知识点反比例函数意义,比例系数k的几何意义
反比例函数中比例系数k的几何意义
反思小结
在反比例函数 y 10 的图象上,有一系列点A1，A2， x A3…..An，An+1，若A1横坐标为2,且以后每点的 横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2. 现分别 过点A1，A2，A3…..An，An+1作X轴与Y轴的垂线 段，构成若干个矩形如图10所示，将图中阴影部 分的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…Sn， 5 5 15 2 5 2 (5 _____, ) 则S1=________, S +S +S =____ S1+S2 2 1 2 3 4 2 5 10 n 2 (5 ) +S3+….+Sn=________________.( 用n的代数式表 n 1 n 1 A 示)
C
S SOAD SABD SBCD SOCD 4 1 4
达标测试
已知几何图形的面积S，求比例系数k
5、如图，已知双曲线 （k>0） 经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E， 且四边形OEBF的面积为2，则k的值为（ B ）。
y
y
k x
A 1
所以
B 2
C 4
S OAB 4
O
y
已知几何图形的面积S，求比例系数k k y 变式、如图，已知双曲线 x ( k＞0 )经
B
D
C E A
x
而
SOAB SOBC SOAC
即
S ODE 1 S OAB 1 4 k 3 2
1 k 2
相似三角形的面积比 等于相似比的平方 k 4;
k 0 k 4
k 0 k 4
4 y x
达标测试
4、如图，在平面直角坐标系中， 点O为原点，菱形OABC的对角线 OB在x轴上，顶点A在反比例函数 2 的图像上，求菱形的面积。 y B
反比例函数中k的几何意义的应用
反比例函数中k的几何意义的应用
k在反比例函数中具有重要的几何意义，以下列举一些它的应用。
1. 直线反比例函数：k反映直线斜率的倒数，即斜率m=-k。
当给定直
线k值时，由定点和k值可以求出斜率m，从而可以绘制出这条直线。
2. 圆反比例函数：k反映圆半径r的倒数，即r=1/k。
当给定圆k值时，由定点和k值可以求出圆半径，从而可以绘制出这个圆。
3. 抛物线反比例函数：k反映抛物线的开口方向，当k > 0时，抛物线
向右开口；当k < 0时，抛物线向左开口。
4. 双曲线反比例函数：k反映双曲线的开口方向，当k＞0时，双曲线
开口向右；当k＜0时，双曲线开口向左。
5. 其他函数反比例函数：k可以反映此类函数中曲线的凹凸，当k > 0时，曲线是凹曲线；当k < 0时，曲线是凸曲线。
总之，k在反比例函数中应用广泛，几乎所有的函数都可以用反比例函
数表示。
它的几何意义非常重要，不仅仅可以根据k值绘制出各种曲线，而且可以了解曲线的开口方向以及凹凸方向。
因此，k在反比例函
数绘制中发挥着重要的作用。
中考数学复习考点知识归类讲解12 反比例函数比例系数k的几何意义
中考数学复习考点知识归类讲解 专题12 反比例函数比例系数k 的几何意义知识对接考点一、反比例函数比例系数k 的几何意义（1）意义：从反比例函数y ＝(k≠0)图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|. （2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k ＜0. 例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3y x=或3y x =-专项训练 一、单选题1．如图，已知反比例函数2y x=-的图像上有一点P ，过点P 作PA x ⊥轴，垂足为点A ，则POA 的面积是（）A．2 B．1 C．1-D．122．如图，在平面直角坐标系中，A，B是反比例函数kyx=在第一象限的图象上的两点，且其横坐标分别为1，4，若AOB的面积为54，则k的值为（）A．23B．1C．2D．1543．若图中反比例函数的表达式均为4yx=，则阴影面积为4的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，点A是反比例函数4yx=-图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，则矩形ABOC的面积为（）A ．-4B ．2C ．4D ．85．如图，等腰ABC 中，5AB AC ==，8BC =，点B 在y 轴上，//BC x 轴，反比例函数k y x=（0k >，0x >）的图象经过点A ，交BC 于点D ．若AB BD =，则k 的值为（）A ．60B ．48C ．36D ．206．在平面直角从标系中，30°的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合，双曲线11k y x=（x ＞0），经过点B ，双曲线22k y x=（x ＜0），经过点C ，则12k k ＝（ ）A．﹣3 B．3 C．D7．如图，A、B是双曲线y＝kx图象上的两点，过A点作AC⊥x轴于点C，交OB于点D，BD＝2OD，且ADO的面积为8，则DCO的面积为（）A．12B．1 C．32D．28．如图，平行于y轴的直线l分别与反比例函数kyx=（x＞0）和1yx=-（x＞0）的图象交于M、N两点，点P是y轴上一动点，若△PMN的面积为2，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．59．如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数y3=x（x＞0）和y6=x-（x＞0）的图象交于B、A两点．若点C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（）A ．3B ．6C ．9D ．9210．如图．在平面直角坐标系中，△AOB 的面积为278，BA 垂直x 轴于点A ，OB 与双曲线y ＝k x相交于点C ，且BC ∶OC ＝1∶2，则k 的值为（）A ．﹣3B ．﹣94C ．3D ．92二、填空题11．如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 是反比例函数()0k y k x=≠图象上的一点，过点A 分别作AM x ⊥轴于点M ，AN y ⊥轴于点N ．若四边形AMON 的面积为12，则k 的值是__________．12．如图，在反比例函数3yx=的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数kyx=的图象上运动，tan∠CAB=2，则k的值为_____13．如图，点P在反比例函数4yx=-的图像上，过点P作PA x⊥轴于点A，则POA的面积是_______．14．如图所示，反比例函数kyx=（0k≠，0x>）的图像经过矩形OABC的对角线AC的中点D ．若矩形OABC 的面积为8，则k 的值为________．15．如图，点A 与点B 分别在函数11(0)k y k x =>与220)k y k x=<（的图象上，线段AB 的中点M 在y 轴上．若△AOB 的面积为3，则12k k -的值是___．三、解答题16．如图，一次函数122y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ，P 为AB 上一点且PC 为AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数ky x=（0k >）的图象于点Q ，32OQCS=．（1）求A 点和B 点的坐标； （2）求k 的值和Q 点的坐标．17．点O 为平面直角坐标系的原点，点A 、C 在反比例函数a y x=的图象上，点B 、D 在反比例函数b y x=的图象上，且0a b >>．（1）若点A 的坐标为()6,4，点B 恰好为OA 的中点，过点A 作AN x ⊥轴于点N ，交b y x=的图象于点P ． ①请求出a 、b 的值； ②试求OBP 的面积．（2）若////AB CD x 轴，32CD AB ==，AB 与CD 间的距离为6，试说明-a b 的值是否为某一固定值？如果是定值，试求出这个定值；若不是定值，请说明理由．18．如图，点C 在反比例函数y 1=x的图象上，CA ∥y 轴，交反比例函数y 3=x的图象于点A ，CB ∥x 轴，交反比例函数y 3=x的图象于点B ，连结AB 、OA 和OB ，已知CA ＝2，则△ABO 的面积为__．19．如图是反比例函数2yx=与反比例函数在第一象限中的图象，点P是4yx=图象上一动点，PA⊥X轴于点A，交函数2yx=图象于点C，PB⊥Y轴于点B，交函数2yx=图象于点D，点D的横坐标为a．（1）用字母a表示点P的坐标；（2）求四边形ODPC的面积；（3）连接DC交X轴于点E，连接DA、PE，求证：四边形DAEP是平行四边形．20．如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝kx（k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k 的值．你选择的条件是（只填序号）． 21．如图，一次函数()20y kx k k =-≠的图象与反比例函数1(10)m y m x-=-≠的图象交于点C ，与x 轴交于点A ，过点C 作CB y ⊥轴，垂足为B ，若3ABC S =△．（1）求点A 的坐标及m 的值；（2）若AB =22．如图，过C 点的直线y ＝﹣12x ﹣2与x 轴，y 轴分别交于点A ，B 两点，且BC ＝AB ，过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为点H ，交反比例函数y ＝k x（x ＞0）的图象于点D ，连接OD ，△ODH 的面积为6（1）求k 值和点D 的坐标；（2）如图，连接BD ，OC ，点E 在直线y ＝﹣12x ﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE 的面积是△OCD 面积的2倍，求点E 的坐标．11 / 11 23．如图，直线l 分别交x 轴，y 轴于A 、B 两点，交反比例函数(0)k y k x =≠的图象于P 、Q 两点．若2AB BP =，且AOB 的面积为4（1）求k 的值；（2）当点P 的横坐标为1-时，求POQ △的面积．。
5.3反比例函数中k的几何意义及应用
反比例函数应用学案（3）研究函数问题要透视函数的本质特征。
反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N（如图1所示），则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。
所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。
从而有。
在解相关反比例函数的问题时，若能灵活使用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
现举例说明。
例1、如图所示，P是反比例函数的图象上的一点，由P分别向x轴、y轴引垂线，得阴影部分（矩形）的面积为3，则这个反比例函数的解析式是_____________。
应用二：比较面积大小例2、如图2，在函数（x>0）的图象上有三点A、B、C。
过这三点分别向x轴、y 轴作垂线。
过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为，则（）。
A、 B、C、 D、应用三：确定解析式例3、解答题已知反比例函数的图象经过，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．(1)求k和m的值；(2)若一次函数y=ax+1经过A点，并且与x轴相交于点C，求∠ACO的度数和|AO|：|AC|的值．评析：本题考查学生函数、方程的数学思想及待定系数法的使用．解： (1)由，∴ .∵，∴.∴y= .把代人双曲线，得m=2.(2) ∵点在一次函数y=ax+1上，∴ . ∴ .∴一次函数y= . ∴当y=0，则x= ，即C（，）又∵B（- ，0）则 BC= ，AB= .∴RtΔABC中，AC= . ∴AC=AB. ∴∠AC0= .在RtΔABO中，可求|AO|= ，∴|AO|:|AC|= .练习、1、（2003年全国初中数学联赛试题）若函数与函数的图象相交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为（）A、1B、2C、kD、2、如图，在直角坐标系中，直线y=6-x与函数y=(x>0)的图像相交于点 A、B，设点A的坐标为(x1，，y1)，那么长为x1,宽为y1的矩形面积和周长分别为( )A．4，12 B．8，12 C．4，6 D．8，63、如图4，反比例函数与一次函数的图象相交于A点，过A点作AB ⊥x轴于点B。
反比例函数系数k的几何意义(复习讲义)01
反比例函数系数k 的几何意义（复习讲义）01一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=（k ≠0）．其解析式有三种表示方法： ①xk y = （0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=（k ≠0）的性质 （1）当k>0时函数图像的两个分支分别在第一，三象限内在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时函数图像的两个分支分别在第二，四象限内在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=． （5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆【例1】如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm 在第一象限的交点，且3=∆AOB S , （1）求m 的值（2）（2）求ABC ∆的面积 k x k x ⇔⇔⇔⇔k x k x2x -变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x 8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二： 如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AND FABD F M N xyO【例2】如图，一次函数的图象与轴，轴交于A ，B 两点，与反比例函数的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作轴，轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF SS ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）【例3】一次函数的图象分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象相交于点．过点分别作轴，轴，垂足分别为；过点分别作轴，轴，垂足分别为与交于点，连接． （1）若点在反比例函数的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①；②．（2）若点分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图2，则与还相等吗？试证明你的结论．模型三：如图，已知反比例函数k y x=（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形.y a x b =+x y k y x=y x A C B D=y ax b =+x y ,M N k y x=,A B A AC x ⊥AE y ⊥,C E B BF x ⊥BD y ⊥F D ，，AC BD K CD A B ，k y x=AEDK CFBK S S =四边形四边形AN BM =A B ，k y x=AN BM yx D CA BOF E 图1 图2【例4】如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.【例5】如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.【例6】如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x =>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)k y x x=>的图象与AC 边交于点E ，则CE a CF b=.【例7】两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在k y x=的图象上运动时，以下结论： ①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．课堂练习：一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xm y -=2的图像如图，大致是（ ）A. B. C. Dx2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC 于B,则ABC ∆的周长为（ ） A.72 B.5 C.74 D.223、如图，双曲线xk y =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ）A.x y 1=B. x y 2=C. x y 3=D. xy 6= 4、如图，A,B 是函数x y 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=（k ≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）k xA ．1<k<2B ．1≤k ≤3C ．1≤k ≤4D ．1≤k<4二、填空题1、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .2、如图，双曲线)0(2 x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′.（1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 . （2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .4、如图，已知双曲线(0)k y k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 .5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x =，过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ，交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y 的解析式是 ．课后习练一、填空题 1、如图，直线y=kx （k>0）与双曲线y=交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．2、反比例函数y=的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+无交点，则b 的取值范围是______．4、反比例函数y=的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．5、如图，已知双曲线)0k (x k y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．DB AyxO C4xk xb k x A B CDE yx O6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数y=的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ）A ．2 BC．7、已知P 为函数y=的图像上一点，且P ，则符合条件的P 点数为（） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．无数个2x2x。
反比例函数比例系数k的几何意义
反比例函数比例系数k的几何意义反比例函数y= k/x (k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y=k/x (k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为│k│1、如图，反比例函数4yx=-的图象与直线13y x=-的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则ABC△的面积为（）A．8 B．6 C2、如图，点A是y轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数y＝2x(x＞0)图象上的一个动点，当点B的纵坐标逐渐减小时，△OAB的面积将（）A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．先增大后减小3、如图12，A、B是函数2yx=的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（）A．2S=B．4S=C．24S<<D．4S>4、如图，已知双曲线)0k(xky＞=经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝____________．5、如图5所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），……P n（x n，y n）在函数y=x9（x＞0）的图象上，△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3……△P n A n－1A n……都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2……A n-1A n，都在x轴上，则y1+y2+…y n= 。
6、如图，已知点A、B在双曲线xky=（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为3，则k＝．7、如图，在第一象限内,点P（2，3）,M()2,a是双曲线)0(≠=kxky上的两点,PA⊥x轴于点A,MB⊥x轴于点B,PA与OM交于点C,则△OAC的面积为8、如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数1yx=（0x>）的图象上，则点E的坐标是（，）.9、如图，点A、B是双曲线3yx=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若1S=阴影，则12S S+=．10、如图，已知双曲线(0)ky kx=<经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（6-，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．411、如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则这个反比例函数的解析式为12、如图，已知在直角梯形AOBC中，AC∥OB，CB⊥OB，OB＝18，BC＝12，AC＝9，对角线OC、AB交于点D，点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点．以O为原点，直线OB为x轴建立平面直角坐标系，则G、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是（A）A．点G B．点E C．点D D．点F13、已知点A在双曲线y=6x上，且OA=4，过A作AC⊥x轴于C，OA的垂直平分线交OC于B．（1）则△AOC的面积=，（2）△ABC的周长为14、如图，一次函数y ax b=+的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数kyx=的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC BD=．（第11题）第3题第5题图第6题图第8题图9题图其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）。
反比例函数中K的几何意义
反比例函数中K的几何意义
在反比例函数中，K表示比例系数或常数，也被称为反比例常数。
它
是用来确定两个变量之间反比关系的重要参数。
反比例函数的一般形式为：y=K/x，其中K表示比例系数。
K的几何意义可以通过分析反比例函数的图像得出。
反比例函数的图
像是一个双曲线，特点是曲线趋向于两个坐标轴。
下面将详细讨论K的几
何意义。
1.K的符号对于曲线的位置以及开口方向具有重要影响。
如果K为正数，那么曲线将位于第一和第三象限，并且开口方向为右上和左下。
如果
K为负数，那么曲线将位于第二和第四象限，并且开口方向为左上和右下。
2.K的绝对值越大，曲线就越“陡峭”。
当K增大时，曲线将更加接
近于坐标轴，并且在原点附近的斜率会越来越大。
反之，当K变小时，曲
线将更加平缓，斜率将减小。
3.K决定了特定坐标点的函数值。
例如，在函数y=K/x中，当x为K 时，y的值将为1、这是因为x与y成反比关系，而K是这种关系的常数。
4.K还决定了曲线相对于坐标轴的位置。
具体而言，当K增大时，曲
线将向坐标轴移动，而当K减小时，曲线将远离坐标轴。
总之，K代表了反比例函数中的比例系数或常数，它对于函数的位置、开口方向、陡峭程度以及特定坐标点的函数值都具有重要影响。
通过对K
的分析，我们可以更好地理解和解释反比例函数的几何特征。
反比例函数中k的几何意义
【主干必备】 反比例函数中比例系数k的几何意义 设点P(m,n)是双曲线y= k (k≠0)上任意一点
x
(1)过点P作x轴或y轴的垂线,垂足为点A,则
S△OAP=
1 2
·OA·AP=
1 |m|·|n|=
2
1 |mn|=
2
1 2
|k|.
(2)过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为A,B,
值为 世纪金榜导学号( D )
A.5
B.-5
C.10
D.-10
3.(2019·哈尔滨木兰期末)已知P是反比例函数y= k
x
(k≠0)图象上一点,PA⊥x轴于A,若S△AOP=4,则这个反
比例函数的解析式是 ( C )
A.y= 8
x
C.y= 8 =- 8
x
D.y= 4 或y=- 4
则S矩形OAPB=OA·AP=|m|·|n|=|mn|=|k|.
【微点警示】 因为反比例函数y= k (k是常数,k≠0)中的k有正、负之
x
分,所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时,都应 加上绝对值符号;已知矩形或三角形的面积求反比例函 数的解析式或k的值时,要根据函数的图象所在的象限 确定k的正负.
x
x轴于点B交反比例函数y= 2 的图象于点C,连接OA,OC,
x
则△OAC的面积为 ( B )
A.2
B.3
C.6
D.8
2.(2019·达州达川区期末)如图所示,点A是反比例函
数y= k 的图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,点
x
C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为5,则k的
【核心突破】
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一、选择题1.如果反比例函数（k是常数，k≠0）的图象经过点（-1，2），那么这个函数的解析式是y=- ．考点：待定系数法求反比例函数解析式．专题：待定系数法．分析：根据图象过（-1，2）可知，此点满足关系式，能使关系时左右两边相等．解答：解：把（-1，2）代入反比例函数关系式得：k=-2，∴y=- ，故答案为：y=- ，点评：此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．2.（2011江苏扬州，6，3分）某反比例函数的图象经过点（-1,6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（）A. （-3,2）B. （3,2）C.（2，3）D.（6,1）考点：反比例函数图象上点的坐标特征。
专题：函数思想。
分析：只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是（﹣1）×6=﹣6的，就在此函数图象上．解答：解：∵所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数，∴此函数的比例系数是：（﹣1）×6=﹣6，∴下列四个选择的横纵坐标的积是﹣6的，就是符合题意的选项；A、（﹣3）×2=6，故本选项正确；B、3×2=6，故本选项错误；C、2×3=6，故本选项错误；D、6×1=6，故本选项错误；故选A．点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．3.（2011重庆江津区，6，4分）已知如图，A是反比例函数kyx=的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABC的面积是3，则k的值是（）A、3B、﹣3C、6D、﹣6考点：反比例函数系数k的几何意义。
分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝12|k|．解答：解：根据题意可知：S△AOB＝12|k|＝3，又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k＝6．故选C．点评：本题主要考查了反比例函数kyx=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为12|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．4.（2010•吉林）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（）A、﹣1B、C、1D、2考点：反比例函数的图象。
分析：根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于1判断．解答：解：∵反比例函数在第一象限，∴k＞0，∵当图象上的点的横坐标为1时，纵坐标小于1，∴k＜1，故选B．点评：用到的知识点为：反比例函数图象在第一象限，比例系数大于0；比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．5.（2011辽宁阜新,6,3分）反比例函数6yx=与3yx=在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（）A.32B.2C.3D.1考点：反比例函数系数k的几何意义。
专题：探究型。
分析：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△AOE、△BOC的面积，进而可得出结论．解答：解：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC=6，S△AOE=3，S△BOC=32，∴S△AOB=S四边形OEAC﹣S△AOE﹣S△BOC=6﹣3﹣32=32．故选A．点评：本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，即在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|；在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是2k ，且保持不变．6 （2011福建省漳州市，9,3分）如图，P （x ，y ）是反比例函数y =3x的图象在第一象限分支上的一个动点，P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，随着自变量x 的增大，矩形OAPB 的面积（ ）A 、不变B 、增大C 、减小D 、无法确定考点：反比例函数系数k 的几何意义。
专题：计算题。
分析：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即S =12|k |，所以随着x 的逐渐增大，矩形OAPB 的面积将不变． 解答：解：依题意有矩形OAPB 的面积=2×12|k |=3，所以随着x 的逐渐增大，矩形OAPB 的面积将不变．故选A ．点评：本题主要考查了反比例函数ky x中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k |，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S =12|k |． 7.（2011•玉林，11，3分）如图，是反比例函数y=x k 1和y=xk2（k 1＜k 2）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若S △AOB =2，则k 2﹣k 1的值是（ ）A 、1B 、2C 、4D 、8考点：反比例函数系数k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的面积。
专题：计算题。
分析：设A （a ，b ），B （c ，d ），代入双曲线得到K 1=ab ，K 2=cd ，根据三角形的面积公式求出cd ﹣ab=4，即可得出答案．解答：解：设A （a ，b ），B （c ，d ）， 代入得：K 1=ab ，K 2=cd ， ∵S △AOB =2， ∴21cd ﹣21ab=2， ∴cd ﹣ab=4，∴K 2﹣K 1=4， 故选C ．点评：本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出cd ﹣ab=4是解此题的关键． 8. （2011•铜仁地区8,3分）反比例函数y=xk（k ＜0）的大致图象是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、考点：反比例函数的图象。
专题：图表型。
分析：根据反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可． 解答：解：当k ＜0时，反比例函数y=xk的图象在二、四象限． 故选B ．点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质，关键是由k 的取值确定函数所在的象限． 9. （2011广西防城港 11，3分）如图，是反比例函数y ＝x k 1和y ＝xk2（k 1＜k 2）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若S △AOB ＝2，则k 2－k 1的值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8考点：反比例函数系数k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的面积 专题：反比例函数 分析：设A （a ，b ），B （c ，d ），代入双曲线得到k 1＝ab ，k 2＝cd ，根据三角形的面积公式求出cd －ab ＝4，即可得出答案，也就是21cd －21ab ＝2，从而k 2－k 1＝4，故选C ． 解答：C点评：本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出cd－ab＝4是解此题的关键．二、填空题1.（2011•湖南张家界，13，3）如图，点P是反比例函数6yx=图象上的一点，则矩形PEOF的面积是．考点：反比例函数系数k的几何意义。
专题：计算题。
分析：因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|，再根据反比例函数的图象所在的象限确定k的值解答：解：∵点P是反比例函数6yx=图象上的一点，∴S=|k|=6．故答案为：6．点评：本题主要考查了反比例函数6yx=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．y=- ．y= 中，即可得到y=- ．y=- ．此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点，此题比较简单，1.（2011云南保山，14，3分）如图，已知OA=6，∠AOB=30°，则经过点A的反比例函数的解析式为（）A ．y =B ．y =C ．9y x =D ．9y x=- 分析：首先根据直角三角形的性质求出AC =3，再根据勾股定理求出OC 的长，从而得到A 点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式． 解答：解：∵∠AOB =30°， ∴12AC OA =， ∵OA =6， ∴AC =3，在Rt △ACO 中， OC 2=AO 2﹣AC 2，∴OC ==∴A 点坐标是：）， 设反比例函数解析式为ky x=， ∵反比例函数的图象经过点A ，∴3k =⨯=，∴反比例函数解析式为y x=． 故选B ．点评：此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，以及待定系数法求反比例函数解析式，做题的关键是根据勾股定理求出A 点的坐标．3. （2011重庆綦江，15，4分）在不透明的口袋中，有四个形状、大小、质地完全相同的小球，四个小球上分别标有数字21，2，4，－31，现从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数字作为平面直角坐标系中点P 的横坐标，且点P 在反比例函数y ＝x1图象上，则点P 落在正比例函数y ＝x 图象上方的概率是 ．考点：概率公式；正比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征。
专题：计算题。
分析：首先由点P 在反比例函数y ＝x1图象上，即可求得点P 的坐标，然后找到点P 落在正比例函数y ＝x 图象上方的有几个，根据概率公式求解即可．解答：解：∵点P 在反比例函数y ＝x1图象上， ∴点P 的坐标可能为：（21，2），（2，21），（4，41），（－31，－3），∵点P 落在正比例函数y ＝x 图象上方的有：（21，2），∴点P 落在正比例函数y ＝x 图象上方的概率是41．故答案为：41． 点评：此题考查了反比例函数与一次函数与点的关系，以及概率公式的应用．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．4. 如图：点A 在双曲线 y=kx 上，AB 丄x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB =2，则k= -4．考点：反比例函数系数k 的几何意义． 专题：探究型．分析：先根据反比例函数图象所在的象限判断出k 的符号，再根据S △AOB =2求出k 的值即可． 解答：解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴k ＜0， ∵S △AOB =2， ∴|k|=4， ∴k=-4．故答案为：-4．点评：本题考查的是反比例系数k 的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|2，且保持不变．5. （2011•贵港）已知双曲线y=经过点（1，﹣2），则k 的值是 ﹣2 ． 考点：待定系数法求反比例函数解析式。