)计算：4＋(－3)2－20150×|－4|＋(16
)－1. 解：原式＝2＋9－1×4＋6＝11－4＋6＝13
【例4】 (2015·兰州)计算：2－
1－
3tan 60°＋(π－
2015)0
＋|－1
2
|；
解：原式＝12－3×3＋1＋1
2
＝－1
幻灯片18
【点评】实数运算要严格按照法则进行，特别是混合运算，注意符号和顺序是非常重要的．
[对应训练]
1.(2015·广安)计算：－14＋(2－22)0＋|－2015|－4cos60°.
解：原式＝2013
2．(2015·东营)计算：(－1)2015＋(sin30°)－1＋(
3
5－2
)0－|3－
18|＋83×(－0.125)3.
解：原式＝4－3 2
幻灯片19
【例5】(2015·资阳)餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为()
A．5×1010千克B．50×109千克
C．5×109千克D．0.5×1011千克
【例6】(2015·内江)一种微粒的半径是0.00004米，这个数据用科学记数法表示为() A．4×106 B．4×10－6
C．4×10－5 D．4×105
A
C
幻灯片20
【点评】(1)科学记数法一般表示的数较大或很小，所以解题时一定要仔细；(2)科学记数法写出这个数后可还原成原数进行检验．
幻灯片21
[对应训练]
1．(2015·青岛)某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000000001 s．把0.000000001 s 用科学记数法可表示为()
A．0.1×10－8s B．0.1×10－9s
C．1×10－8s D．1×10－9s
2．(2015·海南)据报道，2015年全国普通高考报考人数约为9420000人，数据9420000用科学记数法表示为9.42×10n，则n的值是()
A．4 B．5
C．6 D．7
D
C
幻灯片22
3．(2015·天水)某种细胞的直径是0.000067厘米，将0.000067用科学记数法表示为() A．6.7×10－5 B．6.7×10－6
C．0.67×10－5 D．67×10－6
A
幻灯片23
【例7】(2015·绍兴)比较－3，1，－2的大小，下列判断正确的是()
A．－3＜－2＜1 B．－2＜－3＜1
C．1＜－2＜－3 D．1＜－3＜－2
A
【例8】(2015·河北)a，b是两个连续整数，若a＜7＜b，则a，b分别是()
A．2，3 B．3，2
C．3，4 D．6，8
【点评】实数的大小比较要依据数值特点来灵活运用比较大小的几种方法来进行．
A
幻灯片24
[对应训练]
1．(2015·武汉)在实数－3，0，5，3中，最小的实数是()
A．－3 B．0
C．5 D．3
2．(2015·河南)下列各数中最大的数是()
A．－8 B. 3
C．πD．5
3．比较2.5，－3，7的大小，正确的是()
A．－3＜2.5＜7 B．2.5＜－3＜7
C．－3＜7＜2.5 D.7＜2.5＜－3
A
D
A。