反比例函数比例系数k的几何意义02
反比例函数中比例系数k的几何意义
反思小结
在反比例函数 y 10 的图象上,有一系列点A1，A2， x A3…..An，An+1，若A1横坐标为2,且以后每点的 横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2. 现分别 过点A1，A2，A3…..An，An+1作X轴与Y轴的垂线 段，构成若干个矩形如图10所示，将图中阴影部 分的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…Sn， 5 5 15 2 5 2 (5 _____, ) 则S1=________, S +S +S =____ S1+S2 2 1 2 3 4 2 5 10 n 2 (5 ) +S3+….+Sn=________________.( 用n的代数式表 n 1 n 1 A 示)
C
S SOAD SABD SBCD SOCD 4 1 4
达标测试
已知几何图形的面积S，求比例系数k
5、如图，已知双曲线 （k>0） 经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E， 且四边形OEBF的面积为2，则k的值为（ B ）。
y
y
k x
A 1
所以
B 2
C 4
S OAB 4
O
y
已知几何图形的面积S，求比例系数k k y 变式、如图，已知双曲线 x ( k＞0 )经
B
D
C E A
x
而
SOAB SOBC SOAC
即
S ODE 1 S OAB 1 4 k 3 2
1 k 2
相似三角形的面积比 等于相似比的平方 k 4;
k 0 k 4
k 0 k 4
4 y x
达标测试
4、如图，在平面直角坐标系中， 点O为原点，菱形OABC的对角线 OB在x轴上，顶点A在反比例函数 2 的图像上，求菱形的面积。 y B
反比例函数中k的几何意义的应用
反比例函数中k的几何意义的应用
k在反比例函数中具有重要的几何意义，以下列举一些它的应用。
1. 直线反比例函数：k反映直线斜率的倒数，即斜率m=-k。
当给定直
线k值时，由定点和k值可以求出斜率m，从而可以绘制出这条直线。
2. 圆反比例函数：k反映圆半径r的倒数，即r=1/k。
当给定圆k值时，由定点和k值可以求出圆半径，从而可以绘制出这个圆。
3. 抛物线反比例函数：k反映抛物线的开口方向，当k > 0时，抛物线
向右开口；当k < 0时，抛物线向左开口。
4. 双曲线反比例函数：k反映双曲线的开口方向，当k＞0时，双曲线
开口向右；当k＜0时，双曲线开口向左。
5. 其他函数反比例函数：k可以反映此类函数中曲线的凹凸，当k > 0时，曲线是凹曲线；当k < 0时，曲线是凸曲线。
总之，k在反比例函数中应用广泛，几乎所有的函数都可以用反比例函
数表示。
它的几何意义非常重要，不仅仅可以根据k值绘制出各种曲线，而且可以了解曲线的开口方向以及凹凸方向。
因此，k在反比例函
数绘制中发挥着重要的作用。
反比例函数中K的几何意义
反比例函数中K的几何意义
在反比例函数中，K表示比例系数或常数，也被称为反比例常数。
它
是用来确定两个变量之间反比关系的重要参数。
反比例函数的一般形式为：y=K/x，其中K表示比例系数。
K的几何意义可以通过分析反比例函数的图像得出。
反比例函数的图
像是一个双曲线，特点是曲线趋向于两个坐标轴。
下面将详细讨论K的几
何意义。
1.K的符号对于曲线的位置以及开口方向具有重要影响。
如果K为正数，那么曲线将位于第一和第三象限，并且开口方向为右上和左下。
如果
K为负数，那么曲线将位于第二和第四象限，并且开口方向为左上和右下。
2.K的绝对值越大，曲线就越“陡峭”。
当K增大时，曲线将更加接
近于坐标轴，并且在原点附近的斜率会越来越大。
反之，当K变小时，曲
线将更加平缓，斜率将减小。
3.K决定了特定坐标点的函数值。
例如，在函数y=K/x中，当x为K 时，y的值将为1、这是因为x与y成反比关系，而K是这种关系的常数。
4.K还决定了曲线相对于坐标轴的位置。
具体而言，当K增大时，曲
线将向坐标轴移动，而当K减小时，曲线将远离坐标轴。
总之，K代表了反比例函数中的比例系数或常数，它对于函数的位置、开口方向、陡峭程度以及特定坐标点的函数值都具有重要影响。
通过对K
的分析，我们可以更好地理解和解释反比例函数的几何特征。
反比例函数中k的几何意义
【主干必备】 反比例函数中比例系数k的几何意义 设点P(m,n)是双曲线y= k (k≠0)上任意一点
x
(1)过点P作x轴或y轴的垂线,垂足为点A,则
S△OAP=
1 2
·OA·AP=
1 |m|·|n|=
2
1 |mn|=
2
1 2
|k|.
(2)过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为A,B,
值为 世纪金榜导学号( D )
A.5
B.-5
C.10
D.-10
3.(2019·哈尔滨木兰期末)已知P是反比例函数y= k
x
(k≠0)图象上一点,PA⊥x轴于A,若S△AOP=4,则这个反
比例函数的解析式是 ( C )
A.y= 8
x
C.y= 8 =- 8
x
D.y= 4 或y=- 4
则S矩形OAPB=OA·AP=|m|·|n|=|mn|=|k|.
【微点警示】 因为反比例函数y= k (k是常数,k≠0)中的k有正、负之
x
分,所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时,都应 加上绝对值符号;已知矩形或三角形的面积求反比例函 数的解析式或k的值时,要根据函数的图象所在的象限 确定k的正负.
x
x轴于点B交反比例函数y= 2 的图象于点C,连接OA,OC,
x
则△OAC的面积为 ( B )
A.2
B.3
C.6
D.8
2.(2019·达州达川区期末)如图所示,点A是反比例函
数y= k 的图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,点
x
C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为5,则k的
【核心突破】
反比例K的几何意义
反比例函数比例系数k 的几何意义知识梳理：如图所示，过双曲线)0(k≠=k xy 上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN,垂足为M 、N ，所得矩形PMON 的面积S=PM •PN=|y|•|x|.,y xk=∴||k S k xy ==，。
反比例函数图像上任意一点“对应的直角三角形的面积”S=21│k │ 反比例函数图像上任意一点“对应的矩形的面积”S=│k │这就说明，过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k|。
这是系数k 几何意义,明确了k 的几何意义，会给解题带来许多方便。
典例精析专题一 K 值与面积直接应用 例1：已知如图，A 是反比例函数ky x=的图象上的一点，AB 丄x 轴于点B ，且△ABO 的面积是3，则k 的值是（ ）A 、3B 、﹣3C 、6D 、﹣6变式练习1：如图，点P 是反比例函数6y x=图象上的一点，则矩形PEOF 的面积是 ．变式练习2： 如图：点A 在双曲线 ky x=上，AB 丄x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB =2，则k= ．变式练习3：如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上:△ABP的面积为2，则这个反比例函数的解析式为______________．OABxy:变式练习4：如图反比例函数4y x=-的图象与直线13y x =-的交点为A ，B ，过点A 作y 轴的平行线与过点B 作x 轴的平行线相交于点C ，则ABC △的面积为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2B 为双曲线x12-y =上的点，AD ⊥x 轴于D,BC ⊥y 轴于点C ，则四边形ABCD 的面积为 。
例2：如图1所示，直线l 与双曲线)0(ky >=k x交A 、B 两点，P 是AB 上的点，试比较⊿AOC 的面积S 1，⊿BOD 的面积S 2，⊿POE 的面积S 3的大小： 。
《反比例函数图像性质-k的几何意义》课件
随着x的增大或减小，曲线会逐渐靠近 坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。
曲线形状
图像是由两支分别位于第一和第三象 限的曲线组成，这两支曲线关于原点 对称。
k<0时图像特征
1 2
图像位于第二、四象限
当k<0时，反比例函数的图像会出现在第二和第 四象限。
曲线形状
图像同样是由两支分别位于第二和第四象限的曲 线组成，这两支曲线也关于原点对称。
图像的性质。
总结
反比例函数的图像性质与 $k$ 的 正负有关。当 $k > 0$ 时，图像 位于第一、三象限；当 $k < 0$
时，图像位于第二、四象限。
涉及综合应用问题
01
例题5
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$ 的图像与一次函数 $y = ax + b$ 的
图像交于点 $M(2,1)$ 和 $N(-1,-2)$，求这两个函数的解析式。
反比例函数的极限与连续性问题
讨论反比例函数在特定点的极限行为，以 及在定义域内的连续性。
反比例函数与其他函数的复合问 题
研究反比例函数与其他基本函数（如幂函 数、三角函数等）的复合性质及图像特征 。
THANK YOU
06
总结回顾与拓展延伸
重点知识点总结回顾
反比例函数图像的基本性质
反比例函数图像为双曲线，当k>0时，图像位于第一、三象限；当k<0时，图像位于第二 、四象限。
k的几何意义
k的绝对值表示双曲线与坐标轴所围成的矩形的面积。当k>0时，矩形在第一象限；当 k<0时，矩形在第二象限。
反比例函数图像的对称性
通过中心对称性，我们可以更好 地理解反比例函数的性质和行为 ，以及它在解决实际问题中的应
反比例函数中k的几何意义解题技巧
在反比例函数中，k代表常数。
它在几何上表示函数图像与坐标轴的关系，具体解题技巧如下：
求解比例关系：在已知的反比例函数中，通过给定的函数表达式或已知的点，可以建立函数的比例关系。
使用这些已知信息，可以得出k 的值。
图像特征分析：观察反比例函数的图像特征，特别是与坐标轴的关系。
在反比例函数中，k 的值可以表示函数图像与坐标轴之间的比例关系。
当k > 0 时，函数图像与坐标轴之间存在正比例关系。
函数图像可能与x 轴正向逼近，与y 轴正向逼近，或同时逼近两个轴。
当k < 0 时，函数图像与坐标轴之间存在反比例关系。
函数图像可能与x 轴正向逼近，与y 轴负向逼近，或同时逼近两个轴。
当k = 0 时，函数图像与x 轴平行或与y 轴平行，即函数图像不存在与坐标轴的交点。
推测几何意义：根据反比例函数的性质，可以推测k 的几何意义。
当k > 0 时，k 可以表示函数图像与坐标轴之间的比例系数。
它可以表示函数图像在与x 轴或y 轴的交点处的斜率。
当k < 0 时，k 的绝对值可以表示函数图像与坐标轴之间的反比例系数。
它可以表示函数图像在与x 轴或y 轴的交点处的斜率的相反数。
需要注意的是，以上是一般性的解题技巧，具体问题可能需要结合具体的题目和函数表达式进行分析和求解。
同时，绘制函数图像可以帮助更好地理解和观察几何意义。
反比例函数K的几何意义
【山东·全国考题回访】
1.(2014·济南中考)如图,△OAC和△BAD都是等
如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴 的平行线，分别与反比例函数y=-4/x和 y=2/x交于点A和点B，若点C是x轴上任意一 点，连接AC、BC，则△ABC的面积为
点B，D在反比例函数y=b/x（b＜0）的图象上，
AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=3，CD=2，
AB与CD的距离为5，则a-b的值是
则S△OBC=
1·(-x)·22y=6.解得k=xy=-6. 2
答案:-6
如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数 y1=k1/x(x>0)及y2=k2/x(x>0)的图像分别交于点A， B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1-k2 的值等于（ ）
如图△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1， P2在函数y=4/x（x＞0）的图象上，斜边OA1，A1A2 都在x轴上，则点A2的坐标是______．
答案:6
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同 时落在反比例函数的图象上，猜想是哪两个点， 并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．
（1）∵四边形ABCD是矩形，平行于x轴，且AB=2，AD=4， 点A的坐标为（2，6）． ∴AB=CD=2，AD=BC=4， ∴B（2，4），C（6，4），D（6，6）；
腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°,反比例函数 y= k 在第一象限的图象经过点B，若OA2-AB2=12， 则kx的值为_______.
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反比例函数针对训练
基础训练
一．填空题
1．已知反比例函数x
k
y =
的图象经过点(3，2-)，则函数解析式为_________，x ＞0时，y 随x 的增大而_________；
2．反比例函数x
y 6
=
的图象在第_________象限. 3．直线x y 2=与双曲线x
y 1
=的交点为_________；
4．如图1，正比例函数)0(>=k kx y 与反比例函数x
y 1
=
的图象相交于 A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ，则△ABC 的面积S =_________. 二．选择题
5．在双曲线x y 2
-=上的点是 （ ） （A ） (34-，23-) （B ） (34-，2
3) （C ） (1，2) （D ） (21
，1）
6．反比例函数4
22
)1(---=m m
x m y ，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，则m 的值是（ ）
（A ） 1- （B ） 3 （C ） 1-或3 （D ） 2
7．如图2所示，A 、B 是函数x
y 1
-=
的图象上关于原点O 对称 的任意两点，AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，△ABC 的面积为S ，则 （ ） （A ） S =1 （B ） S =2
（C ） 1＜S ＜2
（D ） S ＜2
8．已知反比例函数x
m
y 21-=
的图象上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2，则m 的取值范围是 （ ） （A ） m ＞0
（B ） m ＞
2
1 （C ） m ＜0 （D ） m ＜
2
1 9．若(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)都是x
y 5
-=的图象上的点，且x 1＜0＜x 2＜x 3.则下列各式准确的是 （ ）
（A ） y 1＞y 2＞y 3 （B ） y 1＜y 2＜y 3 （C ） y 2＞y 1＞y 3 （D ） y 2＜y 3＜y 1
10．双曲线x
y 21
-
=y 经过点(3-，y )，则y 等于 （ ） （A ） 61
（B ） 6
1- （C ） 6 （D ） 6-
11．当梯形上、下底之和一定时，梯形的面积与梯形的高的函数关系是（）
（A
）正比例函数（B）反比例函数（C）二次函数（D）都不是12．如果反比例函数
x
k
y=的图象经过(2
-，1)，那么直线1
2-
=x
k
y上的一个点是（）
（A）(0，1) （B）(
2
1
，0) （C）(1，－1) （D）(3，7)
13．面积为2的△ABC，一边长x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（）
反比例函数y= k/x (k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y=k/x (k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为│k│
1、如图，反比例函数4
y
x
=-的图象与直线
1
3
y x
=-的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则ABC
△的面积为（）
6
B是反比例函数y＝
2
x(x＞0)图象上的一个动点，当点B的纵坐标逐渐减小时，△OAB的面积将（）
A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．先增大后减小
3、如图12，A、B是函数2
y
x
=的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥
x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（）
第3题
D
B A
y
x
O C
A ． 2S =
B ． 4S =
C ．24S <<
D ．4S >
4、如图，已知双曲线)0k (x
k y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝____________．
5、如图5所示，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），……P n （x n ，y n ）在函数y=
x
9
（x ＞0）的图象上，△OP 1A 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3……△P n A n －1A n ……都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2……A n-1A n ，都在x 轴上，则y 1+y 2+…y n = 。
6、如图，已知点A 、B 在双曲线x k y =（x ＞0）上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC
与BD 交于点P ，P 是AC 的中点，若△ABP 的面积为3，则k ＝ ． 7、如图，在第一象限内,点P （2，3）,M ()2,a 是双曲线)0(≠=
k x
k
y 上的两点,PA ⊥x 轴于点A,MB ⊥x 轴于点B,PA 与OM 交于点C,则△OAC 的面积为 8、如图，若正方形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在函数 1
y x
=（0x >）的图象上，则点E 的坐标是（ ， ）.
9、如图，点A 、B 是双曲线3y x
=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，
若1S =阴影，则12S S += ． 10、如图，已知双曲线(0)k
y k x
=
<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 （ ） A ．12 B ．9 C ．6 D ．4
11、如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上，△ABP
的面积为2，则这个反比例函数的解析式为______________．
第5题图
y
x
O
A
B
P C
D
第6题图
第8题图
x
y
A
B
O
1
S 2
S 9题图。