《反比例函数》微专题——比例系数k的几何意义
微专题四 反比例函数中k的几何意义
的图象上,AB⊥x轴于点B,AB的垂直平分线与y轴交于点
C,与函数y= 4 (x>0)的图象交于点D.连接AC,CB,BD,DA,
x
则四边形ACBD的面积等于 ( C )
知与双曲线y= k (k≠0)有关的相应图形的面
x
积,求k的值或解析式
【例2】如图,在平面直角坐标系中,正方形ABOC和正方
微专题四 反比例函数中k的几何意义
【主干必备】
反比例函数中系数k的几何意义
1.点A(a,b)为反比例函数y= k (k≠0)的图象上任一点,
x
过点A向x轴、y轴作垂线,垂足分别为B,C,则OB= |a | ,
OC= |b | ,故矩形ABOC的面积为|a| | b| _|_k_| _ .
2.点A(a,b)为反比例函数y= k (k≠0)的图象上任一点,
若四边形ODBE的面积为12,则k的值为____4__. 世纪金
榜导学号
2
反之亦成立,常应用该几何意义来确定反比例函数的解
析式或进行相应面积的计算、比较等.
【题组过关】
1.(2019·安顺中考)如图,直线l⊥x轴于点P,且与反比
例函数y1=
k1 (x>0)及y2=
x
k2 (x>0)的图象分别交于A,B
x
两点,连接OA,OB,已知△OAB的面积为4,则k1-k2=
___8___.
x
过点A作AB⊥x轴于点B,则OB= |a | ,AB= |b | ,故△ABO的面
积为
1
|a|
|
b|
1 |k| __2____
.
2
【微点警示】 根据几何意义求系数k时,一定要根据函 数所在的象限分析k的正负.
反比例函数中比例系数k的几何意义
反思小结
在反比例函数 y 10 的图象上,有一系列点A1，A2， x A3…..An，An+1，若A1横坐标为2,且以后每点的 横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2. 现分别 过点A1，A2，A3…..An，An+1作X轴与Y轴的垂线 段，构成若干个矩形如图10所示，将图中阴影部 分的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…Sn， 5 5 15 2 5 2 (5 _____, ) 则S1=________, S +S +S =____ S1+S2 2 1 2 3 4 2 5 10 n 2 (5 ) +S3+….+Sn=________________.( 用n的代数式表 n 1 n 1 A 示)
C
S SOAD SABD SBCD SOCD 4 1 4
达标测试
已知几何图形的面积S，求比例系数k
5、如图，已知双曲线 （k>0） 经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E， 且四边形OEBF的面积为2，则k的值为（ B ）。
y
y
k x
A 1
所以
B 2
C 4
S OAB 4
O
y
已知几何图形的面积S，求比例系数k k y 变式、如图，已知双曲线 x ( k＞0 )经
B
D
C E A
x
而
SOAB SOBC SOAC
即
S ODE 1 S OAB 1 4 k 3 2
1 k 2
相似三角形的面积比 等于相似比的平方 k 4;
k 0 k 4
k 0 k 4
4 y x
达标测试
4、如图，在平面直角坐标系中， 点O为原点，菱形OABC的对角线 OB在x轴上，顶点A在反比例函数 2 的图像上，求菱形的面积。 y B
《反比例函数中比例系数k的几何意义》优课一等奖教案
?反比例函数中比例系数k 的几何意义?教学设计 本微课通过研究反比例函数()0≠=k xk y 中k 的几何意义，来解决反比例函数与面积类综合问题，能更好地考察学生灵活运用数学知识的能力及对数学思想方法掌握的情况，进一步让学生感悟数形结合分析数学问题的意识，培养学生把实际问题中的文字语言、符号语言、图形语言进展“互译〞并 “转换〞成有效的解题信息链，培养学生建立合理适宜的数学模型去解决实际问题的能力和方法。
教学目标：1、理解和掌握反比例函数()0≠=k xk y 中k 的几何意义 2、能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题学情分析：学生已有对一次函数和反比例函数关系式和图象认识的根底，再通过研究反比例函数()0≠=k xk y 中k 的几何意义，可以进一步唤醒学生数形结合分析数学问题的意识，培养学生把实际问题中的文字语言、符号语言、图形语言进展互译转换并形成有效的解题信息链，并通过建立合理适宜的数学模型，顺利解决问题的能力和方法。
教学重点、难点：1．重点：理解并掌握反比例函数 〔k ≠0〕中k 的几何意义；并能利用它们解决一些综合问题2．难点：通过反比例函数与矩形面积的对应关系渗透数形结合思想，感受理解反比例函数的比例系数 k 、函数解析式和函数图形之间的内在联系，并通过建立反比例函数模型解决实际几何问题。
教学过程：一、反比例函数中k 的几何意义xk y =y x B A P (m ,n )O 反比例函数()0≠=k xk y ，点),(n m P 是图像上的任意一点. (1)过点P 分别做x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A ，B,那么 k n m nm OB OA S OAPB =⋅=⋅=⋅=矩形结论：任意一点横纵坐标的乘积是一个定值.〔2〕过点P 分别做x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A ，B,连接OP,那么k n m n m AP OA S OAP 21212121=⋅=⋅=⋅=∆结论：k S S OBP OAP 21==∆∆通过构造学生熟悉的特殊多边形，并把k 值构造成特殊多边形的面积，从而可以发现过反比例函数()0≠=k xk y 的图象上任一点P 〔m,n 〕向x 轴、y 轴作垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积k n m S OAPB =⋅=矩形，△OAP 和△OBP 面积k S S OBP OAP 21==∆∆让学生通过此题让学生感悟k 值与反比例函数图象的一一对应关系，核心感悟：k 值确定，图象确定，进而图形上从任意一点向坐标轴构造的特殊图象面积确定；图象确定或者图形上从任意一点向坐标轴构造的特殊图象面积确定， 那么k 值也随之确定。
反比例函数中k的几何意义的应用
反比例函数中k的几何意义的应用
k在反比例函数中具有重要的几何意义，以下列举一些它的应用。
1. 直线反比例函数：k反映直线斜率的倒数，即斜率m=-k。
当给定直
线k值时，由定点和k值可以求出斜率m，从而可以绘制出这条直线。
2. 圆反比例函数：k反映圆半径r的倒数，即r=1/k。
当给定圆k值时，由定点和k值可以求出圆半径，从而可以绘制出这个圆。
3. 抛物线反比例函数：k反映抛物线的开口方向，当k > 0时，抛物线
向右开口；当k < 0时，抛物线向左开口。
4. 双曲线反比例函数：k反映双曲线的开口方向，当k＞0时，双曲线
开口向右；当k＜0时，双曲线开口向左。
5. 其他函数反比例函数：k可以反映此类函数中曲线的凹凸，当k > 0时，曲线是凹曲线；当k < 0时，曲线是凸曲线。
总之，k在反比例函数中应用广泛，几乎所有的函数都可以用反比例函
数表示。
它的几何意义非常重要，不仅仅可以根据k值绘制出各种曲线，而且可以了解曲线的开口方向以及凹凸方向。
因此，k在反比例函
数绘制中发挥着重要的作用。
5.3反比例函数中k的几何意义及应用
反比例函数应用学案（3）研究函数问题要透视函数的本质特征。
反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N（如图1所示），则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。
所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。
从而有。
在解相关反比例函数的问题时，若能灵活使用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
现举例说明。
例1、如图所示，P是反比例函数的图象上的一点，由P分别向x轴、y轴引垂线，得阴影部分（矩形）的面积为3，则这个反比例函数的解析式是_____________。
应用二：比较面积大小例2、如图2，在函数（x>0）的图象上有三点A、B、C。
过这三点分别向x轴、y 轴作垂线。
过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为，则（）。
A、 B、C、 D、应用三：确定解析式例3、解答题已知反比例函数的图象经过，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．(1)求k和m的值；(2)若一次函数y=ax+1经过A点，并且与x轴相交于点C，求∠ACO的度数和|AO|：|AC|的值．评析：本题考查学生函数、方程的数学思想及待定系数法的使用．解： (1)由，∴ .∵，∴.∴y= .把代人双曲线，得m=2.(2) ∵点在一次函数y=ax+1上，∴ . ∴ .∴一次函数y= . ∴当y=0，则x= ，即C（，）又∵B（- ，0）则 BC= ，AB= .∴RtΔABC中，AC= . ∴AC=AB. ∴∠AC0= .在RtΔABO中，可求|AO|= ，∴|AO|:|AC|= .练习、1、（2003年全国初中数学联赛试题）若函数与函数的图象相交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为（）A、1B、2C、kD、2、如图，在直角坐标系中，直线y=6-x与函数y=(x>0)的图像相交于点 A、B，设点A的坐标为(x1，，y1)，那么长为x1,宽为y1的矩形面积和周长分别为( )A．4，12 B．8，12 C．4，6 D．8，63、如图4，反比例函数与一次函数的图象相交于A点，过A点作AB ⊥x轴于点B。
反比例函数中K的几何意义
反比例函数中K的几何意义
在反比例函数中，K表示比例系数或常数，也被称为反比例常数。
它
是用来确定两个变量之间反比关系的重要参数。
反比例函数的一般形式为：y=K/x，其中K表示比例系数。
K的几何意义可以通过分析反比例函数的图像得出。
反比例函数的图
像是一个双曲线，特点是曲线趋向于两个坐标轴。
下面将详细讨论K的几
何意义。
1.K的符号对于曲线的位置以及开口方向具有重要影响。
如果K为正数，那么曲线将位于第一和第三象限，并且开口方向为右上和左下。
如果
K为负数，那么曲线将位于第二和第四象限，并且开口方向为左上和右下。
2.K的绝对值越大，曲线就越“陡峭”。
当K增大时，曲线将更加接
近于坐标轴，并且在原点附近的斜率会越来越大。
反之，当K变小时，曲
线将更加平缓，斜率将减小。
3.K决定了特定坐标点的函数值。
例如，在函数y=K/x中，当x为K 时，y的值将为1、这是因为x与y成反比关系，而K是这种关系的常数。
4.K还决定了曲线相对于坐标轴的位置。
具体而言，当K增大时，曲
线将向坐标轴移动，而当K减小时，曲线将远离坐标轴。
总之，K代表了反比例函数中的比例系数或常数，它对于函数的位置、开口方向、陡峭程度以及特定坐标点的函数值都具有重要影响。
通过对K
的分析，我们可以更好地理解和解释反比例函数的几何特征。
反比例函数中k的几何意义
【主干必备】 反比例函数中比例系数k的几何意义 设点P(m,n)是双曲线y= k (k≠0)上任意一点
x
(1)过点P作x轴或y轴的垂线,垂足为点A,则
S△OAP=
1 2
·OA·AP=
1 |m|·|n|=
2
1 |mn|=
2
1 2
|k|.
(2)过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为A,B,
值为 世纪金榜导学号( D )
A.5
B.-5
C.10
D.-10
3.(2019·哈尔滨木兰期末)已知P是反比例函数y= k
x
(k≠0)图象上一点,PA⊥x轴于A,若S△AOP=4,则这个反
比例函数的解析式是 ( C )
A.y= 8
x
C.y= 8 =- 8
x
D.y= 4 或y=- 4
则S矩形OAPB=OA·AP=|m|·|n|=|mn|=|k|.
【微点警示】 因为反比例函数y= k (k是常数,k≠0)中的k有正、负之
x
分,所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时,都应 加上绝对值符号;已知矩形或三角形的面积求反比例函 数的解析式或k的值时,要根据函数的图象所在的象限 确定k的正负.
x
x轴于点B交反比例函数y= 2 的图象于点C,连接OA,OC,
x
则△OAC的面积为 ( B )
A.2
B.3
C.6
D.8
2.(2019·达州达川区期末)如图所示,点A是反比例函
数y= k 的图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,点
x
C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为5,则k的
【核心突破】
反比例函数中“k”的几何意义
反比例函数中“k”的几何意义
反比例函数中的比例系数“k”除了可以表示解析式外，还有丰富的几何意义。
比例系数“k"往往与三角形、矩形面积相关，若与梯形相关，还有更多的信息可以挖掘。
本文就来探索反比例函数中“k”的几何意义。
通过设点P的坐标，并通过计算，由于本题的背景是k>0，得到矩形面积为k。
因此将规律一般化为：反比例图像上的点与坐标轴围成的矩形面积为|k|。
将本题中的图形进行变化，还可以得到以下图像的面积也为|k|:
反比例图像上的任意一点向坐标轴作平行线，所围成的特殊四边形(矩形、菱形、正方形、平行四边形)的面积为|k|。
反比例图像上若有两点关于原点对称，且三角形有一边平行于坐标轴，那么此时三角形的面积为|k|。
由反比例函数与矩形面积的关系，我们可以得到反比例函数与三角形面积的关系如下：反比例图像上的点与坐标轴围成的三角形面积为1/2|k|。
我们还可以做如下变式：这些三角形都有一条边与坐标轴平行，以下三角形的面积也均为1/2|k|。
掌握了上述三角形的面积特点，我们可以利用转化的方法得到面积相等的三角形。
转化的方法就是利用平行得到同底等高的三角形面积相等。
如图，S▲AOB=S▲ABC=1/2|k|。
因此要学会转化成“k” 的几何意义，更重要的是要能从图形中发现这些基本图形。
将以上两类问题综合，我们可以得到下列几个图形的面积为2|k|。
轴作垂线形成的梯形面积。
反比例图像上的任意两点分别向坐标轴作垂线，这两点的连线与垂足的连线互相平行。
培优专题(一) 反比例函数比例系数k的几何意义
A．1 C.2
B．32 D．52
图9
三、k 与矩形的面积 9．如图 10，点 A 是双曲线 y＝kx在第二象限分支上的任意一点，点 B，C，D 分别是点 A 关于 x 轴、坐标原点、y 轴的对称点．若四边形 ABCD 的面积是 8， 则 k 的值为( D )
A．－1 C．2
B．1 D．－2
图 10
∴一次函数的表达式为 y＝－x－5.
(2)由y＝4x， y＝－x－5，
解得xy＝＝－－14， 或xy＝＝－－41，，
∴点 P(－1，－4)．
在一次函数 y＝－x－5 中，令 y＝0，
得－x－5＝0，解得 x＝－5，∴A(－5,0)．
∴S△OPQ＝S△OPA－S△OAQ ＝12×5×4－12×5×1
x>0)的图象分别相交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点．若
△ABC 的面积为 4，则 k1－k2 的值为( A )
A．8
B．－8
C.4
D．－4
图6
6．[2018·贵阳]如图 7，过 x 轴上任意一点 P 作 y 轴的平行线，分别与反比例 函数 y＝3x与 y＝－6x的图象交于点 A 和点 B.若 C 为 y 轴上任意一点，连接 AC，BC， 则△ABC 的面积为 4．5 .
S△BCF＝CF2·BC＝43a×2 ka1＝23k1， S△ABE＝AB2·AE＝2a×2－ka2＝－k2. ∵S△BEF＝7， ∴2k1＋23k2－23k1＋k2＝7，
整理，得43k1＋53k2＝7，① ∵k1＋3k2＝0， ∴k2＝－13k1，代入①，得 43k1＋53×－13k1＝7， 解得 k1＝9.
点 O 的对称点)
应用归纳： 一、k 与三角形的面积
专题：反比例函数比例系数K的几何意义
流泽中学九年级数学导学案撰写：王治国审核：赵吾桥赵巨才班级__________ 姓名：_____________ 组名：________________专题：反比例函数比例系数K的几何意义学习目标：1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质;2．掌握反比例函数中比例系数k的几何意义;3．会用比例系数K的几何意义来比较面积的大小以及面积问题。
学习重点：反比例函数中的比例系数k的几何意义的掌握及应用学习难点：学会从图象上分析、解决问题，初步掌握数形结合思想学习过程：一、自主预习1、若点（）在反比例函数上，则=____________________2、过反比例函数上一点P（2，-4）向两坐标抽做垂线，垂足分别为A、B，（1）四边形OAPB的形状？（2）求四边形0APB的面积？（3）若在该函数图象上再取其他点比如：Q（8，-1），M（-2，4）按同样方式操作，结论怎样呢？（4）如果在该函数图象上取任意一点N（），所围成的矩形面积又是多少？二、合作探究探究：|k|的几何意义：（1）如图过双曲线（＞）上任一点p（x、y）作x轴、y轴垂线段PM、PN所得矩形PMON 的面积该如何求解？能用K来表示吗？（2）若连接OP，那么△POM，△PON的面积又为多少三、合作提升：1、如图，P、C是函数（x>0）图像上的任意两点，过点P作x轴的垂线PA,垂足为A，过点C作x轴的垂线CD,垂足为D，连接OC交PA于点E，求：（1）设△POA的面积为,则= _____ ,梯形CEAD的面积为，则与的大小关系是,（2）△POE的面积和梯形CEAD的面积为的大小关系是.2、如图，已知双曲线（＞）经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，若四边形OEBF的面积为4，求k的值。
四、小结归纳：1、我的收获：2、我的疑问：流泽中学九年级数学导学案撰写：王治国审核：赵吾桥赵巨才班级__________ 姓名：_____________ 组名：________________五、展示交流：1、如图所示，直线l与双曲线（＞）交A、B两点，P是AB上的点，试比较△AOC 的面积，△BOD的面积，△POE的面积的大小：。
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《反比例函数》微专题
——比例系数k 的几何意义
姓名：
一、课前热身，提炼模型
1.如图，点P 是双曲线x
y 4
=上一点，经过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线段，则阴影部分面积为 。
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，点P 是双曲线x
y 4
-
=上一点，x PD ⊥轴于点D ，则POD Δ的面积为 。
3.如图，点P 是双曲线x
k
y =
上一点，x PD ⊥轴于点D ，POD Δ的面积为2，则k 的值为 。
二、探索新知，深化模型
例1.如图，点A 是反比例函数图象上一点，过点A 作y AB ⊥轴于点B ，点P 在x 轴上，ABP Δ的面积为2，则这个反比例函数的解析式为 。
变式1.如图，已知点A 在双曲线的图象上，x AP ⊥轴于点P ，点Q 为y 轴上的一点，若APQ Δ的面积是3，则反比例函数的解析式为 。
变式2.如图，点A 是双曲线x
y 4
-
=上一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使点B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为 。
三、巩固提高，运用模型
例2.如图，已知四边形OCED 为矩形，点B 为ED 的中点，双曲线x
k
y =（0>x ）过点B ，交CE 于点A 。
若四边形OAEB 的面积为2，则k 的值为 。
变式.如图，反比例函数x
k
y =
（x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为 。
四、课堂小结，知识升华
通过本堂课，你有哪些收获或者疑问？
五、中考链接，能力提升
如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数 x
k
y =
（k 为常数，且k>0）在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若 BE ：BF=1： m (m 为大于l 的常数)．记△CEF 的面积为1S ，△OEF 的面积为2S ，则 1S ：2S =________． （用含m 的代数式表示）。