高中数学选修2-1教案 第三章 空间向量与立体几何 3.2立体几何中的向量方法

3.2立体几何中的向量方法

第一课时 立体几何中的向量方法（1）

教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．

教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．

教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．

教学过程：

一、复习引入

1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示； ⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式； ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？

2. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？

⑴利用定义a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞或cos ＜a ,b ＞＝a b a b

⋅⋅，可求两个向量的数量积或夹角

问题；

⑵利用性质a ⊥b ⇔a ·b ＝０可以解决线段或直线的垂直问题；

⑶利用性质a ·a ＝｜a ｜2，可以解决线段的长或两点间的距离问题．

二、例题讲解

1. 出示例1：已知空间四边形OABC 中，OA BC ⊥，OB AC ⊥．求证：OC AB ⊥． 证明：·OC AB ＝·()OC OB OA - ＝·OC OB －·OC OA ．

∵OA BC ⊥，OB AC ⊥， ∴·0OA BC =，·0OB AC =，

·()0OA OC OB -=，·()0OB OC OA -=． ∴··OA OC OA OB =，··OB OC OB OA =．

∴·OC OB ＝·OC OA ，·OC AB ＝0． ∴OC AB ⊥

2. 出示例2：如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥AB ，线段'DD α⊥，'30DBD ∠=，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 间的距离．

解：由AC α⊥，可知AC AB ⊥．

由'30DBD ∠=可知，＜,CA BD ＞＝120，

∴2||CD ＝2()CA AB BD ++＝2||CA ＋2||AB ＋2||BD ＋2(·CA AB ＋·CA BD ＋·AB BD )

＝22222cos120b a b b +++＝22a b +．

∴CD

3. 出示例3：如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的

棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角．

解：∵MN ＝1(')2CC BC +，'CD ＝'CC CD +，

∴·'MN CD ＝1(')2CC BC +·(')CC CD +＝12

(2|'|CC ＋'CC CD ＋·'BC CC ＋·BC CD )．

∵'CC CD ⊥，'CC BC ⊥，BC CD ⊥，∴'0CC CD =，·'0BC CC =，·0BC CD =， ∴·'MN CD ＝122|'|CC ＝12． …求得 cos ＜,'MN CD ＞12

=，∴＜,'MN CD ＞＝60. 4. 小结：利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明．

第二课时 立体几何中的向量方法（2）

教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．

教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．

教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．

教学过程：

一、复习引入

讨论：将立体几何问题转化为向量问题的途径？

（1）通过一组基向量研究的向量法，它利用向量的概念及其运算解决问题；

（2）通过空间直角坐标系研究的坐标法，它通过坐标把向量转化为数及其运算来解决问题.

二、例题讲解

1. 出示例1： 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1BB 、

CD 的中点，求证：1D F ⊥平面ADE ．

证明：不妨设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设DA ＝i ，DC ＝

j ，1DD ＝k ．以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系D －xyz ，则

∵AD ＝(-1,0,0)，1D F ＝(0,

12,-1)，∴AD ·1D F ＝(-1,0,0)·(0,12

,-1)＝0，∴1D F ⊥AD ． 又 AE ＝(0,1,12)，∴AE ·1D F ＝(0,1,12)·(0,12

,-1)＝0， ∴1D F ⊥ AE ． 又 AD AE A =， ∴1D F ⊥平面ADE ． 说明：⑴“不妨设”是我们在解题中常用的小技巧，通常可用于设定某些与题目要求无关的一些数据，以使问题的解决简单化．如在立体几何中求角的大小、判定直线与直线或直线与平面的位置关系时，可以约定一些基本的长度．⑵空间直角坐标些建立，可以选取任意一点和一个单位正交基底，但具体设置时仍应注意几何体中的点、线、面的特征，把它们放在恰当的位置，才能方便计算和证明．

2. 例：证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．

改写为：已知：直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足．求证：OA //BD ． 证明：以点O 为原点，以射线OA 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，

i ,j ,k 为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设BD ＝(,,)x y z ．

∵BD ⊥α， ∴BD ⊥i ，BD ⊥j ，

∴BD ·i ＝(,,)x y z ·(1,0,0)＝x ＝0，BD ·j ＝(,,)x y z ·(0,1,0)＝y ＝0,

∴BD ＝(0,0,z )．∴BD ＝z k ．即BD //k ．由已知O 、B 为两个不同的点，∴OA //BD ．

3. 法向量定义：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α．如果a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量．

4. 小结：

向量法解题“三步曲”：（1）化为向量问题 →（2）进行向量运算 →（3）回到图形问题.