第5讲 区间估计
区间估计
常见形式
间估计的区间上、下界通常形式为：“点估计±误差” “总体均值”的区间估计
总体均值：μ 总体方差：σ 样本均值：x =(1/n）×Σ（Xi) 样本方差：s =(1/(n-1））×Σ（Xi-x)^2 符号假设置信水平：1-α 显著水平：α
已知n个样本数据Xi (i=1,2,...,n），如何估计总体的均值? 首先，引入记号： 区间估计σ'=σ/sqrt(n) s'=s/sqrt(n) 然后，分情况讨论： 情况1 小样本（n<30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况2 小样本（n<30），σ未知，此时区间位于 x ± t（α/2）×s' 区间估计情况3 大样本（n≥30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况4 大样本（n≥30），σ未知，此时区间位于 x ± z（α/2）×s' 其中， z（α/2）表示：正态分布的水平α的分位数 t（α/2）表示：T分布的水平α的分位数
置信区间
区间估计有时，对所考虑的置信区间（或上、下限）加上某种一般性限制，在这个前提下寻找最优者。无偏 性是经常用的限制之一，如果一个置信区间（上、下限）包含真值θ的概率，总不小于包含任何假值θ┡的概率， 则称该置信区间（上、下限）是无偏的。同变性（见统计决策理论）也是一个常用的限制。
求置信区间的方法 最常用的求置信区间及置信上、下限的方法有以下几种。
即
费希尔把这个等式解释为：在抽样以前，对于θ落在区间内的可能性本来一无所知，通过抽样，获得了上述 数值，它表达了统计工作者对这个区间的"信任程度",若取b)=-α=uα/2，则得到区间，其信任程度为 1-α。即 当用上述区间作为θ的区间估计时，对于“它能包含被估计的θ”这一点可给予信任的程度为1-α。
4.5 区间估计
当两个样本为小样本，总体方差σ12和σ22未知，且两总体
方差不相等，即σ12 ≠ σ22时，可由两样本方差s12和s22对总体方
差σ12和σ22的估计而算出的t值，已不是自由度df＝n1+n2-2的t 分布，而是近似的服从自由度df '的t分布，在置信度为P＝1-α
在置信度为P＝1-α下，两总体 频率差数p1-p2的区间估计为
ˆ1 p ˆ 2 ) u p ˆ1 p ˆ 2 ) u p [( p ˆ1 p ˆ2 , ( p ˆ1 p ˆ2 ]
其置信区间的下限Ｌ1和上限L2为：
ˆ1 p ˆ 2 ) u p ˆ1 p ˆ 2 ) u p [L1 ( p ˆ1 p ˆ 2 , L1 ( p ˆ1 p ˆ2 ]
P( 2.58 x x 2.58 x ) 0.99
P( x 2.58 x ) P( x 2.58 x ) 0.01
P( x 1.96 x x 1.96 x ) 0.95 P( x 2.58 x x 2.58 x ) 0.99
( L1 x u x , L2 x u x )
( L1 x u x , L2 x u x )
用样本平均数 x 对总体平均数μ的置信度为P=1-α 的区间估计。
L x u x
用样本平均数 x 对总体平均数μ的置信度为P=1-α 的点估计。
一、参数区间估计与点估计的原理
无论区间估计还是点估计，都与概率显著水平α的 大小联系在一起。 α越小，则相应的置信区间就越大，也就是说用样 本平均数对总体平均数估计的可靠程度越高，但这 时估计的精度就降低了。
SAS课件--第5讲 SAS的假设检验
待估参数
枢轴量及其分布 π
Z P P(1 P ) n
近似
参数的置信区间
1） ~ N（0，
总体比 例
P Z 2
P(1 P) n
两总体 比例差
π 1-π
z
2
( P1 P2 ) ( 1 2 )
近似
1 (1 1 ) n1 2 (1 2 ) n 2
2 12 / 2 1
H1 μ 1-μ 2≠0 μ 1-μ 2<0 μ 1-μ 2>0 μ d≠0 μ d<0 μ d>0
2 12 / 2 1
检验统计量
X Y S w 1 n1 1 n 2
2 ( n1 1) S12 ( n2 1) S2 n1 n2 2
分布
第五主题 区间估计和假设检验
区间估计与假设检验的基本概念
• 总体均值的区间估计与假设检验的SAS实现 • 总体比例的区间估计与假设检验的SAS实现 • 总体方差的区间估计与假设检验的SAS实现 • 分布检验
第一节 区间估计与假设检验的基本 概念
区间估计 假设检验
一、区间估计
1. 点估计和区间估计 • 参数的估计方法主要有两种：点估计和区间估计。 • 点估计是用样本的观测值估计总体未知参数的值。由于
• 正态总体参数的各种置信区间见表3-1。
被估参数 条件 枢轴量及其分布 参数的置信区间
两样本独立 ，12, 22 已知
μ 两 正 态 总 体
1 -μ 2
Z
X Y ( 1 2 )
2 12 n1 2 n2
~ N (0,1)
X Y Z
数理统计区间估计总结
数理统计区间估计总结数理统计是一门研究数据收集、整理、分析和解释的学科，而区间估计是其中一种重要的方法。
区间估计是通过样本数据来推断总体参数的取值范围，它能够提供关于总体参数的不确定性程度的信息。
本文将对区间估计的概念、应用以及优缺点进行探讨，以期帮助读者更好地理解和运用这一统计方法。
一、区间估计的概念区间估计是一种基于样本数据的统计推断方法，通过计算得到一个包含未知总体参数的区间范围。
这个区间的上限和下限是根据样本数据计算出来的，并且具有一定的置信水平，代表了对总体参数的估计精度。
二、区间估计的应用区间估计广泛应用于各个领域的研究中，特别是在市场调研、医学实验、经济学研究等方面。
例如，在市场调研中，通过对样本数据的分析，可以得到某一产品销售量的置信区间，以评估其市场潜力。
在医学实验中，可以利用区间估计来确定某种药物的有效剂量范围，以指导临床应用。
三、区间估计的优缺点区间估计具有以下优点：首先，它能够提供对总体参数的估计精度信息，使得决策者能够更加准确地评估风险和不确定性。
其次，区间估计不依赖于总体分布的假设，适用于各种类型的数据。
最后，区间估计可以较好地处理样本量较小的情况，提供对总体参数的合理估计。
然而，区间估计也存在一些缺点。
首先，区间估计只能提供对总体参数的范围估计，无法给出具体的点估计。
其次，区间估计的置信水平不一定能够准确反映总体参数的真实情况，存在一定的误差。
最后，区间估计对样本数据的分布和总体参数的假设要求较高，如果假设不满足，估计结果可能会失真。
区间估计是一种重要的统计推断方法，可以提供对总体参数的估计范围和置信水平信息。
它在各个领域的研究中有着广泛的应用，并具有一定的优点和缺点。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的区间估计方法，并结合其他统计方法进行综合分析，以获得更加准确的结论。
区间估计名词解释
区间估计名词解释区间估计是统计学中的一种方法，用于根据样本数据对总体参数（如总体均值、总体比例等）进行估计，并给出一个置信区间。
该方法的目的是通过样本数据对总体参数进行估计，并给出一个范围，称为置信区间，来描述参数真实值的不确定性。
在进行统计推断时，我们常常面临一个问题，即如何根据样本数据对总体参数进行估计，因为我们通常无法全部调查总体。
区间估计的方法基于样本数据的统计量（如样本均值、样本比例等）的分布特征，利用统计学的理论知识和方法，推断总体参数的范围。
区间估计的结果是一个区间，给出了总体参数的估计值的可能范围。
要进行区间估计，首先需要确定置信水平。
置信水平是对估计结果的可靠性的度量，通常表示为95%或99%等。
置信水平越高，置信区间的范围就越宽，对总体参数的估计也就越准确。
然后，利用统计学的公式和方法，计算出样本统计量的分布范围，从而得到置信区间。
置信区间为一个范围，通常写成（下限，上限），表示总体参数的估计值在这个范围内的概率为指定的置信水平。
区间估计有很多种方法，常见的有正态分布区间估计、t分布区间估计等。
其中，正态分布区间估计是基于大样本（n>30）的情况下，利用正态分布的性质进行估计；t分布区间估计适用于小样本（n<30）的情况，因为样本量较小，样本分布通常不满足正态分布的要求，所以使用t分布进行估计。
除此之外，还有二项分布、泊松分布等的区间估计方法，用于估计总体比例或总体均值等参数。
区间估计的优点是可以提供一个范围，显示参数估计的不确定性。
与点估计相比，区间估计更加全面和准确。
然而，区间估计也有其局限性，它只能给出总体参数的范围，但无法确定总体参数的具体值。
因此，在进行区间估计时，我们需要根据实际问题和数据特点选择适当的方法，并合理解释和使用置信区间的结果。
区间估计
(
)
X −µ 50 P X − µ < 50 = P < ≥ 0.95 σ n σ n X −µ 50 50 P > ≥ u0.025 = 1.96 ≤ 0.05 ⇒ σ n σ n σ n 50 n 2 ≥ 1.96 ⇒ n ≥ (19.6 ) = 384.16 500
(
)
14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1. 的置信区间。 滚珠直径均值 µ 的置信概率为 0.95 的置信区间。 解：样本均值 x = 14.95, 样本均方差 S = 0.226 n = 6, α = 0.05, tα 2 ( 5 ) = t0.025 ( 5 ) = 2.5706
2
2
未知， 代替之。 且总体方差 σ 未知，我们考虑用样本方差 S 代替之。
X −µ ~ t ( n − 1) 利用统计量 T = S n
2、 σ 未知，估计 µ 、 未知，
X −µ ~ t ( n − 1) 利用统计量 T = S n
X −µ 对给定的置信度 1 − α ， < b = 1 − α 要使 P T = S n X −µ PT = > b = α S n X −µ < tα 2 ( n − 1) b = tα 2 ( n − 1) T = S n
1、 σ 已知，估计 µ 、 已知，
X −µ < b = 1 − α 要使 P U = σ n X −µ P U = > b = α σ n X −µ U = < uα 2 b = uα 2 σ n σ σ < µ < X + uα 2 X − uα 2 n n σ σ , X + uα 2 的置信区间： 均值 µ 的置信区间： X − uα 2 n n
区间估计的原理例子
区间估计的原理例子
区间估计原理是通过抽样数据来估计总体的参数，并给出一个范围，称为置信区间，该范围包含了真实参数值的可能性。
它基于概率统计理论，使用抽样分布或中心极限定理来推断总体参数。
举个例子来说明，假设某市的成年人口的平均年收入是我们要估计的总体参数。
我们可以从该市抽取一定数量的样本，并计算样本的平均收入。
然后，根据中心极限定理，我们知道样本均值的抽样分布近似于正态分布，且其均值接近总体均值。
假设我们抽取了100个样本，并计算出样本均值为50000元。
我们还可以计算出一个标准误差，用于估计样本均值的标准误差，进而构建置信区间。
假设标准误差为1000元，我们可以根据正态分布的性质，得出在96%的置信水平下，总体平均年收入的估计范围是(48000, 52000)元。
这个例子中，我们用区间估计的原理估计了总体平均年收入，并给出了一个置信区间。
这个区间告诉我们，我们相信总体平均年收入在48,000元到52,000元之间，即使我们无法准确知道真实的总体参数。
使用区间估计的原理可以帮助我们在不完全了解总体的情况下，通过样本数据进行合理的估计和推断。
概率论与数理统计课件--区间估计
1 2
2
得2的区间估计为
n
Xi 2
i1
,
2 (n)
2
n
Xi
2
i 1
2 (n)
1 2
小结
总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 假设置信水平为1- （4）均值未知，对方差的区间估计
构造2-统计量，查2-分布临界值表，
确定2的双侧分位数 2 (n 1), 2 (n 1)
1 2
2
解 （1）由矩法估计得EX的点估计值为
E¶X x 1 14.6 15.114.9 14.8 15.2 15.1 14.95
6
续解 （2）由题设知X~N（，0.06）
构造U-统计量，得EX的置信区间为
X
u
2
n , X u 2
n
而 x 14.95, 0.06 0.1
n6
当=0.05时，u0.025 1.96
9.22910000 92290 （公斤）
最多准备
10.77110000 107710 （公斤）
正态总体均值已知，对方差的区间估计
如果总体X~N（，2），其中已知，2未知
由 Xi ~ N (0,1) 构造2-统计量
n
2
n i1
X
i
2
i 1
Xi 2
2
~ 2 (n)
查2- 分布表，确定双侧分位数 2 (n), 2 (n)
区间估计的思想
点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量， 区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个 区间范围。
引例 设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，1002），现 随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370， 1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为
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总体均值的区间估计
（实例）
【例】从一个 正态总体中抽 取一个随机样 本， n = 25 ，其均值x = 50 ，标准差 s = 8。 建立 总体均值 的 95%的置信区 间。
解：已知Ｘ~N(，2)，x=50, s=8， n=25, 1- = 0.95，t/2=2.0639。 s n 1 s n 1 , x t 2 x t 2 n n
17
例： 某地100户抽样，60户有电脑，求该地有电 脑成数p的置信区间（ 0.05）
18
正态总体方差的区间估计 （要点）
1. 估计一个总体的方差或标准差 2. 假设总体服从正态分布 3. 总体方差 2 的点估计量为S2,且
n 1s 2
2 4. 总体方差在1-置信水平下的置信区间为
10 10 2
1 1 22.2 28.5 (2.1)(4.2) 10 10 (10.2,2.4)
33
1- 2置信度为95%的置信区间为
两个总体均值之差的估计
(12 、22未知，且不相等)
两个总体都服从正态分布 12、12未知，且12 12
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) s s n1 n2
2
n1
2
n2
1 1 n1 n2
30
两个总体均值之差的估计
(12、22未知，但相等)
使用 t 分布统计量
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) t ~ t (n1 n2 2) 1 1 Sp n1 n2
两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信 区间为
s s x1 x2 t 2 ( f ) n1 n2
2 1
2 2
35
两个总体均值之差的估计
（续前例）ຫໍສະໝຸດ 【例】为比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时 间长度，分别给两位职员随机安 排了 10 位顾客，并记录下了为每 位顾客办理账单所需的时间（单 位：分钟），相应的样本均值和 方差分别为：x1=22.2，s12=16.63， x2=28.5，s22=18.92。假定每位职 员办理账单所需时间均服从正态 分布，但方差不相等。试求两位 职员办理账单的服务时间之差的 95%的区间估计。
2.
使用正态分布统计量Ｚ
n 3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为
Z
x
~ N (0,1)
, x Z 2 x Z 2 n n
9
总体均值的区间估计
（正态总体：实例）
【例】某种零件 解：已知Ｘ~N(，0.152)，x＝2.14, n=9, 长度服从正态分 1- = 0.95，Ｚ/2=1.96 布，从该批产品 总体均值的置信区间为 中随机抽取９件 x Z , x Z ，测得其平均长 2 2 n n 度为 21.4 mm 。 0.15 0.15 已知总体标准差 21.4 1.96 ,21.4 1.96 =0.15mm，试 9 9 建立该种零件平 21.302,21.498 均长度的置信区 我们可以95％的概率保证该种零件的平 间，给定置信水 均长度在21.302～21.498 mm之间 平为0.95。
( x1 x 2 ) Z
2 2
12
2
n1
2 2
n2
27
两个总体均值之差的估计 （实例）
【例】一个银行负责人想知道
储户存入两家银行的钱数。他 从两家银行各抽取了一个由 25 个储户组成的随机样本，样本 均值如下：银行A：4500元；银 行B:3250元。设已知两个总体服 从方差分别为A2=2500和 B 2 =3600 的正态分布。试求A B的区间估计 （1）置信度为95% （2）置信度为99%
其标准误差为
(x x )
1 2
12
n1
2 2
n2
26
两个总体均值之差的估计 (12、22 已知)
3.
使用正态分布统计量Z
Z ( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) ~ N (0,1)
12
n1 n2 4. 两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的 置信区间为
一. 两个总体均值之差估计 二. 两个总体比例之差估计
23
两个总体均值之差的 估计
24
两个样本均值之差的抽样分布
1
1
抽取简单随机样 样本容量 n1 计算X1 计算这对儿样本 的X1-X2
总体1
2 2
总体2
抽取简单随机样 样本容量 n2 计算X2
所有可能样本 的X1-X2
抽样分布
1 2
20
在样本容量一定的情况下，置信区间和置
信度是相互制约的。置信度愈大，则相应
的置信区间也愈宽。
21
练习
例：某地月收入状况服从正态分布，根据64 人的抽样，其平均收入为800元，求置信度 为0.95时的 的双侧置信区间。
如果总体分布未知，接上题。
22
第二节 两个总体均值及两个 总体比例之差估计
x1 x2 t 2 s p
1 1 n1 n2
31
两个总体均值之差的估计
（实例）
【例】为比较两位银行职员为
新顾客办理个人结算账目的平均 时间长度，分别给两位职员随机 安排了10位顾客，并记录下为每 位顾客办理账单所需的时间（单 位：分钟），相应的样本均值和 方差分别为：x1=22.2， s12=16.63，x2=28.5，s22=18.92。 假定每位职员办理账单所需时间 均服从正态分布，且方差相等。 试求两位职员办理账单的服务时 间之差的95%的区间估计。
第5讲 区间估计
1
区间估计 （概念要点）
1.
2. 3.
根据一个样本的观察值给出总体参数的估计范围
给出总体参数落在这一区间的概率 例如: 总体均值落在50~70之间，置信度为 95%
样本统计量 (点估计)
置信区间
置信下限
置信上限
2
置信区间估计 （内容）
置信区间
均 值 2 已知 2 未知
比例
方差
3
置信水平
1.
2.
总体未知参数落在区间内的概率 表示为 (1 - 为显著性水平，是总体参数未在区间内 的概率
常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相应的 为0.01，0.05，0.10
3.
4
区间与置信水平
均值的抽样分布
/2
x
1-
/2
x
X
5
影响区间宽度的因素
8 8 ,50 2.0639 50 2.0639 25 25 46.69,53.3
我们可以 95 ％的概率保证总体均值 在46.69～53.30 之间
14
总体比例的区间估计
15
总体比例的置信区间
1. 假定条件
两类结果 总体服从二项分布 可以由正态分布来近似
2 n 1s 2 n 1s , 2 2 1 2 n 1 2 n 1
19
~ 2 n 1
接上例：抽样10户，收入状况如下： 790 800 810 820 780 760 840 800 750 850 2 求 的置信区间。（ 0.05）
25
两个总体均值之差的估计
(12、22 已知)
1. 假定条件
两个样本是独立的随机样本 两个总体都服从正态分布 若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n130和n230)
2.
两个独立样本均值之差的抽样分布服从正态分布，其期望 值为（总体均值差）
E( x1 x2 ) 1 2
1
2
32
两个总体均值之差的估计
（计算结果）
n1 n2 2
解:已知 X1~N(1,2) X2 ~N(2,2) x1=22.2， x2=28.5， s12=16.63 s22=18.92 n1= n2=10 1 2 = 1 2
sp
n1 1s12 n2 1s 22 10 116.36 10 118.92 4.2
10
总体均值的区间估计 （非正态总体：实例）
解：已知 x＝26, =6，n=100, 1- = 【例】某大学从该 0.95，Ｚ/2=1.96 校学生中随机抽取 100人，调查到他 x Z 2 , x Z 2 们平均每天参加体 n n 育锻炼的时间为 26 6 6 分钟。试以 95 ％的 ,26 1.96 26 1.96 100 100 置信水平估计该大 24.824,27.176 学全体学生平均每 天参加体育锻炼的 我们可以 95 ％的概率保证平均每天 时间（已知总体方 参加锻炼的时间在 24.824～ 27.176 差为36小时）。 分钟之间
29
两个总体均值之差的估计
(12、22未知，但相等)
1.
假定条件
两个总体都服从正态分布 12、12未知，但12＝12
2 2 n 1 s n 1 s 1 2 2 2 1
2.
总体方差2的联合估计量为
n1 n2 2
3. 估计量x1-x2的标准差为
2 1 2 2
1.
假定条件
2.
使用的统计量为
t ~ t( f )
2 2 2 s 1 s2 n n2 1 2 2 2 2 s1 n1 s 2 n2 n1 1 n2 1
自由度 f