15 零输入零状态及全响应解析
信号与系统 零输入响应和零状态响应资料
所需要的初始条件常常为一组已知的数据，利用这组数据可求得方程完全解
中的各项系数 C 间范围是
i
而作为工程技术问题，一般激励都是从时刻 励接入瞬时的情况来确定。
0 t
t 0 加入，系统的响应时
，则系统的初始条件要根据系统的原始内部储能和激
如具体电路系统，根据如下条件从 起始条件求初始条件
t 0 时刻的零输入初始值等效电路
iL (t )
1F
iL (t )
1F u C (t ) uC (0 ) 10V
u C (t )
1H
2 u (t )
1H
2 u (t )
iL (0 ) 5A
uC (0 ) uC (0 ) 10V
零输入响应形式为
2
uzi (t ) Czi1e Czi 2te
t
t
(t 0)
1H u L (t ) 2 u (t )
信号与系统
零输入响应
uzi (t ) Czi1et Czi 2tet
零输入响应形式为
(t 0)
d 其中，待定系数 C zi 1 和 C 得根据初始条件 u zi (0 ) 和 u zi (0 ) 确定。 zi 2 dt
解的形式：齐次解+特解
y (t ) Ci e
i 1
i t
y p (t )
由初始条件求待定系数，需要计算从 0 到 跳变，一般根据实际 的工程问 题的物理关系求跳变，也可以作为一个纯粹的数字问题求解。 。
0
信号与系统
零状态响应
用经典法求解微分方程完全解的待定系数 Ci 时，作为一个数学问题，
零输入、零状态
全响应=零输入响应+零状态响应
一．关于
1.零输入响应的定义 外加激励信号为零时，仅由系统的 起始状态 (系统的历史储能)所产生
的响应，记为
。
2.特点
（1）仅是因为系统储能元件存储的能量释放 而产生的，只起始状态与有关 （2）可由求解对应的微分方程得到，因为无 外加激励信号，所以求解时特解为零 （3）在数学上是齐次方程的通解，
解特征方程得特征根为 齐次解： 由激励源自号形式，设特解： 完全响应为
系数A的确定：
先判断是否有跳变 由方程两侧 函数平衡条件容易判断 ， 在起始点 无跳变。
利用
求出系数
，即
从而，有：
自由响应： 强迫响应： 1
(2)求零输入响应和零状态响应：
：
由 的特点找对应的微分方程
起始状态
，此方程的解即为
（3）数学上，零状态响应是非齐次方程的解， 其形式为
式中
是特解．
可能会出
（4）因有外加激励，所以在 现跳变，需要判断才能确定系数。
r （二）. rzi 、 zs 的求解步骤
[例2-5]已知系统方程式为
起始状态 求自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态 响应和全响应。
解：(1)先求自由响应和强迫响应：
是系统方程的齐次解，
因为
，所以
所对应的微分方程为：
又因为根据前面的判断，在起始点 无 跳变。所以此时 ，且满足系统微分方 程，即
故系统全响应为
：
：
思考： 两种分类形式的响应有何联系？
（三）响应的分解形式及其关系
零状态响应与零输入响应
信号与系统第8讲零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应的定义 ⏹从引起系统响应的根源出发，将系统全响应分为零输入响应和零状态响应，即 ⏹零输入响应是指没有外加激励信号（零输入）,仅由系统内部初始储能(电容储有电场能、电感储有磁场能)引起的响应； ⏹零状态响应是指系统内部储能为零（零状态)，仅由系统的外部的激励引起的响应。
)()()(t y t y t y zs zi +=零输入响应的求解设n 个特征根为 ()(1)(2)1210()()()'()()0n n n n n y t a y t a y t a y t a y t ----+++++=L 00111=++++--a a a n n n λλλΛ其特征方程为 12.nλλλL 零输入下，系统的微分方程为 系统的零输入响应与微分方程的齐次解相同 以下分三种情况讨论零输入响应的求解（2）若存在共轭复根，如 1,2j λαβ=±3123()(cos sin ),0n t t t zi n y t c t c t e c e c e t λλαββ=++++≥L (3) 若这些特征根中含有重根，设 r 12r λλλ===L 111121()[()],0n r t t t r zi r r n y t c c t c t e c e c e t λλλ+-+=++++++≥L L 1212(),0n t t t zi n y t c e c e c e t λλλ=+++≥L （1）若这些特征根都是单根，则由起始状态值确定待定系数【解】 特征方程为 其特征根为 λ1 = -1， λ 2= -3零输入响应为： (0)1,(0)2y y --'==得到：最后得到： 根据起始条件： 例1 已知系统微分方程应的齐次方程为： (0)1,(0)2y y --'==，求系统零输入响应。
)(3)('4)(''=++t y t y t y 0342=++λλ312()t tzi y t c e c e --=+312'()3t tzi y t c e c e --=--121=+c c 2321=--c c 251=c 232-=c 353()(),022t t zi y t e e t --=-≥例2 已知系统微分方程相应的齐次方程为：(0)1,(0)2y y --'==，求系统零输入响应。
信号与系统零状态响应求解及系统全响应分析
⏹经典法⏹双零法☐零输入响应☐零状态响应⏹变换域法特征方程→特征根→含待定系数的齐次解→由初始条件(0-)→零输入响应方法①：先求解冲激响应h(t)，再计算零状态响应h(t)*f(t) 。
方法②：将输入信号等效为某虚拟系统的冲激响应，然后求解系统和虚拟系统的总响应，得到零状态响应。
单位冲激响应(复习)()()n n m m n m m p a p a p a h t b p b p b p b t −−−−++++=++++11110110()()δ h(t ) 的表达式：①与特征根有关当为无重根单根形式时有：①与n,m相对大小有关●当n > m 时，h (t )中不含δ(t )及其各阶导数●当n=m 时，h (t )中应包含δ(t )●当n < m 时，h (t )中应包含δ(t )及其各阶导数1(?)()k nt k k h A e u t t λ=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦+∑零输入/零状态的求解方法；全响应分析零输入/零状态的求解方法；全响应分析1.掌握零输入/零状态响应的求解方法2.掌握系统的全响应模式方法一（掌握）：卷积法求解，在求解冲激响应的基础上，利用卷积求解。
双零法零输入特征方程→特征根→含待定系数的齐次解→由0-时刻的初始条件计算系数求解冲激响应，通过卷积计算任意输入信号的响应零状态零状态()f t()()*()fy t f t h t=零状态响应5、零状态响应的求解初始状态为零时，输出y(t)完全由输入f(t)决定，此时y(t)=yf(t)。
零状态响应可以由三种方法得到。
()i h t τ−()i t δτ−时不变()()i i i f t ττδτΔ−(())i i i h t f τττΔ−线性()()i i i i f t ττδτ∞=−∞Δ−∑可加性()()i i i i h t f τττ∞=−∞−Δ∑i i i idt τττττΔ→Δ连续变化（0），用代替,并用替换()()f t d τδττ∞−∞−⎰)(()f d h t τττ∞−∞−⎰线性时不变()()()f t d f t τδττ∞≡−=⎰()()()==h t f t y t ∗零状态卷积法的由来：LTI系统的性质5、零状态响应的求解卷积法求解零状态响应：线性时不变系统的性质若系统为因果系统, 即h (信号，则有0(()(tf t f h τ⎰方法二（熟练掌握）：将输入信号f (t )看做某个系统的冲激响应的，此时f (t )通过系统的响应等于：①冲激信号经过h 1(t )=f (t )的系统②再通过冲激响应为h (t )的系统的响应③列写h all (t )=f (t )*h (t )的算子方程④利用2.6中冲激响应求解法得h all (t )，即有y f (t )=h all (t )()f t ()()*()f y t f t h t =零状态()f t all ()()*()h t f t h t =5、零状态响应的求解零状态()f t ()()*f y t f t =零状态响应非常重要：①系统分析的大问题；②概念容易混淆。
零输入响应与零状态响应
零输入响应与零状态响应一、零输入响应1定义在没有外加激励时，仅有t = 0时刻的非零初始状态引起的响应。
取决于初始状态和电路特性，这种响应随时间按指数规律衰减。
2简介系统的零输入响应完全由系统本身的特性所决定，与系统的激励无关。
当系统是线性的，它的特性可以用线性微分方程表示时，零输入响应的形式是若干个指数函数之和。
指数函数的个数等于微分方程的阶数，也就是系统内部所含"独立"储能元件的个数。
假定系统的内部不含有电源，那么这种系统就被称为"无源系统"。
实际存在的无源系统的零输入响应随着时间的推移而逐渐地衰减为零。
零输入响应是系统微分方程齐次解的一部分。
3起始状态所谓的起始状态，是反映一个系统在初始观察时刻的储能状态。
以电系统为例，我们做如下约定:在研究t=0以后的响应时，把t=0(-)时的值uc(0-)和il(0-)等称为起始状态，而把t=0+时的值uc(0+)和il(0+)以及它们的各阶导数称为初始值或初始条件。
二、零状态响应1定义在动态电路中，动态元件的初始储能为零（即零初始状态）下，仅有电路的输入（激励）所引起的响应。
三、两种响应的区别零状态响应：0时刻以前响应为0（即初始状态为0），系统响应取决于从0时刻开始加入的信号f(t);零输入响应：从0时刻开始就没有信号输入（或说输入信号为0），响应取决于0时刻以前的初始储能。
四、两种响应的判断方法如果有电源激励就是，而元件本身没有电压或电流就是零状态，相反没有电源激励只有元件本身初始值电压电流，就是零输入响应。
五、两种响应的求解方法1零输入响应：就是没有外加激励，由初始储能产生的响应，它是齐次解的一部分；2零状态响应：就是初始状态为零，外加激励产生的响应。
它可以通过卷积积分来求解。
零状态响应等于单位样值相应和激励的卷积。
其中，单位样值相应就是系统函数的反拉式变换或z变换。
六、两种响应之间的联系引起电路响应的因素有两个方面，一是电路的激励，而是动态元件储存的初始能量。
零输入响应与零状态响应
零输⼊响应与零状态响应1.零输⼊响应与零状态响应在Matlab中，lsim函数还可以对带有⾮零起始状态的LTI系统进⾏仿真，使⽤⽅法为y=lsim(sys,u,t,x0)，其中sys表⽰LTI系统，⽮量u和t分别表⽰激励信号的抽样值和抽样时间，⽮量x0表⽰该系统的初始状态，返回值y是系统响应值。
如果只有起始状态⽽没有激励信号，或者令激励信号为0，则得到零输⼊响应。
如果既有初始状态也有激励信号，则得到完全响应。
请注意lsim函数只能对⽤状态⽅程描述的LTI系统仿真⾮零起始状态响应，函数ss（对传递函数描述的LTI系统将失效，函数tf）。
例2.5 给定如图所⽰电路，t<0时S处于1的位置⽽且已经达到稳态，将其看做起始状态，当t=0时，S由1转向2.分别求t>0时i(t)的零状态响应和零输⼊响应。
图2.1 例2.4 电路图解：由所⽰电路写出回路⽅程和结点⽅程分别得到状态⽅程和输出⽅程：下⾯将⽤两种⽅法计算完全响应。
第⼀种⽅法：⾸先仿真2V电压e作⽤⾜够长时间（10s）后系统进⼊稳态，从⽽得到稳态值x0，再以该值作为初始值仿真4V电压e作⽤下的输出rf，即是系统的完全响应，为充分掌握lsim函数的使⽤⽅法，还仿真了系统的零状态响应rzs和零输⼊响应rzi。
第⼆种⽅法：构造⼀个激励信号，先保持2V⾜够长时间再跳变为4V，然后即可以零初始状态⼀次仿真得到系统的完全响应r1。
对应程序如下：C=1;L=1/4;R1=1;R2=3/2;A=[-1/R1/C,-1/C;1/L,-R2/L];B=[1/R1/C;0];C=[-1/R1,0];D=[1/R1];sys=ss(A,B,C,D); %建⽴LTI 系统systn=[-10:0.01:-0.01]'; %⽣成-10s 到-0.01s 的抽样时间，间隔为0.01sen=2*(tn<0); %⽣成机理信号的抽样值e(t)=2[rn tn xn]=lsim(sys,en,tn); %仿真t<0时的输出信号x0=xn(length(en),:); %x0记录了初始状态的值t=[0:0.01:10]';e=4*(t>=0); %⽣成激励信号的抽样值e(t)=4ezi=0*(t>=0); %⽣成零输⼊信号的抽样值e(t)=0rzs=lsim(sys,e,t); %仿真零状态响应rzi=lsim(sys,ezi,t,x0); %仿真零输⼊响应rf=lsim(sys,e,t,x0); %仿真完全响应r1=lsim(sys,[en;e],[tn;t]); %⽤另⼀种⽅法仿真完全响应2. 冲激响应与阶跃响应如果分别⽤冲激信号和阶跃信号作激励，lsim 函数可仿真出冲激响应和阶跃响应。
信号与系统零输入响应和零状态响应资料课件
总结词
通过RLC电路的零输入响应和零状态响应分析，理解二阶线性时不变系统的动态行为。
详细描述
RLC电路由一个电阻R、一个电感L和一个电容C组成，当输入信号为零时，电感L和电容C上的电压和电流的响应称为零输入响应；当系统初始状态为零时，输入信号引起的电感L和电容C上的电压和电流的响应称为零状态响应。通过分析这两种响应，可以了解二阶线性时不变系统的动态行为。
零输入响应与零状态响应的比较
CATALOGUE
04
系统在没有输入信号作用下的输出信号的响应，是系统内部储能元件的能量耗散过程。求解方法通常采用经典法或现代法。
零输入响应
系统在输入信号作用下的输出信号的响应，是系统对输入信号的响应。求解方法通常采用经典法或现代法。
零状态响应
零输入响应具有以下特性
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总结词
系统是由若干相互关联和相互作用的元素组成的整体，这些元素可以是物理元件、电路元件、化学反应物等。系统的功能和行为是由这些元素的相互作用和关联所决定的。线性系统是指系统的输出与输入成正比的系统，而非线性系统则是指系统的输出与输入不成正比的系统。时变系统是指系统的参数随时间变化的系统，而时不变系统则是指系统的参数不随时间变化的系统。
详细描述
总结词：线性时不变系统具有一些重要的性质，如叠加性、均匀性、稳定性等。这些性质对于理解和分析系统的行为具有重要意义。
零输入响应
CATALOGUE
02
01
02
03
零状态响应
CATALOGUE
03
01
零状态响应：在动态系统中，当输入信号作用时，系统在没有初始状态的情况下产生的输出响应。
总结词
通过分析信号通过线性时不变系统的零输入响应和零状态响应，理解系统对不同类型信号的响应特性。
零输入响应和零状态响应公式
零输入响应和零状态响应公式在我们学习电路知识的过程中，零输入响应和零状态响应公式可是相当重要的一部分呢。
先来说说零输入响应，它就像是一个独自表演的“演员”，在没有外部激励的情况下，依靠自身的“内力”来展现变化。
比如说一个电容在充电完成后，断开电源，这时候电容开始放电的过程就是零输入响应。
它的公式就像是一个魔法咒语，能帮助我们准确地算出这个过程中的电压或电流变化。
零状态响应呢，则像是一个受到外界刺激后做出反应的“小伙伴”。
当电路在初始状态为零的情况下，加上外部激励，然后产生的响应就是零状态响应。
就好比一个空荡荡的水桶，开始往里注水，这个注水的过程和水量的变化就可以用零状态响应公式来描述。
我记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个学生特别可爱。
他总是把零输入响应和零状态响应搞混，每次做题都是错得五花八门。
有一次，我给他举了个特别有趣的例子。
我跟他说：“你想象一下，零输入响应就像是你兜里原本就有的零花钱，没有爸妈再给你新的，你就靠这点钱花，它会越来越少。
而零状态响应呢，就像是爸妈突然给了你一大笔零花钱，这是新给的，然后你拿着这笔钱去买东西，这就是从零开始的变化。
”这孩子听完，眼睛一下子亮了起来，后来再做相关的题目，错误明显少了很多。
在实际的电路分析中，理解和运用这两个响应公式能让我们轻松解决很多问题。
比如说，在设计一个电源滤波电路的时候，我们要考虑电容的放电过程，这时候零输入响应公式就能派上用场，帮助我们算出电容电压下降的速度，从而选择合适的电容值来保证滤波效果。
再比如，当我们设计一个放大器电路时，要知道输入信号作用下的输出响应，这时候零状态响应公式就能帮助我们计算出输出信号的大小和变化规律，确保放大器能够正常工作，达到我们想要的效果。
总之，零输入响应和零状态响应公式虽然看起来有点复杂，但只要我们用心去理解，多结合实际的例子去思考，就一定能掌握它们的奥秘，让电路知识变得不再那么可怕，反而充满乐趣。
相信大家在学习的过程中，也能像那个可爱的学生一样，一旦找到窍门，就能轻松应对啦！。
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利用对偶关系：L C, iL uC , uL iC , G R
作业
6-1 (a) 6-3 6-5
电路
南京理工大学电光学院
6.1 电路的初始条件
换路定则: 在换路瞬间，电容上的电压、 电感中的电流不能突变。
设：t=0 时换路
0 ---
换路前瞬间
0 --- 换路后瞬间
则：
uC (0 ) uC (0 )
iL (0 ) iL (0 )
电路 南京理工大学电光学院
6.1 电路的初始条件
初始值的计算
1. 求uC(0－) ,iL(0－) 情况1：给定uC(0－) ,iL(0－). 情况2：t = 0-时: 原电路为直流稳态： C — 断路， L — 短路 情况3：t = 0－时: 原电路未进入稳态：
uC (0 ) uC (t ) |t 0 , iL (0 ) iL (t ) |t 0
电路
结论： 越大，过渡过程曲线变化越慢，uC达到
南京理工大学电光学院
6.2 RC电路的放电过程
能量变化
+ uR _
R
iC
C
uC
+
uC (t ) Ue
t RC
t 0
t RC
_
duC U iC (t ) C e dt R
t 0
结论：电容放电的过程，就是电阻消耗能量 的过程，直至电容储能完全释放，并被电阻 消耗完为止，电容放电过程才算完毕。
电路 南京理工大学电光学院
6.1 电路的初始条件
例：已知：t<0时，原电路已稳定，t=0时，打开开关S。 求： i1(0+), i(0+)
_ 10i1 + i .
4A
.
7Ω
i1
4Ω
14Ω
.
电路
S (t=0)
C
.
+ uC _
uC (0 ) 28V
8 4 i1 (0 ) A， i (0 ) A 3 3
电路
di L L Ri L 0 dt
南京理工大学电光学院
RL电路的放磁过程
RC串联：
duC uC 0 (t 0 ) RC dt uC (0 ) U
RL并联：
diL iL 0 GL dt iL (0 ) I (t 0 )
_
duC RC uC 0 dt
指用一阶微分方程描述的电路
电路 南京理工大学电光学院
6.2 RC电路的放电过程
已知：uC(0－) = U, t=0时，S由a合向b， 求： t 0 时的uC(t), iC(t)
+ uR _
R
t>0：
iC
C
uC
+
_
duC RC uC 0 dt
电路
RL电路的放磁过程
RL 放 磁 过 程
已知：t = 0－时， iL(0－) = I, 求： t 0 时的iL(t), uL(t) _ u a S (t=0) + R R _ b iL iL Us + + R uR u L u _L + L _L
. . .
.
i L (0 ) i L (0 ) I uL Ri L 0 di L uL L dt
电路 南京理工大学电光学院
6.2 RC电路的放电过程
已知：t<0时电路稳定，t=0时断开开关Q,
求：t>0时的uC(t)和iC(t)。
Q(t=0) 4KΩ
+
_12V
+ uC _
2 μF
iC
8KΩ
答案
电路
uC ( t ) 8e
62.5 t
V
t0 t0
南京理工大学电光学院
iC ( t ) e 62.5 t mA
6.2 RC电路的放电过程
零输入响应 Zero-input Response
电路中没有外施激励，仅由初始储 能产生的响应，称为电路的零输入响应.
a S (t=0) U
. . b. .
+ uR
R
_
iC C
+
_
uC
电路
南京理工大学电光学院
6.2 RC电路的放电过程
RC 放 电 过 程
已知：uC(0－) = U, t=0时，S由a合向b， 求： t 0 时的uC(t), iC(t)
南京理工大学电光学院
. .
第6章 电路的暂态分析
目 录
6.1 换路定则与电压和电流初始值的计算 6.2 RC电路的放电过程 6.3 RC电路的充电过程
6.4 一阶直流、线性电路瞬变过程的一般求解
方法——三要素法
6.5 微分电路与积分电路
6.6 RL电路的瞬变过程 6.7 RLC串联电路的放电过程
电路 南京理工大学电光学院
0 1
0.368
2
0.135
3
4
5
6
0.050 0.018
0.007 0.002
当 t=(3~5) 时，过渡过程基本结束，电路达到稳态。
电路 南京理工大学电光学院
6.2 RC电路的放电过程
U
1 2
3
0.368U
1 2 3
t
1 2 3
稳态所需要的时间越长。
+ uR +_ uR _ a . S .(t=0)
b.
R iC R C C
t>0：
U
+ iC uC + _ _
RiC uC 0 duC iC C dt
电路
.
uC
duC RC uC 0 dt
南京理工大学电光学院
一阶电路
一阶电路
+ uR _
R
t>0：
iC
C
uC
+
电路
南京理工大学电光学院6Βιβλιοθήκη 1 电路的初始条件初始值的计算
2. 画0＋时的等效电路.
uC (0 ) uC (0 ), iL (0 ) iL (0 )
换路前后电压（流）不变的为电压（流）源： C — 电压源， L — 电流源
若uC(0－) =0, iL(0－) = 0, 则: C — 短路， L — 断路 3. 利用电阻电路的计算方法求初始值.
uC ( t ) Ue
t RC
t0 t0
t duC U RC iC ( t ) C e dt R
南京理工大学电光学院
6.2 RC电路的放电过程
时 间 常 数 RC
+ uR _
R iC C uC
+
uC ( t ) Ue
t RC
t0 t0
_
t duC U RC iC ( t ) C e dt R
[U ] [Q ] [ R][C ] [t ] [ I ] [U ]
RC
电路
R：由动态元件看进去的戴维南等效电阻
南京理工大学电光学院
6.2 RC电路的放电过程
uC
U
uC ( t 0 )
0 t0
uC ( t ) Ue
t
t uC e RC U
t RC
t0
次切距
t
uC / U