应用反比例函数中k的几何意义解题举例.docx
反比例函数中k的几何意义及应用【完整版】
② 连接 那么在Rt△AB 中，
∵AB=2，∠A O=30
四、求函数值
例4两个反比例函数 在第一象限内的图象如图⑦所示, 在反比例函数 的图象上，它们的横坐标分别是 纵坐标分别是1，3，5，…,共2005个连续奇数, 分别作y轴的平行线， 的图象的交点依次
…, 那么 .
解: 在反比例函数 的图பைடு நூலகம்
C. S3< S1< S2D. S1> S2>S3
解:由性质(1)得
三、确定解析式
例3如图⑥，反比例函数 ﹤0
的图象经过点A〔 m〕，过A作AB⊥ 轴于点B，
〔1〕求K和m的值.
(2)假设过A点的直线y=a +b与 轴交于点C，且∠ACO=30 求直线的解析式.
解:(1)由性质(2)得
∴
(2)①连接 那么在Rt△AB 中，
依据题意得
△=64-4K＞0,∴K＜16.
设两公共点的坐标为
又 ＞0, ＞0,∴ + =8＞0, =K＞0.
∴实数K的取值范围为0＜K＜16.
(2)在y=- +8中，令 =0，得y=8，∴OC=8.
- )
=
∴
∴K=7.
六、确定自变量 的取值范围
例6如图⑨是一次函数 和反比例函数 的图象，观察图象写出 ＞ 时， 的取值范围.
一、求交点坐标和面积
例1如图②，反比例函数 一次函数
的图象交于Ａ、Ｂ两点。
〔１〕求Ａ，Ｂ两点的坐标；
〔２〕求△ＡＯＢ的面积。
二、比拟面积的大小
例2如图⑤，在 ＞0〕的图像上有三点A,B,C,经过三点分别向 轴引垂线，交 轴于 三点，连接OA，OB，OC，记△
专题01 用几何意义探究反比例函数中k值问题的多种解法(解析版)
专题01 用几何意义探究反比例函数中k 值问题的多种解法如图，反比例函数k y x =（k >0），A 、C 是第一象限上两点，S △OAB =S △OCD =2k ；S △OAC =S 梯形ABDC 在已知面积或比例线段解答反比例函数的问题中，善于利用k 与面积的关系，往往可以事半功倍．典例1．知面积比值，求k 值（2022•山东聊城中考真题）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y 轴交于点B ，过双曲线上的一点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ，交直线于点E ，且．()30y px p =+¹()0k y k x=>()2,A q 3y px =+:3:4AOB COD S S =△△(1)求k ，p 的值；(2)若OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，求点C 的坐标．【答案】(1)，；(2)点C 的坐标为(4，2)【解析】【方法一】坐标法（1）解：∵直线与y 轴交点为B ，∴，即．∵点A 的横坐标为2，∴．∵，∴△COD 的面积为4，设，∴，解得．∵点在双曲线上，∴，把点代入，得，∴，；8k =12p =3y px =+()0,3B 3OB =13232AOB S =´´=V :3:4AOB COD S S =△△,k C m m æöç÷èø142k m m×=8k =()2,A q 8y x=4q =()2,4A 3y px =+12p =8k =12p =（2）解：由（1）得8,C m m æöç÷èø，∴．∵OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，∴，∵32BOE S m =△，，∴，解得或（不符合题意，舍去），∴点的坐标为（4，2）．【方法二】k 的几何意义法解：（1）由题意知，△ABO 的面积为3，又，得：△OCD 的面积为4，故k =2S △OCD =8，所以，A （2,4），把点代入，得（2）如图，过A ，E 作y 轴垂线，垂足为M ，N则四边形ODEN 为矩形，所以，S △OEN =S △OED ，又S △OBE =S △OCE ，所以S △BEN =S △OCD =4，1,32E m m æö+ç÷èøBOE COE S S =△△13422COE m S m æö=+-ç÷èø△3134222m m m æö=+-ç÷èø4m =4m =-C :3:4AOB COD S S =△△()2,4A 3y px =+12p =所以S △ABM =1，∵AM ∥NE ，∴△ABM ∽△EBN ，其面积比为1:4，∴AM ：NE =1:2，即NE =4，∴C 点坐标为（4,2）典例2．知比例线段，求k 值（2022•贵州铜仁中考真题）如图，点A 、B 在反比例函数k y x=的图象上，AC y ^轴，垂足为D ，BC AC ^．若四边形AOBC 的面积为6，12AD AC =，则k 的值为_______．【答案】3．【解析】【方法一】坐标法设点,k A a a æöç÷èø，∵AC y ^轴，∴AD a =，k OD a =，∵12AD AC =，∴AC 2a =，∴CD =3a ，∵BC AC ^．AC y ^轴，∴BC ∥y 轴，∴点B 3,3æöç÷èøk a a ，∴233k k k BC a a a=-=，∵AOD AOBC OBCD S S S =+V 四边形梯形，四边形AOBC 间面积为6，∴12136232k k a k a a æö+´=+ç÷èø，解得：3k =．【方法二】k 的几何意义法如图，连接OC ，延长CB 交x 轴于E ，则S △AOD =S △BOE =12k ，因为AD ：AC =1:2，所以S △AOC =2S △AOD =k ，S △BOC =6-k ，又四边形DOEC 为矩形，OC 为对角线，所以，S △COD =S △COE ，所以12k +k =6-k +12k ，解得：k =3．典例3．知面积值，求k 值（2022•内蒙古呼伦贝尔中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB △的直角顶点B 在x 轴的正半轴上，点O 与原点重合，点A 在第一象限，反比例函数k y x=（0x >）的图象经过OA 的中点C ，交AB 于点D ，连接CD ．若ACD △的面积是1，则k 的值是_________．【答案】43．【解析】【方法一】坐标法解：设C （m ，k m），因为C 为OA 中点，所以A （2m ，2k m），则D （2m ，2k m ），又△ACD 的面积为1，所以12122k k m m m æö×-=ç÷èø，解得：k =43【方法二】k 的几何意义法解：连接OD ，过C 作CE AB ∥，交x 轴于E ，∵∠ABO ＝90°，反比例函数k y x =（x ＞0）的图象经过OA 的中点C ，1ACD S =V ，∴12COE BOD S S k ==△△，1ACD OCD S S ==V V ，2OC =OA ，∵CE AB ∥，∴△OCE ∽△OAB ，∴221124OCE S OC S OA æöæö===ç÷ç÷èøèø△△O A B ，∴4OCE OAB ACD OCD OBD S S S S S ==++V V V V V ，∴1141122k k ´=++，∴k ＝43，故答案为：43．1.（2022•辽宁锦州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的边OB 在y 轴上，边AB 与x 轴交于点D ，且BD =AD ，反比例函数y =k x(x >0)的图像经过点A ，若S △OAB =1，则k 的值为___________．【答案】2．【解析】【方法一】坐标法解：设A(a，b) ，如图，作A过x轴的垂线与x轴交于C，则：AC=b，OC=a，AC∥OB，∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO，∴△ADC≌△BDO，∴S△ADC=S△BDO，∴S△OAC=S△AOD+ S△ADC=S△AOD+ S△BDO= S△OAB=1，∴12×OC×AC=12ab=1，∴ab=2，∵A(a，b) 在y=kx上，∴k=ab=2 ．【方法二】k的几何意义法由上知，S△AOC=1，所以，k=2S△AOC=2故答案为：2．2.（2022•辽宁鞍山中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点．在Rt OAB V 中，90OAB Ð=°，边OA 在y 轴上，点D 是边OB 上一点，且:1:2OD DB =，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点D 交AB 于点C ，连接OC ．若4OBC S =△，则k 的值为_________．【答案】1．【解析】【方法一】坐标法解：∵反比例函数()0k y x x=>的图象经过点D ，∠OAB ＝90°，∴D （m ，k m ），∵OD ：DB ＝1：2，∴B （3m ，3k m），∴AB ＝3m ，OA ＝3k m ，∴反比例函数()0k y x x =>的图象经过点D 交AB 于点C ，∠OAB ＝90°，∴12AOC S k =△，∵4OBC S △＝，∴4AOB AOC S S -△△＝，即1313422k m k m ´×-=，解得k ＝1【方法二】k 的几何意义法如图，过D 作DE ⊥x 轴，则DE ∥AB ，因为OD ：BD =1:2，所以DE ：AB =1:3，所以S △ODE ：S △OAB =1：9，又S △ODE =S △OAC =12k ，所以12k +4=92k ，解得：k =13.（2022•江苏南通中考真题）平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点．若，则k 的值为___________．【答案】【解析】【方法一】坐标法解：∵点是函数图象上的三点，∴，，∴m ＝n ，∴，，∴点B 、C 关于原点对称，∴设直线BC 的解析式为，代入得：，解得：，∴直线BC 的解析式为，xOy (,6),(3,2),(3,2)--A m m B m n C m n (0)k y k x=¹2ABC S =△34(,6),(3,2),(3,2)--A m m B m n C m n (0)k y k x =¹260k m =>6k mn =(3,2)B m m (3,2)C m m --()0y kx k =¹(3,2)B m m 23m mk =23k =23y x =不妨设m ＞0，如图，过点A 作x 轴的垂线交BC 于D ，把x ＝m 代入得：，∴D （m ，），∴AD ＝，∴，∴，∴，而当m ＜0时，可得，故答案为：．【方法二】由题意知，S △OAB =12632m n m m ×-×，O 为BC 中点，因为所以，S △OAB =12632m n m m ×-×=1，即291mn m -=①，又632m m m n k ×=×=②，23y x =23y m =23m 216633m m m -=()11633223ABC S m m m =´×+=V 218m =2136684k m ==´=34k =342ABC S =△由①②可得：4.（2022•湖北十堰中考真题）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数()110k y k x=>和()220k y k x =>的图象上．若BD y ∥轴，点D 的横坐标为3，则12k k +=（ ）A ．36B ．18C ．12D ．9【答案】B ．【解析】【方法一】解：连接AC ，与BD 相交于点P ，设PA =PB =PC =PD =t （t ≠0）．∴点D 的坐标为（3，23k ），∴点C 的坐标为（3-t ，23k +t ）．∵点C 在反比例函数y =2k x 的图象上，34k=∴（3-t ）（23k +t ）=k 2，化简得：t =3-23k ，∴点B 的纵坐标为23k +2t =23k +2（3-23k ）=6-23k ，∴点B 的坐标为（3，6-23k ），∴3×（6-23k ）=1k ，整理，得：1k +2k =18．【方法二】先利用D 点坐标，表示出A 和C 点坐标，再根据四边形ABCD 为正方形，BD 与y 轴平行，知AC 平行于x 轴，那么，A 和C 点的纵坐标相等，进而求解23,3k D æöç÷èø，13,3k B æöç÷èø，122123,636k k k C k k æöç÷--ç÷-ç÷-èø，121123,636k k k A k k æöç÷-+ç÷-ç÷+èø所以2112123366k k k k k k =---+，整理得：()212212180k k k k ---=即()()1212108k k k k -+=-因为()120k k -¹所以()12018k k +-=，即1218k k +=5.（2022•黑龙江龙东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数3y x =的图象上，顶点A 在反比例函数k y x=的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】D ．【解析】解：设B点坐标为3,mmæöç÷èø，则A3,3kmmæöç÷èø，因为平行四边形OBAD的面积是5，所以353kmmmæö-×=ç÷èø，解得k=-2【方法二】解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C，∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5，∴1522AOB OBADS S==V Y，AB∥OD，∴AB⊥y轴，∵点B在反比例函数3yx=的图象上，顶点A在反比例函数kyx=的图象上，∴3,22 COB COAkS S==-V V，∴35222 AOB COB COAkS S S=+=-=V V V，解得：2k=-．故选：D．6.（2022•湖北黄石中考真题）如图，反比例函数kyx=的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，OCE△的面积为6，则k=______________．【答案】8．【解析】设C （m ，0），由题意知E 为AC 中点，因为△OCE 面积为6，所以E 点纵坐标为12m，所以E 12,12km m æöç÷èø，A 24,6km m m æö-ç÷èø，又A 在反比例函数图像上所以246km m k mæö-×=ç÷èø解得k =8【方法二】解：如图作EF ⊥BC ，则12EF AB =，设E 点坐标为（a ，b ），则A 点的纵坐标为2b ，则可设A 点坐标为（c ，2b ），∵点A ，E 在反比例函数k y x=上，∴ab =k =2bc ，解得：a =2c ，故BF =FC =2c -c =c ，∴OC =3c ，故113622OEC S OC EF c b =´´=´´=V ，解得：bc =4，∴k =2bc =8，故答案为：8．7.（2022•贵州六盘水中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．y x =4y x=A B(1)求，两点的坐标；(2)将直线向下平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）解：联立与，解得，；（2）【方法一】解：如图，过点作轴于点，A B y x =a C x D y E 13CD DE =a ()()2,2,2,2A B --3a =y x =4y x=121222,22x x y y ==-ììíí==-îî()()2,2,2,2A B \--C CF y ^F，，，直线向下平移个单位长度得到，根据图象可知,令，得，令，得，，，，，与反比例函数在第一象限的图象交于点，，将代入，得，解得或（舍去）．【方法二】CF OD \∥Q 13CD DE =13OF CD OE DE \==Q y x =a y x a =-0a >0x =y a =-0y =x a =()0,E a \-(),0D a 10,3F a æö\ç÷èø13c y a \=Q y x a =-4y x=C 41213c x aa \==121,3C a a æöç÷èøy x a =-1123a a a=-3a =3a =-如图，连接OC ，过C 作CE ⊥x 轴，因为CD ：DE =1:3，CE ∥OE则△CDE ∽△EDO ，相似比为1:3，面积比为1:9，易知△ODE 面积为212a ，△OCE 的面积为12k =2，所以△OCD 的面积为2-2118a ，又△OCD 与△ODE 的面积比为1:3，所以2-2118a =21132a ´，解得：a =3或a =-3（舍）8.（2022•安徽中考真题）如图，平行四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，A 在x 轴的正半轴上，B ，C 在第一象限，反比例函数1y x =的图象经过点C ，()0k y k x=¹的图象经过点B ．若OC AC =，则k =________．【答案】3．【解析】【方法一】设C 1,m m æöç÷èø，因为OC =AC所以A ()2,0m ，又OABC 为平行四边形所以B 13,m m æöç÷èø因为B 点在k y x =上，所以k =133m m ×=【方法二】解：过点C 作CD ⊥OA 于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，∴CD ∥BE ，∵四边形ABCO 为平行四边形，∴CB OA ∥ ，即CB DE ∥，OC =AB ，∴四边形CDEB 为平行四边形，∵CD ⊥OA ，∴四边形CDEB 为矩形，∴CD =BE ，∴在Rt △COD 和Rt △BAE 中，OC AB CD EB =ìí=î，∴Rt △COD ≌Rt △BAE （HL ），∴S △OCD =S △ABE ，∵OC =AC ，CD ⊥OA ，∴OD =AD ，∵反比例函数1yx=的图象经过点C，∴S△OCD=S△CAD=12，∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，∴S△OBA=11 2OCBAS=平行四边形，∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=13122+=，∴3232k=´=．故答案为3．。
在反比例函数中k的几何意义
在反比例函数中k的几何意义“哎呀，这反比例函数可真难啊！”我皱着眉头对着同桌嘟囔着。
今天上数学课的时候，老师讲了反比例函数，我感觉自己的脑袋都快变成浆糊啦。
下课后，我就和同桌开始讨论起来。
我看着作业本上的那些题目，无奈地说：“这 k 到底是个啥玩意儿啊，感觉好神秘。
”同桌也一脸苦恼：“就是啊，我也搞不明白。
”这时候，学霸小明听到我们的对话，走过来说：“嘿，这你们都不懂啊，让我来给你们讲讲。
”我和同桌立马像抓到救命稻草一样看着他。
小明拿起一支笔，在纸上画起来，一边画一边说：“你们看啊，反比例函数里的 k 啊，就像是一个魔法数字，它决定了这个函数的很多特性呢。
比如说，k 越大，曲线就越靠近坐标轴，k 越小，曲线就越远离坐标轴。
”我似懂非懂地点点头，说：“哇，那是不是就像我们跑步，k 就是我们的速度，速度越快就越先到终点呀。
”小明笑着说：“哈哈，你这个比喻还挺形象的嘛。
”同桌也恍然大悟地说：“哦，原来是这样啊，那我好像有点明白了。
”我接着问小明：“那这个 k 在实际生活中有啥用呢？”小明想了想，说：“比如说啊，你看我们做一件事情，花费的时间和效率是不是成反比例关系呀，那这里面就可能有 k 呀。
”我眼睛一亮，说：“对哦，就像我写作业，写得越快，用的时间就越短。
”经过小明这么一讲解，我和同桌对反比例函数中的 k 有了更深的理解。
我开心地说：“哎呀，这下感觉没那么难了。
”同桌也笑着点头。
我觉得学习就是这样，大家一起讨论，一起思考，就能把难题给攻克啦。
反比例函数中的 k 虽然神秘，但只要我们认真去探索，就一定能发现它的奥秘！这不就跟我们生活中很多事情一样嘛，看似困难，只要用心去对待，总能找到解决的办法呀！。
反比例函数中k的几何意义的应用
反比例函数中k的几何意义的应用
k在反比例函数中具有重要的几何意义，以下列举一些它的应用。
1. 直线反比例函数：k反映直线斜率的倒数，即斜率m=-k。
当给定直
线k值时，由定点和k值可以求出斜率m，从而可以绘制出这条直线。
2. 圆反比例函数：k反映圆半径r的倒数，即r=1/k。
当给定圆k值时，由定点和k值可以求出圆半径，从而可以绘制出这个圆。
3. 抛物线反比例函数：k反映抛物线的开口方向，当k > 0时，抛物线
向右开口；当k < 0时，抛物线向左开口。
4. 双曲线反比例函数：k反映双曲线的开口方向，当k＞0时，双曲线
开口向右；当k＜0时，双曲线开口向左。
5. 其他函数反比例函数：k可以反映此类函数中曲线的凹凸，当k > 0时，曲线是凹曲线；当k < 0时，曲线是凸曲线。
总之，k在反比例函数中应用广泛，几乎所有的函数都可以用反比例函
数表示。
它的几何意义非常重要，不仅仅可以根据k值绘制出各种曲线，而且可以了解曲线的开口方向以及凹凸方向。
因此，k在反比例函
数绘制中发挥着重要的作用。
巧用反比例函数k_的几何意义模型解题
解法探究２０２３年９月下半月㊀㊀㊀巧用反比例函数k 的几何意义模型解题◉重庆市九龙坡区杨家坪中学㊀郑天顺㊀㊀在数学解题教学中,教师既要讲解解题思路,更要培养学生的数学思想㊁模型意识㊁几何直观理念,让学生学会利用数学模型解决数学问题．本文中将对反比例函数k 的几何意义模型解题进行简要分析．１利用反比例函数面积不变性模型解题反比例函数面积不变性指的是过反比例函数图象上的任意一点分别作x 轴与y 轴的垂线,它们与坐标轴形成的矩形面积为定值|k |(如图１所示),即S 矩形A B E O ＝S 矩形D O F C ＝|k |．图１㊀㊀㊀图２如图２,过双曲线上任意一点分别作x 轴与y 轴的垂线,则连接该点㊁垂足与坐标原点所构成的三角形面积始终为|k |２,即S әA B O ＝S әC O D ＝k２．２利用反比例函数面积公式模型解题反比例函数面积公式模型指的是过反比例函数图象上的任意两点与坐标原点相连形成的三角形与过这两点分别作x 轴的垂线所形成的梯形面积相等．简单来说,即A ,B 是反比例函数y ＝kx图象上的任意两点,则S ΔA B O ＝S 梯形A MN B(如图３所示)．图３㊀㊀图４例１㊀如图４,在平面直角坐标系x O y 中,点A ,B ,C 为反比例函数y ＝kx(k ＞０)上不同的三点,连接O A ,O B ,O C ,过点A 作A D 垂直y 轴于点D ,过点B ,C 分别作B E ,C F 垂直x 轴于点E ,F ,O C 与B E 相交于点M ,记әA O D ㊁әB O M ㊁四边形C M E F 的面积分别为S １,S ２,S ３,则(㊀㊀)．A．S １＝S ２＋S ３㊀㊀㊀㊀㊀B ．S ２＝S ３C ．S １＜S ２＜S ３D．S １S ２＜S ２３分析:由模型１和模型２的结论,可知S １＝１２k ＝S әB O E ＝S әC O F ．由S әB O E －S әO M E ＝S әC O F －S әO M E ,得S ２＝S ３．所以S ２＝S ３＜S １．故选答案:B ．３利用反比例函数平行性质模型解题反比例函数平行性质模型指的是过反比例函数图象上的任意两点分别作x 轴与y 轴的垂线,如图５,则A B 与MN 一直保持平行关系,即A B //MN ．反比例函数平行性质模型可有效解决位置㊁面积等方面的问题．图５㊀㊀图６例２㊀如图６,直线y ＝k x ＋b 分别与x 轴㊁y 轴相交于点C ,D ,与反比例函数y ＝２x(x ＞０)的图象相交于点A (１,３)与点B (３２,２),过点A 作A M 垂直y 轴于点M ,过点B 作B N 垂直x 轴于点N ,连接MN ,O A 与O B ．以下结论:①әA D M ɸәC B N ;②MN //A B ;③S әA O D ＝S әB O C ;④四边形D MN B 与四边形MN C A 的周长相等．其中正确的结论个数为(㊀㊀)．A．１㊀㊀㊀B ．２㊀㊀㊀C ．３㊀㊀㊀D．４分析:结论①,从反比例函数的平行性质模型来看,四边形DMN B 与四边形AMN C 均为平行四边形,所以B D ＝NM ＝A C ,AM ＝C N ,所以A D ＝B C ．又øAMD ＝øB N C ＝９０ʎ,所以ΔAMD ɸәC N B ,故①正确．结论②,从平行性质模型来看显然正确．结论③,过点O 作C D 的垂线,әA O D 与әB O C 等底同高,面积相同．结论④,四边形DMN B 与四边形MN C A 只能确定一组对边相等,故周长并不一定相等．故选答案:C ．２８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年９月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀４利用反比例函数等线段性质模型解题反比例函数等线段性质模型指的是过反比例函数图象上的任意两点作直线,并使这条直线与坐标轴相交,若设相交点分别为M ,N ,则AM ＝B N (如图７与图８)．图７㊀㊀图８图９例３㊀如图９所示,P 是反比例函数y ＝２x(x ＞０)图象上的某一点,过点P 分别作x 轴与y 轴的平行线,与y 轴㊁x 轴交于点D ,E ,且这两条平行线与经过点(２,５)的双曲线y ＝kx(x ＞０,k ʂ０)交于点A 和点B ,连接A B ．(１)求k 的值;(２)连接O A 与O B ,若点P 的横坐标是２,求әA O B 的实际面积;(３)若直线A B 与x 轴交于点M ,与y 轴交于点N ,试证明AM ＝B N ．分析:(１)显然k ＝１０．(２)过点A 作x 轴的垂线,垂足为F ．过点B 作y 轴的垂线,垂足为G ．点P 的坐标为(２,１)．由反比例函数面积不变性模型知,S әA O F 与S әB O E 的面积都是５．从反比例函数的面积公式来看,S әA O B 与S 梯形B E F A 的面积是相等的,且面积为１２(１＋５)(１０－２)＝２４．(３)过点B 作y 轴的垂线,垂足为G ,设点P (m ,２m )(m ＞０),则点A (５m ,２m ),点B (m ,１０m)．易得直线A B 的表达式为y ＝－２m２x ＋１２m ,可得M (６m ,０),N (０,１２m )．因此,O M ＝６m ,O N ＝１２m．所以N G ＝２m ,F M ＝m ,N G ＝A F ＝２m,G B ＝F M ＝m ,又øN G B ＝øA F M ＝９０ʎ,则әN G B ɸәA F M ,所以AM ＝B N ．本题第(３)问还可以先求证S әN O B ＝S әA O M ,再利用等高证明AM ＝B N ,或在R t әN G B 与R t әA F M 中利用勾股定理进行求解,从而论证AM ＝B N ．５利用反比例函数之同侧双曲模型解题在反比例函数同侧双曲模型当中,如图１０和图１１,反比例函数y ＝k １x(x ＞０)图象上有一点A ,且反比例函数y ＝k ２x(x ＞０)(k １,k ２＞０)图象上有一点B ．(１)若直线A B 与x 轴或y 轴平行,则S 矩形A B N P ＝|k １－k ２|．图１０㊀㊀图１１(２)若直线A B 与x 轴或y 轴平行,如图１２和图１３,则S әA B O ＝S әA B P ＝|k １－k ２|２．图１２㊀㊀图１３６利用反比例函数之异侧双曲模型解题在反比例函数之异侧双曲模型中,若反比例函数y ＝k １x (x ＞０,k １＞０)图象上有一点A ,且反比例函数图象y ＝k ２x (x ＜０,k ２＜０)图象上有一点B ．(１)若A B 与x 轴或y 轴平行(如图１５),则S ΔA B O ＝S әA B P ＝|k １|＋|k ２|２．图１５㊀图１６(２)若线段A B 的中点M 在y 轴上,如图１６,则S әA B O ＝|k １|＋|k ２|２．在数学教学过程中,需注重学生解题思维㊁创新意识的培养,提高学生应用数学模型的能力．反比例函数k 的几何意义模型有很多,如面积不变性模型㊁面积公式模型㊁平行性质模型等,在解决数学问题的过程中,让学生了解各种模型的应用方法,从而提高解决问题的能力．Z３８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
反比例函数k的几何意义及隐藏结论
反比例函数k的几何意义及隐藏结论反比例函数是初中代数章节中非常重要的一部分。
虽然存在许多隐藏的难点，但经常在中考选填和简答题中出现。
掌握一定的解题技巧和结论可以帮助我们快速秒杀选填压轴。
中考中，反比例函数的考点或难点通常有两个：一是利用面积转化的方法和k的几何意义建立联系，二是通过代数的方法设而不求。
一、已知反比例函数y=k/x（x>0），点A是反比例函数图像上的点。
结论1：①S矩形ABOC=|k|。
常见变式如下：S阴影=|k|。
通过利用平行线间的距离处处相等，可以得到同底等高的两个三角形和平行四边形面积相等。
在常见的图形中，我们可以识别出基本图形，然后通过将面积与k的几何意义相联系，就可以简化题型，快速解决问题。
②S△ABO=|k|/2.常见变式如下图：S阴影=|k|/2.更进一步的变式：S阴影=2|k|。
二、已知反比例函数y=k/x（x>0），点A、B是反比例函数图像上的任意两点，设A(x1,y1)，B(x2,y2)。
结论1：①S△AOC=S△BOD=|k|。
证明：kbc-ad。
②S△AOE=S梯形ECBD。
③S△AOB=S梯形ACBD/2.结论2：①过点A、B分别作x轴、y轴垂线，则MN∥AB。
证明：连接BM、AN，S△BNM=S△BNO=|k|/2，S△AMN=S△AMO=|k|/2，因此S△BNM=S△AMN，S△BNM 和S△AMN同底等高，所以MN∥AB。
②过点A、B分别作y轴、x轴垂线，则MN∥AB。
2x，它们的交点为点P。
证明：过点P作这两个反比例函数的渐近线，分别交x轴于点A、B，则.证明：设两个反比例函数分别为y=k1/x和y=k2/x，交点为P(x1,y1)。
过点P作这两个反比例函数的渐近线，分别为y=k1x/b和y=k2x/a，其中a、b为常数。
这两条直线分别与x轴交于点A(b/k1,0)和B(a/k2,0)。
由反比例函数的性质可知，AP和BP分别垂直于y=k1x/b 和y=k2x/a，且.因为y=k1x/b和y=k2x/a是渐近线，所以当x趋近于无穷大时，它们的值趋近于0，即AP和BP近似于垂直于x轴的线段。
反比例函数中k的几何意义在解题中的运用
反比例函数中k的几何意义在解题中的运用反比例函数中k的几何意义，在解题中具有重要的意义.反比例函数与其他知识的关联运用，依旧离不开反比例函数中k的几何意义.一、k的几何意义过双曲线图像上任一点作坐标轴的垂线段，与原点构造的直角三角过双曲线图像上任一点作坐标轴的垂线段，与原点构造的直角三角形面积等于.已知反比例函数在第一象限的图象如图所示，点在其图象上，点例1 已知反比例函数在第一象限的图象如图所示，点在其图象上，点且，为多少?为x轴正半轴上一点，连接、,且，为多少根据k的几何意义，如图作轴，垂足为.所以.因为，所以.解析根据如图，在平面直角坐标系中，过点M(0,2)的直线l与x轴平行，且练习如图，在平面直角坐标系中，过点直线l分别与反比例函数和的图象交于点P、点Q(1)求点P的坐标;(2)若△POQ的面积为8，求k的值.因为点P在双曲线上，过M(0,2)的直线l与x轴平行，所以点P的纵解 因为点坐标为y=2，则横坐标x=3.所以点P的坐标为P(3,2)所以.因为，所以，所以或.因为图象在第二象限，所以.二、k的几何意义与线段比，面积比的知识关联如图，反比例函数的图象与矩形的两边相交于两点，若是的中例2 如图，反比例函数的图象与矩形的两边相交于两点，若是的中点，，求k的值.双曲线上存在点E与点F，根据k的几何意义，连接O E、OF，解析双曲线上存在点有.又因为点E是AB的中点，所以.可得;.所以点F是CB的中点.所以.可得.因为图象在第一象限，所以k=8.知识关联:此题用到k的几何意义、线段比与面积比的知识关联.三、k的几何意义与三角形相似知识的关联例3 如图，一次函数的图象与轴交于点如图，一次函数的图象与轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B, BC垂直轴于点C.若△ABC的面积为1，求k的值.因为点B在反比例函数图象上，得由，得，得假设直线与y轴解析因为点交与点D，则点D(－1,0),OD=1.BC//OD得△ABC～△ADO，可得:.由OD=1得BC=2，把y=2代入得x=1.5.所以点B坐标为(1. 5,2).把x=1. 5,y=3代入中得k=8/3.知识关联:此题用到k的几何意义、三角形相似、线段比与面积比的知识关联.如图，若双曲线与边长为5的等边的边OA, AB分别相交于C, D两练习如图，若双曲线与边长为点，且OC=3BD,求k的值.解析过点作轴于点，过点作轴于点过点作轴于点，过点作轴于点.因为为等边三角形，，可得～，所以.又因为得.设,则.可得即.在中，可得..,所以图象在第一象限，所以作为九年级复习阶段，做好知识间的关联学习，对构成学生的知识系统具有很好的作用.。
(完整版)应用反比例函数中k的几何意义解题举例
反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积一般地，如图1，过双曲线上任一点A 作x 轴、y 轴的垂线AM 、AN ，，所得矩形AMON 的面积为：S=AM×AN=|x|×|y|=|xy|. 又∵y=xk，∴xy=k. ∴AMON S 矩形=|k|.∴||21k S AOM=∆. 这就是说，过双曲线上任一点，做X 轴、Y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k|,这是系数k 的几何意义，明确了k 的几何意义会给解题带来许多方便，请思考下列问题： 1、求函数的解析式例1如图2所示，在平面直角坐标系中，一次函数1y kx =+的图象与反比例函数9y x=的图象在第一象限相交于点A ．过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点B 、C ．如果四边形OBAC 是正方形，求一次函数的关系式．解析 四边形OBAC 是正方形及反比例函数9y x=的图象在第一象限相交于点A ，则正方形OBAC 的面积为：S ＝xy ＝9，所以正方形的边长为3，即点A 的坐标（3，3，）。
将点A （3，3，）代入直线得y=32x+1。
2.特殊点组成图形的面积例2如图3，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ．解析 由A,B 分别向两坐标轴作垂线围成图形的面积相等， ∴S 1+S 阴影＝S 2+S 阴影＝xy ＝3. ∵1S =阴影，∴12S S +=2＋2＝4。
例3如图4，A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意 AN MXY O ACOBx图2xyABO1S 2S 图3两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ） A ．2S = B ．4S = C ．24S << D ．4S >解析 ∵A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点， ∴△ABC 的面积记为S ＝4S △AOD =4×21xy=4.3、求字母的值例4如图5，直线y=mx 与双曲线y=xk交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ∆=2，则k 的值是（ ） A ．2 B 、m-2 C 、m D 、4 解析 ∵直线y=mx 与双曲线y=xk交于A 、B 两点，已知A,B 两点关于原点O 对称，所以ABM S ∆=2S △AOM =2×21xy=xy=2 ∴k=2。
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反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积一般地，如图 1，过双曲线上任一点A 作 x 轴、 y 轴的垂线 AM 、AN ，，所得矩形 AMON的 面 积 为 ： S=AM ×AN=|x| ×|y|=|xy|.又 ∵y=k，xY A∴xy=k.N∴S 矩形 AMON =|k|. ∴ S AOM1| k | . O M X2这就是说，过双曲线上任一点，做X 轴、 Y 轴的垂线，所图 1得矩形的面积为 |k|, 这是系数 k 的几何意义，明确了 k 的几何意义会给解题带来许多方便，请思考下列问题：1、求函数的解析式例 1 如图 2 所示，在平面直角坐标系中， 一次函数 ykx 1的图象与反比例函数 y9 x的图象在第一象限相交于点A ．过点 A 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为点B 、C ．如果四边形 OBAC 是正方形，求一次函数的关系式．解析 四边形OBAC 是正方形及反比例函数9 的图象CAyx在第一象限相交于点A ，则正方形 OBAC 的面积为： S ＝ xy ＝ 9，所以正方形的边长为xOB3，即点 A 的坐标（ 3， 3，）。
图 22 将点 A （3， 3，）代入直线得 y=x+1。
32.特殊点组成图形的面积例 2 如图 3，点 A 、 B 是双曲线 y3 上的点，分别经过x垂线段，若则．S 阴影 1， S 1 S 2解析 由 A,B 分别向两坐标轴作垂线围成图形的面积相等，∴ S 1+S 阴影 ＝ S 2+S 阴影 ＝ xy ＝ 3.∵ S 阴影 1，A 、B 两点向 x 轴、 y 轴作yAS1BS 2Ox图 3∴ S 1 S 2 2＋ 2＝ 4。
图 42 例3 如图 4，A 、 B 是函数 y的图象上关于原点对称的任意两点，xBC ∥ x 轴， AC ∥ y 轴， △ ABC 的面积记为 S ，则（）A ． S2 B ． S 4 C ． 2 S 4D ． S42解析∵ A 、B 是函数 y的图象上关于原点对称的任意两点，x1 ∴ △ ABC 的面积记为 S ＝ 4S △ AOD =4 × xy=4.23、求字母的值例 4 如图 5，直线 y=mx 与双曲线 y= k交于 A 、B 两点，过点Ax作 AM ⊥ x 轴，垂足为 M ，连结 BM,若 S ABM =2，则 k 的值是 （）图 5A ． 2B 、 m-2C 、mD 、 4解析∵ 直线 y=mx 与双曲线 y= k交于 A 、B 两点，已知 A,B 两点关于原点O 对称，所△AOM =2 ×1x以SABMxy=xy=2=2S2∴ k=2。
例 5 如图 6，已知双曲线yk ( k 0 ) 经过直角三角形OAB 斜边 OB 的中点 D ，与直角＞x边 AB 相交于点 C ．若 △ OBC 的面积为 3，则 k ＝____________ ．解析：由双曲线 yk( k ＞ 0 ) 经过直角三角形 OAB 斜边 OB 的中点 D ，x设点 D 的坐标（ x,y ），又 DE ∥ BA,∴ 点 B 的坐标为（ 2x,2y ），∵ △ OBC 的面积 3,∴1OA.AB= 1 × 2x × 2y=2xy=2k=3,图 622∴ k=3.24、求线段的长度例 6 如图 7，已知一次函数 y x 1的图象与反比例函数 yk的图象在第一象限相交x于点 A ，与 x 轴相交于点 C ，AB ⊥ x 轴于点 B ， △ AOB 的面积为 1 ，则 AC 的长为（保留根号）．解析： ∵ △ AOB 的面积为 1，∴1k=1,k=2。
y2A解方程组 y=x+12,Y=xC O Bx得A 的坐标（ 1， 2）。
由一次函数 yx 1的图象与 x 轴相交于点 C ，图 7∴ OC=1,BC=2,AB=2,由勾股定理得 AC ＝2 2 。
5、探讨面积的变化例 7 如图 7，在直角坐标系中， 点 A 是 x 轴正半轴上的一个定点，点 B 是双曲线 3yx（ x0 ）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，y△ OAB 的面积将会（）BA ．逐渐增大B ．不变xOC ．逐渐减小D ．先增大后减小A图 8解析 ∵ A 是 x 轴正半轴上的一个定点， ∴ OA 的长度是定值，即 △OAB 的底边一定。
∵ 点 B 是双曲线y 3 0 ）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，（ xx∴ 纵坐标 y 的值逐渐减小，故 △OAB 的面积将会逐渐减小，选B 。
6.确定自变量的取值范围例 8 已知一次函数1x1, 点 P 在反比例函数 y 2k(k 0) 的图象上 ,PA ⊥x 轴 ,垂足为yxA,PB ⊥ y 轴 ,垂足为 B,且四边形 AOBP(O 为坐标原点 )的面积为 2.⑴ 求 k值;⑵ 求所有满足y 1y 2 的 x;⑶ 试根据这两个函数的图象,写出满足y 1y 2的x 的取值范围(只需直接写出结论).分析 :根据四边形AOBP 的面积为2,可以求出反比例函数中的k 值 .再利用y 1y 2 转换为一元二次方程求出相应的x 值 .解 :(1)四边形 AOBP(O 为坐标原点 )的面积为 2,k=2.⑵ x 12, 解得 x=-2 或 x=1.x⑶由图象得当 -2＜ x＜ 0 或 x＞ 1 时 ,满足 y1y2 .点拨 :反比例函数常与一次函数结合起来考查,而反比例函数独有的特性就是反比例函数图象上任意一点向坐标轴做垂线,形成矩形的面积为|k|.探究反比例函数中k 的意义反比例函数y kx(k ≠的0)比例系数k 的意义，除同学们熟悉的“当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随 x 的增大而减小；当k<0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随 x 的增大而增大”外，还有一个非常重要的意义，即过反比例函数k(k≠0)的图像上任意一点作x 轴、 y 轴的垂线，与两坐标轴所yxk围成矩形的面积都等于k ；过反比例函数 y x 轴 (或 y 轴 )的垂线，(k≠0)图像上任意一点作xk.且连结坐标原点，与坐标轴所围成三角形的面积都等于2探究 1：若 P(x，y)为反比例函数y ky (k≠0)图像上的任意x一点如图 1 所示，过 P 作 PM⊥ x 轴于 M，作 PN⊥ y 轴于PNN，求矩形 PMON 的面积 .M O x 分析： S 矩形PMON= PM PN y x xy∵ y k图 1 , ∴ xy=k, ∴ S = k .x探究 2：若 Q(x，y)为反比例函数k(k≠0)图像上的任意一点如图 2 所示，过 Q 作 QA⊥ x yx轴于 A(或作 QB⊥ y 轴于 B)，连结 QO，则所得三角形的面积为：k kS△QOA= （或 S△QOB=）.22（本题由同学们自己试着说明理由）说明：当 k>0 时，所围成的矩形的面积为k，三角形的面积为k ；2当 k<0 时，所围成的矩形的面积为-k，三角形的面积为k.以上结论与点在反比例函数图2像上的位置无关 .yBQO A x图 2应用举例：例 1 如图 3，在反比例函数y 6P ，过 P 点分别作x轴、（ x＜ 0）的图象上任取一点xy 轴的垂线，垂足分别为M、N，那么四边形PMON 的面积为．解： S 四边形PMON= k66.yP NM 0x图 3例 2 反比例函数y k4 所示，点 M 是该函数图象上一点，MN ⊥ x 轴，垂的图象如图x足为 N.如果 S△MON=2，求这个反比例函数的解析式．yk=2, ∴k =4, ∴ k= ±4．M 解：∵ S△MON =2又∵ 双曲线在第二、第四象限内，∴k＜ 0，N O x∴ k=-4, ∴所求反比例函数的解析式为y4图 4．x。