第5章 区间估计与假设检验

显著性检验的关键在于构造出一个检验统计量（test statistic） （作为估计量），在虚拟假设下这个统计量会服从一定的抽样
分布（如t分布，F分布，正态分布， χ 2 分布等）。构造出统计
量以后，就可以利用样本数据计算出这个统计量的样本值，再 把这个样本值与给定某一显著水平的临界值进行比较，看它与 临界值是否有显著差别，从而作出判断，决定拒绝还是接受所 作的假设。
, βˆ2
+
δ
)
包含 β2 的概率
Pr(βˆ2 − δ ≤ β 2 ≤ βˆ2 + δ ) = 1−α （5.2.1）
这样的区间称为置信区间（confidence interval）；1−α 称为置
信系数（confidence coefficient）；而α 称为显著性水平（level of
significance）。置信区间的端点称置信限（confidence limits）也 称临界值（critical values）。
βˆ2 − δ 为置信下限（lower confidence limit）
βˆ2 + δ 为置信上限（upper confidence limit）
（5.2.1）式表示的是：随机区间包含真实 β2的概率为 1−α。
点估计与区间估计：
单一的点估计量可能不同于总体真值，即存在估计误差。点 估计既不能给出误差范围的大小，也没有给出估计的可靠程度。
进行统计假设检验，就是要制定一套步骤和规则，以使决定 接受或拒绝一个虚拟假设（原假设）。一般来说，有两种相互 联系、相互补充的方式：置信区间（confidence interval）和显 著性检验（test of significance）。
§5.6假设检验：置信区间的方法
双侧或双尾检验
（Two-sided or Two-Tail Test）
=
βˆ2 − β2 se(βˆ2 )
=
(βˆ2
− β2) σ
xi 2
（5.3.1）
则，Z为一个标准化正态变量，Z ~ N (0,1) 。
选定1−α 为95%，则
Pr[−1.96 ≤
βˆ2 − β 2 se(βˆ2 )
≤ +1.96] = 0.95
但是，在许多实际问题中，总体方差 σ 2 都是未知的，只能
估计出 βˆ2是0.7204。可以造构如下的检验假设：
H0：β2 = 0.5
H1：β2 ≠ 0.5
在虚拟假设下，斜率是0.5，在对立假设下不等于0.5。虚拟假 设是一个简单假设，而对立假设则是一个复合假设；实际上就 是我们所说的双侧假设（two-sided hypothesis）。
那么，我们估计的 βˆ2 是否与上述 H 0 相容？
注意：研究者自己决定一个统计上的发现究竟是“显著的”、 “中度显著的”，还是“高度显著的”。
单侧或单尾检验
One-Sided or One-Tail Test
当我们有着很强的理论支撑或者先验性预期时，可以把备择假
设H1取为单侧的或单向的。如：H0 : β2 ≤ 0.5 和 H1 : β2 > 0.5
∑ Z1
=
βˆ2 − β 2 se(βˆ2 )
=
(βˆ2
− β2) σ
xi 2
（1）
Z2
=
(n
−
σˆ 2) σ
2 2
（2）
如果 σ 已知，（1）式就是对 βˆ2 进行标准化，所以Z1服从
标准正态分布， Z1 ~ N (0,1) 。
Z2服从（n-2）个自由度的 χ 2 分布（证明参见有关的数理统
计教程），而且，可以证明Z2的分布独立于Z1。
界值，查表；显著水平 α / 2 ，自由度n -2可得 tα / 2 的值。
于是有：
Pr[−tα / 2
≤
βˆ2 − β 2 se(βˆ2 )
≤ tα / 2 ] = 1−α
整理得：
（5.3.4）
Pr[βˆ2 − tα /2se(βˆ2 ) ≤ β2 ≤ βˆ2 + tα /2se(βˆ2 )] = 1−α （5.3.5）
参数估计与假设检验都是在样本分布基础上作出概率性判 断，两者既有联系又有区别，但其基本原理则是一致的。 假设检验：某一个给定的观测或发现是否与某声称的假设相符？
用 统 计 上 的 话 说 ， 这 个 声 称 的 假 设 叫 做 虚 拟 假 设 （ null hypothesis），或维持假设（maintained hypothesis），用H0来表 示。
另 外 ， 还 需 要 一 个 备 择 假 设 （ 对 立 假 设 ） （ alternative hypothesis），用H1表示。H0和H1构成一个完备事件。
备择假设可以是简单的（simple）或复合的（composite）。例 如， H1 : β2 = 1.5 是一个简单假设，而 H1 : β2 ≠ 1.5 则是一个复 合假设。
式中的 χ 2 代入（5.4.2）式
整理得： Pr[(n − 2) σˆ 2 ≤ σ 2 ≤ (n − 2) σˆ 2 ] = 1−α
χ2 α 2
χ2 1−α /2
（5.4.3）
该式给出了 σ 2 的置信系数为 100(1−α )% 的置信区间。
§5.5 假设检验（Hypothesis Testing）：概述
第5章 区间估计与假设检验
§5.1 统计学的预备知识 自己复习
概率、概率分布、第I类错误、第II类错误、显著性水平、统计检 验的功效、置信区间。
§5.2 区间估计：一些基本概念
第三章给出了边际消费倾向（MPC）的估计值为0.5091。
我们也知道，E(βˆ2 ) = β 2 ，但是，由于抽样的波动性，单个估计
也就是说， β1 的 100(1−α )% 水平的置信区间为：
βˆ1 ± tα / 2se(βˆ1)
（5.3.8）
在区间估计中，置信区间的宽度与估计量的标准误 se(βˆ1) 或
se(βˆ2 )成正比例。这说明，标准误越大，置信区间越宽，对总
体真值进行估计的接近程度越差。因此，估计量的标准误被看
作是估计量的精度（precision），它反映了估计量的精确程度。
对于这种单尾检验，最好的方法是显著性检验方法。
§5.7 假设检验：显著性检验法
检验回归系数的显著性：t检验
显著性检验法（test-of-significance approach）是由R.A.Fisher （费希尔），Negman（尼曼）和Pearson（皮尔逊）合作发明的， 它是利用样本结果，来证实一个虚拟假设的真伪的一种检验程 序
95个包含着真实的β2值。
但是注意：不能说（0.5700，0.878）以95％的概率包
含真实的β2值，这是因为（0.5700，0.878）是固定的
区间，不是随机区间。
同理可以计算出，β1的95％的置信区间为： −1.8871 ≤ β1 ≤ 1.8583
11
5.4 σ 2的置信区间
在正态性假定下，变量：
2
2
则β2的95％的置信区间为：
0.724－2.201× 0.0700 ≤ β2 ≤ 0.724＋2.201× 0.0700
即：0.5700 ≤ β2 ≤ 0.878
10
解释： 给定显著性水平α＝5％，或者给定95％的置信系数 0.5700 ≤ β2 ≤ 0.878的含义是：
在类似于（0.5700，0.8780）的每100个区间中，将有
在假设 H 0下，落入此区间
的β2 值有100(1 − α )% 的 可信性。因此，若 β2 果真
落入此区域，就不拒绝 H 0
βˆ2 − tα / 2 se(βˆ2 )
βˆ2 + tα / 2 se(βˆ2 )
图5.2 β2的一个 100(1 − α )% 置信区间
决策规则：构造一个 β2 的 100(1−α )% 置信区间。如果 β2 在
即 β2 的100(1−α )% 水平的置信区间为： βˆ2 ± tα / 2se(βˆ2 )
二、β1 的置信区间：
∑∑ 利用 E(βˆ1) = β1 和
σ 2 βˆ1 =
n
Xi2 σ 2
xi 2
进行类似的推导，可得：
Pr[βˆ1 − tα /2se(βˆ1) ≤ β1 ≤ βˆ1 + tα /2se(βˆ1)] = 1−α （5.3.7）
假设：
H
：
0
β
＝
2
β
* 2
H
：
1
β
2
≠
β
* 2
构造统计量：t =
βˆ2 − β 2 se(βˆ2 )
=
βˆ2 − β 2 σˆ 2
~ t(n − 2)
∑ xi2
由 Pr（ − tα
2
≤t
≤ tα）= 1 − α 得 ： Pr（ − tα
2
2
≤
βˆ2
−
β
* 2
σˆ 2
≤ tα）= 1 − α
2
∑ xi2
例：小时工资－受教育程度
Y = -0.01445 + 0.724X
βˆ 2 = 0.724, se(βˆ 2 ) = 0.0700
自由度df＝11。若取α＝5％，也就是95％的置信系数，
则t分布表显示临界值为：tα /2 (11) = 2.201
将其带入[βˆ2 − tα se(βˆ2 )，βˆ2 + tα se(βˆ2 )]
值可能并不等于真值。因此，我们不能完全依赖一个点估计值， 而是要围绕点估计量构造出一个区间，使这一区间在一定的概 率保证之下包含真实的参数值（真值），这就是区间估计。
我们的任务就是求出两个正数 δ 和 α ，0 < α < 1 ，使得随