二阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应
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第11章二阶电路-1零状态响应和全响应、冲激响应
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
L LC
C
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
L LC
C
R iL L + uL - + C uC –
uC(0+)=0, iL(0+)=1/L
uC A1e p1t A2e p2t
uC ( A1 A2t )e pt
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
(t 0)
iR (t)
50 uL (t) 50
1
2e 100t
sin100t
A
(t 0)
小结
经典法解线性二阶电路过渡过程的一般步骤： (1) 列写换路后(t>0)电路的微分方程并确定初始条件； (2) 求特征根，由根的性质写出自由分量(积分常数待定)； (3) 求强制分量(稳态分量)； (4) 全解=自由分量+强制分量； (5) 将初值r(0+)和r (0+)代入全解，定积分常数； (6) 讨论物理过程，画出波形等。
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
L LC
C
uC Ke t sin(t )
由初始值
uC (0 ) uC (0 ) 0
iL (0 )
1 L
iL (0 )
定常数A1 , A2 或 K ,
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t >0+ 为零输入响应
LC d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
特征方程 p2 R p 1 0 L LC
uC
0
特征方程 p2 R p 1 0 L LC
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
L LC
C
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
电路理论第11章二阶电路
R2
响应性质
等幅振荡 (无 阻尼 ) 衰减振荡 (欠阻尼 )
自由分量形式
K sin( 0t )
Ke t sin(t )
L t 相 等 的 实 根 非振荡放电 (临界阻尼 ) e ( A1 A2 t ) C
R2
L 不 等 的 实 根 非振荡放电 ( 过阻尼 ) C
u ,i uC O i
临界状 态
电流
12
电压:
U 0 t te L uL U 0e t (1 t ) i
2019年5月7日
uL
t
小结
第11章 11.1
1. 一阶电路是单调的响应，可用时间常数表示过渡过程。 2. 二阶电路用特征根来表示动态响应。 特征根
R 0 共轭虚根
L R2 共轭复根 C
A1e p1t A2e p2t
13
3. 电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结 构和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。
2019年5月7日
第11章 11.2
§11-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
零状态响应: 与一阶电路相同
阶跃响应: 二阶电路在阶跃激励下的零状态响应.
零状态响应 =强制分量+自由分量
duC U 0 t e sin t dt L
uL L
di 0 U 0e t sin( t ) dt
i C
C
+
-
L
t
11
2019年5月7日
第11章 11.1
L 3. R 2 C
临界情况
1 2
U0 ( p2e p t p1e p t ) 此时,p1,p2为两个相等的实根 uC p2 p1
响应性质
等幅振荡 (无 阻尼 ) 衰减振荡 (欠阻尼 )
自由分量形式
K sin( 0t )
Ke t sin(t )
L t 相 等 的 实 根 非振荡放电 (临界阻尼 ) e ( A1 A2 t ) C
R2
L 不 等 的 实 根 非振荡放电 ( 过阻尼 ) C
u ,i uC O i
临界状 态
电流
12
电压:
U 0 t te L uL U 0e t (1 t ) i
2019年5月7日
uL
t
小结
第11章 11.1
1. 一阶电路是单调的响应，可用时间常数表示过渡过程。 2. 二阶电路用特征根来表示动态响应。 特征根
R 0 共轭虚根
L R2 共轭复根 C
A1e p1t A2e p2t
13
3. 电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结 构和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。
2019年5月7日
第11章 11.2
§11-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
零状态响应: 与一阶电路相同
阶跃响应: 二阶电路在阶跃激励下的零状态响应.
零状态响应 =强制分量+自由分量
duC U 0 t e sin t dt L
uL L
di 0 U 0e t sin( t ) dt
i C
C
+
-
L
t
11
2019年5月7日
第11章 11.1
L 3. R 2 C
临界情况
1 2
U0 ( p2e p t p1e p t ) 此时,p1,p2为两个相等的实根 uC p2 p1
(优选)二阶电路的零输入响应零状态响应及全响应.
2L
1 LC
0
— 谐振角频率
ω0
ω
δ
02 2 — 固有振荡角频率
关系： 0 sin 0 cos p1 j 0 cos j0 sin 0e j p2 j 0 cos j0 sin 0e j
p1 j 0e j p2 j 0e j
uC
U0 p2
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
(t=0)
R
Li + uL - +
C -uC
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
i C duC U0
(e p1t e p2t )
dt ( p2 p1)L
uC U0
iC
p2U 0 e p1t p2 p1
uL
L
di dt
U0 p2 p1
0
1 LC
二阶以上电路存在
谐 振： s 0
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
C
C
p1
p2
R 2L
代入初值，解得：
uC ( A1 A2t)e t
波形与过阻尼情况类似
A1 U0，A2 U0 uC U0 (1 t)e t
U0 uc
i
i C duC U0 te t dt L
2L
02 2
若R=0，则
0 0
2
δ
p1,2 j0
Li
t = 0 + uL – –
uc
C uC
i
t
+
uC
uL
U
0
1 LC
0
— 谐振角频率
ω0
ω
δ
02 2 — 固有振荡角频率
关系： 0 sin 0 cos p1 j 0 cos j0 sin 0e j p2 j 0 cos j0 sin 0e j
p1 j 0e j p2 j 0e j
uC
U0 p2
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
(t=0)
R
Li + uL - +
C -uC
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
i C duC U0
(e p1t e p2t )
dt ( p2 p1)L
uC U0
iC
p2U 0 e p1t p2 p1
uL
L
di dt
U0 p2 p1
0
1 LC
二阶以上电路存在
谐 振： s 0
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
C
C
p1
p2
R 2L
代入初值，解得：
uC ( A1 A2t)e t
波形与过阻尼情况类似
A1 U0，A2 U0 uC U0 (1 t)e t
U0 uc
i
i C duC U0 te t dt L
2L
02 2
若R=0，则
0 0
2
δ
p1,2 j0
Li
t = 0 + uL – –
uc
C uC
i
t
+
uC
uL
U
0
16第十六讲 二阶电路的零状态响应和全响应阶跃和冲激响应
等幅振荡 π uC = U 0 sin( ω 0 t + ) = uL 无阻尼 2
δ = cos β ω0 ω = sin β ω0 ω β = arctg δ
ω0 uC = U 0 e −δ t sin(ω t + β ) ω
duC U 0 −δ t i = −C = e sin ω t ωL dt di ω0 u L = L = − U 0 e −δ t sin(ω t − β ) ω dt
(2)求通解 自由分量） 求通解(自由分量 求通解 自由分量）
特征方程
特征根
P 2 + 200 P + 20000 = 0
P= -100 ± j100
通解 i L (t ) = Ke−100t sin(100t + β )
(3)求特解（强制分量，稳态解） 求特解（强制分量，稳态解） 求特解
" iL = 1A
U0 uc uC 0
β
π uC = U 0 sin( ω 0 t + ) = uL 2
等幅振荡 无阻尼
ω0 U 0 e − δt ω
t
i
β π π+β 2π-β πβ 2π π
π-β β
t
uL
ω0 − U 0 e −δt ω
L ４ 、R = 2 临 情 界 况 C
R P = P = P2 = − = −δ 1 2L
uC = e −δ t ( A1 + A2 t )
由初始条件 uC (0 + ) = U 0 → A1 = U 0 解出
du C ( 0 + ) = 0 → A1 ( −δ ) + A2 = 0 dt
A1 = U 0 A2 = δU 0
初始值的计算,零输入响应,零状态响应,全响应及三要素公式的推导(1)
i R 0 u L 0
, u 0 uS(0+)
R
NR
, i 0 iS(0+) c
uC(0+) iL(0+)
（b）t=0+时等效电路
电路分析基础
3.8 电路初始值的计算
9
计算非独立初始值的具体方法： A、画出t =0+电路，
a、若 若
uc (0 ) uc (0 ) U cs ，
6
以电容上电压为未知变量列写电路的方程。
换路后由图（b）可知，其KVL方程为：
uczi (t ) uRzi (t ) 0
而uRzi(t)=izi(t) R,
izi ( t )
C
d u C zi ( t dt
)
，代入上式可得：
RC
duCzii (0+ )= RI S
则电容用一个电压源UCS代替；
uc (0 ) 0 ， 则电容用短路线代替。
b、若 iL (0 ) iL (0 ) ILs ，
则电感用一个电流源ILS 代替； 若 iL (0 ) 0 ， 则电感作开路处理。
B、现在可用求解电阻电路的各种方法来求解指定的非独立初始值。
电路分析基础
3.8 电路初始值的计算
（或称内部激励）共同作用引起的响应。
f t 0
N
y t
xk 0 0 k1,2,,n
实际上，由线性电路的性质知：
全响应 零输入响应 零状态响应
即：
y t yzi t yzs t
电路分析基础
xk 0 0 k 1,2,,n
3.4 电感的串联和并联
6
思考题
1. 解释电路零输入响应的定义； 2. 解释电路零状态响应的定义； 3. 解释电路全响应的定义；
二阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应
(d)全响应=强制分量+自由分量
f (0)
(e)由初值df
定常数
dt (0)
23
下次课内容：
§7-7 一阶和二阶电路的阶跃响应 §7-8 一阶和二阶电路的冲激响应
作业：7-21 7-22
24
电路的振荡
强迫振荡：外施激励引起 us(t)U mcosst
激励的频率决定各响应的频率
自由振荡：电路自身决定
0
1 LC
二阶以上电路存在
谐 振： s 0
13
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
C
C
p1
p2
R
2L
代入初值，解得：
uC(A 1A 2t)e t
波形与过阻尼情况类似
两个互异负实根 uCA 1 ep 1 tA 2ep2t
代入初值：uC(0＋) = U0，ddutC t0 0，得到：
p1AA11Ap22AU2 0 0
联立解得：
A1
p2U0 p2 p1
A2
p1U0 p2 p1
uCp2U 0p1(p2ep1t p1ep2t)
7
(t=0)
R
Li + uL - +
情况（无振荡）。
3
2.RLC串联电路的零输入响应
(t=0) R L i
已知uC(0–) = U0, i(0–) = 0，
+ uL C
求uC(t), i(t), uL(t), t 0
+ uC
方程：
RiuLuC0
-
uL
L
di dt
i C duC dt
以电容电压为变量： LC dd 2utCRC ddutCuC0
二阶电路的响应汇总
当 t 时, 电流有最大值, 即 : t
P
3
866
1.2ms
电流最大值为:
imax 11.5e
500*12*103
sin 866 *1.2 *103 5.44mA
变化曲线为:
u i
u (t )
0
t
i (t )
4、无阻尼等幅震荡
例题4： 右图电路中，已知 C 3800F ,U 0 14.14k 若线圈用很粗的导线绕制， 则在近似估 算中可以把它的电阻忽略不计。
代入公式：
U0 P2t 268t 3732t uc ( P2e P1t P e ) ( 10 . 77 e 0 . 773 e ) 1 P2 P 1 U0 i (e P1t e P2t ) 2.89(e 268t e 3732t )ma L( P2 P uc u L i 1)
可见，放电电流的峰值可达16.9kA 电容电压为:
uc u L U 0 sin( 0t ) 10 2 *10 sin( 314t ) 2 2
3
则：
A1 0 1
103 A1 A2 0
A1 1; A2 103
uc iL ic
变化曲线:
uc
故阶跃响应为：
iL
t ms
diL 6 103 t u L (t ) L 10 te e(t ) dt
0
ic
duc 3 103 t ic c (1 10 t )e e(t ) dt
解： 换路后电路微分方程为：
d 2 iL di LC 2 GL L iL is dt dt
uc iL ic
P
3
866
1.2ms
电流最大值为:
imax 11.5e
500*12*103
sin 866 *1.2 *103 5.44mA
变化曲线为:
u i
u (t )
0
t
i (t )
4、无阻尼等幅震荡
例题4： 右图电路中，已知 C 3800F ,U 0 14.14k 若线圈用很粗的导线绕制， 则在近似估 算中可以把它的电阻忽略不计。
代入公式：
U0 P2t 268t 3732t uc ( P2e P1t P e ) ( 10 . 77 e 0 . 773 e ) 1 P2 P 1 U0 i (e P1t e P2t ) 2.89(e 268t e 3732t )ma L( P2 P uc u L i 1)
可见，放电电流的峰值可达16.9kA 电容电压为:
uc u L U 0 sin( 0t ) 10 2 *10 sin( 314t ) 2 2
3
则：
A1 0 1
103 A1 A2 0
A1 1; A2 103
uc iL ic
变化曲线:
uc
故阶跃响应为：
iL
t ms
diL 6 103 t u L (t ) L 10 te e(t ) dt
0
ic
duc 3 103 t ic c (1 10 t )e e(t ) dt
解： 换路后电路微分方程为：
d 2 iL di LC 2 GL L iL is dt dt
uc iL ic
初始值的计算,零输入响应,零状态响应,全响应及三要素公式的推导(2)
法：先用三要素求出iL(t)的全响应，iL(t) = iL(0+)e-t/τ+ iL(∞)（1- e-t/τ）， 其中iLzi(t) = iL(0+)e-t/τ，iLzs(t) = iL(∞)（1- e-t/τ），
即若所求响应为iL(t)或uC(t)时，可直接从全响应的三要
素公式中把其零输入响应和零状态响应分离出。 利用
应用阶跃函数表示其他信号
电路分析基础
3.15 阶跃函数
2
1. 单位阶跃函数定义
单位阶跃函数用ε(t)表示，其定义为：
(t
def
)
1
0
,t 0 ,t 0
该函数在t = 0处发生单位跃变，波形如图(a)。
f
(t )
def
K (t)
K
0
,t 0 ,t 0
电路分析基础
3.15 阶跃函数
τC=RCC=2×1=2s，τL=L/RL =2/(2//2+1) =1s
电路分析基础
3.14 一阶电路三要素计算
7
iL(0+) =iL(0-)=4(A) uC (0+)= uC(0-)=4(V) τC==2s， τL=1s 画出换路后的0+等效电路如图 (d)所示。 i1(0+) =2A，i2(0+) =1A。
τ2= (R2//R3)C =1s
uC(t) = 4 - 2.53e-(t-2) (V) ，t ≥2s
电路分析基础
3.13 一阶电路三要素计算
7
例3 如图 (a)所示电路，在t < 0时开关S位于b点，
电路已处于稳态。t = 0时开关S由b点切换至a点。
求t≥0时的电压uC(t)和电流i(t)。
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0
1 LC
二阶以上电路存在
谐 振： s 0
13
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
C
C
p1
p2
R 2L
代入初值，解得：
uC ( A1 A2t)e t
波形与过阻尼情况类似
A1 U0，A2 U0 uC U0 (1 t)e t
i C duC U0 te t dt L
US
特征方程为:
uC uC uC
LCp2 RCp 1 0
特解
通解 特解: uC US
16
uC解答形式为：
uC
US
A1e
pt 1
A2e
pt 2
( p1 p2 )
uC US A1e t A2te t ( P1 P2 )
uC US Ae t sin(t ) (P1、2 j)
作业：7-21 7-22
24
令 R — 衰减系数
2L
1 LC
0
— 谐振角频率
ω0
ω
δ
02 2 — 固有振荡角频率
关系： 0 sin 0 cos p1 j 0 cos j0 sin 0e j p2 j 0 cos j0 sin 0e j
9
p1 j 0e j p2 j 0e j
iL (0 )
100Acos 100Asin 0 uL (0 )
45
A 2
iL 1 2e100t sin(100 t 45)
19
50
(5)求iR
+ R iR iL
50 V
-
0.5H
50
100F
iR
iL
iC
iL
LC
d 2iL dt 2
或设解答形式为：
iC iR 1 Ae100t sin(100t )
di U0 dt t0 L
电路方程：
LC
d2uC dt
RC
duC dt
uC
0
特征方程：
LCp2 RCp 1 0
5
特征根：
p1,2
R 2L
( R )2 1 2L LC
3.零输入响应的三种情况
1）R 2 L 两个互异负实根 C
过阻尼
2）R 2 L 两个相等负实根 C
临界阻尼
3）R 2 L C
§7-5 二阶电路的零输入响应
1. LC电路中的正弦振荡
(t=0) i
已知uC(0–) = U0, i(0–) = 0，
+ C uC
-
求uC(t), i(t), t 0
+
uL L 方程： uC uL
-
uL电容电压为变量：
LC
d2uC dt 2
uC
0
特征方程： LCp2 1 0
i C duC dt
以电容电压为变量：
LC
d2uC dt
RC
duC dt
uC
0
以电感电流为变量： LC d2i RC di i 0
dt
dt
4
以电容电压为变量时的初始条件：
uC(0+)=U0 i(0+)=0
duC 0 dt t0
以电感电流为变量时的初始条件：
i(0+)=0 uC(0+)=U0 uL (0 ) uC (0 ) U0
两个共轭复根
欠阻尼
根据上述情况，讨论方程的根及其对应的物理意义。
6
1）R 2 L C
两个互异负实根 uC A1e p1t A2e p2t
代入初值：uC(0＋) = U0，ddutC t0 0，得到：
A1 A2 U0 p1A1 p2 A2
0
联立解得：
A1
p2U 0 p2 p1
A2
0 欠阻尼， 振荡放电 uC Ae t sin( t )
22
3.求二阶电路全响应的步骤
(a)列写t >0+电路的微分方程
(b)求通解
(c)求特解
(d)全响应=强制分量+自由分量
f (0 )
(e)由初值 df
定常数
dt (0 )
23
下次课内容：
§7-7 一阶和二阶电路的阶跃响应 §7-8 一阶和二阶电路的冲激响应
A 2
21
小结 1.二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常
微分方程所描述的电路。
2.二阶电路的性质取决于特征根，特征根取决 于电路结构和参数，与激励和初值无关。
p 2 02
0
过阻尼， 非振荡放电
uC
A1e
pt 1
A2
e
pt 2
0 临界阻尼， 非振荡放电 uC A1e t A2te t
p1,2 j
1 LC
1
方程的解：
j1t
j 1 t
uC A1e LC A2e LC
代入初值uC(0+) = U0，则 A1 A2 U0
duC dt
t 0
1 C
i(0
)
0
联立解得：
A1
A2
U0 2
A1 A2 0
uC
U0 2
j
e
1t
j
LC e
1 LC
t
U0
cos
1 t LC
ω
R
2L
02 2
若R=0，则
0 0
2
δ
p1,2 j0
Li
t = 0 + uL – –
uc
C uC
i
t
+
uC
uL
U
0
sin(0t
2
)
i
C L
U
0
sin(
0t
)
等幅振荡 无阻尼现象
12
电路的振荡
强迫振荡：外施激励引起 us (t) Um cosst 激励的频率决定各响应的频率
自由振荡：电路自身决定
振荡，也称阻尼振荡。
若电阻过大，储能在初次转移即被消耗，称过阻尼
情况（无振荡）。
3
2.RLC串联电路的零输入响应
(t=0) R L i
已知uC(0–) = U0, i(0–) = 0，
+ uL C
求uC(t), i(t), uL(t), t 0
+ uC
方程：
Ri uL uC 0
-
uL
L
di dt
uL
L diL dt
U0e t (1 t)
U0 uc
i
o tm uL
t
非振荡放电 临界阻尼现象
14
小结 R 2 L 过阻尼， 非振荡放电
C
uC
A1e
pt 1
A2e
pt 2
可推 广应
R 2 L 临界阻尼， 非振荡放电
C uC A1e t A2te t
用于 一般
R 2 L 欠阻尼， 振荡放电
定常数
+ R iR
50V
-
2A iC
iR (0 )
diR dt
(0
)
1
?
iC
(0
iR
) 1
50 R
uC
diR dt
(0
)
1 R
duC dt
(0
)
1 RC
iC
(0
)
200
20
iR 1 Ae100t sin(100t )
1 Asin 1 100 Acos 100 Asin 200
0
二阶
C
电路
uC Ae t sin(t )
由初始条件
uC (0 )
duC dt
(0
)
定常数
15
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
1. 二阶电路的零状态响应
例 uC(0－)=0 , iL(0－)=0
+ R iL
- US (t)
L
+
uC- C
微分方程为：
LC
d 2uC dt
RC
duC dt
uC
uL
L
di dt
U00
e t
sin( t
)
uL
衰减振荡放电 欠阻尼现象
10
uc U0
能量转换关系：
iC
0 - 2- 2
t
+
+
+
C -
L- C
L- C
L
R
0 < t <
R
R
< t < - - < t <
11
uC
U 00
e t
sin( t
)
i U0 e t sin( t) L
ω0
由初值
uC(0
),
duC (0 dt
)
确定二个常数
uC
US
0
t
17
100F
2. 二阶电路的全响应
例 已知：iL(0-)=2A uC(0-)=0 求：iL, iR
解 (1) 列微分方程
应用KCL：
L diL 50 dt R
iL
LC
d 2iL dt 2
0
RLC
d 2iL dt 2
L
diL dt
RiL
uL
L
di dt
U0 p2 p1
( p1e p1t
p2e p2t )
设 |P2|>|P1|，画出电压电流波形
0
tm 2tm
p1U 0 e p2t p2 p1
uL 过阻尼