信号与系统零输入零状态举例
信号与系统第三章
设 f (t) 2 a 2, b 1 则有
dy(t) 2 y(t) 2 dt
已知初始值 y(0) 4 求 t 0时系统的响应 y(t)
解：第一步，由方程可知系统的特征方程为 2 0
2 由此可得系统的齐次解为
2
处理教研室
第三章 连续信号与系统的时域分析
教学重点：
1、常微分方程的建立及其解的基本特点； 2、阶跃响应和冲激响应的概念； 3、卷积及其在系统分析中的应用。
2020/6/7
信号
3
处理教研室
应用实例：汽车点火系统
汽车点火系统主要由电源（蓄电池和发电机）、电阻、 点火开关、点火线圈、分压器等组成。
系数 a,b都是常量。系统的阶数就是其数学模型——
微分方程的阶数。
而 n 阶常系数线性微分方程的一般形式为
an
dn y(t) dt n
an1
dn1 y(t) dt n1
L
a1
dy(t) dt
a0
y (t )
bm
dm f (t) dt m
bm1
dm1 f (t) dt m1
L
b1
df (t) dt
b0
即yf’(0+) = yf’(0-) = 0，yf(0+) = yf(0-) = 0
对t>0时，有 yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6
不难求得其齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数3，
于是有
yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3
代入初始值求得
§2.4 零输入响应和零状态响应
各种响应用初始值确定待定系数的区别： （2）各种响应用初始值确定待定系数的区别：
在经典法求全响应的待定系数时， 在经典法求全响应的待定系数时，用的是 状初始值。 0＋状初始值。 在求系统零输入响应时，用的是0－状态初始值。 在求系统零输入响应时，用的是0 状态初始值。 在求系统零状态响应时， 状态初始值， 在求系统零状态响应时，用的是 0＋ 状态初始值， 这时的零状态是指0 状态为零。 这时的零状态是指0－状态为零。
（4）0＋状态的确定
已知0 状态求0 状态的值， 已知0－状态求0＋状态的值，可用冲激函数匹 配法。见有关参考资料。 配法。见有关参考资料。 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值 求0＋状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值 定理求出 求出。 定理求出。
三．对系统线性的进一步认识
由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的， 由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的， 响应可分解为：零输入响应＋零状态响应。 (1)响应可分解为：零输入响应＋零状态响应。 零状态线性： 当起始状态为零时， (2) 零状态线性 ： 当起始状态为零时 ， 系统的零状态响 应对于各激励信号呈线性。 应对于各激励信号呈线性。 (3)零输入线性 当激励为零时， 零输入线性： (3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对 于各起始状态呈线性
信号与系统
Signals and Systems
§时域分析双零法——
零输入响应＋ 零输入响应＋零状态响应
一．起始状态与激励源的等效转换
在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。 在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。 即可以将原始储能看作是激励源。 即可以将原始储能看作是激励源。
外加激励源 系统的完全响应 共同作用的结果 可以看作 起始状态等效激励源 零状态响应” 系统的完全响应 = 零输入响应 + “零状态响应 零状态响应 线性系统具有叠加性) (线性系统具有叠加性)
信号与系统实验-实验一 零状态输入零状态响应
三、实验原理
1、零输入响应与零状态响应： 零输入响应： 没有外加激励的作用， 只有起始状态 （起始时刻系统储能） 所产生的响应。 零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零） 。 2、典型电路分析： 电路的响应一般可分解为零输入响应和零状态响应。首先考察一个实例：在下图中由 RC 组成一电路，电容两端有起始电压 Vc(0-),激励源为 e(t)。
四实验结果高频r900高频r902中频r900中频r902低频r900低频r902五思考题图211所示电路中根据实验提供的实验元件计算系统的零状态和零输入过程
实验一 零状态输入零状态响应
一、实验内容
1、观察零输入响应的过程。 2、观察零状态响应的过程。
二、实验器材
1、信号与系统实验箱一台（主板） 。2、系统时域与频域分析模块一块。 3、20MHz 示波器一台。
压值开始，以指数规律进行衰减。 第二项与起始储能无关， 只与输入激励有关， 被称为零状态响应。 在不同的输入信号下， 电路会表征出不同的响应。
四、实验结果
高频 r900 高频 r902
中频 r900
中频 r902
低频 r900
低频 r902
五、思考题 图 2-1-1 所示电路中，根据实验提供的实验元件，计算系统的零状态和零输入过程。 解答：
R + e (t) C _ + Vc(0-) Vc(t)
图 2-1-1 则系统响应－电容两端电压：
t
RC 电路
1 ( t ) 1 RC e e()de RC Vc (0)
上式中第一项称之为零输入响应， 与输入激励无关， 零输入响应 e
Vc (0) 是以初始电
零输入响应和零状态响应
计算方法
利用系统的传递函数和初始条 件进行计算。
通过求解常微分方程或差分方 程ห้องสมุดไป่ตู้找到系统的零输入响应。
在MATLAB/Simulink等仿真软 件中，可以通过设置系统的初 始状态来模拟零输入响应。
02 零状态响应
定义
零状态响应：是指在系统无输入 信号的情况下，系统对初始状态
产生的响应。
描述了系统在没有输入信号作用 时，其内部状态的变化情况。
零状态响应完全取决于系统本身 的特性，与输入信号无关。
产生原因
系统内部存在储能元件（如电容、电 感），当输入信号为零时，储能元件 的能量不会立即消失，而是会以某种 形式继续存在并产生响应。
系统参数（如电阻、电感、电容等） 发生变化，导致系统内部状态发生变 化，从而产生零状态响应。
计算方法
根据系统的传递函数 和初始状态进行计算。
针对复杂系统和多尺度问题，发展基于零输入响应和零状态响应的跨学科 解决方案，促进各领域之间的交流与合作。
探索零输入响应和零状态响应在可持续发展、环境保护、公共安全等领域 的潜在应用价值，为社会发展和人类福祉做出贡献。
技术创新
开发高效、稳定的零输入响应和零状态响应算 法，提高计算效率和精度，降低计算成本。
零状态响应
零状态响应描述的是系统在外部输入作用下的输出变化。通过研究零状态响应， 可以了解系统对不同类型输入的响应特性，进而设计出更好的控制系统。
系统建模与仿真
零输入响应
在系统建模与仿真中，零输入响应用 于描述系统的内部动态特性。通过分 析零输入响应，可以深入了解系统的 内部工作原理和稳定性。
零状态响应
零状态响应用于描述系统对外部输入 的响应特性。通过研究零状态响应， 可以预测系统在不同输入条件下的行 为表现，有助于优化系统的设计和控 制。
零状态响应与零输入响应
信号与系统第8讲零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应的定义 ⏹从引起系统响应的根源出发，将系统全响应分为零输入响应和零状态响应，即 ⏹零输入响应是指没有外加激励信号（零输入）,仅由系统内部初始储能(电容储有电场能、电感储有磁场能)引起的响应； ⏹零状态响应是指系统内部储能为零（零状态)，仅由系统的外部的激励引起的响应。
)()()(t y t y t y zs zi +=零输入响应的求解设n 个特征根为 ()(1)(2)1210()()()'()()0n n n n n y t a y t a y t a y t a y t ----+++++=L 00111=++++--a a a n n n λλλΛ其特征方程为 12.nλλλL 零输入下，系统的微分方程为 系统的零输入响应与微分方程的齐次解相同 以下分三种情况讨论零输入响应的求解（2）若存在共轭复根，如 1,2j λαβ=±3123()(cos sin ),0n t t t zi n y t c t c t e c e c e t λλαββ=++++≥L (3) 若这些特征根中含有重根，设 r 12r λλλ===L 111121()[()],0n r t t t r zi r r n y t c c t c t e c e c e t λλλ+-+=++++++≥L L 1212(),0n t t t zi n y t c e c e c e t λλλ=+++≥L （1）若这些特征根都是单根，则由起始状态值确定待定系数【解】 特征方程为 其特征根为 λ1 = -1， λ 2= -3零输入响应为： (0)1,(0)2y y --'==得到：最后得到： 根据起始条件： 例1 已知系统微分方程应的齐次方程为： (0)1,(0)2y y --'==，求系统零输入响应。
)(3)('4)(''=++t y t y t y 0342=++λλ312()t tzi y t c e c e --=+312'()3t tzi y t c e c e --=--121=+c c 2321=--c c 251=c 232-=c 353()(),022t t zi y t e e t --=-≥例2 已知系统微分方程相应的齐次方程为：(0)1,(0)2y y --'==，求系统零输入响应。
零状态响应和零输入响应公式
零状态响应和零输入响应公式
零状态响应和零输入响应是线性时不变系统中重要的概念。
零状态响应是指系统在没有输入信号时的响应，也可以称为自由响应。
零输入响应是指系统在有输入信号时，当输入信号为零时的响应，也可以称为强制响应。
这两种响应都可以用公式来表示。
下面介绍它们的具体公式。
零状态响应公式：
设系统的初始状态为x(0)，系统的零状态响应为y_z(t)，系统的传递函数为H(s)，则系统的零状态响应可以用下面的公式表示： y_z(t) = L^{-1}[H(s)X(s)] + x(0)
其中，L^{-1}表示拉普拉斯变换的反变换，X(s)表示输入信号的拉普拉斯变换。
零输入响应公式：
设系统的输入信号为x(t)，系统的零输入响应为y_h(t)，系统的冲击响应为h(t)，则系统的零输入响应可以用下面的公式表示： y_h(t) = h(t) * x(t)
其中，*表示卷积运算。
总响应公式：
系统的总响应可以表示为零状态响应与零输入响应之和：
y(t) = y_z(t) + y_h(t)
这里需要注意的是，当系统的输入信号为零时，总响应就等于零状态响应。
当系统的初始状态为零时，总响应就等于零输入响应。
因
此，知道了零状态响应和零输入响应公式，就能够求出系统的总响应。
零输入响应与零状态响应报告
新乡学院实验报告实验结果分析及讨论1. 实验中出现过的问题或错误、原因分析示波器没有正确显示波形，原因分析：未正确连接线路。
2. 保证实验成功的关键问题1.按实验步骤规范进行实验，记录实验现象，并分析实验现象。
2.使用实验箱的正确工作模式。
3.正确使用实验仪器。
对实验自我评价在本次实验中通过实验现象观察了零输入响应和零状态响应，学会了电路的零状态响应和零输入响应的观察方法。
在理论课上学习了零输入响应和零状态响应的理论知识，又在实验中进一步观察了零状态响应和零输入响应，进一步理解了零状态响应和零输入响应的理论，有利于信号与系统课程的学习。
教师评阅1. 学生实验动手能力(20分)：□优秀(20~18) □较好(17~15) □合格(14~12) □不合格(11~0)2. 实验报告内容(共60分)(1)实验目的、材料、原理、内容及步骤记录(20分)：□正确、清晰、重点突出(20~18) □较正确、较清晰(17~15)□有少数错误(14~12) □有较多错误(11~0)(2)实验数据(现象)及结果记录、处理(20分)：□清晰、正确(20~18) □较清晰、较正确(17~15) □合格(14~12) □不合格(11~0)(3)实验结果分析及讨论(20分)：□结果详实、结论清晰、讨论合理(20~18) □结果正确、讨论适当(17~15)□合格(14~12) □不合格(11~0)3. 学生遵循实验室规定及实验要求程度(20分)：□好(20~18) □较好(17~15) □合格(14~12) □不合格(11~0)4. 其它意见：教师签名：年月日课程名称信号与系统实验成绩实验名称零输入响应与零状态响应专业电子信息科学与技术年级/班级学号实验地点实验日期姓名实验类型□演示性□验证性□综合性□设计性指导教师实验目的1、掌握电路的零输入响应；2、掌握电路的零状态响应；3、学会电路的零状态响应与零输入响应的观察方法；实验仪器及耗材1、 ZH7004实验箱一台；2、 20MHz示波器一台；实验原理电路的响应一般可分解为零输入响应和零状态响应。
信号与系统实验报告
信号与系统实验报告一、信号的时域基本运算1．连续时间信号的时域基本运算两实验之一实验分析：输出信号值就等于两输入信号相加（乘）。
由于b=2，故平移量为2时，实际是右移1，符合平移性质。
两实验之二心得体会：时域中的基本运算具有连续性，当输入信号为连续时，输出信号也为连续。
平移，伸缩变化都会导致输出结果相对应的平移伸缩。
2.离散时间信号的时域基本运算两实验之一实验分析：输出信号的值是对应输入信号在每个n值所对应的运算值，当进行拉伸变化后，n值数量不会变，但范围会拉伸所输入的拉伸系数。
两实验之二心得体会：离散时间信号可以看做对连续时间信号的采样，而得到的输出信号值，也可以看成是连续信号所得之后的采样值。
二、连续信号卷积与系统的时域分析1.连续信号卷积积分两实验之一实验分析：当两相互卷积函数为冲激函数时，所卷积得到的也是一个冲激函数，且该函数的冲激t值为函数x，函数y冲激t值之和。
两实验之二心得体会：连续卷积函数每个t值所对应的卷积和可以看成其中一个在k值取得的函数与另外一个函数相乘得到的一个分量函数，并一直移动k值直至最后，最后累和出来的最终函数便是所得到的卷积函数。
3.RC电路时域积分两实验之一实验分析：全响应结果正好等于零状态响应与零输入响应之和。
两实验之二心得体会：具体学习了零状态，零输入，全响应过程的状态及变化，与之前所学的电路知识联系在一起了。
三、离散信号卷积与系统的时域分析1.离散信号卷积求和两实验之一实验分析：输出结果的n值是输入结果的k号与另一个n-k的累和两实验之二心得体会：直观地观察到卷积和的产生，可以看成连续卷积的采样形式，从这个方面去想，更能深入地理解卷积以及采样的知识。
2.离散差分方程求解两实验之一实验分析：其零状态响应序列为0 0 4 5 7.5，零输入响应序列为2 4 5 5.5 5.75，全状态响应序列为2 4 9 10.5 13.25，即全状态=零输入+零状态。
两实验之二心得体会：求差分方程时，可以根据全状态响应是由零输入输入以及零状态相加所得，分开来求，同时也加深了自己对差分方程的求解问题的理解。
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第 3页
零输入零状态举例
例：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0， 初始状态 已知激励 ， 初始状态y(–1)=0, y(–2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：（1）yzi(k)满足方程 ） 满足方程 yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0 yzi(–1)= y(–1)= 0, yzi(–2) = y(–2) = 1/2 首先递推求出初始值 zi(0), yzi(1), 首先递推求出初始值y 递推求出初始值 yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2) yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1 yzi(1)= –3yzi(0) –2yzi(–1)=3 特征根为 特征根为λ1= –1 ，λ2= – 2
■ 第 1页
yzi(k)=Czi1(– 1)k+Czi2(–2)k 解为 将初始值代入 并解得 Czi1=1 , Czi2= – 2 yzi(k)=(– 1)k – 2(– 2)k , k≥0 （2）零状态响应 zs(k) 满足 ）零状态响应y yzs(k) + 3yzs(k –1) + 2yzs(k –2) = f(k) yzs(–1)= yzs(–2) = 0 递推求初始值 yzs(0), yzs(1)， ， yzs(k) = – 3yzs(k –1) – 2yzs(k –2) + 2k , k≥0 yzs(0) = – 3yzs(–1) – 2yzs(–2) + 1 = 1 yzs(1) = – 3yzs(0) – 2yzs(–1) zs(0) = – 3yzs(–1) – 2yzs(–2) + 1 = 1 yzs(1) = – 3yzs(0) – 2yzs(–1) + 2 = – 1 分别求出齐次解和特解，得 分别求出齐次解和特解， yzs(k) = Czs1(–1)k + Czs2(–2)k + yp(k) = Czs1(– 1)k + Czs2(– 2)k + (1/3)2k 代入初始值求得 代入初始值求得 Czs1= – 1/3 , Czs2=1 yzs(k)= – (– 1)k/3+ (– 2)k + (1/3)2k , k≥0 y(k)=yzi(k)+yzs(k)